2025优化设计一轮课时规范练87　二项分布与超几何分布

课时规范练87二项分布与超几何分布1.(2024·江苏盐城模拟)某班级准备进行抽奖活动,福袋中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个相同小球,从袋中一次性摸出三个小球,若号码之和是3的倍数,则获奖,其余情况不获奖.若有5名同学参与此次活动,则恰好3人获奖的概率是()A.72625 B.108625 C.144625 2.从一批含有13件正品,2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ+1)=()A.2 B.1 C.3 D.43.(2024·云南红河模拟)某市教育行政部门在全市中小学生范围内,组织了一次法律常识知识竞赛,现从所有参赛学生的竞赛成绩中随机抽取200份,经统计,这200份成绩全部介于[30,100]之间,将数据按照[30,40),[40,50),…,[90,100]分成七组,得到如下频数分布表:竞赛成绩/分[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数6143074422311(1)试估计该市竞赛成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和第80百分位数(结果保留一位小数);(2)以样本频率值作为概率的估计值,若从该市所有参与竞赛的学生中,随机抽取3名学生进行座谈,设抽到60分及以上的学生人数为X,求X的分布列和期望.4.近年来,某市为促进生活垃圾分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾桶.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾,总计400吨,数据统计如下表(单位:吨).类别厨余垃圾桶可回收物桶其他垃圾桶厨余垃圾602020可回收物104010其他垃圾3040170(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率p;(2)若处理1吨厨余垃圾需要5元,处理1吨非厨余垃圾需要8元,请估计处理这400吨垃圾所需要的费用;(3)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组,有7名女性志愿者,3名男性志愿者,现从这10名志愿者中随机选取3名,利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动(每名志愿者被选到的可能性相同).设X为选出的3名志愿者中男性志愿者的人数,求随机变量X的分布列及数学期望.5.某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目,并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用,为了解“AI作业”对学生学习的促进情况,该公司随机抽取了200名学生,对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查,样本调查结果如下表:掌握情况甲校乙校使用AI作业不使用AI作业使用AI作业不使用AI作业基本掌握32285030没有掌握8141226假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生,用ξ表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数,求ξ的分布列和数学期望;(2)用样本频率估计概率,从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生,用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”知识点,用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”知识点,用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”知识点,用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”知识点.比较方差D(X)和D(Y)的大小关系.6.(2024·四川宜宾模拟)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图,将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.将上述调查所得到的频率视为概率.(1)现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列及期望;(2)用分层抽样的方法从这100名观众中抽取8名作为样本A,则样本A中“体育迷”和“非体育迷”分别有几人?从样本A的这8名观众中随机抽取3名,记Y表示抽取的是“体育迷”的人数,求Y的分布列及方差.

课时规范练87二项分布与超几何分布1.C解析每次抽奖中,共有C53=10种情况,获奖的情况有(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5)4种,所以获奖的概率P=25.设则X~B5,25,所以P(X=2.C解析ξ的可能取值为0,1,2.P(ξ=0)=C133C153=2235,P(ξ=1)=C则ξ的分布列为ξ012P22121于是E(ξ)=0×2235+1×1235+2×135=25,故E(5ξ+1)=5E(ξ)+3.解(1)平均分x=1200×(35×6+45×14+55×30+65×74+75×42+85×23+95×11)前4组频率之和为6+14+30+74200=0.62,前5组频率之和为6+14+30+74+42200=0故第80百分位数位于[70,80).设第80百分位数为x,则x=70+10×0.8-则该市竞赛成绩的平均分约为67.3,第80百分位数约为78.6.(2)抽到60分及以上的学生的概率为74+42+23+11200由题意,X的可能取值为0,1,2,3,且服从X~B3,则P(X=0)=C3P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=C3所以X的分布列为X0123P192727所以E(X)=0×164+1×964+24.解(1)由题表可得厨余垃圾共有60+20+20=100吨,其中投入厨余垃圾桶的有60吨,所以可估计厨余垃圾投放正确的概率p=60(2)由题表可得这400吨垃圾有100吨厨余垃圾,300吨非厨余垃圾,则处理费用为5×100+8×300=2900(元).所以估计处理这400吨垃圾需要2900元.(3)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C3P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=C所以X的分布列为X0123P72171所以E(X)=0×724+1×2140+2×740+5.解(1)依题意,ξ=0,1,2,且P(ξ=0)=C20P(ξ=1)=C20P(ξ=2)=C20所以ξ的分布列为ξ012P268019故E(ξ)=0×2659+1×80(2)由题意,易知X服从二项分布X~B(1,45),D(X)=45×15=425,Y服从二项分布Y~B(1,2故D(X)<D(Y).6.解(1)“体育迷”对应的频率为(0.02+0.005)×10=0.25=1用频率估计概率,可知从该地区大量电视观众中,随机抽取1名观众,该观众是“体育迷”的概率为14则X所有可能的取值为0,1,2,3.∴P(X=0)=C3P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=C3∴X的分布列为X0123P272791则E(X)=