四川省巴中市2023-2024学年高三年级上册“零诊”考试数学试题(文科)

巴中市普通高中2021级“零诊”考试

数学(文科)

(满分150分120分钟完卷)

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置.

2.答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题

答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规

定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效.

3.考试结束后，考生将答题卡交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选

项中只有一项是符合题目要求的.

1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(—1,1),则d+z=()

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

2,已知集合A='L|x+22o},5=(卜2<J则Ag=()

A.{x|0<x<3)B,{^|0<x<3}c.{v|-2<x<3)D.{v|-2<x<3}

3.已知等差数列L}的前〃项和为S—%=2,则数列{〃}的公差为()

nn5Zn

A.1B.2C.3D.4

4,已知向量a==(x,—1),则“x=T"是"Q+b)_Lb”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件

5.双曲线二一山=1的两条渐近线与直线尤=2围成一个三角形区域，表示该区域的不等

4

式组是（）

x-2y>0x-2y>Q'2x-y>Q'2x-y<0

A.，x+2y<0B.<x+2y>Qc.<2x+y>0D.<2x+y>0

0<x<20<x<20<x<20<x<2

6.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（）

7.第31届世界大学生夏季运动会以“绿色、智慧、活力、共享”为理念，向全世界送出来

自中国的美好祝愿.某高校田径组拟从甲，乙两名女同学中选一人参加本届大运会，已知甲、

乙两名同学近五次800米训练成绩（单位：秒）如下面的茎叶图所示.根据两人训练成绩的

平均值及方差，现有下列4种推荐意见.

甲乙

8II9.

4712565

10130*

①甲成绩的平均值低于乙成绩的平均值，推荐甲参加大运会.

②甲成绩的平均值高于乙成绩的平均值，推荐乙参加大运会.

③甲成绩的方差大于乙成绩的方差，推荐乙参加大运会.

④甲成绩的方差小于乙成绩的方差，推荐甲参加大运会.

其中合理推荐意见的编号是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

已知函数/G）=2sin（3x+（p）［①〉。刖丹5兀

8.的部分图象如图所示，则/

12

)

A.邪B.一串C.1D.-1

9.已知双曲线°Y2次-v2》=1（.〉°力〉。）的左、右焦点分别为勺,勺过勺斜率为34的

直线与c的右支交于点P,若线段P尸恰被y轴平分，则C的离心率为（）

1

A.；B.$C.2D,3

23

x,12

10.已知正数羽y满足7+丁=1,则一+一的最小值为（）

2xy

97

A.5B.—C.4E).—

22

11.已知正数Q1满足久+4=8+1出?=2（e为自然对数的底数），则下列关系式中不正

确的是（）

A.beb-e2B.a+b=2c."+1口。=2D.eo+lnb=2

12.已知/（x）=e%+e2f,则不等式，（2x+l）＞/（x）的解集为（）

A.gl[B,C.D.（t,-Dug”）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知/（x）=ln（x—l）,则曲线y=/（x）在点（2"（2））处的切线方程是.

14.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称

轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线

W=4x的焦点为尸，一条平行于x轴的光线从点4（5,4）射出，经过抛物线上的点8反射

后，再经抛物线上的另一点0射出，则产q=.

15.已知正项等比数列｛a｝的前"项和为S，若a=2,且S=2a-1,则S=________,

nn233n

16.在三棱锥P—ABC中，AB=PC=2y[3,BC=PA=2,AP，PC,AB±BC,E,F,G,

H,M,N分别为棱A仇尸C,AC,尸B,BC,P4的中点.现有以下3个结论：①三棱锥

P—ABC的外接球表面积为16兀；②EF工MN；③GH工平面EMFN,则其中正确结

论的序号为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21

题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作

答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）

中央电视台“国家品牌计划”栏目组为了做好新能源汽车的品牌推介，利用网络平台对年龄

（单位：岁）在［20,60内的人群进行了调查，并从参与调查者中随机选出600人，把这600

人分为对新能源汽车比较关注和不太关注两类，制成如下表格:

120,30)130,40)140,50)[50,60]

年龄

人数4012016080

男性

比较关注人数87211248

人数107010020

女性

比较关注人数5498016

（1）完成下面的列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为

性别与对新能源汽车的关注有关;

比较关注不太关注总计

男性

女性

总计

（2）为了进一步了解年龄在bo,30）内不同性别的消费者对新能源汽车的关注情况，采用

分层抽样的方法选出5人进行访谈，最后从这5人中随机选出2人参与电视直播节目，求其

中恰有一位男性参与电视直播节目的概率.

n(ad-bc)2

,其中n=a+b+c+d.

附:(〃+b)G+d)Q+c)G+d)

P\K2>k)

0.100.050.0100.005

0

k2.7063.8416.6357.879

0

18.(12分)

在△ABC中，角A,3,C的对边分别为a,4c,已知4a=3"3=2A.

(1)求8S8；

(2)若a=9,求△ABC的面积.

19.(12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1底面ABCD,AD//BC

AB±AD,PA=AD=4,AB=BC=2,E,F分别为CD,24的中点.

p

(1)证明：跖〃平面P6C；

(2)求三棱锥P—CDF的体积.

20.(12分)

已知/(J=x—一。+a)lnQ+1).

x+1

(1)当。=2时，求函数/Q)的单调区间；

(2)设gQ)=/Q)+」L+l,若函数gQ)有两个零点，求a的取值范围.

x+1

21.(12分)

已知椭圆0:心+[=l(a〉b〉0)的左、右顶点分别为4,4，点在椭圆C上,

a2b2i212J

__________3

且AM-MA=--

i24

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆0的右焦点为尸，过点尸斜率不为o的直线/交椭圆c于P,Q两点，记直线

与直线的斜率分别为上水，当k+k=0时，求：

1212

①直线/的方程；②的面积.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

题计分.

22.【选修44：坐标系与参数方程】（10分）

在直角坐标系X0V中，圆C的圆心为点（2,2）,且半径长为2,直线/的参数方程为

Y—/posCt

<'■为参数，0<a<7t）,以坐标原点0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立

y=^sinoc

极坐标系.

（1）求圆c的极坐标方程;

（2）已知直线/与圆C相交于M,N两点，且|OMF+pN|2=16,求a.

23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）

已知/（x）=2|x+2|-|ax|.

（1）当a=2时，求不等式/（x）〉2的解集;

（2）若对任意尤6（—1,1）,不等式y（x）>x+l恒成立，求a的取值范围.

巴中市普通高中2021级“零诊”考试

数学（文科）参考答案

一、选择题（每题5分，共60分）

题号123456789101112

答案ACDABACBCBCD

二、填空题（每题5分，共20分）

25

13.x-y-2=014,—15.2，，一116.①③.

三、解答题（17-21每题12分，22-23题10分）

17.（12分）

解：（1）列联如下表：

比较关注不太关注总计

男性240160400

女性15050200

总计390210600

,600（240x50-160x150）21200入”

则nilk=——---------------------=------->10>6.635

390x210x400x20091

所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车的关注有关.

（2）由题意知，年龄在Lo,30）内的50人中男性与女性的比为4:1

41

所抽男性人数为5x§=4人，所抽女性人数为5x^=1人

记“选出的5人中恰有一位男性”为事件A

设4位男性分别为8,8,8,3,一位女性为。

1234

则所有结果为：BB,BB,BB,BB,BB,BB,BD,BD,BD,BD,共10种.

1213142324341234

事件A包含的基本事件为3。,888。，共4种

1234

由古典概型的概率公式得：P（A）=3=3

105,

18.（12分）

解：（1）由4。=3。及正弦定理得：4sinA=3sinB

由5=2A得：sinB=sin2A=2sinAcosA

4sinA=6sinAcosA

由0<A<兀知sinA>0

,2

cosA=—

3

cosB=cos2A=2cos2A-1=

9,

（2）方法一

当〃=9时，代入4a=3b得：b=12

由余弦定理/?2=。2+。2-2QCCOS5得：144=81+C2+2C

整理得：c2+2c—63=0,解得：c=7

:.S=LbcsinA=J.X7X12X^2=14J5.

△ABC223

方法二

当a=9时，代入4。=3。得：b=12

由（1）得：sinA=Jl-cos2A=Jl-f=2/E

sinS=sin2A-2x—x—=_

339

由4+5+。=兀得。=兀一（A+5）

sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

:.S=1absinC=1x9xl2x=1475.

△ABC2227

方法三

当〃=9时，代入4〃=3b得：b=12

由（1）得：sinA=，l-cos2A=

由余弦定理〃2二枕+。2—2bccosA得：81=144+。一16c

整理得：c2—16c+63=0,解得：。=9或。=7

若c=9,则△ABC为等腰三角形，此时A=C

兀2

由5=2A及内角和定理得：A=_,与cosA=w矛盾，不合题意

.c=7

S--bcsir\A=1x7x12x走=1475.

△ABC223

19.（12分）

解：（1）证明:

方法一：综合法一一平行平面的性质

取A5的中点W,连结（如图）

p,

由E,F分别为CD,P4的中点及中位线定理得ME//BC,MF//PB

BC,PBu平面PBC,FM,EMu平面PBC

.•.Affi1〃平面P3C,“p〃平面PBC.

又ME°MF=M,ME,MFu平面EFM

平面EF似〃平面PBC.

•/EFu平面EFM

.•.EF〃平面PBC.

方法二：综合法一一平行平面的性质

取的中点。，连结QE,。尸（如图）

由E,厂分别为CD,R4的中点及中位线定理得

QF//AD,QE//PC

PCu平面PBC,QE<Z平面PBC

•・QE〃平面PBC.

AD//BC,QF//AD

：.QF//BC

BCu平面PBC,。尸《平面PBC

尸〃平面PBC.

又QEn=Q,QE,QFu平面EFQ

，平面EF。〃平面PBC.

EFu平面EFQ

...EF〃平面PBC

方法三：综合法一一直线与平面平行的判定

连结AE延长交的延长线于N,连结PN

■■AD//BC,CE=ED

：.AE=EN

又AF二FP

:.EF//PN

­.•PNu平面PBC,EF平面PBC

:.EF〃平面PBC

(2)方法一

•.•BA，底面ABC。

:.PA1AD,PA1AB

又AB，「AD=A,P4,ADu平面PAD

AB_L平面PAD

点B到平面PAD的距离为AB=2

AD//BC,ADu平面PAD

BC〃平面PA。

到平面PA。等距，故三棱锥C—PDF的高为2

又S=LXPFXAD=4

△PDF2

1Q

/.V=V=-xSx2=-

P-CDFC-PDF3^PDF3

方法二

由尸为K4的中点及体积的性质知：V=V=£v

P-CDFC-DFP2P-ACD

由R4，底面ABCD及AD//BC,AB，AD,PA=AD=4,AB=BC=2知:

V=Ixlx(AD+JBC)xAfixPA=lx6x2x4=8

P-ABCD326

111Q

V=-x_xBCxABxPA=_x2x2x4=_

p-^c3263

=v-vJ，

P-ACDP-ABCDP-ABC3

.-.v=lv8

P-CDF2PACD3

方法三

连结AC,由得：ABIBC

AC=4AB2+BC2=2vxZCAB=CAD=45°

在△ACO中，AO=4,由余弦定理得：CD=4AC?+AZh-2AD义ACxcos45°=2"

:.AC±CD

•/,底面ABC。,PAu平面PAC

平面PAC±平面ABCD,PA±AC

...平面PAC门平面ABCD=AC,CDu平面ABCD

.,.CD_L平面？AC

111Q

.-.v=V=-xS%CD=-xPFxACxCD=-x2x2J2x2J2=-.

P-CDFD-CFP3ACFP663

方法四

取A5的中点G,连结CG

p.

由AD〃BC,AD=4,3C=2知：AG//BC,AG=BC

又AD,AB,AB=2

四边形ABCG为正方形

:.CG1AD,CG=2

24，底面ABC。,AD,CGu平面上4。

:.PA1CG,PA1AD

.,.CGJ_平面上4。

二三棱锥C—的高为CG=2

111Q

/.V=V=-xSxCG=-xADxFPxCG=-x2x4x2=-

P-CDFC-FDP3ADFP663

20.（12>：）

加一、「，（）i23x（x-l）z八

解：⑴f-=（x>-1）

（X+1）2X+l（X+1）2

令/'（x）〉。得一l<x<0或x>l,令/'（%）<0得0<x<l

/（x）的增区间为（一1,0）,（1,yo）,减区间为（0,1）

（2）方法一

由已知得g（x）=x+l-G+a）lnQ+l）,故gQ=]_"5=x-%>_1）

x+1x+l

①当aW—1时，g'(x)>O,g(x)在(―l,+oo)上单调递增，不存在两个零点.

②当。>一1时，令g'(x)〉。得尤>4,令g'(x)<0得一1<x<a

故g(x)在(T,a)上为减函数，在(。,内)上为增函数

g(x)=g(a)=a+l-(l+a)ln(a+l)

min

由g(%)有两个零点得：即Q+1—(l+4)ln(4+l)<0

又。>一1,故ln(〃+l)>l,解得。>e-l

又g(o)=l〉O,且当Xf+8时，g(x)—+oo

，当。>6—1时，函数gG)有两个零点

综上可知：a的取值范围为(e—1,+8)

方法二

g(x)=%+1-(1+4)111(1+1)有两个零点等价于：

关于%的方程1+1-(1+。)1口。+1)=0(%>—1)有两个实根

即x+1=(l+〃)ln(x+l)(x〉一1)(*)有两个实根.

由(1)知aw—1,由方程(*)得「_=lnQ+l)(x〉_1)有两个实根.

〃+1X+1

令，x)Jn(x+D则〃Q)JTn(x+l)…)

X+l(X+1)2

由/z'(x)〉O得ln(x+l)<1,解得一

由//(1)<0得1口(1+1)<1解得%>6—1

。(x)在(―1,e—1)上为增函数，在(e—1,+8)上为减函数.

:.h(x)=hG-i)=l

max。

又当一1<%<0时，/z(x)<0

当x>0时/z(x)>0且当xf+00时，/z(x)f0(如图)

当0<__<1,即。>e—1时，g(x)有两个零点

a+1e

/.a的取值范围为(e—L+8).

21.（12分）

则

由”［，橙］在椭圆c上及。=2得；+言=1,解得。2=3

•二椭圆。的方程为—+——1

(2)由(1)知，右焦点为尸(1,0)

据题意设直线I的方程为10),P(H。+Ly+Ly)

33

则仁二！二生二％二”二至白

1my2my2my2my

1122

于是由左+左=0得这二^+三二2=0,化简得4yy=3（y+y）

122my2my1212

x=my+1,

①由v消去x整理得、3帆2+4,y2+6my-9=0

3%2+4尸-12=0

A=（6m）2+36Cm2+4）=144（m2+1）>0

由根与系数的关系得：y+y=-―义—,yy=-——-——

123n12+4123ni2+4

代入（*）式得：—一1即"=—36,解得加=2

3m2+43nI2+4

二直线/的方程为x_2y_l=0

②方法一

（）39

由①可知：A=144v22+F=720,y+y=--,yy=--

'i241216

由求根公式与弦长公式得：|PQ|=|y-yj=下胃=?.

3

设点"到直线/的距离为d,贝1d=

1x15x3G_9/

.♦.s=k\PQ\d=

△MPQ2458

方法二

由题意可知S=5+S=1|MF||+k\=-]x|+k

△MPQAMPFAMQF211Q'4P1Q

由①知，直线/的方程为1—2丁一1二°

代入3%2+4>2-12=0消去y得4x2+2%-11=0

/.A=22-4x4x^-11^=180>0,x+x=~-,xx=--<0

PQ2PQ4

：,s=3Gl+kJ)=3…|=3严=96

11

/\MPQ4p4i2448

22.（10分）

解：（1）方法一

由已知，圆C的标准方程为：（x—2）2+（y—2）2=4

化为一般式得：X2+y2-4x-4y+4=0

将,X—pcos,代入圆的一般方程得：

y=psin0

圆C的极坐标方程为p2-4pcos6-4psin0+4=0

方法二

点C的极坐标为任"

在圆。上任取点P的极坐标为（P，o）,当C,0,P不共线时，由余弦定理得：

p2+（2-^2^）2—2x2-^/^pcos―0j—22

化简得：p2一4"pcos［。-；］+4=0

当C,。,尸共线时，点P（2JZ±2,2］的坐标也适合上面的方程.

即圆C的极坐标方程为p2—4j7pcos［0—；1+4=0

(2)方法一

由已知，直线/的极坐标方程为°=a(pCR),则：

0=a,品-

《整理得p2—4pcosa-4psina+4=0

p2-4pcos0-4psin0+4=0.

由A>0得。<a<_

2

设M(P,a),N(p,a),则p+p=4sina+4cosa,pp=4

121212

=(p+p%-2Pp=16

则pM|2+|0N|2=p2+P2