广东省“六校”2024届高三年级上册9月联合摸底数学试题【含答案】

2024届高三级9月“六校”（清中、河中、北中、惠中、阳中、茂中）

联合摸底考试

数学试题

考生注意：

1.满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区

域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

3.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.若集合用={4>3},N={1,2,3,4},则MCN=（）

A.{1,2}B.{3,4}

C.{x[l<x<5,xeN*}D.

【答案】C

【解析】

3

【分析】求得集合屈={灯、>5},根据集合的交集运算可得答案.

【详解】由题意得河={x|2x>3}=1N={1,2,3,4},

故McN={2,3,4}={x[l<x<5,xeN*},

故选：C

2.已知三是复数z的共辗复数，则（i+z'i+z）=4+4i,则|z|=（）

A.1B.V5C.5D.472

【答案】B

【解析】

【分析】设出复数的代数形式，结合复数相等的定义、复数模的定义进行求解即可.

【详解】设2=%+耳（羽〉eR）,

由题意可得:

(i+z)(i+z)=-l+(z+z)i+z2=x2+y2-l+2xi=4+4i,

22

即X?+「=5,即|z|=^X+y=也,

故选：B

3.已知向量a=(-=(掰,2).若—则加=()

A.YB.2C.-2D.0

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面向量线性运算法则，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】因为2=(—1,1)1=(加,2),所以Z—3=(—1—阳1),

因为(a—b)_La,所以(a—b)，a=(—l)x(―1—加)+(—1)x1=0,

解得m=0,

故选：D

4.从1、2、3、4、5、6、7这7个数中任取5个不同的数，事件A：“取出的5个不同的数的中位数是4”,

事件3：“取出的5个不同的数的平均数是4”，则P(8|/)=()

1913

A.—B.—C.—D.一

73537

【答案】C

【解析】

【分析】根据中位数的性质、平均数的定义，结合古典概型、条件概率的公式进行求解即可.

【详解】根据题意，从7个数中任取5个数，则基本事件总数为C；=21,

这5个数的中位数是4的基本事件有C；C；=9个，

a3

所以尸(z)=五=7，

其中5个数的平均数都是4的基本事件有

1,2,4,6,7；1,3,4,5,7；2,3,4,5,6,共3种情况，

这3种情况恰好也是AB的基本事件，

所以P（45）=（=g,所以「（8|/）=P(AB)1

故选：c

71

5.已知函数/(x)=sin|0X+—（0＞0）在区间10,；内有最大值,但无最小值,则0）的取值范围是（

6

28j_525£8

A.B.C.D.

3；36563566；3

【答案】A

【解析】

【分析】根据正弦型函数的单调性，结合数形结合思想进行求解即可.

7r

【详解】因为0〉。’所以当时,

.71717171

则有一＜GX+—＜一刃+―,

6626

因为/（x）在区间内有最大值，但无最小值,

结合函数图象，得/＜四。+巴V型,

2262

2Q

解得一＜G4一,

33

故选：A

6.已知数列［an］的前〃项和为S",且满足S),="2+”+1,若＜+4=2027,p,qeN*,则夕+q=(

A.2027B.1012C.1013D.1014

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意所给条件求出数列的通项公式，利用通项公式分析得出夕国的值，从而解决问题.

【详解】因为5“=/+〃+1,

所以当〃=1时，q=3,

当“之2时，S,一S"_］=%=（〃2+“++（〃_］）+］=2n,

故数列从第2项开始都是偶数，而玛+%=2027是奇数，

故正整数P和9其中必有一个等于1n4=3,另一个就是alon=2024,

故夕+q=l+1012=1013,

故选：C.

7.设椭圆［+C=1（a>6>0）的左、右焦点分别为£、F21是椭圆上一点，归片|=4笔|,（，WXW2）,

ab2

7T

/茸隼=万，则椭圆离心率的取值范围为（）

A（0,马B.除当C4当D.［丰』）

JJJJ

【答案】B

【解析】

【分析】

22+1

设片(―c,0),鸟（c,0）,运用椭圆的定义和勾股定理，求得e?=令加=4+1,可得4二加一1,

(%+1)2

即有量=2（：-；）2+；，运用二次函数的最值的求法，解不等式可得所求范围,

【详解】解：设片（―c,0）,g（C,O）,由椭圆的定义可得，|W|+|平|=2即

可设|尸鸟|=/,可得|尸片|=加,

即有(X+1)，=2Q,①

由/为隼=],可得|P62+|pg「=4c2,

即为(22+1)/=4c2,②

22+1

由②+①2可得e?

(%+1)2

令加=4+1,可得4二加一1,

2

即有扁m-2m+21121

—二?m

132

由万”4,2,可得—„阳3,IP-,,-

3m3

则当加=2时，取得最小值;；当加=3或3时，取得最大值3,

229

即有;”e；,解得：g,,4

所以椭圆离心率的取值范围为［乎,理］.

故选：B.

【点睛】本题考查椭圆的定义、方程和性质,主要考查离心率的范围，同时考查不等式的解法，属于中档

题.

8.设a==e°,-l,c=tanO.l,则()

A.a<b<cB.C<a<b

Ca<c<bD.b<a<c

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数，求出导数，利用导数性质判断函数的单调性，由此能求出结果.

【详解】解：令/(x)=e-(x+1),所以1(x)=e，-l,

当尤＞0时H(x)〉0,当x＜0时/'(力＜0,

即函数/(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增,

所以/(x)min=/(°)=0.

即e*2x+l，当且仅当x=0时取等号，令x=0.1,可得b=e°J—1〉0.1，

JIJI1

令7z(x)=tanx-x,xe(0,—),则在xe(0,一)时，h\x)=-；——1>0,

22cosx

71

%(X)=tanX-X在X£(0,5)上单调递增，

■IJ

：./z(x)>/z(0)=0,.,.%£((),5)时，tanx>x.c=tanO.l>0.1,

11_T

令g(x)=lnx—x+1,贝i[g'(x)=__l=----,

XX

所以当0<X<1时g'(x)>0,当X>1时g'(x)<0,

即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,

所以g(x)max=g6=°，

即InxVx—1,当且仅当x=l时取等号，

所以当x=l.l,可得a=lnl.l<l.l—1=0.1,所以。最小，

设=ex一1一tanx(xe(0,0.1]),贝(]t\x)=eY--->0,

：.t{x}在(0,0』上单调递增，.」(0)<?(0.1),

.•./(O.l)=eol-l-tanO.l>e°-l-tanO=O,

b=e°1-1>tan0.1=c，

综上可得6〉c>a；

故选：C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图所示，棱长为2的正方体/BCD—44GA中，面对角线与8。相交于点。，则下列说法正确

A.。。"/平面48。1

B.点。到平面4BQ］的距离为"

3

C.过点A作与平面481〃垂直的直线/,贝IJ/与直线夹角的余弦值为且

3

D,沿正方体的表面从点A到点G的最短距离是20+2

【答案】AC

【解析】

【分析】根据题意，证得平面4BQ"/平面8£»G,可判定A正确；证得AD//平面48Q1,将。到平面

ABXDX的距离转化为B到平面ABXDX的距离，结合=VDi_ABBi,可判定B错误；证得4。1平面

4BR,转化为4c与5。的夹角，进而可判定C正确；结合正方体的侧面展开图，可得判定D错误.

【详解】对于A中，如图1,在正方体48CD—44Goi中，可得BQ//BD,ADJ/BCi，

因为稣平面3£>G，BQu平面3£>G，所以"D"/平面8£>G，

同理可证：40"/平面RDG，

又因为NAcBQi=3且AD1,BQ<z平面ABR,所以平面ABXDJI平面BDC,,

因为。Gu平面ADG，所以。G〃平面48。］,所以A正确；

对于B中，由平面ADC"/平面4BQ］,因为ADu平面5£>G，所以AD//平面人”劣，

所以点。到平面4BQI的距离等于8到平面48］。的距离，设为〃，

由△4BQ］为边长为2血的等边三角形，可得=%(2亚丫=2出,

又由腺一期4=/「极2可得gx2百・7/=；xgx2x2x2,解得/2=乎

即点。到平面的距离等于冬8,所以B错误；

3

对于c中，连接4。，在正方体48co中，可得平面4AG。，

因为BQiU平面4AG2,所以Z4，及。1,

又因为BR，4G,AAXn4c=4且441，4。U平面AA^X,所以BR1平面AA.C,,

因为4。u平面440,所以为2,4。，同理可证：AB{lAtC,

因为/用IBQ=片，且AB,Lu平面Z8Q］,所以4C，平面ABR,

所以过点A且垂直于平面ABXDX的直线IHA.C,

所以/与直线5C的夹角为4c与5。的夹角，即N4C8,

在直角A4CS中，可得cos/4cs=生=斗=走，所以C正确；

4c2V33

对于D中，如图2所示，由正方体侧面展开图可知2。=2J5,

即从正方体的表面从点A到点G的最短距离是2，所以D错误.

10.已知圆=4和圆c：（x—3y+（y—=4,P,Q分别是圆。，圆。上的动点，则下列说法错

误的是（）

A,圆。与圆。相交

B.|尸0|的取值范围是[3拒—4,3收+4]

C.x-y=2是圆。与圆。的一条公切线

D.过点。作圆。的两条切线，切点分别为则存在点。，使得NMQN=90。

【答案】AC

【解析】

【分析】利用两圆的位置关系可判断AB；求出外公切线可判断C；根据四边形OMQN为正方形，可判断

【详解】对于A选项，由题意可得，圆。的圆心为。（0,0）,半径"=2,圆C的圆心C（3,3）,半径马=2,

因为两圆圆心距|。。|=3五〉2+2=勺+々，所以两圆外离，故A错误；

对于B选项，|尸。|的最大值等于|OC+/]+G=30+4,最小值为|OC|—八―々=30-4,故B正确；

对于C选项，显然直线x-y=2与直线平行，因为两圆的半径相等,

则外公切线与圆心连线平行，由直线OC：y=x,设外公切线为y=x+t,

K

则两平行线间的距离为2,即正=2,故了=x+2y[2,

故C错误；

对于D选项，易知当NMQN=90°时，四边形QMQN为正方形，故当|。。|=2后时，ZMQN=90°,

故D正确.

故选：AC.

II,已知三次函数+云2+cx+d有三个不同的零点4超,七(%1</<七)，若函数

g(x)=/(x)—1也有三个不同的零点B2/3&<，2</3)，则下列等式或不等式一定成立的有()

A.<3cB.t3>x3

C.X]+%2+X3=4+G+'3D.xxx2x3-txt2t3=1

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A,由题意可得/'(x)=0有两个不同的实根，则△>(),从而可进行判断，对于B,根据图

象分析判断，对于CD,由零点的定义结合方程化简变形进行判断.

【详解】f^(x)=3x2+2bx+c,因为原函数有三个不同的零点，则/'(x)=0有两个不同的实根，

即3/+29+C=0，则A=4/—12c>0，即加>3c，所以A错误;

因为三次函数f(x)=x3+bx2+cx+d有三个不同的零点再,9，W(西</<七),

所以

3232

x+bx+cx+d=(x-Xj)(x-x2)(x-x3)=x-(X[+x2+x3)x+(XjX2+X2X3+X[X3)x-XJXJXJ=0,

所以匹+%+%3=—6内％2%3=-d,

同理人+父+，3=一bJ/2t3=1-d,

所以匹+%2+%3=%+，2+，3，%工2%3一d2%3=一1，故C正确，D错误;

由/(x)的图象与直线y=1的交点可知匕〉与，B正确.

故选：BC.

12.已知直线/过抛物线E:J?=4X的焦点厂，与抛物线相交于/(国,%)、8(/，%)两点，分别过45作

抛物线的准线4的垂线，垂足分别为4,用，以线段为直径作圆M,。为坐标原点，下列正确的判断有

A.X]+x2>2B.A/OB为钝角三角形

c.点厂在圆/外部D.直线4/平分N0E4

【答案】ABD

【解析】

【分析】对选项A,根据焦半径公式即可判断A正确，对选项B,根据力.无=一3<0即可判断B正确,

对选项C,D,根据抛物线的性质得到N44尸=ZA^FB,=90°,即可判断C错误，D

正确.

【详解】如图所示：

对选项A,由抛物线的焦半径公式可知|48|=再+/+2之2。=4,所以西+%»2,

故A正确；

对于选项B,OA-OB=x/2+乂％=（号）+%为'

16

令直线/的方程为x=my+l,代入y2=4x得「一4叩一4=0,所以％%=-4,

所以。7•砺=-3<0，所以是钝角三角形，故B正确；

对选项C,D,由以4|=|2刊可知，

又AA//OF,所以N/4尸=NOE4]=NZE4],所以直线E4平分角N/R9,

同理可得总'平分角4即O,所以4尸，即"即/4q1=90°，

所以圆〃经过点尸，故C错误，D正确.

故选：ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.现有5名同学从北京、上海、深圳三个路线中选择一个路线进行研学活动，每个路线至少1人，至多2

人,其中甲同学不选深圳路线，则不同的路线选择方法共有种.（用数字作答）

【答案】60.

【解析】

【分析】根据题意，分为甲同学单独1人和甲同学与另外一个同学一起，两类情况讨论，结合排列、组合,

即可求解.

【详解】每个路线至少1人，至多2人，则一个路线1人，另外两个路线各2人，

若甲同学单独1人时，有C；C：=12种不同的选法；

若甲同学与另外一个同学一起，则有C；C；C；A；=48种不同的选法，

则不同的选择方法有60种.

故答案为：60.

14.如图所示，在上、下底面均为正方形的四棱台48co-4400中，已知

说=BB]=CCj=DD[=4i,AB=2,AXBX=1,则该四棱台外接球的体积为.

【答案】W1兀

3

【解析】

【分析】根据正四棱台的性质和球的性质，结合球的体积公式进行求解即可.

【详解】由已知可知正四棱台的外接球的球心。在轴线"1上，如图所示，

HG=*HC=0HH\=',OC\=OC=r，设例=x，

当球心在线段"1延长线上时,

HiC1

有/+(变］=L-^+(V2)2,解得》=四,

、2J12J2

显然不可能，

当球心在线段”1上时，

有=［逅-J+(V2)2,解得x=",则「=也,

222

所以正四棱台的外接球的体积为「=3乃(亚)3=迤兀.

33

故答案为：----71

3

15.已知函数/@)=三彳+£»+2，且满足/(疗)+/(加—2)〉4,则实数加的取值范围是.

【答案】(-叫-2)U(l,+8)

【解析】

【分析】根据不等式的形式、已知函数的解析式形式构造新函数，结合函数的奇偶性和单调性的性质进行

求解即可.

【详解】令g(x)=《匚+殳，贝Ug(x)=/(x)—2,因为

eJ+1

eA-lb―1eT-ll-eT

g(x)+g(-x)i-exdex=-----1-----二0,

e'+l----ex+l------ex+lex+l

所以g(x)为奇函数.

/、2

又g（x）=l--^-r+ex，

e+1

所以根据单调性的性质可得g（x）为增函数.

因为/（加2）+/（加一2）〉4,

所以/（疗）一2+/（m-2）-2>0,等价于g„+g（加一2）〉0,即g"）〉—g（m-2）=g（2-加）,

所以加2>2—加,即加？+加—2>0,解得加<一2或S>1,

所以实数加的取值范围为（-8,-2）U（1,+8）.

故答案为：（-oo,-2）U（l,+℃）

【点睛】关键点睛：由不等式的形式构造函数8（%）=%1+改是解题的关键.

16.直线Vj分别与曲线>=2（x+l）,>=x+lnx交于48,则|/理的最小值为

3

【答案】-

2

【解析】

【详解】设/（X1,Q）,5（X2,Q）,则2（X1+1）=X2+ZHX2，

X1=y（X2^-Inx2）~1,

\AB\=X2TX\=y（X2一历X2）+1，

令尸g（x-加x）+i,则=,

・・・函数在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增，

3

・・・尸1时，函数的最小值为一，

2

3

故答案为一.

2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在等比数列｛%｝中，4=2,且％,生+1，。4成等差数列.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

2〃

（2）记勿=I1—/数列也｝的前〃项和为北，求不等式（<10的解集.

W〃—i+W〃+「I

【答案】（1）%=2"

（2）｛123,4,5｝

【解析】

【分析】（1）解：设数列｛4｝的公比为根据题意列出方程，求得q=2,进而得到数列的通项公式；

（2）由（1）得到b“=—1—12"—1，结合裂项法求和，求得北=，2向-1-1,结合题意，得到不等

式匚1<11，即可求得不等式的解集・

【小问1详解】

解：设数列｛4｝的公比为4，

因为4,%+1，。4成等差数列，所以2（%+1）=%+。4，即2（。汹"+1）=%+。］/,

又因为q=2,则2（2/+1）=2+2/，即2/=0,qw0,解得q=2,

所以数列｛4｝的通项公式为%=2".

【小问2详解】

r\n_________

解：由。“=2",可得b“=~^=~=V2,!+1-l-,2"—1,

所以7；=(7F^-Vr^)+(72r^i-72r^i)+---+(7Fr^i-72r^i)

=V2"+1-1-1

又由7；<10,可得即2"+i—l<121,〃eN*,

即2"i<122,〃eN*,所以“=1,2,3,4,5,所以不等式的解集为{1,2,3,4,5}.

18.如图，四棱锥力—PC8M中，底面四边形PCBN是直角梯形，PM〃BC/PCB=90°,BC=2,

PM=1,AC=1,ZACB=120°,AB1PC,直线ZM与PC所成的角为60°.

（1）求证：平面P/CL平面45C；

(2)点。为线段MB上一点，若二面角。—/。―8的大小为30。，求。8的长.

【答案】(1)证明见解析

⑵迪

3

【解析】

【分析】(1)由线线垂直可证明线面垂直，即可得面面垂直，

(2)建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.

【小问1详解】

证明：•••PC±AB,PC±BC,ABA5C=B,AB,BCu平面ABC,

PCABC.

又PCu平面R4C,

平面PAC±平面ABC.

【小问2详解】

在平面48c内，过。作x轴，C8,建立空间直角坐标系C-斗(如图).

>o),则M(O,l,Zo),

V33、

AM=F5*。，丽=(O,O,z0),

k7

由直线与直线PC所成的角为60°,得而•丽=|而［J而］-cos60°,即z；=；jz；+3.zo,得

z。=1,所以PC=1.

由直角梯形PCW可知ZCBM=45°,则可设0(0,2T,1)(04三1).

由题意可得CQ=(0,2—/,/),□=^,--,0,设平面ZC0的一个法向量为〃=(x,y,2),

取x=1,得〃=

[2-t^y+zt=0

平面45。的法向量取浣=（O,O/），

4321B

-Y，解得/=§（负值舍去），则@==2

19.已知AZ8C的内角48。的对边分别为"c,>ccosCsiiU=（2b-c）sinCcos^.

（1）求NZ；

（2）若|行—0|=4,<：058+（：05。=1,求ATIBC的面积.

TT

【答案】（1）A=-

3

⑵4月

【解析】

【分析】（1）由正弦定理边角化以及结合三角恒等变换即可求解，

（2）由和差角公式，结合三角函数的性质可判断三角形为等边三角形，即可由面积公式求解.

【小问1详解】

,一、…eabc

由正弦定理----二-----二-----，

sirvlsinBsinC

得sinCcosCsin4=（2sin5-sinC）sinCeos/.

化简得sinC（sinAcosC+cos/sinC）=2sin5sinCcosA,

由两角和的正弦公式得sinCsin（Z+C）=2sin_5sinCcos/.

由诱导公式化简得sinCsin3二2sinBsinCcosA.

因为。e（0,7i）,Be（0,7i）,

所以sin。w0,sin8w0,所以COS24=」.

2

由于Ze（0,兀），所以4=].

【小问2详解】

|CS-G4|=|J5|=4,即C=4.

TT

由（1）知2=一，

3

所以cosB+cosC=cosf——+cosC=-sinC+—cosC=sinfc+巴］=1,

I3）22I6）

因为0<C<0,巴<C+巴〈亚，

3666

7T7T7T

所以C+—=—nC=—.

623

即“BC为边长是4的等边三角形.

11-\/3

S“BC=—acsmB=—x4x4x^-=4v■

20.某同学进行投篮训练，已知该同学每次投中的概率均为05

（1）若该同学进行三次投篮，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，记X为三次总

得分，求X的分布列及数学期望；

^-np

（2）已知当随机变量《服从二项分布5（场,P）时，若"充分大，则随机变量〃=J〃夕0_夕）服从标准正态

分布N（0,l）.若保证投中的频率在0.4与0.6之间的概率不低于90%,求该同学至少要投多少次.

附：若〃表示投篮的次数，J表示投中的次数，则投中的频率为专；若〃~N（0,l）,则

尸①<1.28)=0.9,P(7<1,645)=0.95.

【答案】（1）分布列见解析，2

（2）68次

【解析】

【分析】（1）设事件4,^2,4分别表示第一次投中，第二次投中，第三次投中，

列出X的所有取值，再计算出对应的概率，即可求解.

（£\（—01〃—05Tl01〃'

出根据题意将尸0.4<£<0.620.9转化为尸—<&—>0.9,即可求解.

\（0.5〃051n0.5，〃J

【小问1详解】

设事件4,力2,4分别表示第一次投中，第二次投中，第三次投中,

根据题意可知x=0,1,2,3,4,

故尸(X=O)=P(4)P(4)P(4)=J

o

P(X=I)=P(4)P(4)P(4)+P(4)P(4)P(4)=；

P(X=2)=P(4)P(4)P(4)+P(4)P(4)P(4)=：

P(X=3)=P(4)P(4)P(4)+P(4)P(4)P(4)=1

p(^=4)=p(4)p(4)p(4)=1xlxl=1.

X的分布列为:

X01234

1111]_

P

84448

X的数学期望m=0x』+lxL+2x』+3x!+4x1=2.

84448

【小问2详解】

设至少投〃次，其中投中的次数1~3(”,0.5),

若尸(0.4<6<0.6]20.9,即0(0.4〃<J<0,6M)>0,9,

一0.1〃自一0.5九0.1〃

由已知条件可知尸>0.9,

0.5〃05GG5G

又因为尸(〃<1.645)=0.95,所以0.23>1.645，

所以67.6

所以至少要投68次才能保证投中的频率在0.4到0.6之间的概率不低于90%

22

21.已知双曲线C：5—1=l(a>0,b>0)经过点4(2,0),4(4,0),4仅在⑹，4(2血,—⑹,

4(G,G)中的3个点.

(1)求双曲线C的方程；

(2)已知点M,N是双曲线C上与其顶点不重合的两个动点，过点N的直线右都经过双曲线。的

右顶点，若直线右的斜率分别为左，左2,且左+左2=1，判断直线施V是否过定点，若过定点，求出该

点的坐标；若不过定点，请说明理由

22

【答案】(1)土-匕=1

43

(2)直线跖V过定点，且定点坐标为(2,3)

【解析】

【分析】(1)分析出双曲线经过的3个点，然后求得。,人，从而求得双曲线。的方程.

(2)设出直线跖V的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由左+左2=1列方程进行化简，

进而求出直线跖V过定点(2,3)

【小问1详解】

由于4,4关于x轴对称，所以4,4要么都在双曲线。上，要么都不在双曲线。上.

点4,4不可能都在双曲线。上，因为双曲线。经过3个点，所以4,4都在双曲线。上・

2283

将的坐标代入4=1得=―不=1,

abab

由4,4都在双曲线c上可知4(4,0)、4(G,G)都不在双曲线。上，

所以点4(2,0)在双曲线c上，故a=2,

Q3

结合-....-=1可得b=V3,

ao

22

所以双曲线。的方程为L-2=1.

43

【小问2详解】

设M(Xi，yJ,N(X2，%)，其中％0出，故可设直线跖V的方程为》=叼+〃，

x=my+n

由＜22消去工并化简得(3加之一4)/+6加町+3/-12=0,

土-上=1

[43

6mn3M2-12

3加2_4W0，必+%=一3加2_4'必』-3加2_4

因为双曲线。的右顶点为4(2,0),且左+左2=1，

所以必+%=---Z1----+----%----

七一2x2-2myx+〃-2my2+n-2

二2加%丁2+(〃_2)(弘+)2)

川必必+加(〃-2)(必+%)+(〃—2)*2

Gm"-24m6mn2—12mn

3病-4-3加2—4''],

3m2n2-12m26m2n2-12m2n/_2-n

-----丁一-------亍•+("2yx2

3m2-43m2-4

所以〃=—3加+2,代入%=叩+〃得x=加(y—3)+2,

当》=3时，x=2,

所以直线MV过定点(2,3).

Inx

22.已知函数/(x)=---l-a(x-l),aGR.

x

(1)试讨论/(X)的极值点的个数；

(2)若g(x)=W(x),且对任意的xe[l,+oo)都有g(x)<0,求。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)(-oo,-l]

【解析】

【分析】⑴根据题意，求得/'(x)=a—"口，令/'(x)=0,单调°=叵二，令〃卜)=生」

求得加(x)=3，得到函数力(x)的单调性与最大值，进而得出答案.

X

(2)解法一：令加(％)=g'(x)=—+2QX—Q,求得，(x)=--G+2Q,得到函数加(x)的单调性，且

m(x)<m(l)=l+«<0,进而得g(x)在[1,+8)上单调递减，进而求得。的取值范围；

解法二：由g(x)=M(x)=hur+ax?-ax,当aNO时，g(2)>0,不符合题意；当a<0时，取得

/卜)=网*±1,得到g，(x)=。有两个异号实根%,匕，分马〉1和0<%<1，两种情况讨论，即可

求解.

1r11*lr)Y

解法三：根据题意，把不等式的恒成立，转化为—-Z一恒成立，令一,求得

X-xX-x

/、(2x-l)lnx-(x-l)

=-一六—F―令夕(x)=(2x—l)lnx—(x—利用导数求得函数的单调性，得出

(X-X]

《X)在(1,+8)上单调递增，进而求得。的取值范围.

【小问1详解】

解：由函数/(x)=U^+a(x—1)的定义域为(0,+动，可得/<x)=a—蛔二，

XX

人万/\M口rlnx-1人7/、lnx-1E7，/\3-21m;

令/(x)=。，即。=——2-'令力(')=——J-'则〃(1)=---3-，

当0<x<el时，〃(可>0,/z(x)单调递增；

当X〉[时，〃'(x)<0，Mx)单调递减，

所以力OOmax叫e2=—,

又当0<x<e时，/z(x)<0j=L/z(e)=O；且当x-+co时，