当阳市2024届高三年级下册模拟考试（四）数学试卷(含答案)

当阳市第一高级中学2024届高三下学期模拟考试（四）数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

____________r_B、

1.集合A==J—九2—2x+31,8=,则A、B=（）

A.（0,V2]B.[-l,3]C.（0,l]D.[-3,V2]

2.若复数Z1在复平面内对应的点的坐标为（1,2）,Z2在复平面内对应的点的坐标为

（L-2）,如果复数Z满足Z]Z=Z2,则Z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.某市一次高三统考，数学成绩X经统计分析，近似服从正态分布XN（110,<T2）,且

P（100<X”110）=0.3,若该市有9000人参考，估计该市此次统考成绩不低于120分的人

数为（）

A.900B.3600C.2700D.1800

4.2020年电视剧《大秦赋》风靡大江南北，某记者调查了大量观看《大秦赋》的观众,

发现爱看的人数与收入存在较好的线性相关关系，爱看人数为6,5,3,2（千万）的观众的收

入分别在（2,4],（4,6],（6,8],（8,10]（万元）之间，现用这四个区间的中间值关代表收入，根

据数据求得爱看人数y关于收入x的线性回归方程为_9=云+12.4,则》的值为（）

A.-1.2B.-1.3C.-1.4D.-1.5

5.在（x-y）（2x+y）5的展开式中,丁父的系数是（）

A.40B.-40C.120D.-120

6.已知函数〃X）=—；2021X,X<0,,0=/（岫；）/=/（（；）6）,,=/，）,则。力了的

—X—202lx,x0,33

大小关系是（）

A.c<b<aB.c<a<bC.a<c<bD.a<b<c

7.我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地,上平下

邪.小李制作了如图所示的一个羡除模型ABCDEF淇中平面

ABF,ADHBCHEF,AD=4,BC=3,AB=BF=EF=2,NABF=120，则该羡除的体积

为（）

A.2A/3B.3cC.4A/3D.5A/3

8.定义在R上的函数/(x),/'(x)是它的导函数，且恒有/'(x)-2/(x"0成立，已知

/(1)=6,则/(可402•1的解集为()

A.(^0,1)B.(l,^o)C.(^0,1]D.[l,+oo)

二、多项选择题

9.下列结论正确的是()

A.过点(2,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x+y-3=0

B."tanx=也”的充分不必要条件是“x=卫”

36

C.已知0>0,6>0,。+2/?=4,则ab的最大值为2

D.命题“在AABC中，若AB.<0,则AABC是钝角三角形”是真命题

10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-44GB中,石为CG的中点下为的中点，下

列说法正确的是()

A.所〃平面

B.AE与BF所成角的余弦值为当

C.平面BD.F±平面ABE

Q

D.平面4夕£截该正方体所得的截面图形的面积为2

2

22

H.已知双曲线c：二-当=1(。〉o力〉o)的左、右焦点分别为4(-巧,0),玛(而,0),

ab一

一条渐近线方程为x+4y=0,双曲线上一点P满足鸟=60。,下列说法正确的是()

A.双曲线的实轴长为8B.双曲线的离心率为上

4

c.^FXPF2的面积为鸟的面积为百

12.函数/(%)为定义在R上的奇函数，对任意实数X满足/(x)=-了(％+1),当xe[-1,0)

时,/(%)=1-/,下列结论正确的是()

A.函数/(x)的周期为4

B.当xe[-1,2020)时，函数f[x)的零点有2021个

C.函数g(x)=/(x)+g的图象与函数y=l,xe[-1,100)的图象共有50个交点

D.函数/(x)的图象关于点(1,0)和(2,0)对称

三、填空题

13.等差数列｛*｝的前〃项和为S”,%=—7,/+2%+%=-20,则Sn取最小值时

n=.

14.甲、乙、丙三名大学生到武汉A,3,C三家医院选择一家实习，则甲不去A医院的安

排方法有种.

15.已知函数f(x)=73sin2(%+-^)-A/3COS2(%+-^)-2cos2x+g,若f(0)=0(0<<^),

则si呜-23)=..

四、双空题

16.已知抛物线C:%2=2py(p〉0)的焦点为£设过点R的动直线交抛物线C于A乃两

点,抛物线C在A,5处的两条切线的交点为N,点N在直线y=-1上，则抛物线C的标准

方程为__________,四-——的最小值为________________.

4\BF\

五、解答题

17.在^ABC中，角A,B,C的对边分别为a,0,c,且—=之二.

cosBcosC

（1）求cos23;

（2）若Z?=3,且sinA+sinC=2CsinAsinC,求ZvlBC的面积.

18.已知正项数列"｝的前n项和为S“，且满足2s“=片+4.

（1）求数列｛*｝的通项公式；

（2）若等比数列也“｝的公比大于1也=81也4=晌，设%=%，求数列上｝的前九项和

bn

Tn.

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形,24,平面

9

ABCD,tanZPBA=—下为PC的中点.

3

（1）判断直线Q4与平面BED的位置关系，并证明；

（2）在边5C上是否存在一点E,使得平面AEFJ_平面"＞歹？若存在，说明点E的位置;

若不存在,请说明理由.

20.2019年10月1日，为庆祝新中国成立70周年的阅兵仪式在北京举行，陆军、海军、

空军、火箭军和战略支援部队部分新型武器装备受阅.观看阅兵后，某校军事兴趣组决定

对首次亮相的武器装备做更加深入的了解，以完善兴趣小组的文档资料.军事兴趣组一共

6人,分成两个小组（第一小组研究15式主战坦克、轰-6N新型战略轰炸机、直-20直

升机，第二小组研究东风-17常规导弹、长剑-100巡航导弹、东风T1核导弹）,其中第

一小组A,民C三位同学分别对15式主战坦克、轰-6N新型战略轰炸机、直-20直升机

特别感兴趣，第二小组。，瓦R三位同学分别对东风-17常规导弹、长剑-100巡航导弹、

东风T1核导弹特别感兴趣，现对两个小组的同学随机分配（每人只选一项且不重复），设

两个小组中调查的装备恰为自己特别感兴趣的同学个数分别为X,K

（1）求*=丫+1的概率；

(2)设Z=|X-F],求随机变量2的分布列与数学期望.

22

21.已知椭圆二+2=l(a〉b>0)的左、右焦点分别为&F,,椭圆的一个焦点是圆

ab

公一2%+丁2=0的圆心，且椭圆过点||,当]

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过《作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A,C和BQ,设线段AC,的中点分

别为P,。,判断直线P。是否过定点？如果过定点，求出定点坐标;如果不过定点，请说明理

由.

22.已知函数/(%)=lnx-ov+1+^x2.

(1)若函数"力在x=2处的切线的斜率为3,求实数a的值;

(2)设g(x)=求当a=l时g(x)的极值，并证明当x>l

In2In3In4Inxxlx

时,----+——+-----+...+------

345x+14

参考答案

1.答案：D

解析：A={x|-3<x<l},B=(v|0<y<72|,

所以AU3=

故选：D.

2.答案：C

解z=z1=l-2i=(l-2i)(l-2i)=_3_4i

4l+2i(l+2i)(l-2i)55

故选：C.

3.答案：D

解析：估计该市此次统考成绩不低于120分的人数为9000x±2@2=i800,

2

故选：D.

4.答案：C

解析：由题意可知x的值依次为3,5,7,9,

rrt.r—3+5+7+9/6+5+3+2

贝Ux=----------=6,y=--------------=4,

44

故回归直线方程经过(6,4)，可得》=-1.4,

故选：C.

5.答案：B

解析：的系数为WQX)2y3+(_y)c；(2x)3y2=TO,

故选：B.

6.答案：A

解析：/(x)是奇函数且在R上单调递减，

11

-63

log6—<log61=0,3<6°=1,6>1，所以cvZ?va,

故选：A.

7.答案：B

角牛析：^ABCDEF=^ABF-HGE+^E-CDHG

=1X2X2X^X2+|X(1±|^XV3=3V3,

故选：B.

8.答案：C

解析：令g(x)=雪，则g，(x)‘叫"(之0,故g(U在R上单调递增，

ee

因为g(l)=*=J所以/(力~21等价于g(x)Wg⑴，

根据函数g(x)的单调性可得X<1,

故选：C.

9.答案：BC

解析：

10.答案：ABD

解析：因为EF//AG，可知即〃平面AGSA正确；

将8尸平移至平面2E内在△R4E中求得A]E与5尸所成角的余弦值为t，B正确；

以。为坐标原点所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

求得平面8。7的一个法向量为6=(1,1,2),平面A3E的一个法向量为

“=(1,0,2),加•〃=5。0,所以两个平面不垂直,C错误；

(2也+®建Q

取棱CQ的中点G,则等腰梯形ABEG即为所得截面,面积为--------——=：q

正确，

故选ABD.

11.答案：AD

解析：由题意得。=旧,2」,可求得。=4/=1,所以双曲线的标准方程为反-/=1,

a416

实轴长为8,A正确；

离心率e=$=晅,B错误；

a4

设PF]=m,PF2=n,Z\PFXF2中,

由余弦定理得4c2=m2+n2-2mncos60°又(m—n)2=64,故加〃=4,故

S.PFF=匕〃磔M60。=百,(2错误,口正确，

i—\rz^2

故选：AD.

12.答案：BD

解析：因为/(九)=—/(x+1),所以+1)=—/(x+2)=—/(x),

即/1(x)=y(x+2),所以函数/"(x)的周期为2,A错误；

因为函数F(x)为定义在R上的奇函数，所以/(0)=0,

又xe[-1,0)时,=1-,且函数/(X)的周期为2,所

以当xe[-1,2020)时，函数f(x)的零点有2021个,B正确；

函数g(x)=/(x)+；的图象与函数y=l的图象有交点等价于方程/")=；有解，当

xe[-1,100)时，方程/(x)=g共有51个解,C错误；

奇函数/(X)关于(0,0)对称，根据周期为2可得D正确，

故选：BD.

13.答案：6

解析：

14.答案:18

解析：安排方法共有2x3x3=18种.

15.答案：叵已

8

解析：/(x)=A/3sin2(%+—)-A/3COS2(x+—)-2cos2x+-=2sin|2x--|+-,

442(6)2

因为"6)=0,即sin(2，—四]=一±因为owew工

I6J42

所以一二426-工所以sin(28—四]<0,所以一二426-二WO,

66616J66

所以cosf2^--1，所以sin(—-26)=cos20=cos((23-—)+—!

(6142LI66)

Q兀、兀*Q，兀3-\[S+1

=cos(2"——)cos---sin(2"——)sin—=--------.

66668

16.答案：x2=4y,0

解析：由-=2py知,y=工设A（芯,％）,5（%2，%），

过48两点的切线方程分别为y-y1=—(x-xx),y-y2=—(x-x2),

PP

22

将％=白，％=在代入消去x可得y=9,又/％=-/，所以y=-K，

2p2p2p2

因为交点N在y=-l上，

所以p=2,所以抛物线C的标准方程为x2=4y,

易知西々=—4,%%=工><与=^^=1，|河|=乂+1，忸同=%+1，

44lo

—G2陲L―1=0,所

4\BF\4y2+l4£+14%+l\4%+l

X

以也1——L的最小值为o.

4\BF\

17.答案：⑴」

2

(2)还

4

解：⑴由——可得Z?cosC+ccosB=2«cosB,

cosBcosC

由正弦定理得：sinBcosC+sinCcos5=2sinAcosB,

即sin(B+C)=2sinAcosB,

cosB=-cos2B=—

即2,因为0<8(%可得3=60。,所以2.

（2）设△ABC的外接圆半径为R,由题意8=60。,6=3,

得筋=Ur3r磊=就=2有,

由sinA+sinC=2斯sinAsinC,及正弦定理得：$+-^==2显产厂

2V32V32326

即a+c=yflac①，

由余弦定理得：/+。2一〃。=9,即(Q+C)2—3。。—9=0②，

将①式代入②，得2(ac)2—3。。—9=0.

解得：ac=3或〃c=—|(舍去)，则/谢=；acsin5=t^.

18.答案：(1)a〃=n

Q31

(2)M^--(-+H)x(-r

解：(1)当〃=1时,2〃1=Q；+%,因为Q］〉0,所以Q1=l,

由2Sn=a；+。鹿，①可得2szi+i=a；+i+an+1,®

②—①得2an+l=片+i-4+%+i-。〃，移项可得-。-%-%=°，

故(%+an)(。用-4T)=0,因为4>0,所以%-%=1,

所以数列｛〃/是首项为1,公差为1的等差数歹!J,所以4=心

…h

(2)由b4b§=9b9可得b3b9=9b9也w0,所以4=9,可得公比d=上=9,

4

又9>1,所以q=3,2=1,所以2=3"T,

所以。〃=合=靠，

2462n自

12

"1333”T

1,.2462(«-1)2n公

3332333"T3"

e小田2”，-2222In

3332333"-13"

-111~\2n1-(鼻)“1

=2xl+§+(»+(-r--=2x^-2nx(-)

3

931

所以（5+〃）X（P〃T.

19.答案：（1）见解析

9

（2）BE=—BC

13

解析：（1）K4//平面BED,

证明：连接AC交5。于点。，连接尸因为四边形ABC。为正方形，所以。为AC的中

点，又R为PC的中点，所以PA//FO,

因为必.平面BFD,FOu平面BFD,所以RV/平面BFD.

（2）因为24,平面A3CD,且底面ABCD为正方形，

所以AP,A5,AZ）两两垂直，以A为原点，以AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z

轴建立空间直角坐标系A-町2,

2

=—，设己4=2,则AB=3,

3

所以A(0,0,0),3(3,0,0),C(3,3,0),D(0,3,0)

则AF=|,|,lj,AD=（0,3,0），假设在边3C上存在一点E使得平面AER与平面ADR

垂直，设BE=ABC，可得E（3,3A,0）,

则AE=（3,32,0），设平面AEF的法向量为m=（羽y,z）,

AEm=Q3x+32y=0

因为，所以133八，

AF-m=Q

[22

令y=l,则x=—%z=3x—3,所以平面AER的一个法向量机=(—尢1』3/1—33,

22{22)

%=0

AD-n=0

设平面ADR的法向量为〃=（%,%,zj,因为＜，所以133

AFn=O万石+万中=0

令x1=2,则A=-3，所以平面ADF的一个法向量为"=（2,0,-3）.

因为平面AER,平面ADF,

999

所以桃_L〃,即山•〃二0,所以一2%——4+—=0,解得2=一,

2213

Q

所以存在片点使得平面AEF±平面ADR此时BE=—BC.

13

20.答案：（1）工

6

（2）1

解析：（1）根据题意可得X=0,1,31=0,1,3,

C1?1

乂=卜+1只有乂=1,丫=0时成立,「（％=1,丫=0）=*＞＜丁=—.

A3A36

（2）因为Z=|X-寸,所以Z的所有可能取值为0,1,2,3,

21

p(x=0)=尸(y=0)=下=<

1

p(X=l)=p(y=1)=-1=-,

p(x=3)=p(y=3)=5=：，

xlgO

p(z=o)=p(x=o,y=o)+p(x=i,y=i)+p(x=3,y=3)=|x|+|x|+|x|=^,

11111

p(z=i)=p(x=o,y=i)+p(x=i,y=o)=—X——I——X—=

32233

P(Z=2)=P(X=l,y=3)+P(X=3,y=l)=|x-|+|x|=-|,

p(z=3)=P(X=0,y=3)+P(X=3,y=o)=|x|+1x|=I，

所以随机变量z的分布列为

Z0123

711

p

18369

7111

E(Z)=0x—+lx-+2x-+3x-=l.

'/18369

22

21.答案：(1)—+^=1

43

(2)见解析

解析：(1)由题意知圆的圆心坐标为(1,0),所以乙(1,0),所以①

424

又椭圆过点侦]，所以2+2=1,②

[33)a2b2

联立①②可得〃之=4,Z?2=3,

22

所以椭圆的标准方程为二+匕=1.

43

(2)由(1)得乙(1,0),当直线AC的斜率不存在时,AC:x=l,3D:y=0,

所以尸(l,0),Q(0,0),所以P。为了轴；

当直线AC的斜率存在时，设AC:y=k(x-l),k丰0,则①)：y=—L(x-1),