北京市大兴区2024届高三年级上册期末数学试题（含答案解析） (二)

北京市大兴区2024届高三上学期期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知全集。={%|1>1},集合A={%|XN2},则毛A=()

A.{x|l<x<2}B.{x|x<2}

C.{x|l<x<2}D.

2.若复数z满足i-(z+i)=l,则复数z的虚部是()

A.-2B.2C.-1D.0

3.二项式卜2_1：的展开式中的常数项是()

A.-15B.15C.20D.-20

4.设向量若忖=1/=(-3,4),石=4〃(％>0),则〃=(

4_3433_4

A.5，-5B.二'二C.5，-5

5.已知函数/（x）=2、-1,则不等式的解集为（)

A.(-co,2]B.[0,1]C.[l,+oo)D.口，2]

1T

6.在ABC中，"C=一”是“sidA+siEBH”的()

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知定点〃。,3）和抛物线C:x2=8y,F是抛物线C的焦点，N是抛物线C上的点,

则|NE|+|M0|的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

8.已知a>人>0且。6=10,则下列结论中不正确的是()

A.lga+lg6>0B.lga-lg&>0

C.Iga-lgZ?<—D.7^7->1

4Igb

9.木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形MCD是

边长为2的正方形，且「.AD&3b均为等边三角形，EF//CD,EF=4,则该木楔的

体积为（）

A.72B.2V2C.迪D.还

33

10.设无穷等差数列何｝的公差为d,集合T=*lf=sina“,"eN*｝M()

A.T不可能有无数个元素

B.当且仅当d=。时，T只有1个元素

C.当T只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为g

2元

D.当，左之2,%GN*时，T最多有左个元素，且这上个元素的和为0

k

二、填空题

11.设｛%｝是等比数列，%。=16,则%=.

2

12.若双曲线V一方=13>0)的一条浙近线方程为2x-y=O,贝2=.

13.能够说明“设”,瓦。是任意实数.若a>b>c,则油>02”是假命题的一组整数。，4c的

值依次为.

14.如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆。，外框是以为。中心，边长为

2的正六边形ABCDEF,则0到线段AC的距离为；若尸是圆。上的动点，则

ACAP的取值范围是.

15.设函数的定义域为R,且“X)满足如下性质：⑴若将八月的图象向左平移

2个单位，则所得的图象关于y轴对称，(ii)若将/(尤)图象上的所有点的纵坐标不变,

横坐标缩短为原来的再向左平移!■个单位，则所得的图象关于原点对称.给出下列

四个结论：

①〃1)=〃3)；

试卷第2页，共4页

②"0）=0；

③/（2）+/（4）=0；

11

@fI<0

其中所有正确结论的序号是

三、解答题

16.如图.在三棱柱A8C-A耳C1中，2瓦J■平面ABC,CA=CB=#),44]=AB=2,

D、E分别为AB、M的中点.

(1)求证：平面CDE_L平面；

(2)求直线CE与平面BCGA，所成角的正弦值.

17.在ABC中4=1力=2.

(1)若c=2后，求ABC的面积：

⑵在下列三个条件中选择一个作为已知，使二ABC存在，求-A.

JT

条件①：ZB=2ZA；条件②：ZB=-+ZA-条件③：ZC=2ZA.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分

别解答，按第一个解答计分.

18.为了解客户对A,B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某

地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A,B两家公司的调查问卷分别有120

份和80份，全部数据统计如下：

快递公司A快递公司B快递公司

项目

份数配送时效服务满意度配送时效服务满意度

评价

分数

85<x<9529241612

75<x<8547564048

65<x<7544402420

假设客户对A,B两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率.

(1)从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公可配送时

效的评价不低于75分的概率：

(2)分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份

问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望：

⑶记评价分数x285为“优秀”等级，75(尤<85为“良好”等级，65Wx<75为“一般”等级

、己知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A,B两家快递公司配送时效的样本

评价分数的等级情况，你认为小王选择A,B哪家快递公司合适？说明理由，

19.已知椭圆C的两个顶点分别为4(-2,0),8(2,0),焦点在x轴上，离心率为*.

⑴求椭圆C的方程；

⑵设。为原点，过点7(4,0)的直线/交椭圆C于点直线与直线x=l相交于

点P,直线AN与丫轴相交于点。.求证：-OA2与O7P的面积之比为定值.

20.已知函数"X)=ot+ln^―.

(1)若曲线>=/(x)在点(0,/(0))处的切线斜率为0,求。的值；

⑵当a=4时，求〃*)的零点个数；

(3)证明：0WaW2是/'(x)为单调函数的充分而不必要条件.

21.若各项为正的无穷数列｛%｝满足：对于VweN*,屋「寸="，其中d为非零常数，

则称数列｛4｝为。数列.记2=an+l-an.

⑴判断无穷数列为=册和4=2"是否是。数列，并说明理由；

(2)若｛。“｝是£(数列，证明：数列｛2｝中存在小于1的项；

(3)若｛4｝是O数列，证明：存在正整数“，使得£—>2024.

a

z=li

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】由补集的定义运算即可得.

【详解】由U={x|x>l},A={x|x>2},则ea={x[l<x<2}.

故选：C.

2.A

【分析】根据复数的除法运算及减法运算得z=-2i,再根据复数的概念即可得到答案.

【详解】由i-(z+i)=l,贝”」-i=-i-i=-2i,

1

所以复数z的虚部是-2.

故选：A.

3.B

【分析】根据二项展开通项公式求解.

/:123

【详解】展开式通项为：Tk+l=C：(^pf-1V=(-l)C^-\

令12—3&=0=%=4,常数项为(-1)气：=15.

故选：B

4.D

【分析】根据向量的数乘公式和模的公式代入即可求解.

【详解】因为。=而=(-3,4)(/1>0),所以a=

5.B

【分析】将不等式/(x)Vx转化为两个函数%，％，在同一坐标系下作出两个函数的图象,

由图像可得结果.

【详解】因为/(x)=2-l,所以/])«%,即2士+1,

令%=2*,%=%+1,且均为增函数，则不等式为％4%，

在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，

答案第1页，共15页

又当x=0时％=2°=1,%=0+1=1,

当x=1时，％=2,=2,%=1+1=2,

所以由图像可知：％<％的解集为：［。』，

故选：B.

【分析】根据充分条件与必要条件的定义，根据三角形内角的性质以及三角函数的诱导公式,

可得答案.

【详解】在ABC中，A+B+C=n,则3=兀一（？—A,

充分性：当C=］时，B=^-A,sinB=sin=cosA,

JT

sin2A+sin2B=sin2A+cos2A=1,所以"C=/"是"sinNA+sin*=1"的充分条件；

必要性：当sin2A+sin^j5=1时，取人=/，B==,

121222

此时满足sin2A+sin2B=sin2—+cos2—=1,但。=女£色，

121232

JT

所以“C=万”是“si/A+siYB=1"的不必要条件.

IT

综上所述，“C=5^sin2A+sin2B=1”的充分不必要条件.

故选：A.

7.C

【分析】根据抛物线定义，数形结合即可求出|NR|+|MVf|的最小值.

答案第2页，共15页

由题抛物线C:x2=8y,F是抛物线C的焦点,

则尸(0,2),准线方程为y=-2,

N是抛物线C上的点，过N作垂直准线于H,

过/作NH、垂直准线于区交抛物线于N、,

则由抛物线定义知|NH|=|N日，

由图像可知|而|+|乂^=|而|+|皿闫MVJ+IM司=|阿

即|即国丽/|的最小值的最小值为

由”(1,3),准线方程为尸-2,

所以|M|=5.

故选：C

8.D

【分析】对A：由对数性质运算即可得；对B：由对数性质运算即可得；对C：借助基本不

等式运算即可得；对D：找出反例即可得.

【详解】对A：lgfl+lgZ>=lgfl/?=l>0,故A正确；

对B：由a>A>0,贝ijlga>lg6,故lg”lgb>0,故B正确；

对C：由lga+lg6=lgab=l,故3.坨6<|3"；想［=；,

当且仅当a=b=&6时等号成立，由a>6>0,故等号不成立，

即Iga/gbv；,故C正确；

对D：当a=100、％=0.1时，符合题意，

答案第3页，共15页

但此时瑞=十一2<1,故D错误.

故选：D.

9.D

【分析】如图，分别过点A,B作石尸的垂线，垂足分别为G,H,连接。G,C”,取包的

中点。，连接GO,求出以3=5徵.=0，结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可.

【详解】如图，分别过点A,B作竹的垂线，垂足分别为G,H,连接DG,CH,

则由题意等腰梯形AB£F全等于等腰梯形CDEF,

贝ljEG=〃r=土2=l,AG=GO=BH=HC=V?f=G

2

取AD的中点。，连接GO,因为AG=GD,所以GOLAD,

贝IGO=4国一I2=72,

**,^AADG=S4BCH=]XX2=A/2.

因为AB〃跖，AG1EF,所以ABLAG,因为四边形ABCD为正方形，

所以钻_LM),又因为ADAG=A,AD,AGu平面AOG,所以ABI平面ADG,

所以EFI平面AG£>,同理可证EFI平面38,

+

多面体的体积V=L棱锥E-ACG+&棱锥F-BCH咚棱柱AGD-8EC=2嚷棱锥E-ADG+咚棱柱AG0-BHC

=—xyflxlx2+>/2x2=8夜,

33

10.D

【分析】对于A,B选项，可取特殊数列验证即可；对于C可假设成立，结合图象推出与已

知矛盾；对于D,结合正弦函数的周期，即可判断.

【详解】选项A,取。“=〃，则4=1,由1=国11%,因为｛%｝是无穷等差数列，正弦函数是

周期为2元的函数，所以r=sin."在每个周期上的值不相同，故A错误;

答案第4页，共15页

选项B,取a“=m,即d=?i,贝！Jr=sin。“=sin7m=0,只有一个元素，故B错误；

选项C,假设T只有2个元素1,明这2个元素的乘积为《，如图可知当r等于4或为时,

显然｛4｝不是等差数列，与已知矛盾，故C错误；

选项D,当1=,2兀时,

%=sin%,

r2=sin[q+F）,

?3=sinL1+2x^

L,

"~sin6Zj+（上―1）女

4+i=sin[q+左•

=sinq,L,所以T最多有七个元素,

又因为正弦函数的周期为27t,数列｛%｝的公差为d=W

K

所以4k22,左eN*）把周期2兀平均分成七份，所以上个元素的和为0,故D正确.

故选:D.

【点睛】方法点睛：本题考查等差数列与正弦函数性质相结合，采用特例法，数形结合的方

法判断.

11.16

【分析】结合等比数列通项公式计算即可得.

【详解】设/=4/1,贝！1=a；44=炉=16,故%=%q4=16.

故答案为：16.

12.2

【分析】根据双曲线渐近线方程即可求解.

2

【详解】双曲线--a=13＞。）的渐近线方程为吏士版，所以6=2

答案第5页，共15页

故答案为：2

13.2,-1,-2（答案不唯一）

【分析】利用列举法，写出满足题意的结果即可.

2

【详解】当。=2,6=-l,c=-2时，满足a>"c,但是ab=-2,<?=4,ab<c.

故答案为：2,-1,-2（答案不唯一）

14.

【分析】根据正六边形的性质即可求解空1,利用向量的坐标运算即可由三角函数的性质求

【详解】取AC中点为

由于正六边形ABCDEF的边长为2,所以NAOC=120,OA=OC=2,

因此0到线段AC的距离为OM=goA=l,

建立如图所示的直角坐标系，贝|A（-2,0）,C（l,-g）,P（cosasin0）,6eR,

AC=(3,-73),AP=(cos9+2,sin6>),

AC-AP=3cos。+6一退sin。=2A/3COS10+力+6,

由于0eR,cos7

,+0+6平一2班,6+2君］,

故AC-AP=2若cos

【分析】利用函数的对称性、奇偶性与周期性即可判断各结论是否正确.

【详解】由⑴可得/（X+2）=〃T+2）,即有/（x）关于x=2对称;

答案第6页，共15页

由(ii)可得/,即/（2x+l）=-/（-2%+1）,

用|■代替X,有小+1)=—〃T+1),即“X)关于(1,0)对称;

由"》)关于x=2对称，故/'(1)=*3),即①正确；

由尤=2关于(1,0)对称的直线为x=0,

故/(x)关于x=0对称，则/(。)不一定等于0,故②不正确；

对/(x+2)=/(-x+2),令x=2,则有〃4)=〃0),

对/(x+l)=—〃T+1),令％=1,则有/(2)=-/⑼，

故〃2)+〃4)=〃0)—/(0)=0,故③正确;

对」(x+2)=/(r+2),即有/(x)=〃r+4),

对f(x+l)=-/(-x+1),即有/(x)=—"T+2),

即f(x)=f(-x+4)=-f(-x+2),即/(x+4)=-/(x+2),

贝lJ/(x+2)=—/(x),即有〃x+4)=〃x),

故〃x)周期为4,则传］,

a

对/（尤+l）=_/（—尤+1）,令尤=_],则/5

5

<0,故④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】关键点睛：本题的关键是由题意去得到函数的对称性，并根据对称性去推导函数的

奇偶性与周期性，遇到此类问题一般采用赋值法对等式左右进行变形，从而得到函数的其它

性质.

16.(1)证明见解析

S、2屈

⑵-1T

【分析】(1)由题意先由线面垂直的性质得到线线垂直，再借助线线垂直得到线面垂直，即

答案第7页，共15页

可得到面面垂直；

(2)建立空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得.

【详解】(1)24,平面ABC,CDu平面ABC,二8与

又・CA^CB,且。为AB中点，.•.CD,AB,

又*BB］、ABu平面ABBiA，且84门45=8,

\CD人平面AB月A，又'CDu平面CDE,

平面CDE±平面ABB〕A；

(2)取A片中点E，以。为原点，建立如图所示空间直角坐标系,

则有。(0,0,0),由CD_LAB,CA=CB=下,A4)=AB=2,

则AD=：A3=1,CD=^(V5)2-I2=2,

即C(0,2,0)、矶1,0,1)、B(T0,0)、(-1,0,2),

则CE=(1,-2,1)、BC=(1,2,0)、BBt=(0,0,2),

令平面BCQBi的法向量为n=(x,y,z),

fx+2y=0/、

则有.=0,可取x=2,则〃=(2,T,0),

2底

贝ijcos(CE,n\=i2+2/——

'/71+4+1x74+115

故直线CE与平面BCGB一所成角的正弦值噜.

答案第8页，共15页

17.⑴正；

4

呜

【分析】(1)由余弦定理可得cosC=-：,进而可得sinC=手，再由SABc=；"sinC求解

即可；

(2)若选①，结合正弦定理可得cos4=1,不满足题意，故舍去；

若选②，结合正弦定理及三角恒等变换可得&sin(A-/)=0,求解即可；

若选③，由正弦定理可得c=2cosA,再由余弦定理求解即可.

【详解】(1)解：由题意可知。=1,8=2,C=20，

二匚i、i-b2+ci2—c23

所以cosC=---------------=——<0,

lab4

又因为。£(0,兀)，

TT

所以cW(万,兀)，

所以sinC=A/1-COS2C=-^―,

4

所以ZABC=gabsinC=¥；

(2)解：若选①，则有ZB=2ZA且a=L0=2,

ab日121

由=，口J==，

sinAsin5sinAsin2AsinAcosA

所以一^=1,即cosA=l,不满足题意；

cosA

jr

若选②，贝!J有=§+且Q=1力=2,

h1二2

由二=三，可得sinA一.4工八，

smAsinBsin(j+A)

所以2sinA=sin(—+A)=^-cosA+—sinA,

322

即—sinA-^-cosA=0,6sin(A-2)=0,

226

又因为Ae(O,兀)，解得A=£；

o

若选③，则有NC=2ZA且“=1,。=2,

答案第9页，共15页

由I--5--二---V-，可-----r得*zi—t---■!--=---L---=------V-----，

sinAsinCsinAsin2A2sinAcosA

所以c=2cosA,

r-r-I./+c2-〃23+4cos2A

所以rcosA=---------------=---------------,

2bc8cosA

3

所以cos2A=：,

4

因为。＜b,所以A不可能为钝角或直角，只能为锐角,

所以cosA=,

2

所以A=1

O

综上，选②或选③，A=y.

6

19

18.（1）—

30

⑵分布列见解析，E（X）=]17

(3)我认为小王应该选择B快递公司，因为B快递公司中“优秀”或"良好”等级占比比A公司

大.(言之有理即可)

【分析】(1)从表中读取数据后计算即可得;

(2)先得出两个公司分别不低于75分的概率，再由离散型随机变量性质计算即可得;

(3)得出各个公司等级情况后，言之有理即可.

【详解】(1)调查问卷中共有120份，其中不低于75分的份数为29+47=76,则尸=需=益，

故可估计该客户对A快递公可配送时效的评价不低于75分的概率为*；

(2)A快递公司的样本调查问卷中抽取的1份服务满意度评价不低于75分的概率为：

24+562

11203

B快递公司的样本调查问卷中抽取的1份服务满意度评价不低于75分的概率为：

12+483

6=------二—.

X的可能取值为0,1,2,

?(x.「|2L3，

34

P（X=1）="x*x135

43112,

答案第10页，共15页

故其分布列为:

(3)A快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为云，

4744

“良好”等级占比为^“一般”等级占比为痂；

B快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为方=：,

805

“良好”等级占比为?40=j1“一般”等级占比为2N432;

o(J2o(J10

其中A快递公司的样本调查问卷中“优秀”或"良好''等级占比为需=H，

B快递公司的样本调查问卷中“优秀”或“良好”等级占比为M=1；>号

801030

我认为小王应该选择B快递公司，因为B快递公司中“优秀”或“良好”等级占比比A公司大.

19.⑴、*+9=1

(2)证明见解析

【分析】(1)根据顶点得到。，根据离心率得到。，则得到椭圆方程；

(2)设直线/的方程为尤-4=妆，联立椭圆方程得到韦达定理式，求出两直线方程，得到

面积表达式，化积为和，代入化简即可.

【详解】(1)由题意得a=2,£=g，贝卜=班，则人把一⑹=1,

丫2

则椭圆C的方程为二+y2=l.

4'

(2)显然当直线/的斜率为0和不存在时，不合题意，

则可设直线/的方程为=N(N，%)，

2%—4=my

则联立椭圆方程工+丁=1有二+2_],化简得(>+4)^+8冲+12=。，

IT+-V-

答案第11页，共15页

贝U△=64加2—48（加+4）>。，解得相>2石或加<—2石，

mi8根12AA3/x

贝1乂+%=——^~7，%%=2/，%=加%+4,x=my+4,%%=一『（%+%），

m+4m+4222m

则怎贝lj直线8M的方程为>=』7（X-2）,令》=1,则％=9—,

%3=三，则直线AN的方程为y=3（尤+2），令尤=0,则^=4，

•X,I乙X"]I乙I乙

贝|5"2=<><2b0|=%，S0„=-x4\yP\=^,因为％%=4^>0,则同号,

11

■2X2+222-xtm+4

2

SOAQ_|y|2-X1y2-尤|必-my-2%〃有+2

则----=----2---;—「=--2-----------------x---=-----------

SOTPx2+22M%x2+2yxmy2+6yxmy2+6

=股>2+2%=fW（X+%）+2%==1

⑵3个

（3）证明见解析

【分析】（1）结合导数的几何意义计算即可得；

（2）结合函数的单调性与零点的存在性定理去研究函数零点个数问题即可得；

（3）当时去推导/'（x）为单调函数可证明充分性，找出不在该范围内的。亦能使

/（无）为单调函数即可证明不必要条件.

j.,,、1+尤-（1+尤）-（1-尤）2

【详解】⑴r（x）=fl+--X->~Z=a+,

1一%（1+无）

2

则-（0）=a+—=0,即a=2；

答案第12页，共15页

(2)当〃=4时，/(x)=4x+ln——-,则——->0,即一Ivxvl,

1+x1+x

故/(可为奇函数，

2

/(%)=4+^—->-1<X<1,

X—1

令r(x)>0,即4+岛>0,解得一曰<x<1，

令/'(x)<0,即一1〈尤〈一日或曰<X<1,

故/⑺在11,-1］上单调递减，在卜孝，亨］上单调递增,

在』上单调递减,

由〃0)=0+lnl=0,则>0,X/(0.99)=3.96-In199<0,

故“X)在」上必有一零点,

由/(x)为奇函数,则/(%)在-1,-上亦有一零点,

2)

故当，=4时，””的零点个数为3个;

2一。+2

(3)小)=。+「=—1V%V1,

x2-l

由一Ivxvl,故一kJ—1<。，

ux^-a+2=a(%?-1)+2,即-a+2<々(炉—1)+2Va+2

当0WaW2时，一a+2Z0,即办2一〃+2之0,

故广⑺W0,即此时/(%)在(-1,1)上单调递减,

故是/(可为单调函数的充分条件；

当一2Ka«0时，a+2<0,BPax2-^z+2<0,

故/(力之