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文档简介
山东省威海市环翠区2023-2024学年中考数学最后一模试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是()A.20° B.35° C.40° D.70°2.计算3×(﹣5)的结果等于()A.﹣15B.﹣8C.8D.153.分式方程的解为()A.x=-2 B.x=-3 C.x=2 D.x=34.如图所示,点E在AC的延长线上,下列条件中能判断AB∥CD的是()A.∠3=∠A B.∠D=∠DCE C.∠1=∠2 D.∠D+∠ACD=180°5.根据《九章算术》的记载中国人最早使用负数,下列负数中最大的是()A.-1 B.-12 C.-6.在一次数学答题比赛中,五位同学答对题目的个数分别为7,5,3,5,10,则关于这组数据的说法不正确的是()A.众数是5 B.中位数是5 C.平均数是6 D.方差是3.67.如图,一个几何体由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成,则这个几何体的左视图的面积为()A.5 B.4 C.3 D.28.如图,从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形,然后将剩余部分剪后拼成一个长方形,上述操作能验证的等式是()A. B.C. D.9.改革开放40年以来,城乡居民生活水平持续快速提升,居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长,已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出,如图为北京市统计局发布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图.说明:在统计学中,同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较,例如2018年第二季度与2017年第二季度相比较;环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较,例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较.根据上述信息,下列结论中错误的是()A.2017年第二季度环比有所提高B.2017年第三季度环比有所提高C.2018年第一季度同比有所提高D.2018年第四季度同比有所提高10.估计的值在()A.4和5之间 B.5和6之间C.6和7之间 D.7和8之间11.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D、E,F分别是CD,AD上的点,且CE=AF.如果∠AED=62°,那么∠DBF的度数为()A.62° B.38° C.28° D.26°12.△ABC在正方形网格中的位置如图所示,则cosB的值为()A. B. C. D.2二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.一个不透明的袋子中装有三个小球,它们除分别标有的数字1,3,5不同外,其他完全相同.从袋子中任意摸出一球后放回,再任意摸出一球,则两次摸出的球所标数字之和为8的概率是__________.14.化简:_____________.15.如图,等边△ABC的边长为1cm,D、E分别是AB、AC边上的点,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点处,且点在△ABC的外部,则阴影部分图形的周长为_____cm.16.如图,边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分可剪拼成一个矩形,若拼成的矩形一边长为4,则另一边长为17.从1,2,3,4,5,6,7,8这八个数中,任意抽取一个数,这个数恰好是合数的概率是__________.18.如图,以锐角△ABC的边AB为直径作⊙O,分别交AC,BC于E、D两点,若AC=14,CD=4,7sinC=3tanB,则BD=_____.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)如图,⊙O的直径AD长为6,AB是弦,CD∥AB,∠A=30°,且CD=.(1)求∠C的度数;(2)求证:BC是⊙O的切线.20.(6分)如图,在每个小正方形的边长均为1的方格纸中,有线段AB和线段CD,点A、B、C、D均在小正方形的顶点上.(1)在方格纸中画出以AB为斜边的等腰直角三角形ABE,点E在小正方形的顶点上;(2)在方格纸中画出以CD为对角线的矩形CMDN(顶点字母按逆时针顺序),且面积为10,点M、N均在小正方形的顶点上;(3)连接ME,并直接写出EM的长.21.(6分)某校为了创建书香校远,计划进一批图书,经了解.文学书的单价比科普书的单价少20元,用800元购进的文学书本数与用1200元购进的科普书本数相等.文学书和科普书的单价分别是多少元?该校计划用不超过5000元的费用购进一批文学书和科普书,问购进60本文学书后最多还能购进多少本科普书?22.(8分)如图,AD是△ABC的中线,AD=12,AB=13,BC=10,求AC长.23.(8分)计算:.先化简,再求值:,其中.24.(10分)水果店老板用600元购进一批水果,很快售完;老板又用1250元购进第二批水果,所购件数是第一批的2倍,但进价比第一批每件多了5元,问第一批水果每件进价多少元?25.(10分)计算:.26.(12分)已知:如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AD=CD=2,点E在边AD上(不与点A、D重合),∠CEB=45°,EB与对角线AC相交于点F,设DE=x.(1)用含x的代数式表示线段CF的长;(2)如果把△CAE的周长记作C△CAE,△BAF的周长记作C△BAF,设=y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;(3)当∠ABE的正切值是时,求AB的长.27.(12分)已知:如图,在菱形中,点,,分别为,,的中点,连接,,,.求证:;当与满足什么关系时,四边形是正方形?请说明理由.
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、B【解析】
先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=(180°-∠CAB)=70°.再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°.【详解】∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,∴∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=(180°-∠CAB)=70°.∵CE是△ABC的角平分线,∴∠ACE=∠ACB=35°.故选B.【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质,三角形内角和定理以及角平分线定义,求出∠ACB=70°是解题的关键.2、A【解析】
按照有理数的运算规则计算即可.【详解】原式=-3×5=-15,故选择A.【点睛】本题考查了有理数的运算,注意符号不要搞错.3、B【解析】解:去分母得:2x=x﹣3,解得:x=﹣3,经检验x=﹣3是分式方程的解.故选B.4、C【解析】
由平行线的判定定理可证得,选项A,B,D能证得AC∥BD,只有选项C能证得AB∥CD.注意掌握排除法在选择题中的应用.【详解】A.∵∠3=∠A,本选项不能判断AB∥CD,故A错误;B.∵∠D=∠DCE,∴AC∥BD.本选项不能判断AB∥CD,故B错误;C.∵∠1=∠2,∴AB∥CD.本选项能判断AB∥CD,故C正确;D.∵∠D+∠ACD=180°,∴AC∥BD.故本选项不能判断AB∥CD,故D错误.故选:C.【点睛】考查平行线的判定,掌握平行线的判定定理是解题的关键.5、B【解析】
根据两个负数,绝对值大的反而小比较.【详解】解:∵−12>−1>−2∴负数中最大的是−12故选:B.【点睛】本题考查了实数大小的比较,解题的关键是知道正数大于0,0大于负数,两个负数,绝对值大的反而小.6、D【解析】
根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可.【详解】A、数据中5出现2次,所以众数为5,此选项正确;B、数据重新排列为3、5、5、7、10,则中位数为5,此选项正确;C、平均数为(7+5+3+5+10)÷5=6,此选项正确;D、方差为×[(7﹣6)2+(5﹣6)2×2+(3﹣6)2+(10﹣6)2]=5.6,此选项错误;故选:D.【点睛】本题主要考查了方差、平均数、中位数以及众数的知识,解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的定义以及计算公式,此题难度不大.7、C【解析】
根据左视图是从左面看到的图形求解即可.【详解】从左面看,可以看到3个正方形,面积为3,故选:C.【点睛】本题考查三视图的知识,解决此类图的关键是由三视图得到相应的平面图形.从正面看到的图是正视图,从上面看到的图形是俯视图,从左面看到的图形是左视图.8、A【解析】
由图形可以知道,由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积,进而可以证明平方差公式.【详解】解:大正方形的面积-小正方形的面积=,
矩形的面积=,
故,
故选:A.【点睛】本题主要考查平方差公式的几何意义,用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键.9、C【解析】
根据环比和同比的比较方法,验证每一个选项即可.【详解】2017年第二季度支出948元,第一季度支出859元,所以第二季度比第一季度提高,故A正确;2017年第三季度支出1113元,第二季度支出948元,所以第三季度比第二季度提高,故B正确;2018年第一季度支出839元,2017年第一季度支出859元,所以2018年第一季度同比有所降低,故C错误;2018年第四季度支出1012元,2017年第一季度支出997元,所以2018年第四季度同比有所降低,故D正确;故选C.【点睛】本题考查折线统计图,同比和环比的意义;能够从统计图中获取数据,按要求对比数据是解题的关键.10、C【解析】
根据,可以估算出位于哪两个整数之间,从而可以解答本题.【详解】解:∵即
故选:C.【点睛】本题考查估算无理数的大小,解题的关键是明确估算无理数大小的方法.11、C【解析】分析:主要考查:等腰三角形的三线合一,直角三角形的性质.注意:根据斜边和直角边对应相等可以证明△BDF≌△ADE.详解:∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD.又∵∠BAC=90°,∴BD=AD=CD.又∵CE=AF,∴DF=DE,∴Rt△BDF≌Rt△ADE(SAS),∴∠DBF=∠DAE=90°﹣62°=28°.故选C.点睛:熟练运用等腰直角三角形三线合一性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键.12、A【解析】
解:在直角△ABD中,BD=2,AD=4,则AB=,则cosB=.故选A.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、【解析】
根据题意列出表格或树状图即可解答.【详解】解:根据题意画出树状图如下:总共有9种情况,其中两个数字之和为8的有2种情况,∴,故答案为:.【点睛】本题考查了概率的求解,解题的关键是画出树状图或列出表格,并熟记概率的计算公式.14、【解析】
根据分式的运算法则即可求解.【详解】原式=.故答案为:.【点睛】此题主要考查分式的运算,解题的关键是熟知分式的运算法则.15、3【解析】
由折叠前后图形全等,可将阴影部分图形的周长转化为三角形周长.【详解】∵△A'DE与△ADE关于直线DE对称,∴AD=A'D,AE=A'E,C阴影=BC+A'D+A'E+BD+EC=BC+AD+AE+BD+EC=BC+AB+AC=3cm.故答案为3.【点睛】由图形轴对称可以得到对应的边相等、角相等.16、【解析】
因为大正方形边长为,小正方形边长为m,所以剩余的两个直角梯形的上底为m,下底为,所以矩形的另一边为梯形上、下底的和:+m=.17、.【解析】
根据合数定义,用合数的个数除以数的总数即为所求的概率.【详解】∵在1,2,3,4,5,6,7,8这八个数中,合数有4、6、8这3个,∴这个数恰好是合数的概率是.故答案为:.【点睛】本题考查了概率的求法.如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A);找到合数的个数是解题的关键.18、1【解析】如图,连接AD,根据圆周角定理可得AD⊥BC.在Rt△ADC中,sinC=ADAC;在Rt△ABD中,tanB=ADBD.已知7sinC=3tanB,所以7×ADAC=3×ADBD,又因点睛:此题主要考查的是圆周角定理和锐角三角函数的定义,以公共边AD为桥梁,利用锐角三角函数的定义得到tanB和sinC的式子是解决问题的关键.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1)60°;(2)见解析【解析】
(1)连接BD,由AD为圆的直径,得到∠ABD为直角,再利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出BD的长,根据CD与AB平行,得到一对内错角相等,确定出∠CDB为直角,在直角三角形BCD中,利用锐角三角函数定义求出tanC的值,即可确定出∠C的度数;(2)连接OB,由OA=OB,利用等边对等角得到一对角相等,再由CD与AB平行,得到一对同旁内角互补,求出∠ABC度数,由∠ABC﹣∠ABO度数确定出∠OBC度数为90,即可得证;【详解】(1)如图,连接BD,∵AD为圆O的直径,∴∠ABD=90°,∴BD=AD=3,∵CD∥AB,∠ABD=90°,∴∠CDB=∠ABD=90°,在Rt△CDB中,tanC=,∴∠C=60°;(2)连接OB,∵∠A=30°,OA=OB,∴∠OBA=∠A=30°,∵CD∥AB,∠C=60°,∴∠ABC=180°﹣∠C=120°,∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=120°﹣30°=90°,∴OB⊥BC,∴BC为圆O的切线.【点睛】此题考查了切线的判定,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.20、(1)画图见解析;(2)画图见解析;(3).【解析】
(1)直接利用直角三角形的性质结合勾股定理得出符合题意的图形;(2)根据矩形的性质画出符合题意的图形;
(3)根据题意利用勾股定理得出结论.【详解】(1)如图所示;(2)如图所示;(3)如图所示,在直角三角形中,根据勾股定理得EM=.【点睛】本题考查了勾股定理与作图,解题的关键是熟练的掌握直角三角形的性质与勾股定理.21、(1)文学书的单价为40元/本,科普书的单价为1元/本;(2)购进1本文学书后最多还能购进2本科普书.【解析】
(1)设文学书的单价为x元/本,则科普书的单价为(x+20)元/本,根据数量=总价÷单价结合用800元购进的文学书本数与用1200元购进的科普书本数相等,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;(2)设购进m本科普书,根据总价=文学书的单价×购进本数+科普书的单价×购进本数结合总价不超过5000元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最大整数值即可得出结论.【详解】解:(1)设文学书的单价为x元/本,则科普书的单价为(x+20)元/本,依题意,得:800x解得:x=40,经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题意,∴x+20=1.答:文学书的单价为40元/本,科普书的单价为1元/本.(2)设购进m本科普书,依题意,得:40×1+1m≤5000,解得:m≤431∵m为整数,∴m的最大值为2.答:购进1本文学书后最多还能购进2本科普书.【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.22、2.【解析】
根据勾股定理逆定理,证△ABD是直角三角形,得AD⊥BC,可证AD垂直平分BC,所以AB=AC.【详解】解:∵AD是△ABC的中线,且BC=10,∴BD=BC=1.∵12+122=22,即BD2+AD2=AB2,∴△ABD是直角三角形,则AD⊥BC,又∵CD=BD,∴AC=AB=2.【点睛】本题考核知识点:勾股定理、全等三角形、垂直平分线.解题关键点:熟记相关性质,证线段相等.23、(1)1;(2)2-1.【解析】
(1)分别计算负指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根;(2)先把括号内通分相减,再计算分式的除法,除以一个分式,等于乘它的分子、分母交换位置.【详解】(1)原式=3+﹣1﹣2×+1﹣2=3+﹣1﹣+1﹣2=1.(2)原式=[﹣]•=•=,当x=﹣2时,原式===2-1.【点睛】本题考查负指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根以及分式的化简求值,解题关键是熟练掌握以上性质和分式的混合运算.24、120【解析】
设第一批水果每件进价为x元,则第二批水果每件进价为(x+5)元,根据用1250元所购件数是第一批的2倍,列方程求解.【详解】解:设第一批水果每件进价为x元,则第二批水果每件进价为(x+5)元,由题意得,×2=,解得:x=120,经检验:x=120是原分式方程的解,且符合题意.答:第一批水果每件进价为120元.【点睛】本题考查了分式方程的应用,解题的关键是熟练的掌握分式方程的应用.25、【解析】
直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值化简进而得出答案.【详解】原式=9﹣2+1﹣2=.【点睛】本题考查了实数运算,正确化简各数是解题的关键.26、(1)CF=;(2)y=(0<x<2);(3)AB=2.5.【解析】
试题分析:(1)根据等腰直角三角形的性质,求得∠DAC=∠ACD=45°,进而根据两角对应相等的两三角形相似,可得△CEF∽△CAE,然后根据相似三角形的性
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