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文档简介

一、全微分二、全微分在近似计算中的应用三、小结4.4全微分及其应用经济数学——微积分由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分二元函数对x和对y的

偏增量二元函数对x和对y的

偏微分全增量的概念

如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义，并设P(x0+△x,y0+△y)为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差

f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)为函数在点P0(x0,y0)对应于自变量增量△x,△y的全增量，记为△z即

△z=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)实例：矩形面积的增量当很小时定义如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的全增量

△z=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)可以表示为

△z=A△x+B△y+o(ρ)其中A,B与△x,△y无关，而仅与点P0(x0,y0)有关，则称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)可微，称A△x+B△y为函数在点P0(x0,y0)的全微分，记为事实上,由△z=A△x+B△y+o(ρ)如果函数在某区域D内各点处处可微，则称这函数在D内可微.如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微，则函数在该点连续.故函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.结论：可微的条件

如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微，则该函数在点P(x,y)的偏导数必存在，且函数在点P(x,y)的全微分为定理（可微的必要条件）证总成立,同理可得习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和称为二元函数的微分叠加原理．叠加原理也适用于二元以上函数的情况．全微分的几何意义表示切平面竖坐标增量（曲面竖坐标增量的近似值）红色红+蓝蓝曲面在用切平面来近似。近旁的一部分，可以一元函数在某点的可导可微．多元函数的各偏导数存在全微分存在．？例如，在点(0,0)处而说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在.该极限不存在,因此，当ρ→0时故函数在点(0,0)处不可微.偏导存在且连续偏导存在连续可微多元函数可微、偏导存在、连续间的关系：定理（可微的充分条件）

如果函数z=f(x,y)的偏导数在点P(x,y)连续，则函数在该点可微.解所求全微分例1计算函数z=exy在点(2,1)处的全微分.解解所求全微分二、全微分在近似计算中的应用解由公式得解例6要在高H=20cm,半径R=4cm的圆柱体表面均匀地镀上一层厚度为0.1cm的黄铜，问需要准备多少黄铜？设黄铜的密度为8.9g/cm3,m黄铜=8.9×19.2π≈536.6g

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