2024年新高考数学一轮复习-函数的单调性与最大(小)值（学生版）

专题07函数的单调性与最大(小)值

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义.

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

【考点预测】

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数F(x)的定义域为/,区间店/,如果Vxi,xzWD

当矛1V至时，都有F(X1)>_f(⑹,

当时，都有F(xi)<丹⑹,那么

那么就称函数/'(X)在区间。上单

定义就称函数f(x)在区间〃上单调递增，

调递减，特别地，当函数/'(X)在

特别地，当函数“X)在它的定义域上

它的定义域上单调递减时，我们就

单调递增时，我们就称它是增函数

称它是减函数

y=fM

，加

建而2)

-pU,)；

图象描述O~^2X

op^37

自左向右看图象是下降的

自左向右看图象是上升的

(2)单调区间的定义

如果函数y=f(x)在区间，上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有

(严格的)单调性，区间，叫做尸f(x)的单调区间.

2.函数的最值

前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数〃满足

(l)VxG/,都有f(x)WM；(l)VxG/,都有岂垃盘

条件

(2)3^0eZ,使得f(x。)=M(2月为6],使得f(x。)=M

结论〃为最大值〃为最小值

【常用结论】

1.有关单调性的常用结论

在公共定义域内，增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；增函数一减函数=

增函数；减函数一增函数=减函数.

2.函数y=F(x)(f(x)>0或F(x)〈0)在公共定义域内与y=-f{x),J、的单调性相反.

I\X)

【方法技巧】

1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.

2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数㈤和内层函数t=g(x)的单调性判断，

遵循“同增异减”的原则.

3.求函数最值的三种基本方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式

求出最值.

4.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

5.利用函数的单调性比较大小，首先要准确判断函数的单调性，其次应将自变量转化到一个

单调区间内，然后利用单调性比较大小.

6.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，利用函数的单调性将“产符号脱去，转

化为关于自变量的不等式求解，应注意函数的定义域.

7.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程

(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点

的取值.

二、【题型归类】

【题型一】求具体函数的单调区间

【典例I](多选)下列函数在(0,+8)上单调递增的是()

A.y=e*—e'B.y=\x-2x\

C.y=x+cosxD.y—yx+^—2

—3x+1

【典例2】函数的递减区间为.

logi(2x2-支+1)

【典例3】函数y=T'的单调递减区间为()

C.&+8)D.+00

【题型二】判断或证明函数的单调性

【典例1】试讨论函数『5)=』(后。)在(一1,1)上的单调性.

【典例2】判断函数F(x)=x+；(a>0)在(0,+8)上的单调性.

【典例3】判断并证明函数『(王)=3/+：(其中l<a<3)在［1,2］上的单调性.

【题型三】比较函数值的大小

【典例1］已知函数广(X)为R上的偶函数，对任意X1,£2金(—8,0),均有(矛1—X2)"(不)

一广(就"0成立,若a=f(ln巾),b=f(3^),c=/(e3),则&b,c的大小关系是()

A.水伙女B.a〈c〈b

C.水伙cD.

【典例2】设函数/在(-8,0)上单调递增，则f(a+l)与F(2)的大小关系是

()

A.f(a+l)>f(2)B.f(a+l)〈f(2)

C./(a+l)=/(2)D.不能确定

【典例3］已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当用>为>1时，［/Uz)

—F(xi)］•(加一荀)〈0恒成立，设a=(一b=/(2),c=_f(3),则a,b,c的大小关系

为()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

【题型四】求函数的最值

xlx+4

【典例1】函数尸治才的最大值为.

/-I

【典例2】函数y=E的值域为-

【典例3】函数y=x+，T=，的最大值为.

【题型五】解函数不等式

【典例1】已知函数/'(x)=lnx+2",若/•(f—4)〈2,则实数了的取值范围是.

【典例2】已知函数/•(x)=(1j*—log2(x+2),若/Xa—2)>3,则a的取值范围是.

【典例3】已知/'(x)是定义在R上的偶函数，且在区间［0,+8)上单调递减，则不等式/<2x

—l)>f(x+l)的解集为.

【题型六】求参数的取值范围

a,

【典例1】函数f(x)=\(协且满足对任意的实数都有

I4--l^r+2,K1,

空匕3〉0成立，则实数a的取值范围是()

X1一至

A.[4,8)B.(4,8)

C.(1,8]D.(1,8)

【典例2】函数/"(x)=ln(V—ax—3)在(1,+8)上单调递增，则a的取值范围是()

A.(—8,—2]B.(—8,—2)

C.(—8,2]D.(一8,2)

【典例3]若/'(x)=cosx—sinx在[0,a]上是减函数，则a的最大值是()

JIH3兀

A.-B.-C.D.兀

【题型七】抽象函数单调性

【典例1】已知函数/Xx)对于任意x,yGR,总有/U)+r(y)=f(x+力，且当x>0时,f(x)<0,

AD=—o

(1)求证：f(x)在R上是减函数；

(2)求f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值.

【典例2】F(x)的定义域为(0,+8),且对一切x>0,y>0都有《力=f(x)—F(y),当x>

1时，有f(x)>0.

(1)求ai)的值；

(2)判断f(x)的单调性并证明；

(3)若『(6)=1,解不等式F(x+5)—/g<2.

【典例3】已知函数F(x)的定义域为(0,+°°),当入>1时，广(才)>0,且对于任意的正数x,

y都有f{xy)=_f(x)+/(y).

⑴证明：函数Ax)在定义域上是单调增函数；

(2)如果它|=—1且/>(X)—求X的取值范围.

三、【培优训练】

【训练一】函数g(x)=ax+2(d>0),f{x)=x—2x,对VxP[―1,2],Hxo^[—1,2],使

g(不)=〃加成立，则》的取值范围是()

A.(0,1B.[1,2)

C.0,1电+8)

【训练二】已知函数f(x)=f+lnx——在(0,1)上是增函数.

⑴求a的取值范围；

(2)在(1)的结论下，设g(x)=e"+|e"一"，x£[0,ln3],求函数g(x)的最小值.

【训练二】已知函数f{x)=2020^+In+x)—2020"+1,则不等式f{2x—1)+

广(2x)>2的解集为.

【训练四】已知定义在区间(o,+8)上的函数Hx)是增函数，r(D=o,#3)=1.

⑴解不等式0</(/-1)<1；

⑵若_f(x)Wr2—2加+1对所有(0,3],—1,1]恒成立，求实数力的取值范围.

[e'—e-%,x>0,3

【训练五】已知函数/1(x)={2>若己=5°”,Z?=-log32,c=log30.9,则F®,

[~x,xWO,2

fW，f(c)的大小关系为.

【训练六】已知函数f(x)=lg(x+：—2)(a>o,且aWl).

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)当ad(1,4)时，求函数f(x)在[2,+8)上的最小值；

(3)若对任意xG[2,+8)恒有/1(x)〉。，试确定a的取值范围.

四、【强化测试】

【单选题】

1.下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

A.尸ln(x+2)B.y=—y[x+l

c-H3*尸

V

2.函数/<x)=^-在()

L-x

A.(一8,1)U(1,+8)上是增函数

B.(―°°,1)U(1,+8)上是减函数

C.(一8,1)和(1,+8)上是增函数

D.(一8,1)和(1,+8)上是减函数

3.设己£比函数广(x)在R上是增函数，则()

A./,(a2+a+2)>/>印B.f(a+a+2)<f。

C.『(/+a+2)D./，(a2+a+2)

4.已知函数/"(x)为R上的减函数，则满足(一的实数x的取值范围是()

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-1,0)U(0,1)D.(—8,-1)u(1,+8)

5.已知函数/'(x)是定义域为［0,+8)上的减函数，且/'&)=—1,则满足F(2x—4)>—1

的实数x的取值范围是()

A.(3,+8)B.(—8,3)

C.[2,3)D.[0,3)

6.函数F(x)=—x+1在-2,一J上的最大值是()

xL

38

A.-B.——

C.-2D.2

7.函数y=f(x)在［0,2］上单调递增，且函数/"(x)的图象关于直线x=2对称，则下列结论

成立的是()

A./,(IX

7

B.!</■(1)<

I

C.<

§

D.<M⑴

3(a—3)x+2,1,

8.已知函数F(x)=对任意的X1WX2都有(X1—X2)"(X2)—f(xi)]〉0

—4a—Inx,x>l

成立，则实数a的取值范围是(

A.(—8,3]B.(—8,3)

C.(3,+8)D.[1,3)

【多选题】

9.若f(x)=-x42ax与名⑸=缶在区间［1,2］上都单调递减,则实数a的取值可以是

()

1

A.-1B.-C.1D.2

Inx+2",x>0,

10.已知函数/'(分二^2则下列结论正确的是()

L-x

A.『(x)在R上为增函数

B.y(e)>y(2)

C.若/'(x)在(a,a+1)上单调递增，则aW—l或a20

D.当xG［—1,1］时，f(x)的值域为［1,2］

11.已知f(x)是定义在［0,+8)上的函数，根据下列条件，可以断定『(x)是增函数的是

A.对任意x20,都有广(x+l)>f(x)

B.对任意矛i,x2^[0,+°°),且矛12如都有(矛i)2(天)

C.对任意xi,x2^[0,+°°),且矛i一上2<0,都有广(矛i)一广(上2)<0

D.对任意Xi,X2^[0,+°°),且矛iW生，都有>0

XY—X2

12.定义新运算㊉：当己26时，a㊉6=绐当水6时，a*b=4,则函数F(x)=(1㊉x)x—

(2㊉x),x£[—2,2]的最大值等于()

A.-1B.1

C.6D.12

【填空题】

13.函数F(x)=|x—2|x的单调递减区间是.

14.如果函数f{x)=ax+2x-3在区间(一8,4)上单调递增，则实数a的取值范围是

15.已知y=F(x)在定义域(一1,1)上是减函数，且F(l—a)<『(2a-1),则实数a