2024高考数学冲刺模拟卷1（解析版）

2024高考数学冲刺模拟卷01（解析版）

第I卷（选择题）

一、单选题

1.抽样统计某位学生8次的数学成绩分别为81,84,82,86,87,92,90,85,则该学生这8次

成绩的75%分位数为（）

A.85B.85.5C.87D.88.5

【答案】D

【分析】将题设中的数据按由小到大排列后可求75%分位数.

【详解】8次的数学成绩由小到大排列为：81,82,84,85,86,87,90,92,

因8x75%=6,故75%分位数为双詈=88.5,

故选：D.

22

2.已知双曲线C:3-方=1的焦距为6,则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（）

A.6B.2C.4D.商

【答案】B

【分析】由题意可得，c=3,由5+/=9,解得6=2,可得6,求出渐近线方程，再

由点到直线的距离公式计算即可得到.

【详解】由题意可得，c=3,焦点为（-3,0）,（3,0）,

贝!]5+。2=9,解得匕=2,又a=下,

则双曲线的渐近线方程为y=±竽彳，

645

则焦点到渐近线的距离为彳=2.

k

故选:B.

3.等比数列｛%｝满足4+。3=1。，。2+。4=2。，则§6=（）

A.30B.62C.126D.254

【答案】C

【分析】根据等比数列的性质，由题中条件，先求出首项和公比，即可.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为心

2+c

由q+2=1°,4+g=20可得4=--------=2,

%十%

2

则a{+a3=a{+a[q=5%=10,

所以。i=2,

因止匕-26）=i26.

61-2

故选：C

4.设m,n是不同的直线，d夕是不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若相〃％”〃力,a〃£，则B.若a_L4，〃2_La,〃_L^,贝

C.若a_!_/?,机〃a,”///7,则m_!_/D,若机//〃,〃_1_万,"z_La,则a〃/

【答案】D

【分析】利用线面、面面平行关系判断A；由B的条件可得判断；由直线机、”

都平行于a,尸的交线判断C；由线面垂直的性质推理判断D.

【详解】对于A,若机〃〃民a〃6，则直线机与"可能相交、也可能平行、还可能

是异面直线，A错误；

对于B,若a_L尸，加_La,77_L/?,贝!B错误；

对于C,若a。，直线机与〃可能平行，

如直线加、〃都平行于名夕的交线，且满足条件，而加//〃，C错误；

对于D,若根//〃,〃_1_2，则相J_£,又加_La,因止匕a//6,D正确.

故选：D

5.某表彰会上3名男同学和4名女同学从左至右排成一排上台领奖，则女生甲与女生

乙相邻，且女生丙与女生丁相邻的排法种数为（）

A.194B.240C.388D.480

【答案】D

【分析】由题意，将女生甲与女生乙和女生丙与女生分别捆绑起来算作两个元素，再与

3名男同学全排列即可.

【详解】解：因为女生甲与女生乙相邻，且女生丙与女生丁相邻，

则捆绑起来算作两个元素，与3名男同学构成5个元素，

则排法共有：A>A>A；=480种，

故选：D

兀

6.已知兀），且cos2e-3sing+l=0,贝Usin9+cos9=（）

A^3-1R1-A/3「布-1八1~A/3

4422

试卷第2页，共19页

【答案】D

【分析】根据条件，得至!|sine=1,从而得到。=学（或cos*-正），即可求出结果.

262

【详解】由已知得l-2sin2〃一3sin6»+l=0,即Zsin?61+3sind-2=0,、

解得sind=彳i或sin〃=—2（舍去），又。e（j£r,7i）,得。=S?ir,

226

sin+cos0=sin—+cos—=-—.

662

（另解:由已知得2sin2®+3sin9一2=0,

]兀

解得sin6=5或sin8=—2（舍去），又。£（于兀），

贝！Jcos/=-，l-sin29=一立,故sin6+cos6=^—.）

22

故选：D.

22

7.已知双曲线C:3尤2-9=3/的一条渐近线1与椭圆

ab

B两点，若闺玛RABI,（月,8是椭圆的两个焦点），则E的离心率为（）

A.73-1B.且

2

C.（-00,1）D.（-00,0）

【答案】A

【分析】由题意求出双曲线的渐近线，则可得NAO居=60。，由已知条件可得四边形

然3工为矩形，则|AO|=|O阊=|M|=c,|阳=底,再根据椭圆的定义列方程化简

可求出离心率.

22_

【详解】由已知C:二-上y=l,则双曲线的一条渐近线/:y=gx,即/A。❷=60。，

m3m

又闺局即|0阊且四边形442工为矩形,

所以|AQ|=|O阊=|隹|=c,则|然上而『二而=限，

又根据椭圆定义可知|前|+|4闾=豆。+。=2。,

所以离心率W=G-

故选：A

8.某数学兴趣小组研究曲线C]：g+J7=l和曲线C2：]+y4=l的性质，下面同学提

出的结论正确的有()

甲：曲线G，Cz都关于直线y=x对称

2

乙：曲线C1在第一象限的点都在椭圆。3：1r+>2=1内

丙：曲线C?上的点到原点的最大距离为指

A.3个B.2个C.1个D.0个

【答案】C

【分析】对于甲，直接举反例即可推翻，对于乙，由条件E+J7=l，0<x<2,0<y<l,

通过比较亍+丁-1和0的大小关系即可得解，对于丙，直接由三角换元法即可判断.

【详解】对于甲，曲线a：E=1上的点G，o)关于直线y=x的对称点(o,2)不在曲

线G：E+J7=I上，故甲错误；

对于乙,若=1,0<x<2,0<y<1,

贝1J?+y2T=。-6)+y2T=。-4)+(y+i)(77+i)(V7T)

+(7+1)(77+1)]=(77-1)卜6-3尸377一1+〉77+y+77+1)

=(Vy-l)(2yVy-2y+477)=277(77-1)(y-77+4)=277(77-1)[4-]+/<0

,故乙正确；

对于丙，用(-X,y),(X,-y),(r,-y)依次分别代替曲线C2：；+y4=1方程中的x,y方程

依然成立，

故曲线C?关于坐标轴以及坐标原点对称，

所以不妨设，万=3。,丫2=5皿。,。€0段,

所以yfx2+y1-J2cose+siv。=/后sin(6+0)<A/5<小,故丙错误；

试卷第4页，共19页

综上所述，同学提出的结论正确的有1个.

故选：C.

【点睛】关键点睛：判断乙的关键是由条件J5+V7=l,0<x<2,0<y<l,通过比较

:+y2_i和0的大小关系即可顺利得解.

二、多选题

9.已知函数ya）=sinox-6cosox（0>O）的最小正周期为兀，则（）

A.3=2

B.点（-去。］是小）图象的一个对称中心

C.〃x）在上单调递减

D.将“X）的图象上所有的点向左平移g个单位长度，可得至打=2^（2》-「的图象

【答案】AD

【分析】由已知利用两角差的正弦公式化简函数解析式，利用正弦函数的周期公式即可

求解得。的值，即可判断A；利用正弦函数的对称性即可判断B；利用正弦函数的单调

性即可判断C；利用三角函数的图象变换即可判断D.

【详解】因为/（%）=sinG%-百cosG%=2sin（G%-g）的最小正周期为兀,

2兀

所以一=兀，解得0=2,故A正确，

G）

TT

所以/（x）=2sin（2x-§）,

由于"一己）=2'诃2乂（-己）一目=-2,

所以点，器，。］不是/⑴图象的一个对称中心，故B错误，

当xe信"可得2x-ge（g，学），函数不是单调递减，故C错误,

7T

将/（尤）的图象上所有的点向左平移W个单位长度,

TT

可得y=2sin[2(%+')—二]=2sin|2x+———=2cos(2x——)故D正确.

故选：AD.

10.已知Z”Z2为复数，则下列说法正确的是（）

A.zx+z2=z2

B.|z1-z2|=|z1|-|z2

C.若zj+z；=O,则Z]=Z2=。

D.若Z]Z2=0,则4=0或z?=0

【答案】ABD

【分析】利用复数运算性质判断ABD,举反例判断C.

【详解】设+历，z2=c+di(a,b,c,deR),因为4+z2=a+c-(b+d)i,

Z+Z2=a+c-(b+d)i,所以4+Z2=Zj+Z2,故A正确；

又|z[.z2]=[(a+6i)(c+di)|=\ac—bd+^ad+bc)^,

=+(ad+6c)-=&ac)2+(bd『+(adj+(.c)一,

[Z1口z?|=y/a2+b2-y/c2+d2-^(ac)2+(M)2+(^c)+{bc^,

所以归旬=闻生|,故B正确；

取4=1,z2=i,可得z：+z；=l-l=O,故C错误；

若夺2=0,由B选项知|平2卜㈤忆卜0,所以团=0或㈤於0,可得4=。或Z2=0,

故D正确；

故选：ABD.

11.已知函数“X）满足（x+y）/（x）/（y）=a/（x+y）,且/'⑴=2,则（）

A.〃。）=。

B."2）=8

C.函数/（X）为奇函数

D./（1）+/（2）+/（3）++/（"）=（〃一1）2向+2

【答案】ABD

【分析】令x=O,y=l判断A,令x=y=l判断B,令x=Ty=2,求出/（一1）=一gw-/⑴,

判断C,令x=l,y=〃，得/⑺=ax2",利用错位相减法判断D.

【详解】对于A,令x=O,y=l时，则/（0）/（1）=0,又/（1）=2,所以/（0）=0,故A

正确;

试卷第6页，共19页

对于B,令x=y=l时，则=/⑵，又/⑴=2,所以/（2）=8,故B正确;

对于C,当x=Ty=2时,则/（—1）/（2）=-2〃1）,又/⑴=2,/（2）=8,

所以/(-1)=-：力-/(1),所以函数/(x)不为奇函数，故C错误；

对于D,当x=l,y=〃时，则(1+力)/(1)/(〃)=45+1),又/(1)=2,

/、,、、f(n+l)n+1

所以2(1+〃)/⑺=械(几z+1),即一———-=2——,

A1）XZHX34

所以当时,x—X—X

/（2）/（3）23

即着“二

即/伍)=8“X2"-3="X2〃，n>2,

当〃=1时，代入上式，lx21=2=/(l),所以/(〃)=〃x2",

设S.=/(l)+/(2)+〃3)++/(〃)，

则S“=1x21+2x2?+3x2、+nx2"①

234K+1

2Sn=1X2+2X2+3X2++nx2②

①-②得，

,234n+1

-S,I=2+2+2+2++2"-nx2

Qo〃+i

=——-nx2"+1

1-2

=(l-n)x2,i+1-2,

所以S.=(〃-l)x2"，2,故/⑴+〃2)+/(3)++"〃)=(〃—l)2"+i+2,故D正确,

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：赋值法的直观应用，对于D选项，构造数列，利用错位相减法

求解.

第II卷(非选择题)

未命名

三、填空题

12.已知集合A={(x,y)|x+y=2},B={(x,_y)|(x-1)2+y2=1},则AcB中元素的个

数为

【答案】2

【分析】根据题意，利用直线与圆的位置关系的判定，即可求解.

【详解】由圆(x-l)2+V=i,可得圆心M(1,O),半径为厂=1,

则圆心”(1,0)到直线x+y=2的距离4=展=1<1,

可得直线与圆相交于两个公共点，所以AcB的元素的个数为2.

故答案为：2.

13.如图，在正四棱台ABCD-A[B]C]A中，AB=6,A瓦=4,队=底,则该棱台的

体积为，点4到面AC2的距离为.(本小题第一空2分，第二空3分)

【分析】过点4作AE，AC交AC于E点，根据几何体的结构特点分析出\E即为正四

棱台的高，然后根据体积公式求出体积；过点耳作耳交。。于M点，根据几

何关系证明出4M的长即为所求点面距离，再根据线段长度求出结果.

【详解】连接AGc与2=&,AC连接。。，过点4作AELAC交AC于

E点，如下图所示：

DiG

因为几何体为正四棱台，所以平面ABC。,

又因为AE_LAC,OO|，AC,所以AE//。。，所以为正四棱台的高,

又因为AB=6,A4=4,

所以H任*=巫逑=应,

22

试卷第8页，共19页

所以AE=1附-4炉=2,

所以棱台的体积为：|x2x(16+36+V16x36)=^y；

连接A。,与。，过点且作用M_L。。交。。于M点，如下图所示:

因为。。1_LAC,AC_L8D,001BD=O,

所以AC,平面。24B,所以AC,用M,

又因为B|M_L2。，ROAC=O,

所以与M，平面ACDt,所以gM的长度即为点B,到面AC%的距离，

由对称性可知：DQ=BQ=5O；+OO；=78+4=2也,

所以sin/4口。=第=3==半，

DQ2V33

所以4M=4Rxsin/2QO=40xg=¥，

所以点用到面AC，的距离为短,

3

故答案为：苧；战.

33

14.定义,%}表示的、a?、L、。“中的最小值，max{%,外,...,凡}表示的、

«2>L、%中的最大值，设G<m<n<p<2,已知"23:"或相+2〃W3,贝U

min{max{〃一私2一0}}的值为.

【答案】|3

【分析】设〃7"=x,P—n=y,2-p=z,可知x>0,y>0,z>0,可得出

Izz=2-v—z

\,，设河=111稣{%y,z},分机、机+2〃W3两种情况讨论，结合不等

[m=2—x—y—z

式的基本性质可求得M的最小值.

【详解】设〃一根二%,P~n=y,2—p=z，且。<根v簿vpv2,贝ljx>o,y>0,z>0,

n-2-y-z

所以,

m=2-x—y-z

若〃23相，则2—y—z—之3(2—x—y—z),故3%+2y+2z24,

3M>3x

4

设M=max{x,y,z},因此，<2M>2y,故7MN3x+2y+2zN4,gpM>—,

2M>2z7

若m+2〃W3,贝lj2—x—y—z+2（2—y—z）<3,即x+3y+3z>3,

M>x

3

则3M23）,故7M2%+3y+3z>3,当且仅当％=3y=3?=2时，等号成立，

3M>3z

综上所述，min{max{〃—〃p—，2—〃}}的最小值为

3

故答案为：—.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于换元〃一m=冗，P-n=y,2-p=2,

A/=max{羽y,z},将相、几用无、>、z表示，结合不等式的性质求解.

四、解答题

15.已知函数/（x）=lnx+f-"在点（1］⑴）处的切线方程为x+y+相=0.

⑴求实数上和加的值；

⑵求〃%）在［l,e］上的最大值（其中e是自然对数的底数）.

【答案】（1）攵=4,m=2

⑵e?—4e+l

【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义可求人的值，再根据切线过切点求根的

值；

（2）根据导数与函数单调性的关系，分析函数在给定区间上的单调性，再求函数的最

大值.

【详解】（1）因为/（x）=lnx+%2-履

所以/'(%)=—\-2x-k,

x

f(l)=3-k=-l

由题意可得,

f(l^=l-k=-m-1

试卷第10页，共19页

解得:左=4,m=2.

(2)由(1)可得，/(x)=lnx+x2-4x

所以「(尤)=。+2彳_4=2厂-4x+],且xe[l,e],

XX

易得，当xe[l,l+乎]时，/'(@<0,函数单调递减，

当xe[l+*,e]时，r(X)>0,函数单调递增，

又/⑴=-3,/(e)=e2-4e+l,£./(e)-/(l)=e2-4e+4=(e-2)2>0,

即最大值为：/(e)=e2-4e+l.

16.已知函数〃x)=2月sir?x+(sinx+cosx)2一6.

⑴求函数/(%)的最小正周期；

JTJT

⑵若xe,求y=〃x)的最值及取最值时x的值；

(3)若函数y=/(x)-加在xe内有且只有一个零点，求实数m的取值范围.

【答案】⑴兀

⑵最小值为T,此时彳=若；最大值为2,止匕时x=；

⑶[1-后1+⑹{3}

/兀

【分析】(1)根据三角恒等变换得到〃/x)\=2sin/[2尤-71"|+1,从而根据时求出最小正

周期；

jrTT(jrA57rjr

(2)xe时，2x-we,整体法求出函数的最值及对应的无；

(3)转化为y=sin(2x-：j在xe的图象在与直线>=—只有一个交点，画出

jr27r

>=5吊2在26--,y上的图象，数形结合进行求解

【详解】(1)/(%)=2布sin2x+(sinx+cosx)2-A/3=2^3--~+1+2sinxcosx-y/i

=sin2x-A/3COS2x+1=2sin-^+1,

故函数的最小正周期为D三R=兀.

⑵由⑴知/(x)=2sin(2x—1)+l,因为xe一:弓，所以「元―一g常，

(TT]SJTTT

令「2%-彳，贝|y=sinl,函数y=sinl在区间-■，-彳上单调递减，

V3；_62.

在区间-再上单调递增，所以f],即X=；时，

函数/(X)=2sin12x-今1+1有最大值，最大值为=2.

当即A-自，函数/(x)=2sin(2xqj+l有最小值，

最小值为(-曰=-1.

综上xe-*：，y=/(x)的最小值为一1,此时x=q；最大值为2,此时x=；.

(3)因为函数y=/(x)-m在xe。,|"内有且只有一个零点，

所以/(%)-m=0在xe0,y只有一个实根，

2sin^2x-y^+l-m=0,gpsin-=,

即函数y=sin(2尤f在xe的图象在与直线y=—只有一个交点，

TTTTTT27rTT27r

当xe0,-时，2x--e,画出y=sinz在ze上的图象，如下：

乙D。DJJ

结合函数图象可知：函数y=sin[2x-]J在区间的图象与直线、=?只有一个

交点时，

—当冬u{l},即一+@u{3}.

17.如图，在平行六面体ABCD-4旦GA中，ACBD=O,AB=AD=2,AAi=3,

ZBAA,-ZBAD=ADA\=],点P满足O尸=|zM+：OC+goD；.

(1)证明：O,P,31三点共线;

试卷第12页，共19页

（2）求直线AC与平面PAB所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

\^）———

【分析】（1）以为基底，表示。耳和。尸，得。4=30尸，可得O,P,耳三

点共线；

（2）证明0A。尻。4两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正

弦值.

【详解】（1）证明：DO=-DA+-DC,所以。2=£>2-。0=」。4+工£^+、。。1,

22663

而OB[=OB+BBi=^DA+^DC+DD,,

所以（94=3OP,即O,P,q三点共线.

（2）连接。A，AB=AD=2,Z.BAD=—,所以BD=2,AC=2用,

TT

=3,=2,NBAAj=—,

由余弦定理得AB=J4+9—2x2x3xcos]=S，

同理可得，入D=夜.

又•，O为BD的中点，.•・4。，瓦九AOHAB=BO。=屈.

AO=^/3,M2=A02+A02>即A。J-AO.

如图，以o为原点建立空间直角坐标系，

则A（O,O,W）,A（G,O,O）,B（0,l,0）,C（-73,0,0）,B《-也,1,㈣,

由（1）可得，P为线段。片三等分点,

所以

4^|屈'

AC=(-V3,0,-V6),AP=[F'E,AB=(-^,1,0),

4百1nc

A4PD•几=-------x+—yH------z=0,

设平面PAB的法向量为〃=(x,y,z),则，333

AB•n=—y[3x+y=0,

令％=应，贝!]y=#,z=3,R=a,3).

设直线AC与平面PAB所成角为凡

4。川4屈4715^

则sin6=cos4。,九

4C||M|-3x717-51，

直线4c与平面PAB所成角的正弦值为勺叵.

51

22

18.在平面直角坐标系宜刀中，双曲线C:*-左=l(a>0/>0)的左顶点到右焦点的

距离是3,且C的离心率是2.

⑴求双曲线C的标准方程；

⑵点4(%,%)是C上位于第一象限的一点，点43关于原点0对称，点A,。关于了轴对

称.延长AD至E使得QE|=g|Aq,且直线BE和C的另一个交点厂位于第二象限中.

(i)求为的取值范围，并判断/。4尸=5是否成立？

(ii)证明：AE不可能是NBAF的三等分线.

2

【答案】⑴尤2-工=1

3

(2)(i)［芈,+/；(ii)证明见解析

-=2

【分析】(1)结合题意可得:工，a，解出。力,。，写出双曲线方程即可.

a+c—5

c2=a2+b1

(2)(i)根据题意，得到求得直线BF的方程，联立方程

组，结合韦达定理，求得/点的坐标，列出不等式关系式，求得为的范围，再由(i),

求得直线AF的斜率并化简，得至IJkAFk0A=-l,即ZOAF=|,(ii)求得tanZBAE的

范围，进而证得AE不可能是/A4F的三等分线.

【详解】(1)因为双曲线C的左顶点到右焦点的距离是3,且C的离心率是2,

试卷第14页，共19页

-=24=1

a

所以解得c=2

〃+c=3

C2=/+/b=\/3

2

故双曲线c的标准方程为炉—匕=1；

3

（2）（i）因为点A（%,%）是。上位于第一象限的一点，点A3关于原点。对称，点

关于y轴对称.延长AD至E使得口同=!">|,

所以3（-%0，-%），4-具0，%],所以％=-中，

\J）xo

可得直线BF的方程为y=--^-4%，

%

y=_3%

联立：。，消去y并整理得[绰-3”^£》+16%2+3=0,

X2_2_=]IX。）”。

、~T~

因为直线所与双曲线C有两个交点，并设厂（3,%）,

I[=16—+3,16y；+3

所以「。

由韦达定理得解得

则力=一一—-4y0>0,所以/<一：/<0成立，

工03

尤=16婷+3<4xr-万

此时只需Fa_9y^3'°,解得/>士竺，则%的取值范围为子,+少

414

玉）\

3%।8%=3%।丁…。

2222

%r,16y0+3x09y0+16y0+3-3x0

o第二

--3^o

TT

所以七"OA=T，即/04斤=3，

jr

（ii）证明：由（i）知/。4歹=5，

因为tan/BAE=%=迎=J1一」e

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之

间的等量关系；

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参

数的取值范围.

19.对于给定的奇数加("后3),设A是由机x机个实数组成的加行加列的数表，且A中

所有数不全相同，A中第i行第/列的数%e{-M},记中)为A的第i行各数之和，c(j)

为A的第j列各数之和，其中盯e{1,2,,m}.记/(A)=一一卜⑴+，；)++厂(珂.设

集合•厂⑺<0或％”(/)<0,2,，叫},记"(A)为集合H所含元素

的个数.

⑴对以下两个数表4，4,写出/(下),"(A)，〃4)，"(4)的值;

11111-1-1111

1111-1-1111-1

111-1-1111-1-1

11-1-1-111-1-1-1

1-1-1-1-11-1-1-1-1

A\Ai

⑵若厂(1)/(2),中恰有$个正数，c(l),c(2),,c(〃2)中恰有，个正数.求证:

"(A)>mt+ms-2ts-

试卷第16页，共19页

,H(A)

(3)当m=5时，求•,/的最小值.

J\A)

【答案】⑴/(A)=i。，"(4)=12；"4)=12,“(4)=15

(2)证明见解析

⑶&

9

【分析】(1)按定义求出厂⑺，c(j),，=1,2,,5,j=l,2,,5,进行求解即可.

(2)分两种情况进行证明，即①se{0,叫或f«0,3,②se{0,明且f任{0,叫分别证

明即可.

(3)因为加=5,分情况讨论①若se{0,5}或“{0,5}时；②若se{2,3}或一{2,3}；③

若{印}={1,4},进行求解.

【详解】(1)44)=1。，"(4)=12；44)=12,H(A)=15.

由定义可知：将数表A中的每个数变为其相反数，或交换两行(列)，H(A),/(A)的

值不变.因为优为奇数，因w{-U},所以r(l),r(2),,r(m),c(l),c(2),…,c(")均不

为0.

(2)当se{0,"z}或te{0,叫时，不妨设s=0,BPr(z)<0,i=1,2,,m.

若t=0,结论显然成立；

若30,不妨设c(j)>0,J=l,2,-,t,则