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文档简介
贵州省安顺市高三下学期第六次检测新高考数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在中,角,,的对边分别为,,,若,,,则()A. B.3 C. D.42.已知函数.下列命题:①函数的图象关于原点对称;②函数是周期函数;③当时,函数取最大值;④函数的图象与函数的图象没有公共点,其中正确命题的序号是()A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④3.设a=log73,,c=30.7,则a,b,c的大小关系是()A. B. C. D.4.在中,角所对的边分别为,已知,则()A.或 B. C. D.或5.在中,角的对边分别为,若.则角的大小为()A. B. C. D.6.设,满足约束条件,则的最大值是()A. B. C. D.7.已知函数在上有两个零点,则的取值范围是()A. B. C. D.8.若函数函数只有1个零点,则的取值范围是()A. B. C. D.9.已知,则的大小关系为A. B. C. D.10.总体由编号为01,02,...,39,40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表(如表)第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为()A.23 B.21 C.35 D.3211.已知定义在上的函数的周期为4,当时,,则()A. B. C. D.12.把满足条件(1),,(2),,使得的函数称为“D函数”,下列函数是“D函数”的个数为()①②③④⑤A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.《九章算术》中记载了“今有共买豕,人出一百,盈一百;人出九十,适足。问人数、豕价各几何?”.其意思是“若干个人合买一头猪,若每人出100,则会剩下100;若每人出90,则不多也不少。问人数、猪价各多少?”.设分别为人数、猪价,则___,___.14.已知实数、满足,且可行域表示的区域为三角形,则实数的取值范围为______,若目标函数的最小值为-1,则实数等于______.15.从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务,每天安排一人,每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加,且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期不相邻,那么不同的安排种数为______________.(用数字作答)16.某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积是_____;最长棱的长度是_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)万众瞩目的第14届全国冬季运动运会(简称“十四冬”)于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕,期间正值我市学校放寒假,寒假结束后,某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查,得到如图频数分布直方图:(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”,否则定义为“非冰雪迷”,请根据频率分布直方图补全列联表;并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关;(2)在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名,再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为,求的分布列与数学期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828,18.(12分)已知函数.(1)若函数,求的极值;(2)证明:.(参考数据:)19.(12分)如图,四棱锥中,侧面为等腰直角三角形,平面.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成的角的正弦值.20.(12分)已知椭圆的右焦点为,离心率为.(1)若,求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆相交于、两点,、分别为线段、的中点,若坐标原点在以为直径的圆上,且,求的取值范围.21.(12分)如图,三棱柱中,底面是等边三角形,侧面是矩形,是的中点,是棱上的点,且.(1)证明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.22.(10分)如图,底面是等腰梯形,,点为的中点,以为边作正方形,且平面平面.(1)证明:平面平面.(2)求二面角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由正弦定理及条件可得,即.,∴,由余弦定理得。∴.选B。2、A【解析】
根据奇偶性的定义可判断出①正确;由周期函数特点知②错误;函数定义域为,最值点即为极值点,由知③错误;令,在和两种情况下知均无零点,知④正确.【详解】由题意得:定义域为,,为奇函数,图象关于原点对称,①正确;为周期函数,不是周期函数,不是周期函数,②错误;,,不是最值,③错误;令,当时,,,,此时与无交点;当时,,,,此时与无交点;综上所述:与无交点,④正确.故选:.【点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用,涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解;本题综合性较强,对于学生的分析和推理能力有较高要求.3、D【解析】
,,得解.【详解】,,,所以,故选D【点睛】比较不同数的大小,找中间量作比较是一种常见的方法.4、D【解析】
根据正弦定理得到,化简得到答案.【详解】由,得,∴,∴或,∴或.故选:【点睛】本题考查了正弦定理解三角形,意在考查学生的计算能力.5、A【解析】
由正弦定理化简已知等式可得,结合,可得,结合范围,可得,可得,即可得解的值.【详解】解:∵,∴由正弦定理可得:,∵,∴,∵,,∴,∴.故选A.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.6、D【解析】
作出不等式对应的平面区域,由目标函数的几何意义,通过平移即可求z的最大值.【详解】作出不等式组的可行域,如图阴影部分,作直线:在可行域内平移当过点时,取得最大值.由得:,故选:D【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法,属于基础题.7、C【解析】
对函数求导,对a分类讨论,分别求得函数的单调性及极值,结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】∵,.当时,,在上单调递增,不合题意.当时,,在上单调递减,也不合题意.当时,则时,,在上单调递减,时,,在上单调递增,又,所以在上有两个零点,只需即可,解得.综上,的取值范围是.故选C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题,考查了函数的单调性及极值问题,属于中档题.8、C【解析】
转化有1个零点为与的图象有1个交点,求导研究临界状态相切时的斜率,数形结合即得解.【详解】有1个零点等价于与的图象有1个交点.记,则过原点作的切线,设切点为,则切线方程为,又切线过原点,即,将,代入解得.所以切线斜率为,所以或.故选:C【点睛】本题考查了导数在函数零点问题中的应用,考查了学生数形结合,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.9、D【解析】
分析:由题意结合对数的性质,对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解:由题意可知:,即,,即,,即,综上可得:.本题选择D选项.点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确.10、B【解析】
根据随机数表法的抽样方法,确定选出来的第5个个体的编号.【详解】随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6,所以从这两个数字开始,由左向右依次选取两个数字如下46,64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,…其中落在编号01,02,…,39,40内的有:16,26,16,24,23,21,…依次不重复的第5个编号为21.故选:B【点睛】本小题主要考查随机数表法进行抽样,属于基础题.11、A【解析】
因为给出的解析式只适用于,所以利用周期性,将转化为,再与一起代入解析式,利用对数恒等式和对数的运算性质,即可求得结果.【详解】定义在上的函数的周期为4,当时,,,,.故选:A.【点睛】本题考查了利用函数的周期性求函数值,对数的运算性质,属于中档题.12、B【解析】
满足(1)(2)的函数是偶函数且值域关于原点对称,分别对所给函数进行验证.【详解】满足(1)(2)的函数是偶函数且值域关于原点对称,①不满足(2);②不满足(1);③不满足(2);④⑤均满足(1)(2).故选:B.【点睛】本题考查新定义函数的问题,涉及到函数的性质,考查学生逻辑推理与分析能力,是一道容易题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、10900【解析】
由题意列出方程组,求解即可.【详解】由题意可得,解得.故答案为10900【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法,用消元法来求解即可,属于基础题型.14、【解析】
作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合目标函数的最小值,利用数形结合即可得到结论.【详解】作出可行域如图,则要为三角形需满足在直线下方,即,;目标函数可视为,则为斜率为1的直线纵截距的相反数,该直线截距最大在过点时,此时,直线:,与:的交点为,该点也在直线:上,故,故答案为:;.【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,属于基础题.15、5040.【解析】分两类,一类是甲乙都参加,另一类是甲乙中选一人,方法数为。填5040.【点睛】利用排列组合计数时,关键是正确进行分类和分步,分类时要注意不重不漏.在本题中,甲与乙是两个特殊元素,对于特殊元素“优先法”,所以有了分类。本题还涉及不相邻问题,采用“插空法”。16、【解析】
由三视图还原原几何体,该几何体为四棱锥,底面为直角梯形,,,侧棱底面,由棱锥体积公式求棱锥体积,由勾股定理求最长棱的长度.【详解】由三视图还原原几何体如下图所示:该几何体为四棱锥,底面为直角梯形,,,侧棱底面,则该几何体的体积为,,,因此,该棱锥的最长棱的长度为.故答案为:;.【点睛】本题考查由三视图求体积、棱长,关键是由三视图还原原几何体,是中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)列联表见解析,有把握;(2)分布列见解析,.【解析】
(1)根据频率分布直方图补全列联表,求出,从而有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关.(2)在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名,则抽中男教工:人,抽中女教工:人,从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为,则的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和数学期望.【详解】解:(1)由题意得下表:男女合计冰雪迷402060非冰雪迷202040合计6040100的观测值为所以有的把握认为该校教职工是“冰雪迷”与“性别”有关.(2)由题意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男职工,2名女职工,所以的可能取值为0,1,2.且,,,所以的分布列为012【点睛】本题考查独立性检验的应用,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查古典概型、排列组合、频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.18、(1)见解析;(1)见证明【解析】
(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(1)问题转化为证ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,根据xlnx≤x(x﹣1),问题转化为只需证明当x>0时,ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),根据函数的单调性证明即可.【详解】(1),,当,,当,,在上递增,在上递减,在取得极大值,极大值为,无极大值.(1)要证f(x)+1<ex﹣x1.即证ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,先证明lnx≤x﹣1,取h(x)=lnx﹣x+1,则h′(x)=,易知h(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,故h(x)≤h(1)=0,即lnx≤x﹣1,当且仅当x=1时取“=”,故xlnx≤x(x﹣1),ex﹣x1﹣xlnx≥ex﹣1x1+x﹣1,故只需证明当x>0时,ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),则k′(x)=ex﹣4x+1,令F(x)=k′(x),则F′(x)=ex﹣4,令F′(x)=0,解得:x=1ln1,∵F′(x)递增,故x∈(0,1ln1]时,F′(x)≤0,F(x)递减,即k′(x)递减,x∈(1ln1,+∞)时,F′(x)>0,F(x)递增,即k′(x)递增,且k′(1ln1)=5﹣8ln1<0,k′(0)=1>0,k′(1)=e1﹣8+1>0,由零点存在定理,可知∃x1∈(0,1ln1),∃x1∈(1ln1,1),使得k′(x1)=k′(x1)=0,故0<x<x1或x>x1时,k′(x)>0,k(x)递增,当x1<x<x1时,k′(x)<0,k(x)递减,故k(x)的最小值是k(0)=0或k(x1),由k′(x1)=0,得=4x1﹣1,k(x1)=﹣1+x1﹣1=﹣(x1﹣1)(1x1﹣1),∵x1∈(1ln1,1),∴k(x1)>0,故x>0时,k(x)>0,原不等式成立.【点睛】本题考查了函数的单调性,极值问题,考查导数的应用以及不等式的证明,考查转化思想,属于中档题.19、(1)见解析(2)【解析】
(1)根据平面,利用线面垂直的定义可得,再由,根据线面垂直的判定定理即可证出.(2)取的中点,连接,以为坐标原点,分别为正半轴建立空间直角坐标系求出平面的一个法向量,利用空间向量法即可求解.【详解】因为平面平面,所以由为等腰直角三角形,所以又,故平面.取的中点,连接,因为,所以因为平面,所以平面所以平面如图,以为坐标原点,分别为正半轴建立空间直角坐标系则,又,所以且于是设平面的法向量为,则令得平面的一个法向量设直线与平面所成的角为,则【点睛】本题考查了线面垂直的定义、判定定理以及空间向量法求线面角,属于中档题.20、(1);(2).【解析】
(1)由椭圆的离心率求出、的值,由此可求得椭圆的方程;(2)设点、,联立直线与椭圆的方程,列出韦达定理,由题意得出,可得出,【详解】(1)由题意得,,.又因为,,所以椭圆的方程为;(2)由,得.设、,所以,,依题意,,易知,四边形为平行四边形,所以.因为,,所以.即,将其整理为.因为,所以,.所以,即.【点睛】本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化,考查计算能力,属于中等题.21、(1)见解析(2)【解析】
(1)连结BM,推导出BC⊥BB1,AA1⊥BC,从而AA1⊥MC,进而AA1⊥平面BCM,AA1⊥MB,推导出四边形AMNP是平行四边形,从而MN∥AP,由此能证明MN∥平面ABC.(2)推导出△ABA1是等腰直角三角形,设AB,则AA1=2a,BM=AM=a,推导出MC⊥BM,MC⊥AA1,BM⊥AA1,以M为坐标原点,MA1,MB,MC为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值.【详解】(1)如图1,在三棱柱中,连结,因为是矩形,所以,因为,所以,又因为,,所以平面,所以,又因为,所以是中点,取中点,连结,,因为是的中点,则且,所以且,所以四边形是平行四边形,所以,又因为平面,平面,所以平面.(图1)
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