新疆昌吉市教育共同体四校2024届中考考前最后一卷数学试卷含解析

新疆昌吉市教育共同体四校2024学年中考考前最后一卷数学试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，PA、PB切。。于A、B两点，AC是。。的直径，ZP=40°,则NACB度数是（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

2.根据中国铁路总公司3月13日披露，2018年铁路春运自2月1日起至3月12日止，为期40天全国铁路累计发送

旅客3.82亿人次.3・82亿用科学记数法可以表示为（）

A.3.82X107B.3.82X108C.3.82xl09D.0.382x10'°

3.如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB=73：2,CP：BP=1：2,连接EP并延长，交AB的延长线

于点F,AP、BE相交于点O.下列结论:①EP平分NCEB；②BF2=PB・EF；③PF・EF=2AD2；④EF・EP=4AO・PO.其

中正确的是（）

A.©®®B.①®④C.①③④D.③④

4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

C.

5.下列方程中是一元二次方程的是（)

21।

A.ax2+hx+c=0B.XH——=1

JT

C.(x-l)(x+2)=lD.3x2-2xy-5y2=0

6.定义运算：a*b=2ab.若a,b是方程x2+x.m=0（m>0）的两个根，则（a+l）*ab的值为（）

A.0B.2C.4mD.-4m

7.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任

意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%,那么估计盒子中

小球的个数「为（）

A.20B.24C.28D.30

8.如图，在△ABC中，AB=AC=1（）,CB=16,分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（）

上C

A.50K-48B.257r・48C.507r・24D.学兀-24

9.不等式5+2*<1的解集在数轴上表示正确的是（）.

1

A.——--------►B.------------C.--------------------4-------D.J-------正

-2003-20-20

10.下列图标中，是中心对称图形的是（）

“,圆口啕

。%0Q

11.如图，AD为△ABC的中线，点E为AC边的中点，连接DE,则下列结论中不一定成立的是（）

BDC

A.DC=DEB.AB=2DEC.SACDE=-SABCD.DE/7AB

4A

12.港珠澳大桥目前是全世界最长的跨海大桥，其主体工程“海中桥隧”全长35578米,数据35578用科学记数法表示

为（）

A.35.578x103B.3.5578xl04

C.3.5578x10sD.0.35578x10s

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

3

13.如图，点A在反比例函数产二（x>0）上，以OA为边作正方形OABC,边AB交y轴于点P,若PA：PB=1：

x

2,则正方形OABC的面积=.

14.一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在

一起，则颜色搭配正确的概率是.

15.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34。的斜坡，从A滑行至B,已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下

降了米.（参考数据：sin34°M）.56,cos34°=4）.83,tan34°~0.67）

17.在一个不透明的口袋中，有3个红球、2个黄球、一个白球，它们除颜色不同之外其它完全相同，现从口袋中随

机摸出一个球记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次摸到一个红球和一个黄球的概率是.

18.计算（2q-逐）2的结果等于.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”.比赛项目为：A.唐诗；B.宋词；C.论

语；D.三字经.比赛形式分“单人组”和“双人组”.

（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？

（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只

能随机抽取一次，贝IJ恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明.

20.（6分）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调

查统计.现从该校随机抽取〃名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其

中一项）.并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图.由图中提供的信息，解答下列问题：求n

的值；若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生

和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率.

21.（6分）先化简代数式再从0,3中选择一个合适的。的值代入求值.

22.分）请你仅用无刻度的直尺在下面的图中作出A44C的边AB上的高CD.如图①，以等边三角形ABC的

边AB为直径的圆，与另两边BC、AC分别交于点E、F.如图②，以钝角三角形ABC的一短边AB为直径的圆,

与最长的边AC相交于点E,

第1个数第2个数第3个数第4个数...第9个数....第n个数

A组-6-5-2...58....n2-2n-5

B组14710...25...

（1）A组第4个数是；用含n的代数式表示B组第n个数是,并简述理由；在这两组数中，是否存

在同一列上的两个数相等，请说明.

24.（10分）为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出

行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统

计图.

种类ABCDE

出行方式共享单车步行公交车的士私家车

根据以上信息，回答下列问题:

（1）参与本次问卷调查的市民共有人,其中选择B类的人数有人;

（2）在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角a的度数，并补全条形统计图;

（3）该市约有12万人出行，若将A,B,C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人

数.

25.（10分）已知，关于x的方程7+2x・&=0有两个不相等的实数根.

（1）求A的取值范围；

（2）若内，心是这个方程的两个实数根，求一%十-7的值；

A,+1X24-1

（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？

26.（12分）已知AB是。O的直径，PB是。O的切线，C是。O上的点，AC/7OP,M是直径AB上的动点，A与

直线CM上的点连线距离的最小值为d,B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.

（1）求证：PC是。O的切线；

3

（2）设OP二一AC,求NCPO的正弦值；

2

（3）设AC=9,AB=15,求d+f的取值范围.

27.（12分）如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD,AD与BE相交于点F.

E

求证：AABEgaCAD；求NBFD的度数.

BD

参考答案

・、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给山的四个选项中，只有项是符合题目要求的.）

1、c

【解题分析】

连接BC,根据题意PA,PB是圆的切线以及NP=40。可得/AOB的度数，然后根据OA=OB,可得NCAB的度

数，因为AC是圆的直径，所以NABC=90。，根据三角形内角和即可求出NACB的度数。

【题目详解】

连接BC.

VPA,PB是圆的切线

，/OAP=/OBP=90。

在四边形OAPB中,

/OAP+/OBP+4+NAOB=360°

VZP=40°

A^AOB=140°

VOA=OB

180°-140°

所以NOAB=1-Zx)

2

VAC是直径

/.^ABC=90°

・・・NACB=180°-NOAB-/ABC=70°

故答案选C.

【题目点拨】

本题主要考察切线的性质，四边形和三角形的内角和以及圆周角定理。

2、B

【解题分析】

根据题目中的数据可以用科学记数法表示出来，本题得以解决.

【题目详解】

解：3・82亿=3.82x108,

故选B.

【题目点拨】

本题考查科学记数法•表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法.

3、B

【解题分析】

由条件设AD=JJx,AB=2x,就可以表示出CP=^x,BP=2叵x,用三角函数值可以求出NEBC的度数和NCEP

33

的度数，则NCEP=NBEP,运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论.

【题目详解】

解：设AD=VJx,AB=2x

丁四边形ABCD是矩形

AAD=BC,CD=AB,ZD=ZC=ZABC=90°.DC/ZAB

/.BC=V3x,CD=2x

VCP：BP=1：2

ACP=^x,BP=^^x

33

YE为DC的中点，

ACE=-CD=x,

2

/口"

.tPCV3tEC小

••tanz.CEP=-----=-----9tanZEBC=------=-----

EC3BC3

AZCEP=30°,ZEBC=30°

:.ZCEB=60°

:.ZPEB=30°

.\ZCEP=ZPEB

・・・EP平分NCEB,故①正确；

VDC/7AB,

.,.ZCEP=ZF=30°,

AZF=ZEBP=30°,ZF=ZBEF=30°,

AAEBP^AEFB,

.BEBP

^~EF~~BF

.\BEBF=EFBP

VZF=ZBEF,

/.BE=BF

**-BF2=PBEF,故②正确

VZF=30°,

4x/3

APF=2PB=-^-x,

3

过点E作EG_LAF于G,

，NEGF=90。，

AEF=2EG=2V3X

dA

:.PFEF=x・275x=8x2

2AD2=2X（退x）2=6X?,

.*.PFEF^2z\D2,故③错误.

在RSECP中，

VZCEP=30",

AEP=2PC=—^-x

3

VtanZPAB=—=—

AB3

AZPAB=30°

AZAPB=60°

/.ZAOB=90°

在RtAAOB和RtAPOB中，由勾股定理得，

AO=GX，PO=^-X

3

，4AO・PO=4xJJx・—x=4x2

3

又EFEP=2y/3x-3叵x=4x2

3

/.EFEP=4AOPO.故④正确.

故选，B

【题目点拨】

本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切值的运用，勾股定理的运用及直角三

角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键.

4、D

【解题分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形

能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互

相重合，这个图形叫做轴对称图形.

【题目详解】

解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；

C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.

5、C

【解题分析】

找到只含有一个未知数，未知数的最高次数是2,二次项系数不为0的整式方程的选项即可.

【题目详解】

解：A、当许0时，加+云+c=0不是一元二次方程，故本选项错误；

B、V+4=1是分式方程，故本选项错误；

x

C、*-1)(工+2)=1化简得：/+/一3=0是一元二次方程，故本选项正确；

D、3/一加一5y2=0是二元二次方程，故本选项错误；

故选：C.

【题目点拨】

本题主要考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键.

6^A

【解题分析】【分析】由根与系数的关系可得a+b=-l然后根据所给的新定义运算a*b=2ab对式子(a+lga-(b+1)*b用

新定义运算展开整理后代人进行求解即可.

【题目详解】Ta,b是方程x2+x・m=0(m>0)的两个根，

•*.a+b=-l,

•・•定义运算：a*b=2ab,

.*.(a+l)*a-(b+1)*b

=2a(a+l)-2b(b+l)

=2a2+2a-2b2-2b

=2(a+b)(a-b)+2(a-b)

=-2(a-b)+2(a-b)=0,

故选A.

【题目点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义运算等，理解并能运用新定义运算是解题的关键.

7、D

【解题分析】

9

试题解析：根据题意得一二30%,解得n=30,

n

所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球.

故选D.

考点：利用频率估计概率.

8、B

【解题分析】

设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点，连AD,如图,

AAD1BC,

ABD=DC=jBC=8,

MAB=AC=10,CB=16,

・•・-DC2=J1O2!-82=6,

・・・阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积・△ABC的面积，

=n*52-多16・6,

=25几-1.

故选B.

9、C

【解题分析】

先解不等式得到xV・l,根据数轴表示数的方法得到解集在・1的左边.

【题目详解】

5+lx<l,

移项得lx<-4,

系数化为1得xV・l.

故选C.

【题目点拨】

本题考查了在数轴上表示不等式的解集：先求出不等式组的解集，然后根据数轴表示数的方法把对应的未知数的取值

范围通过画区间的方法表示出来，等号时用实心，不等时用空心.

10、B

【解题分析】

根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【题目详解】

解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、是中心对称图形，故本选项正确；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、不是中心对称图形，故本选项错误.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

11、A

【解题分析】

根据三角形中位线定理判断即可.

【题目详解】

TAD为△ABC的中线，点E为AC边的中点，

11

.\DC=-BC,DE=-AB,

22

VBC不一定等于AB,

，DC不一定等于DE,A不一定成立；

AAB=2DE,B一定成立；

SACDE=_S&ABC,C一定成立；

4

DE/7AB,D一定成立；

故选A.

【题目点拨】

本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

12、B

【解题分析】

科学计数法是axl0〃，且14时＜10,n为原数的整数位数减一.

【题目详解】

解：35578=3.5578x104,

故选B.

【题目点拨】

本题主要考查的是利用科学计数法表示较大的数，属于基础题型.理解科学计数法的表示方法是解题的关键.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1.

【解题分析】

根据题意作出合适的辅助线，然后根据正方形的性质和反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理可以

求得A3的长.

【题目详解】

...........................3

解：由题意可得：OA=AH设则04=3。，设点4的坐标为（m,一）,作轴于点E.

fm

•・・N7<4O=NOEA=90°,NPO4+NAOE=90°,NAOE+NO4£=90°,,NP0A=N0AE,

ApOE2

•*.---=---,即色=3,解得：m=1或机=-1（舍去），，点4的坐标为（1,3）,.•.04=,；・正方形OA5c

AOEA3a—

tn

的面积=042=1.

故答案为L

【题目点拨】

本题考查了反比例函数图象点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件,

利用数形结合的思想解答.

【解题分析】

分析：根据概率的计算公式.颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出各自的概率

即可.

详解：用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；

用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：

所以颜色搭配正确的概率是，

故答案为：

2

点睛：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，

那么事件A的概率P(A)=-.

n

15、1.

【解题分析】

AC

试题解析：在RtAABC中，或1134。=—

AB

.•.AC=ABxsin34°=500x0.56=l米.

故答案为1.

16、1.

【解题分析】

在RtAABC中，己知tanA,BC的值，根据tanA=gg,可将AC的值求出，再由勾股定理可将斜边AB的长求出.

【题目详解】

5c4

解：RSABC中，VBC=4,tanA=——=-,

AC3

工AC=-^=3,

tanA

则AB=yjAC2+BC2=5.

故答案为1.

【题目点拨】

考查解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.

1

17、-

3

【解题分析】

先画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两次摸到一个红球和一个黄球的结果数，然后根据概率公式求解.

【题目详解】

画树状图如下：

由树状图可知，共有36种等可能结果，其中两次摸到一个红球和一个黄球的结果数为12,

所以两次摸到一个红球和一个黄球的概率为£=工,

363

故答案为］

【题目点拨】

本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的

结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.

18、22-4x/10

【解题分析】

根据完全平方公式进行展开，然后再进行同类项合并即可.

【题目详解】

解：(2后-伪2

=20-4>/10+2

=22-4710.

故填22-4V10.

【题目点拨】

主要考查的是完全平方公式及二次根式的混合运算，注意最终结果要化成最简二次根式的形式.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、⑴5⑵去

【解题分析】

(1)直接利用概率公式求解；

(2)先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据

概率公式求解.

【题目详解】

(1)她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率

(2)画树状图为：

ABC[

/N/4\/N/N

D

BCDAcABDABC

共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1,所以恰好小红抽中“唐诗”且小

明抽中“宋词”的概率=1.

1.

20、(1)50；(2)240；(3)

2

【解题分析】

用喜爱社会实践的人数除以它所占的百分比得到n的值；

先计算出样本中喜爱看电视的人数，然后用1200乘以样本中喜爱看电视人数所占的百分比，即可估计该校喜爱看电视

的学生人数；

画树状图展示12种等可能的结果数，再找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式求解.

【题目详解】

解：(1)〃=5+10%=50；

(2)样本中喜爱看电视的人数为50-15-20-5=10(人)，

1200x—=240,

50

所以估计该校喜爱看电视的学生人数为240人：

(3)画树状图为：

力ss力力s乂+r

/b女ZK小小中

力力女男男女男男女男男力

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到2名男生的结果数为6,

所以恰好抽到2名男生的概率

122

【题目点拨】

本题考查了列表法与树状图法；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果

数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率，也考查了统计图.

a-\

【解题分析】

先通分得到一+2〃+1+3二,再根据平方差公式和完全平方公式得到妇D-x；-/-化简后代入a

=3,计算即可得到答案.

【题目详解】

当。=3时(叶-1,0),原式=1.

【题目点拨】

本题考查代数式的化简、平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握代数式的化简、平方差公式和完全平方公式.

22、(1)详见解析；(2)详见解析.

【解题分析】

(1)连接AE、BF,找到△ABC的高线的交点，据此可得CD；

(2)延长CB交圆于点F,延长AF、EB交于点G,连接CG,延长AB交CG于点D,据此可得.

【题目详解】

(1)如图所示，CD即为所求；

(2)如图，CD即为所求.

【题目点拨】

本题主要考查作图•基本作图，解题的关键熟练掌握圆周角定理和三角形的三条高线交于一点的性质.

23、(1)3；(2)3〃-2,理由见解析；理由见解析(3)不存在，理由见解析

【解题分析】

⑴将〃=4代入〃2.2小5中即可求解；

(2)当〃=1,2,3,…，9,时对应的数分别为3xL2,3x2-2,3x3-2,3x9-2...,由此可归纳出第〃个数是

3n-2；

(3)“在这两组数中，是否存在同一列上的两个数相等”，将问题转换为〃2.2〃・5=3〃・2有无正整数解的问题.

【题目详解】

解：（1））YA组第〃个数为〃2・2〃5

组第4个数是42-2x4-5=3,

故答案为3；

（2）第〃个数是3〃一2.

理由如下：

;第1个数为1,可写成3x1.2；

第2个数为4,可写成3x*2；

第3个数为7,可写成3x3・2：

第4个数为10,可写成3x4・2；

第9个数为25,可写成3x9-2：

・・・第〃个数为3/1-2；

故答案为3机2；

（3）不存在同一位置上存在两个数据相等；

由题意得，n2-2n-5=3n-2,

解之得，“J土历

2

由于〃是正整数，所以不存在列上两个数相等.

【题目点拨】

本题考查了数字的变化类，正确的找出规律是解题的关键.

24、（1）800,240；（2）补图见解析；（3）9.6万人.

【解题分析】

试题分析：（1）由C类别人数及其百分比可得总人数，总人数乘以B类别百分比即可得;

（2）根据百分比之和为1求得A类别百分比，再乘以360。和总人数可分别求得；

（3）总人数乘以样本中A、B、C三类别百分比之和可得答案.

试题解析：（1）本次调查的市民有200・25%=800（人），

类别的人数为800x30%=240（人），

故答案为800,240；

（2）TA类人数所占百分比为1・（30%+25%+14%+6%）=25%,

・•・A类对应扇形圆心角«的度数为360°x25%=90°,A类的人数为800x25%=200（人）,

补全条形图如下:

?出台方式

(3)12x(25%+30%+25%)=9.6(万人)，

答：估计该市“绿色出行”方式的人数约为9.6万人.

考点：1、条形统计图；2、用样本估计总体；3、统计表；4、扇形统计图

XX,

25、(1)k>-l；(2)2；(3)时，----;十—七的值与人无关.

Xj+1X24-1

【解题分析】

(1)由题意得该方程的根的判别式大于零，列出不等式解答即可.

(2)将要求的代数式通分相加转化为含有两根之和与两根之积的形式，再根据根与系数的关系代数求值即可.

(3)结合(1)和(2)结论可见，A>・1时，一^+一7的值为定值2,与A无关.

X)+1x24-1

【题目详解】

(1)•・•方程有两个不等实根，

即4+4A>0,

(2)由根与系数关系可知

Xi+X2=-2,XiX2=-kt

x}+1x2+1

%*2+1)+42区+1)

(%+1)(/+1)

2XjX2+Xj+x2

1+百+毛+X]X2

=^L=2

-\-k

(3)由(1)可知，々>・1时,

—―+—的值与k无关.

%+1x2+1

【题目点拨】

本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系等知识，熟练