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文档简介
2024高考数学冲刺模拟卷01(解析版)
第I卷(选择题)
一、单选题
1.抽样统计某位学生8次的数学成绩分别为81,84,82,86,87,92,90,85,则该学生这8次
成绩的75%分位数为()
A.85B.85.5C.87D.88.5
【答案】D
【分析】将题设中的数据按由小到大排列后可求75%分位数.
【详解】8次的数学成绩由小到大排列为:81,82,84,85,86,87,90,92,
因8x75%=6,故75%分位数为双詈=88.5,
故选:D.
22
2.已知双曲线C:3-方=1的焦距为6,则双曲线C的焦点到渐近线的距离为()
A.6B.2C.4D.商
【答案】B
【分析】由题意可得,c=3,由5+/=9,解得6=2,可得6,求出渐近线方程,再
由点到直线的距离公式计算即可得到.
【详解】由题意可得,c=3,焦点为(-3,0),(3,0),
贝!]5+。2=9,解得匕=2,又a=下,
则双曲线的渐近线方程为y=±竽彳,
645
则焦点到渐近线的距离为彳=2.
k
故选:B.
3.等比数列{%}满足4+。3=1。,。2+。4=2。,则§6=()
A.30B.62C.126D.254
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质,由题中条件,先求出首项和公比,即可.
【详解】设等比数列{4}的公比为心
2+c
由q+2=1°,4+g=20可得4=--------=2,
%十%
2
则a{+a3=a{+a[q=5%=10,
所以。i=2,
因止匕-26)=i26.
61-2
故选:C
4.设m,n是不同的直线,d夕是不同的平面,则下列命题正确的是()
A.若相〃%”〃力,a〃£,则B.若a_L4,〃2_La,〃_L^,贝
C.若a_!_/?,机〃a,”///7,则m_!_/D,若机//〃,〃_1_万,"z_La,则a〃/
【答案】D
【分析】利用线面、面面平行关系判断A;由B的条件可得判断;由直线机、”
都平行于a,尸的交线判断C;由线面垂直的性质推理判断D.
【详解】对于A,若机〃〃民a〃6,则直线机与"可能相交、也可能平行、还可能
是异面直线,A错误;
对于B,若a_L尸,加_La,77_L/?,贝!B错误;
对于C,若a。,直线机与〃可能平行,
如直线加、〃都平行于名夕的交线,且满足条件,而加//〃,C错误;
对于D,若根//〃,〃_1_2,则相J_£,又加_La,因止匕a//6,D正确.
故选:D
5.某表彰会上3名男同学和4名女同学从左至右排成一排上台领奖,则女生甲与女生
乙相邻,且女生丙与女生丁相邻的排法种数为()
A.194B.240C.388D.480
【答案】D
【分析】由题意,将女生甲与女生乙和女生丙与女生分别捆绑起来算作两个元素,再与
3名男同学全排列即可.
【详解】解:因为女生甲与女生乙相邻,且女生丙与女生丁相邻,
则捆绑起来算作两个元素,与3名男同学构成5个元素,
则排法共有:A>A>A;=480种,
故选:D
兀
6.已知兀),且cos2e-3sing+l=0,贝Usin9+cos9=()
A^3-1R1-A/3「布-1八1~A/3
4422
试卷第2页,共19页
【答案】D
【分析】根据条件,得至!|sine=1,从而得到。=学(或cos*-正),即可求出结果.
262
【详解】由已知得l-2sin2〃一3sin6»+l=0,即Zsin?61+3sind-2=0,、
解得sind=彳i或sin〃=—2(舍去),又。e(j£r,7i),得。=S?ir,
226
sin+cos0=sin—+cos—=-—.
662
(另解:由已知得2sin2®+3sin9一2=0,
]兀
解得sin6=5或sin8=—2(舍去),又。£(于兀),
贝!Jcos/=-,l-sin29=一立,故sin6+cos6=^—.)
22
故选:D.
22
7.已知双曲线C:3尤2-9=3/的一条渐近线1与椭圆
ab
B两点,若闺玛RABI,(月,8是椭圆的两个焦点),则E的离心率为()
A.73-1B.且
2
C.(-00,1)D.(-00,0)
【答案】A
【分析】由题意求出双曲线的渐近线,则可得NAO居=60。,由已知条件可得四边形
然3工为矩形,则|AO|=|O阊=|M|=c,|阳=底,再根据椭圆的定义列方程化简
可求出离心率.
22_
【详解】由已知C:二-上y=l,则双曲线的一条渐近线/:y=gx,即/A。❷=60。,
m3m
又闺局即|0阊且四边形442工为矩形,
所以|AQ|=|O阊=|隹|=c,则|然上而『二而=限,
又根据椭圆定义可知|前|+|4闾=豆。+。=2。,
所以离心率W=G-
故选:A
8.某数学兴趣小组研究曲线C]:g+J7=l和曲线C2:]+y4=l的性质,下面同学提
出的结论正确的有()
甲:曲线G,Cz都关于直线y=x对称
2
乙:曲线C1在第一象限的点都在椭圆。3:1r+>2=1内
丙:曲线C?上的点到原点的最大距离为指
A.3个B.2个C.1个D.0个
【答案】C
【分析】对于甲,直接举反例即可推翻,对于乙,由条件E+J7=l,0<x<2,0<y<l,
通过比较亍+丁-1和0的大小关系即可得解,对于丙,直接由三角换元法即可判断.
【详解】对于甲,曲线a:E=1上的点G,o)关于直线y=x的对称点(o,2)不在曲
线G:E+J7=I上,故甲错误;
对于乙,若=1,0<x<2,0<y<1,
贝1J?+y2T=。-6)+y2T=。-4)+(y+i)(77+i)(V7T)
+(7+1)(77+1)]=(77-1)卜6-3尸377一1+〉77+y+77+1)
=(Vy-l)(2yVy-2y+477)=277(77-1)(y-77+4)=277(77-1)[4-]+/<0
,故乙正确;
对于丙,用(-X,y),(X,-y),(r,-y)依次分别代替曲线C2:;+y4=1方程中的x,y方程
依然成立,
故曲线C?关于坐标轴以及坐标原点对称,
所以不妨设,万=3。,丫2=5皿。,。€0段,
所以yfx2+y1-J2cose+siv。=/后sin(6+0)<A/5<小,故丙错误;
试卷第4页,共19页
综上所述,同学提出的结论正确的有1个.
故选:C.
【点睛】关键点睛:判断乙的关键是由条件J5+V7=l,0<x<2,0<y<l,通过比较
:+y2_i和0的大小关系即可顺利得解.
二、多选题
9.已知函数ya)=sinox-6cosox(0>O)的最小正周期为兀,则()
A.3=2
B.点(-去。]是小)图象的一个对称中心
C.〃x)在上单调递减
D.将“X)的图象上所有的点向左平移g个单位长度,可得至打=2^(2》-「的图象
【答案】AD
【分析】由已知利用两角差的正弦公式化简函数解析式,利用正弦函数的周期公式即可
求解得。的值,即可判断A;利用正弦函数的对称性即可判断B;利用正弦函数的单调
性即可判断C;利用三角函数的图象变换即可判断D.
【详解】因为/(%)=sinG%-百cosG%=2sin(G%-g)的最小正周期为兀,
2兀
所以一=兀,解得0=2,故A正确,
G)
TT
所以/(x)=2sin(2x-§),
由于"一己)=2'诃2乂(-己)一目=-2,
所以点,器,。]不是/⑴图象的一个对称中心,故B错误,
当xe信"可得2x-ge(g,学),函数不是单调递减,故C错误,
7T
将/(尤)的图象上所有的点向左平移W个单位长度,
TT
可得y=2sin[2(%+')—二]=2sin|2x+———=2cos(2x——)故D正确.
故选:AD.
10.已知Z”Z2为复数,则下列说法正确的是()
A.zx+z2=z2
B.|z1-z2|=|z1|-|z2
C.若zj+z;=O,则Z]=Z2=。
D.若Z]Z2=0,则4=0或z?=0
【答案】ABD
【分析】利用复数运算性质判断ABD,举反例判断C.
【详解】设+历,z2=c+di(a,b,c,deR),因为4+z2=a+c-(b+d)i,
Z+Z2=a+c-(b+d)i,所以4+Z2=Zj+Z2,故A正确;
又|z[.z2]=[(a+6i)(c+di)|=\ac—bd+^ad+bc)^,
=+(ad+6c)-=&ac)2+(bd『+(adj+(.c)一,
[Z1口z?|=y/a2+b2-y/c2+d2-^(ac)2+(M)2+(^c)+{bc^,
所以归旬=闻生|,故B正确;
取4=1,z2=i,可得z:+z;=l-l=O,故C错误;
若夺2=0,由B选项知|平2卜㈤忆卜0,所以团=0或㈤於0,可得4=。或Z2=0,
故D正确;
故选:ABD.
11.已知函数“X)满足(x+y)/(x)/(y)=a/(x+y),且/'⑴=2,则()
A.〃。)=。
B."2)=8
C.函数/(X)为奇函数
D./(1)+/(2)+/(3)++/(")=(〃一1)2向+2
【答案】ABD
【分析】令x=O,y=l判断A,令x=y=l判断B,令x=Ty=2,求出/(一1)=一gw-/⑴,
判断C,令x=l,y=〃,得/⑺=ax2",利用错位相减法判断D.
【详解】对于A,令x=O,y=l时,则/(0)/(1)=0,又/(1)=2,所以/(0)=0,故A
正确;
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对于B,令x=y=l时,则=/⑵,又/⑴=2,所以/(2)=8,故B正确;
对于C,当x=Ty=2时,则/(—1)/(2)=-2〃1),又/⑴=2,/(2)=8,
所以/(-1)=-:力-/(1),所以函数/(x)不为奇函数,故C错误;
对于D,当x=l,y=〃时,则(1+力)/(1)/(〃)=45+1),又/(1)=2,
/、,、、f(n+l)n+1
所以2(1+〃)/⑺=械(几z+1),即一———-=2——,
A1)XZHX34
所以当时,x—X—X
/(2)/(3)23
即着“二
即/伍)=8“X2"-3="X2〃,n>2,
当〃=1时,代入上式,lx21=2=/(l),所以/(〃)=〃x2",
设S.=/(l)+/(2)+〃3)++/(〃),
则S“=1x21+2x2?+3x2、+nx2"①
234K+1
2Sn=1X2+2X2+3X2++nx2②
①-②得,
,234n+1
-S,I=2+2+2+2++2"-nx2
Qo〃+i
=——-nx2"+1
1-2
=(l-n)x2,i+1-2,
所以S.=(〃-l)x2",2,故/⑴+〃2)+/(3)++"〃)=(〃—l)2"+i+2,故D正确,
故选:ABD.
【点睛】关键点点睛:赋值法的直观应用,对于D选项,构造数列,利用错位相减法
求解.
第II卷(非选择题)
未命名
三、填空题
12.已知集合A={(x,y)|x+y=2},B={(x,_y)|(x-1)2+y2=1},则AcB中元素的个
数为
【答案】2
【分析】根据题意,利用直线与圆的位置关系的判定,即可求解.
【详解】由圆(x-l)2+V=i,可得圆心M(1,O),半径为厂=1,
则圆心”(1,0)到直线x+y=2的距离4=展=1<1,
可得直线与圆相交于两个公共点,所以AcB的元素的个数为2.
故答案为:2.
13.如图,在正四棱台ABCD-A[B]C]A中,AB=6,A瓦=4,队=底,则该棱台的
体积为,点4到面AC2的距离为.(本小题第一空2分,第二空3分)
【分析】过点4作AE,AC交AC于E点,根据几何体的结构特点分析出\E即为正四
棱台的高,然后根据体积公式求出体积;过点耳作耳交。。于M点,根据几
何关系证明出4M的长即为所求点面距离,再根据线段长度求出结果.
【详解】连接AGc与2=&,AC连接。。,过点4作AELAC交AC于
E点,如下图所示:
DiG
因为几何体为正四棱台,所以平面ABC。,
又因为AE_LAC,OO|,AC,所以AE//。。,所以为正四棱台的高,
又因为AB=6,A4=4,
所以H任*=巫逑=应,
22
试卷第8页,共19页
所以AE=1附-4炉=2,
所以棱台的体积为:|x2x(16+36+V16x36)=^y;
连接A。,与。,过点且作用M_L。。交。。于M点,如下图所示:
因为。。1_LAC,AC_L8D,001BD=O,
所以AC,平面。24B,所以AC,用M,
又因为B|M_L2。,ROAC=O,
所以与M,平面ACDt,所以gM的长度即为点B,到面AC%的距离,
由对称性可知:DQ=BQ=5O;+OO;=78+4=2也,
所以sin/4口。=第=3==半,
DQ2V33
所以4M=4Rxsin/2QO=40xg=¥,
所以点用到面AC,的距离为短,
3
故答案为:苧;战.
33
14.定义,%}表示的、a?、L、。“中的最小值,max{%,外,...,凡}表示的、
«2>L、%中的最大值,设G<m<n<p<2,已知"23:"或相+2〃W3,贝U
min{max{〃一私2一0}}的值为.
【答案】|3
【分析】设〃7"=x,P—n=y,2-p=z,可知x>0,y>0,z>0,可得出
Izz=2-v—z
\,,设河=111稣{%y,z},分机、机+2〃W3两种情况讨论,结合不等
[m=2—x—y—z
式的基本性质可求得M的最小值.
【详解】设〃一根二%,P~n=y,2—p=z,且。<根v簿vpv2,贝ljx>o,y>0,z>0,
n-2-y-z
所以,
m=2-x—y-z
若〃23相,则2—y—z—之3(2—x—y—z),故3%+2y+2z24,
3M>3x
4
设M=max{x,y,z},因此,<2M>2y,故7MN3x+2y+2zN4,gpM>—,
2M>2z7
若m+2〃W3,贝lj2—x—y—z+2(2—y—z)<3,即x+3y+3z>3,
M>x
3
则3M23),故7M2%+3y+3z>3,当且仅当%=3y=3?=2时,等号成立,
3M>3z
综上所述,min{max{〃—〃p—,2—〃}}的最小值为
3
故答案为:—.
【点睛】关键点点睛:解本题的关键在于换元〃一m=冗,P-n=y,2-p=2,
A/=max{羽y,z},将相、几用无、>、z表示,结合不等式的性质求解.
四、解答题
15.已知函数/(x)=lnx+f-"在点(1]⑴)处的切线方程为x+y+相=0.
⑴求实数上和加的值;
⑵求〃%)在[l,e]上的最大值(其中e是自然对数的底数).
【答案】(1)攵=4,m=2
⑵e?—4e+l
【分析】(1)对函数求导,根据导数的几何意义可求人的值,再根据切线过切点求根的
值;
(2)根据导数与函数单调性的关系,分析函数在给定区间上的单调性,再求函数的最
大值.
【详解】(1)因为/(x)=lnx+%2-履
所以/'(%)=—\-2x-k,
x
f(l)=3-k=-l
由题意可得,
f(l^=l-k=-m-1
试卷第10页,共19页
解得:左=4,m=2.
(2)由(1)可得,/(x)=lnx+x2-4x
所以「(尤)=。+2彳_4=2厂-4x+],且xe[l,e],
XX
易得,当xe[l,l+乎]时,/'(@<0,函数单调递减,
当xe[l+*,e]时,r(X)>0,函数单调递增,
又/⑴=-3,/(e)=e2-4e+l,£./(e)-/(l)=e2-4e+4=(e-2)2>0,
即最大值为:/(e)=e2-4e+l.
16.已知函数〃x)=2月sir?x+(sinx+cosx)2一6.
⑴求函数/(%)的最小正周期;
JTJT
⑵若xe,求y=〃x)的最值及取最值时x的值;
(3)若函数y=/(x)-加在xe内有且只有一个零点,求实数m的取值范围.
【答案】⑴兀
⑵最小值为T,此时彳=若;最大值为2,止匕时x=;
⑶[1-后1+⑹{3}
/兀
【分析】(1)根据三角恒等变换得到〃/x)\=2sin/[2尤-71"|+1,从而根据时求出最小正
周期;
jrTT(jrA57rjr
(2)xe时,2x-we,整体法求出函数的最值及对应的无;
(3)转化为y=sin(2x-:j在xe的图象在与直线>=—只有一个交点,画出
jr27r
>=5吊2在26--,y上的图象,数形结合进行求解
【详解】(1)/(%)=2布sin2x+(sinx+cosx)2-A/3=2^3--~+1+2sinxcosx-y/i
=sin2x-A/3COS2x+1=2sin-^+1,
故函数的最小正周期为D三R=兀.
⑵由⑴知/(x)=2sin(2x—1)+l,因为xe一:弓,所以「元―一g常,
(TT]SJTTT
令「2%-彳,贝|y=sinl,函数y=sinl在区间-■,-彳上单调递减,
V3;_62.
在区间-再上单调递增,所以f],即X=;时,
函数/(X)=2sin12x-今1+1有最大值,最大值为=2.
当即A-自,函数/(x)=2sin(2xqj+l有最小值,
最小值为(-曰=-1.
综上xe-*:,y=/(x)的最小值为一1,此时x=q;最大值为2,此时x=;.
(3)因为函数y=/(x)-m在xe。,|"内有且只有一个零点,
所以/(%)-m=0在xe0,y只有一个实根,
2sin^2x-y^+l-m=0,gpsin-=,
即函数y=sin(2尤f在xe的图象在与直线y=—只有一个交点,
TTTTTT27rTT27r
当xe0,-时,2x--e,画出y=sinz在ze上的图象,如下:
乙D。DJJ
结合函数图象可知:函数y=sin[2x-]J在区间的图象与直线、=?只有一个
交点时,
—当冬u{l},即一+@u{3}.
17.如图,在平行六面体ABCD-4旦GA中,ACBD=O,AB=AD=2,AAi=3,
ZBAA,-ZBAD=ADA\=],点P满足O尸=|zM+:OC+goD;.
(1)证明:O,P,31三点共线;
试卷第12页,共19页
(2)求直线AC与平面PAB所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
\^)———
【分析】(1)以为基底,表示。耳和。尸,得。4=30尸,可得O,P,耳三
点共线;
(2)证明0A。尻。4两两互相垂直,建立空间直角坐标系,利用向量法求线面角的正
弦值.
【详解】(1)证明:DO=-DA+-DC,所以。2=£>2-。0=」。4+工£^+、。。1,
22663
而OB[=OB+BBi=^DA+^DC+DD,,
所以(94=3OP,即O,P,q三点共线.
(2)连接。A,AB=AD=2,Z.BAD=—,所以BD=2,AC=2用,
TT
=3,=2,NBAAj=—,
由余弦定理得AB=J4+9—2x2x3xcos]=S,
同理可得,入D=夜.
又•,O为BD的中点,.•・4。,瓦九AOHAB=BO。=屈.
AO=^/3,M2=A02+A02>即A。J-AO.
如图,以o为原点建立空间直角坐标系,
则A(O,O,W),A(G,O,O),B(0,l,0),C(-73,0,0),B《-也,1,㈣,
由(1)可得,P为线段。片三等分点,
所以
4^|屈'
AC=(-V3,0,-V6),AP=[F'E,AB=(-^,1,0),
4百1nc
A4PD•几=-------x+—yH------z=0,
设平面PAB的法向量为〃=(x,y,z),则,333
AB•n=—y[3x+y=0,
令%=应,贝!]y=#,z=3,R=a,3).
设直线AC与平面PAB所成角为凡
4。川4屈4715^
则sin6=cos4。,九
4C||M|-3x717-51,
直线4c与平面PAB所成角的正弦值为勺叵.
51
22
18.在平面直角坐标系宜刀中,双曲线C:*-左=l(a>0/>0)的左顶点到右焦点的
距离是3,且C的离心率是2.
⑴求双曲线C的标准方程;
⑵点4(%,%)是C上位于第一象限的一点,点43关于原点0对称,点A,。关于了轴对
称.延长AD至E使得QE|=g|Aq,且直线BE和C的另一个交点厂位于第二象限中.
(i)求为的取值范围,并判断/。4尸=5是否成立?
(ii)证明:AE不可能是NBAF的三等分线.
2
【答案】⑴尤2-工=1
3
(2)(i)[芈,+/;(ii)证明见解析
-=2
【分析】(1)结合题意可得:工,a,解出。力,。,写出双曲线方程即可.
a+c—5
c2=a2+b1
(2)(i)根据题意,得到求得直线BF的方程,联立方程
组,结合韦达定理,求得/点的坐标,列出不等式关系式,求得为的范围,再由(i),
求得直线AF的斜率并化简,得至IJkAFk0A=-l,即ZOAF=|,(ii)求得tanZBAE的
范围,进而证得AE不可能是/A4F的三等分线.
【详解】(1)因为双曲线C的左顶点到右焦点的距离是3,且C的离心率是2,
试卷第14页,共19页
-=24=1
a
所以解得c=2
〃+c=3
C2=/+/b=\/3
2
故双曲线c的标准方程为炉—匕=1;
3
(2)(i)因为点A(%,%)是。上位于第一象限的一点,点A3关于原点。对称,点
关于y轴对称.延长AD至E使得口同=!">|,
所以3(-%0,-%),4-具0,%],所以%=-中,
\J)xo
可得直线BF的方程为y=--^-4%,
%
y=_3%
联立:。,消去y并整理得[绰-3”^£》+16%2+3=0,
X2_2_=]IX。)”。
、~T~
因为直线所与双曲线C有两个交点,并设厂(3,%),
I[=16—+3,16y;+3
所以「。
由韦达定理得解得
则力=一一—-4y0>0,所以/<一:/<0成立,
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尤=16婷+3<4xr-万
此时只需Fa_9y^3'°,解得/>士竺,则%的取值范围为子,+少
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玉)\
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所以七"OA=T,即/04斤=3,
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(ii)证明:由(i)知/。4歹=5,
因为tan/BAE=%=迎=J1一」e
【点睛】方法点睛:圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略:
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
(2)利用已知参数的范围,求新的参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之
间的等量关系;
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
(4)利用已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参
数的取值范围.
19.对于给定的奇数加("后3),设A是由机x机个实数组成的加行加列的数表,且A中
所有数不全相同,A中第i行第/列的数%e{-M},记中)为A的第i行各数之和,c(j)
为A的第j列各数之和,其中盯e{1,2,,m}.记/(A)=一一卜⑴+,;)++厂(珂.设
集合•厂⑺<0或%”(/)<0,2,,叫},记"(A)为集合H所含元素
的个数.
⑴对以下两个数表4,4,写出/(下),"(A),〃4),"(4)的值;
11111-1-1111
1111-1-1111-1
111-1-1111-1-1
11-1-1-111-1-1-1
1-1-1-1-11-1-1-1-1
A\Ai
⑵若厂(1)/(2),中恰有$个正数,c(l),c(2),,c(〃2)中恰有,个正数.求证:
"(A)>mt+ms-2ts-
试卷第16页,共19页
,H(A)
(3)当m=5时,求•,/的最小值.
J\A)
【答案】⑴/(A)=i。,"(4)=12;"4)=12,“(4)=15
(2)证明见解析
⑶&
9
【分析】(1)按定义求出厂⑺,c(j),,=1,2,,5,j=l,2,,5,进行求解即可.
(2)分两种情况进行证明,即①se{0,叫或f«0,3,②se{0,明且f任{0,叫分别证
明即可.
(3)因为加=5,分情况讨论①若se{0,5}或“{0,5}时;②若se{2,3}或一{2,3};③
若{印}={1,4},进行求解.
【详解】(1)44)=1。,"(4)=12;44)=12,H(A)=15.
由定义可知:将数表A中的每个数变为其相反数,或交换两行(列),H(A),/(A)的
值不变.因为优为奇数,因w{-U},所以r(l),r(2),,r(m),c(l),c(2),…,c(")均不
为0.
(2)当se{0,"z}或te{0,叫时,不妨设s=0,BPr(z)<0,i=1,2,,m.
若t=0,结论显然成立;
若30,不妨设c(j)>0,J=l,2,-,t,则
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