2024年新高考数学一轮复习-函数模型及其应用（学生版）

专题14函数模型及其应用

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增

长”“直线上升”等术语的含义.

2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问

题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.

【考点预测】

1.指数、对数、累函数模型性质比较

函数y=ay=logaXy=x

性Q〉l）（M）（n〉0）

在(0,+°°)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随〃值

图象随X的增大逐渐表现随X的增大逐渐表现

变化而

的变化为与y轴平行为与X轴平行

各有不同

值的比较存在一个苞，当x>xo时，有\ogax<x<a

2.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型f{x}=ax+b{a,6为常数，石70）

二次函数模型f{x}=ax+bx+c（a,b,c为常数，EWO）

与指数函数相关的模型f{x}=ba+c（a,b,c为常数,a>0且aWL6r0）

与对数函数相关的模型f（x）=Z?logax+c（5,b,c为常数,a>0且aWl,6W0）

与募函数相关的模型f（x）=ax+b（a,b,刀为常数，aWO）

【常用结论】

1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增

加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.

2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.

3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实

际问题的合理性.

【方法技巧】

1.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.

(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻

合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.

2.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

3.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

4.在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：

①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.

②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相

应的函数模型.

③解模：求解函数模型，得出数学结论.

④还原：将数学结论还原为实际意义的问题.

5.通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解

决问题，提升数学建模核心素养.

二、【题型归类】

【题型一】用函数图象刻画变化过程

【典例1］如图，一高为〃且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔

中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为人时，水流出所用时间为t,则函数h=以。

的图象大致是()

【典例2】中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种

绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡

制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据

做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温

度y随时间x变化的规律()

y(t)

90

A.mx+n（山〉0）

B.尸ma'+n（ni>0,0<a<l）

C.尸mf+n（ni>Q,a>l）

D.尸血ogax+〃E>0,a>0,aWl）

【典例3］已知正方形40的边长为4,动点户从6点开始沿折线式物向力点运动.设点

户运动的路程为x,△胶的面积为S,则函数S=f（x）的图象是（）

【题型二】幕型函数模型

【典例1］为迎接2016年“双十一网购狂欢节”，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所

售某产品进行促销.经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x

2

万元满足：尸3一工（其中OWxWa,a为正常数）.已知生产该产品还需投入成本（10+2。）

XI1

万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+与1元/件，假定厂家的生产能力完全能满足

市场的销售需求.

（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

【典例2】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价

格x（单位：元/千克）满足关系式尸六+105—6广其中3〈x〈6,a为常数.已知销售价

格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.

⑴求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的

利润最大.

【题型三】指数型函数模型

【典例1】有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为Km3,每天流出湖泊的水量等于流入湖

泊的水量，都为rm3.现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合.用式力)

表示经过时间乂天)后每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为经过时间乂天)后的湖

水污染质量分数.已知目前污染源以每天。克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系

式鼠。=/+g(o)(pzo),其中g(0)是湖水污染的初始质量分数.

(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数;

(2)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的

污染水平下降到开始时污染水平的5%?

[典例2]某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米，栽种n年后的高度记为f{n).经研究发

QA

现，/1(〃)近似地满足/1(〃)=//,其中t=2~la,6为常数，〃GN,f(0)=4已知栽种

3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍.问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度

的8倍.

【题型四】对数型函数模型

【典例1]某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；

②年销售额x(万元)，xe[8,64]时，奖金为y万元，且y=logaX,ye[3,6],且年销售

额越大，奖金越多；③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金.

(1)求奖金y关于x的函数解析式；

(2)某营销人员争取年奖金ye[4,10](万元)，年销售额x(万元)在什么范围内.

【典例2】某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是［10,

100］（单位：万元）.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资

收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过5万元，同时奖金不超过投资收益的20%.

（1）若建立函数模型y=f（x）制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条

件；

（2）现有两个奖励函数模型：（I）y=5x+1；（II）尸logzx—2.试分析这两个函数模型是否

符合公司要求.

【题型五】分段函数模型

【典例1】为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净

化剂，空气中释放的净化剂浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关

系式近似为尸j1

5—~x,4<xW10.

若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次喷洒的净化剂在相应时刻所释放的浓度

之和.由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气

的作用.

（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？

（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（lWaW4）个单位的净化剂，要使接下

来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值（精确到0.1,参考数据：/取1.4）.

【典例2】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，

新上了一种把二氧化碳处理转化为可利用化工产品的项目.经测算，该项目月处理成本y(元)

与月处理量x(t)之间的函数关系可近似地表示为y=

fl

-/-80/+5040x,xe[120,144),

<且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品

9V—200x+80000,xe[144,500),

价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿.

⑴当[200,300]时，判断该项目能否获利.如果获利，求出最大利润；如果不获利，

则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

【题型六】尸x+；（a>0）型函数模型

【典例1】某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的

总利润了（万元）与营运年数x的关系如图所示（抛物线的一段），则为使其营运年平均利润最

大，每辆客车营运年数为.

【典例2】某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°（如图），

考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为4平方米，且高度不低

于十米.记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长（梯形的上底线段6,与两腰长的和）为y

米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即横断面的外周长最小），则防洪堤的腰长

X—米.

AD

【题型七］已知函数模型的实际问题

【典例1】随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程

加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了

进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300

万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本G（x）万元，且G（x）=

'2£+80X,0<xW40,

,3600一由市场调研知，该产品每台的售价为200万元,

2Qlx+------2100,40<xW100,

x

且全年内生产的该产品当年能全部销售完.

(1)写出年利润/(X)万元关于年产量x台的函数解析式(利润=销售收入一成本)；

(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？

【典例2】“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间

内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取

得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大.现有

某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一

个经过时间t(30WtW100)(单位：天)，增加总分数(单位：分)的函数模型：f(t)=

kP1

，A为增分转化系数，户为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且A60)

…1+lg…(t+1、)6

现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分,依据此模型估计此学生在高考中

可能取得的总分约为(1g61^1.79)()

A.440分B.460分

C.480分D.500分

三、【培优训练】

【训练一】(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程

£(x)(/=1,2,3,4)关于时间x(x20)的函数关系式分别为f(x)=2，—1,f(x)=f,6(x)

X,%（x）=log2（x+l）,则下列结论正确的是（）

A.当x>l时，甲走在最前面

B.当x>l时，乙走在最前面

C.当0<x〈l时，丁走在最前面，当入>1时，丁走在最后面

D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲

【训练二】某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y（单位：万元）随

投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的

20%,即假定奖励方案模拟函数为尸厂（x）时，该公司对函数模型的基本要求是：当x£[25,l

V

600]时，①Hx）是增函数；②F（x）W90恒成立；③恒成立.

5

⑴现有两个奖励函数模型：⑴F（X）=B+1°；（11）广（王）=25一6.试分析这两个函数模

型是否符合公司要求？

（2）已知函数f（x）=3-10（a22）符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围.

【训练三】如图，建立平面直角坐标系x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长

度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程白（1+蔺/（"〉0）

表示的曲线上，其中人与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

y（千米）

（千米）

（1）求炮的最大射程;

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不

超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.

【训练四】物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是小

经过一定时间大（单位：min）后的温度是7,则7—0=（乙一北）（3：其中北称为环境温度,

人称为半衰期.现有一杯用85°C热水冲的速溶咖啡，放在21°。的房间中，如果咖啡降到

37℃需要16min,那么这杯咖啡要从37℃降到29℃,还需要min.

【训练五】某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y（微克）与时间乂小时）

之间近似满足如图所示的曲线.

（1）写出服用毒品后了与力之间的函数关系式；

（2）据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动状态，求服用毒品

后重度躁动状态的持续时间.

【训练六】近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单

车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元,

由前期市场调研可知：甲城市收益户与投入a（单位：万元）满足片4叵一6,乙城市收益0

ya+2,80WaW120,

与投入a（单位：万元）满足0=俨设甲城市的投入为x（单位：万元），

.32,120〈aW160,

两个城市的总收益为F（x）（单位：万元）.

⑴当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；

（2）试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？

四、【强化测试】

【单选题】

1.有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆

水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用

的时间为x（小时），货船距石塘的距离为y（千米），则下列各图中，能反映y与x之间函数

关系的大致图象是（）

2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数

中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）

X1.992345.156.126

y1.5174.04187.51218.01

A.y—2x~2B.（y-1）

y=logix

C.尸logzxD.

3.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了〃次涨停（每次

上涨10%）,又经历了〃次跌停（每次下跌10%）,则该股民这支股票的盈亏情况（不考虑其他

费用）为（）

A.略有盈利B.略有亏损

C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况

4.长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月24日，它成功将

嫦娥五号探测器送入预定轨道，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度■（单位:km/s）

和燃料的质量〃（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量〃（单位：kg）的函数关系是厂

=20001{1+詈.若火箭的最大速度为11.2km/s,则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比

值约为（参考数据：/颂6^1.oo56）（）

A.1.0056B.0.5028C.0.0056D.0.0028

5.成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北

三环外重新租地建设.已知仓库每月占用费为与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货

物的运费乃与仓库到车站的距离成正比.据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两

项费用K，乃分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站

（）

A.5千米处B.4千米处

C.3千米处D.2千米处

6.某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经

费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的

科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：1g1.12心0.05,1g1.3^0.11,1g2

^0.30）（）

A.2020年B.2021年

C.2022年D.2023年

7.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400

台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间

关系的是（）

A.y=100xB.y=50_/—50x+100

C.尸50X2'D.尸1001og2x+100

8.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足血一

以=51gi，其中星等为◎的星的亮度为瓦（4=1，2）.已知太阳的星等是一26.7,天狼星的

星等是一1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为（）

A.IO101B.10.1

C.1g10.1D.1O-10-1

【多选题】

9.某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量

为2%,现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少;，则使产品达到市场要求的过滤次数可

以为(参考数据：1g2-0.301,1g3-0.477)()

A.6B.9C.8D.7

10.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记

录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量/与时间x（天）之间的函数关

［记忆保持量

（一9+1,0<*£1ask

系%+»,l<x<30ol24681012—则下列说法正确的是（）

A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低

B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多

C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%

D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%

11.在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种

产品的总产量y（单位：kg）与时间x（单位：h）的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正

确判断是（）

A.在前三小时内，每小时的产量逐步增加

B.在前三小时内，每小时的产量逐步减少

C.最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同

D.最后两小时内，该车间没有生产该产品

12.小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点/出发，沿箭头方向经过点6跑到点G

共用时30s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为

t（s）,他与教练间的距离为y（m）,表示y与力的函数关系的图象大致如图2所示，则这个

固定位置不可能是图1中的（）

NM/\

OJ-o\30t/a

图1图2

A.点〃B.点”

C.点PD.点0

【填空题】

13.某购物网站在11月份开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每

张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）

的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为.

14.某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以/km/h的速度直达灾区，已知某

市到灾区公路线长400km,为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于囿2km,那么这批

物资全部到达灾区的最少时间是h_（车身长度不计）

15.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放

r1

kt,0<t<-,

量yGng/n?）与时间Mh）的函数关系为］（如图所示）实验表明，当药物释放

量j<0.75（mg/m3）时对人体无害.

（1）A=；

（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过

分钟人方可进入房间.

y（mg/m3）

2

16.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.。为圆孔及轮廓圆弧

所在圆的圆心是圆弧46与直线AG的切点,人是圆弧46与直线正的切点，四边形DEFG

3

为矩形，BCLDG,垂足为C,tanNODC=F，BH//DG,EF=\2cm,DE=2cm,A到直线DE

5

和环的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为cm2.

【解答题】

17.某企业自主开发出一款新产品4计划在2022年正式投入生产，已知/产品的前期研

发总花费为50000元，该企业每年最多可生产4万件/产品.通过市场分析知，在2022

年该企业每生产x（千件）/产品，需另投入生产成本以x）（千元），

ri,

-x+60x,0〈xW10,

J!L7?(x)=《

1800

70x+-------230,10<^40.

Ix

（1）求该企业生产一件/产品的平均成本0（元）关于X的函数关系式，并求平均成本p的最

小值（总成本=研发成本+生产成本）；

（2）该企业欲使生产一件A产品的平均成