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文档简介
专题48直线的方程
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函
数的关系.
【考点预测】
1.直线的倾斜角
⑴定义:当直线,与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线,向上的方向之间所成的角a叫做
直线)的倾斜角;
(2)规定:当直线/与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为。二;
(3)范围:直线的倾斜角a的取值范围是{的0°W。C180°}.
2.直线的斜率
(1)定义:我们把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母4表示,即A=
tana.
⑵计算公式
①经过两点A1(X1,%),乌(如"2)(X1WX2)的直线的斜率k=,2
e一X1
②设尸1(矛1,71),乌(如㈤(其中X1WX2)是直线/上的两点,则向量产史=(X2—X1,及一%)以及与它平行的
向量都是直线的3s.若直线/的斜率为它的一个方向向量的坐标为(X,力,则
3.直线方程的五种形式
名称几何条件方程适用条件
斜截式纵截距、斜率尸Ax+b
与X轴不垂直的直线
点斜式过一点、斜率pyo=k(x一苞)
y—yix—xx与两坐标轴均不垂直的直
两点式过两点
——P———线
x,y不过原点且与两坐标轴均
截距式纵、横截距=+,=1
a-b----不垂直的直线
Ax+By+C=^
一般式所有直线
-0)
【常用结论】
直线的斜率4与倾斜角。之间的关系
0°<。<9090°<^<180
a0°90°
oo
k0k>0不存在k<0
牢记口诀:
1.“斜率变化分两段,90。是分界线;
遇到斜率要谨记,存在与否要讨论”.
2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.应注
意过原点的特殊情况是否满足题意.
3.直线4r+8y+C=0(d+百W0)的一个法向量v=(4而,一个方向向量a=(—8A).
【方法技巧】
1.斜率的两种求法:定义法、斜率公式法.
2.倾斜角和斜率范围求法:①图形观察(数形结合);②充分利用函数孑=tana的单调性.
3.求直线方程一般有以下两种方法:
①直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.
②待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,
即得所求直线方程.
4.在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件,特别是对于点斜式、截距式方程,
使用时要注意分类讨论思想的运用.
5.直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征,对照得到定点坐标.
6.求解与直线方程有关的面积问题,应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度,进而求得多边形面积.
7.求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求
解.
二、【题型归类】
【题型一】直线的倾斜角与斜率
【典例1】直线2xcosa—y—3=o(ad—,巨的倾斜角的变化范围是()
JlJI
片1
rJiJI-|JI2
c-T-TD-T--
【典例2】过函数F(x)=:£—f的图象上一个动点作函数图象的切线,则切线倾斜角的取值范围为()
3兀B「吟u「3兀
A.0,—-°,T)7”
一3兀、「兀3兀-
。丁D.[5,—
兀、「2兀\
【典例3】若直线)的斜率为匕倾斜角为a,且。£「~J丁I,,Jij,则A的取值范围是
【题型二】求直线的方程
【典例1】经过点尸(2,-3),且倾斜角为45°的直线方程为()
A.x+p+l=OB.x+y~l=O
C.x—y+5=0D.x—y-5=0
【典例2】已知点〃是直线/:2x—y—4=0与x轴的交点,将直线/绕点〃按逆时针方向旋转45°,得到
的直线方程是()
A.x+p—3=0B.x—3y—2=0
C.3x—p+6=0D.3x+y—6=0
【典例3]经过两条直线Z:x+尸2,72:2x—y=l的交点,且直线的一个方向向量—(一3,2)的直线方
程为.
【题型三】直线方程的综合应用
【典例1】已知直线/过点〃(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于48两点,。为原点,当
面积最小时,求直线1的方程.
【典例2】已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于46两点,若动点P(a,6)在线段加上,则a6的
最大值为.
【典例3】当彳〉0时,两直线衣一y=0,2矛+如一2=0与x轴围成的三角形面积的最大值为.
三、【培优训练】
22
【训练一】(2023•江苏扬州•仪征中学校考模拟预测)已知椭圆C:宏+方的左、右焦点分
别为6、F2,以F?为圆心的圆与x轴交于片,8两点,与了轴正半轴交于点A,线段A耳与C交于点若
忸与C的焦距的比值为孚,则C的离心率为()
【训练二】(2023•全国•高二专题练习)设<7>0,Z?eR,已知函数〃x)=Ae*+a(x-3)+b,xe[l,3]有
且只有一个零点,则的最小值为()
222e?
A.—eB.e—C.e—D.—
6543
【训练三】(2023•湖南益阳•统考模拟预测)已知直线/与曲线y=d-3Y+4X-1相交,交点依次为久
E、F,且口目=|砂|=石,则直线)的方程为()
A.y=3x-2B.y=2x-lC.y=2x+3D.y=3%+2
222
【训练四】(2023•全国•模拟预测)设直线/:(a-2b)x+by-a=0,圆G(x-2)+y=r(r>0),若
直线)与圆,恒有两个公共点4B,则下列说法正确的是()
A.r的取值范围是[底”)
B.若r的值固定不变,则当24-3b=0时N/W最小
C.若r的值固定不变,则ABC的面积的最大值为g六
D.若,=3,则当ABC的面积最大时直线/的斜率为1或;
【训练五】(2023•全国•高三专题练习)将两圆方程
4丫+4=0,。2:/+,2-2工+(〃2-2)丫+(3-〃工)=0(〃工>2)作差,得到直线/的方程,贝U
()
A.直线/—•定过点
B.存在实数〃o2,使两圆心所在直线的斜率为-2
C.对任意实数〃”2,两圆心所在直线与直线/垂直
D.过直线/上任意一点一定可作两圆的切线,且切线长相等
【训练六】(2022•河南•校联考模拟预测)己知f(x)是定义在R上的奇函数,其图象关于点(2,0)对称,当
xe[0,2]时,〃尤)=―/-2,若方程-2)=0的所有根的和为6,则实数左的取值范围
是.
四、【强化测试】
一、单选题
1.(2023•全国•高二专题练习)若直线依-y+2左-1=0恒过点4点4也在直线M+〃y+2=0上,其中私力
均为正数,贝的最大值为()
A.-B.gC.1D.2
42
2.(2023•黑龙江哈尔滨•哈师大附中校考模拟预测)圆O:一+丁=4与直线/:x+(4-l)y-;l=0交于M、
N,当|MZV|最小时,4的值为()
A.-2B.2C.-1D.1
22
3.(2023•湖南邵阳•校考模拟预测)己知耳,B是椭圆+的左、右
焦点,A是C的上顶点,点尸在过A且斜率为2⑺的直线上,△尸耳入为等腰三角形,/P4工=120,则C
的离心率为()
A.叵B.立c・3D,1
101494
4.如果AC<0且3-C<0,那么直线4+3y+C=0不通过()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
5.(2023•全国•高二专题练习)若直线近->+1-2k=。与圆C:(了-1)2+/=4相交于A,5两点,贝力人回
的最小值为()
A.2后B.2A/2C.V3D.V2
6.(2023•全国•高二专题练习)已知直线/:〃优+(5—2/n)y-2=0(m€R)和圆。:/+丁=4,则圆心。到
直线/的距离的最大值为()
A.B.辿C.毡D.3
5532
7.(2023•全国•高三专题练习)直线4:x+(l+a)y=l-a(aeR),直线4:片-氐下列说法正确的是
()
A.使得B.3aeR,使得《JU?
C.VaeR,4与4都相交D.maeR,使得原点到人的距离为3
8.(2023•贵州毕节•校考模拟预测)如图,抛物线E:/=2x和直线/:3尤+4y+w=0在第一象限内的交
点为M(%,X).设Nd,%)是抛物线E上的动点,且满足。<%<%,iH5x2+\3x2+4y2+rr\=t.现有四个
结论:①当〃?=时,。(尤2<|;②当王>2时,f的最小值是机+|'-£;③当。<不<2时,]的最小值
A.1B.2C.3D.4
二、多选题
9.(2023秋•高二单元测试)已知圆C:(x-l)2+(y-2)2=16,直线/:(2m+1)%+(切+1)>一7»7-4=0,则
()
A.直线/恒过定点
B.直线/能表示平面直角坐标系内每一条直线
C.对任意实数机,直线/都与圆C相交
D.直线/被圆C截得的弦长的最小值为2vH
10.(2023•浙江•校联考模拟预测)已知圆。:/+丁=1,尸是直线/*_y+2=0上一点,过点尸作圆。的两
条切线,切点分别为则()
A.直线经过定点
B.|MN|的最小值为近
C.点(2,0)到直线的距离的最大值为g
D./MPN是锐角
11.(2023春•湖南岳阳•高三湖南省校考开学考试)下列说法正确的是()
A.直线x-y+后=0的倾斜角为45
B.存在加使得直3x+畋-2=0与直线M+2y=0垂直
C.对于任意4,直线/:(4+2)x+(l-2/l)y+4-3X=0与圆(x+2y+V=8相交
D.若直线内+by+c=0过第一象限,则a6>0,bc>0
12.(2023•全国•高二专题练习)已知直线/:区-丁-左+1=0与圆C:(x-2『+(y+2y=16相交于4B
两点,。为坐标原点,下列说法正确的是()
A.|明的最小值为2而B.若圆C关于直线/对称,贝以=3
C.若ZACB=2NCAB,贝心=1或左=」D.若4B,C,。四点共圆,贝必=-工
73
三、填空题
13.(2023•全国•高二专题练习)已知直线4:x-my+l=0过定点4直线4"改+y-机+3=0过定点B,
4与4相交于点P,贝l|PA「+|尸耳丁.
14.(2023•全国•高二专题练习)已知直线/:履-y-2左+2=0被圆乙尤②+(y+1了=16所截得的弦长为
整数,则满足条件的直线/有条.
15.(2023•新疆阿勒泰•统考三模)函数/(x)=/-2x3的图象在点(1,/⑴)处的切线与坐标轴围成的三角形
的面积为•
16.(2022•河南•校联考模拟预测)已知/(x)是定义在R上的奇函数,其图象关于点(2,0)对称,当无©[0,2]
时,/(无)=一戊一(无一Ip,若方程/(尤)--*-2)=。的所有根的和为6,则实数左的取值范围是.
四、解答题
17.如图,A,A为椭圆的两个顶点,耳,鸟为椭圆的两个焦点.
(1)写出椭圆的方程及准线方程;
(2)过线段6M上异于
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