用向量方法研究立体几何中的位置关系教师版

第三章第4节向量在立体几何中的应用【学习主题】新授课【设计者】【课时安排】1个课时【学习目标】基础性目标拓展性目标3.我能挑战性目标5.我会求【学习重难点】重点：1．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行、垂直关系．(重点)2．能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理．(重点)难点：能用向量方法解决立体几何中的平行、垂直问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，并培养学生的运算能力．(难点)【学法建议】【学习过程】（一）要求：（1）逐字逐句阅读教材第121126页，完成课本例题和练习后，思考并回答下列问题（写出答案）在课本上圈出并记录预习发现的问题。问题1：问题2：问题3：（二）预习自测1.设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2.(1)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0.(2)线面垂直：l⊥π1⇔a∥n1⇔a＝kn1(k∈R)．(3)面面垂直：π1⊥π2⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.2.设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2.(1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝λb(λ∈R)．(2)线面平行：l∥π1⇔a⊥n1⇔a·n1＝0.(lπ1)．(3)面面平行：π1∥π2⇔n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)．1.已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．【解析】∵u1·u2＝1×0＋0×2＋1×0＝0，∴u1⊥u2，∴α⊥β.【答案】α⊥β2.若a＝(1,2,3)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是()A．(0,1,2) B．(3,6,9)C．(－1，－2,3) D．(3,6,8)【解析】∵(3,6,9)＝3(1,2,3)＝3a，a⊥α，∴(3,6,9)可作平面的一个法向量．【答案】B3.若直线l的方向向量是u＝(1,3,0)，平面α的法向量是v＝(－3,1,5)，则直线l与平面α的位置关系为________．【解析】∵u·v＝1×(－3)＋3×1＋0×5＝0，∴u⊥v，∴lα或l∥α.【答案】lα或l∥α【学习任务1】题型一用向量讨论垂直问题如图2­4­1，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．求证：平面C1E1F⊥平面CEF.【精彩点拨】要证明两个平面垂直，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面法向量m，n，证明m·n＝0.【自主解答】以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设BC＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2)).设平面EFC的法向量为m＝(a，b，c)，由eq\o(EF,\s\up12(→))＝(0,1,0)，eq\o(FC,\s\up12(→))＝(－1,0，－1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(EF,\s\up12(→))＝0，,m·\o(FC,\s\up12(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝0，,－a－c＝0.))取m＝(－1,0,1)．同理平面C1E1F的法向量n＝(1,2,1)，因为m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0，所以平面C1E1F⊥平面CEF.【课堂评价1】本例条件不变，求证：CF⊥平面C1EF.【证明】由例题可知，E(1,0,1)，F(1,1,1)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，所以eq\o(CF,\s\up12(→))＝(1,0,1)，eq\o(C1F,\s\up12(→))＝(1,0，－1)，eq\o(EF,\s\up12(→))＝(0,1,0)．所以eq\o(CF,\s\up12(→))·eq\o(C1F,\s\up12(→))＝1×1＋0×0＋1×(－1)＝0，eq\o(CF,\s\up12(→))·eq\o(EF,\s\up12(→))＝1×0＋0×1＋1×0＝0.所以eq\o(CF,\s\up12(→))⊥eq\o(C1F,\s\up12(→))，eq\o(CF,\s\up12(→))⊥eq\o(EF,\s\up12(→)).因为C1F∩EF＝F，所以CF⊥平面C1EF.【反思总结】应用向量证明空间中垂直关系的基本策略(1)证明线线垂直只需证两直线的方向向量垂直．设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，则要证l1⊥l2，只需证a⊥b，即a·b＝0.(2)证明线面垂直①证明直线的方向向量与平面的法向量平行．②证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直．(3)证明面面垂直可证两平面的法向量相互垂直．【学习任务2】题型二用向量讨论平行问题例2已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别在DB，D1C上，且DE＝D1F＝eq\f(\r(2),3)a，求证：EF∥平面BB1C1C.【精彩点拨】由于EF平面BB1C1C，则只需求出直线EF的方向向量eq\o(EF,\s\up12(→))、平面BB1C1C的一个法向量，再证明二者数量积为0即可．【自主解答】如图所示，建立空间直角坐标系D­xyz，则Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(a,3)，0))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,3)，\f(2a,3)))，故eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，0，\f(2a,3)))，又n＝(0,1,0)显然为平面BB1C1C的一个法向量，而n·eq\o(EF,\s\up12(→))＝(0,1,0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，0，\f(2a,3)))＝0，所以n⊥eq\o(EF,\s\up12(→))，显然eq\o(EF,\s\up12(→))平面BB1C1C，∴EF∥平面BB1C1C.【课堂评价2】在正方体AC1中，O，M分别为DB1，D1C1的中点，证明：OM∥BC1.【证明】如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则O(1,1,1)，M(0,1,2)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)，eq\o(OM,\s\up12(→))＝(－1,0,1)，eq\o(BC1,\s\up12(→))＝(－2,0,2)，∴eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC1,\s\up12(→))，∴eq\o(OM,\s\up12(→))∥eq\o(BC1,\s\up12(→))，∴OM∥BC1.【反思总结】1．证明线面平行常用的方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．2．证明面面平行常用的方法：(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面；(2)证明两个平面的法向量平行．【学习任务3】题型四立体几何中的向量方法探究1如何确定直线的方向向量？【提示】在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．解题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，且可以参与向量运算或向量的坐标运算．探究2平面的法向量有何特征？【提示】(1)给定一点A和一个向量a，那么，过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的．(2)一个平面的法向量有无数多个，任两个都是共线向量．探究3一个平面的法向量不唯一，在求法向量时，要注意什么？【提示】求解过程中，方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0,n·b＝0))有无数组解，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个变量赋一特值(常赋值－1,0,1)，即可确定一个法向量，赋值不同，所求法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量．探究4用空间向量解决立体几何问题的一般步骤有哪些？【提示】空间向量解决立体几何问题的“三步曲”是：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系；(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．例3如图2­4­2，在三棱锥P­ABC中，AB⊥BC，AB＝BC，点O，D分别是AC，PC的中点，且OA＝OP，OP⊥平面ABC.求证：OD∥平面PAB.【精彩点拨】法一：证明eq\o(OD,\s\up12(→))与平面PAB的法向量垂直．法二：证明OD与面PAB内某一直线平行．【自主解答】法一：因为AB＝BC，O为AC的中点，所以OB⊥AC，OA＝OB＝OC，如图，建立空间直角坐标系，设OA＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P(0,0，a)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，\f(a,2)))，所以eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，\f(a,2))).设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PA,\s\up12(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up12(→))＝0.))由于eq\o(PA,\s\up12(→))＝(a,0，－a)，eq\o(AB,\s\up12(→))＝(－a，a,0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax－az＝0，,－ax＋ay＝0.))令z＝1，得x＝y＝1，所以n＝(1,1,1)，所以eq\o(OD,\s\up12(→))·n＝－eq\f(a,2)＋eq\f(a,2)＝0，所以eq\o(OD,\s\up12(→))⊥n，因为OD不在平面PAB内，所以OD∥平面PAB.法二：因为O，D分别是AC，PC的中点，所以eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(CO,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up12(→))－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up12(→))，所以eq\o(OD,\s\up12(→))∥eq\o(AP,\s\up12(→))，即OD∥AP，OD平面PAB，PA面PAB，所以OD∥平面PAB.【课堂评价3】在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝3，|AD|＝4，|AA1|＝2，点M在棱BB1上，且|BM|＝2|MB1|，点S在DD1上，且|SD1|＝2|SD|，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS.【证明】法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则根据题意得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0，\f(4,3)))，N(0,2,2)，R(3,2,0)，Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4，\f(2,3))).所以eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2，\f(2,3))).eq\o(RS,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2，\f(2,3)))，eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(RS,\s\up12(→))，所以eq\o(MN,\s\up12(→))∥eq\o(RS,\s\up12(→))，因为M∉RS，所以MN∥RS.法二：设eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up12(→))＝c，则eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(MB1,\s\up12(→))＋eq\o(B1A1,\s\up12(→))＋eq\o(A1N,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)c－a＋eq\f(1,2)b，eq\o(RS,\s\up12(→))＝eq\o(RC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12