2024年新高考数学一轮复习-直线的方程（学生版）

专题48直线的方程

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函

数的关系.

【考点预测】

1.直线的倾斜角

⑴定义：当直线，与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线，向上的方向之间所成的角a叫做

直线）的倾斜角；

（2）规定：当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为。二；

（3）范围：直线的倾斜角a的取值范围是{的0°W。C180°}.

2.直线的斜率

（1）定义：我们把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母4表示，即A=

tana.

⑵计算公式

①经过两点A1（X1,%），乌（如"2）（X1WX2）的直线的斜率k=，2

e一X1

②设尸1（矛1,71）,乌（如㈤（其中X1WX2）是直线/上的两点，则向量产史=（X2—X1,及一%）以及与它平行的

向量都是直线的3s.若直线/的斜率为它的一个方向向量的坐标为（X,力，则

3.直线方程的五种形式

名称几何条件方程适用条件

斜截式纵截距、斜率尸Ax+b

与X轴不垂直的直线

点斜式过一点、斜率pyo=k（x一苞）

y—yix—xx与两坐标轴均不垂直的直

两点式过两点

——P———线

x,y不过原点且与两坐标轴均

截距式纵、横截距=+,=1

a-b----不垂直的直线

Ax+By+C=^

一般式所有直线

-0)

【常用结论】

直线的斜率4与倾斜角。之间的关系

0°<。<9090°<^<180

a0°90°

oo

k0k>0不存在k<0

牢记口诀：

1.“斜率变化分两段，90。是分界线；

遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.

2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注

意过原点的特殊情况是否满足题意.

3.直线4r+8y+C=0（d+百W0）的一个法向量v=（4而，一个方向向量a=（—8A）.

【方法技巧】

1.斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.

2.倾斜角和斜率范围求法：①图形观察（数形结合）；②充分利用函数孑=tana的单调性.

3.求直线方程一般有以下两种方法：

①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.

②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数,

即得所求直线方程.

4.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，

使用时要注意分类讨论思想的运用.

5.直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标.

6.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.

7.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求

解.

二、【题型归类】

【题型一】直线的倾斜角与斜率

【典例1】直线2xcosa—y—3=o（ad—,巨的倾斜角的变化范围是（）

JlJI

片1

rJiJI-|JI2

c-T-TD-T--

【典例2】过函数F（x）=：£—f的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为（）

3兀B「吟u「3兀

A.0,—-°，T）7”

一3兀、「兀3兀-

。丁D.[5,—

兀、「2兀\

【典例3】若直线）的斜率为匕倾斜角为a,且。£「~J丁I，,Jij,则A的取值范围是

【题型二】求直线的方程

【典例1】经过点尸（2,-3）,且倾斜角为45°的直线方程为（）

A.x+p+l=OB.x+y~l=O

C.x—y+5=0D.x—y-5=0

【典例2】已知点〃是直线/：2x—y—4=0与x轴的交点，将直线/绕点〃按逆时针方向旋转45°,得到

的直线方程是（）

A.x+p—3=0B.x—3y—2=0

C.3x—p+6=0D.3x+y—6=0

【典例3]经过两条直线Z：x+尸2,72：2x—y=l的交点，且直线的一个方向向量—（一3,2）的直线方

程为.

【题型三】直线方程的综合应用

【典例1】已知直线/过点〃（2,1）,且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于48两点，。为原点，当

面积最小时，求直线1的方程.

【典例2】已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于46两点，若动点P（a,6）在线段加上，则a6的

最大值为.

【典例3】当彳〉0时，两直线衣一y=0,2矛+如一2=0与x轴围成的三角形面积的最大值为.

三、【培优训练】

22

【训练一】（2023•江苏扬州•仪征中学校考模拟预测）已知椭圆C：宏+方的左、右焦点分

别为6、F2,以F?为圆心的圆与x轴交于片，8两点，与了轴正半轴交于点A,线段A耳与C交于点若

忸与C的焦距的比值为孚，则C的离心率为（）

【训练二】（2023•全国•高二专题练习）设<7>0,Z?eR,已知函数〃x）=Ae*+a（x-3）+b,xe[l,3]有

且只有一个零点，则的最小值为（）

222e?

A.—eB.e—C.e—D.—

6543

【训练三】（2023•湖南益阳•统考模拟预测）已知直线/与曲线y=d-3Y+4X-1相交，交点依次为久

E、F,且口目=|砂|=石，则直线）的方程为（）

A.y=3x-2B.y=2x-lC.y=2x+3D.y=3%+2

222

【训练四】（2023•全国•模拟预测）设直线/：（a-2b）x+by-a=0,圆G（x-2）+y=r（r>0）,若

直线）与圆，恒有两个公共点4B,则下列说法正确的是（）

A.r的取值范围是［底”）

B.若r的值固定不变，则当24-3b=0时N/W最小

C.若r的值固定不变，则ABC的面积的最大值为g六

D.若，=3,则当ABC的面积最大时直线/的斜率为1或;

【训练五】（2023•全国•高三专题练习）将两圆方程

4丫+4=0,。2：/+，2-2工+（〃2-2）丫+（3-〃工）=0（〃工>2）作差，得到直线/的方程，贝U

（）

A.直线/—•定过点

B.存在实数〃o2,使两圆心所在直线的斜率为-2

C.对任意实数〃”2,两圆心所在直线与直线/垂直

D.过直线/上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等

【训练六】（2022•河南•校联考模拟预测）己知f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于点（2,0）对称，当

xe［0,2］时，〃尤）=―/-2,若方程-2）=0的所有根的和为6,则实数左的取值范围

是.

四、【强化测试】

一、单选题

1.（2023•全国•高二专题练习）若直线依-y+2左-1=0恒过点4点4也在直线M+〃y+2=0上，其中私力

均为正数，贝的最大值为（）

A.-B.gC.1D.2

42

2.（2023•黑龙江哈尔滨•哈师大附中校考模拟预测）圆O：一+丁=4与直线/：x+（4-l）y-；l=0交于M、

N,当|MZV|最小时，4的值为（）

A.-2B.2C.-1D.1

22

3.（2023•湖南邵阳•校考模拟预测）己知耳，B是椭圆+的左、右

焦点，A是C的上顶点，点尸在过A且斜率为2⑺的直线上，△尸耳入为等腰三角形，/P4工=120,则C

的离心率为（）

A.叵B.立c・3D,1

101494

4.如果AC<0且3-C<0,那么直线4+3y+C=0不通过（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5.（2023•全国•高二专题练习）若直线近->+1-2k=。与圆C：（了-1）2+/=4相交于A,5两点，贝力人回

的最小值为（）

A.2后B.2A/2C.V3D.V2

6.（2023•全国•高二专题练习）已知直线/：〃优+（5—2/n）y-2=0（m€R）和圆。：/+丁=4,则圆心。到

直线/的距离的最大值为（）

A.B.辿C.毡D.3

5532

7.(2023•全国•高三专题练习)直线4：x+(l+a)y=l-a(aeR),直线4:片-氐下列说法正确的是

()

A.使得B.3aeR,使得《JU?

C.VaeR,4与4都相交D.maeR,使得原点到人的距离为3

8.（2023•贵州毕节•校考模拟预测）如图，抛物线E:/=2x和直线/：3尤+4y+w=0在第一象限内的交

点为M（%，X）.设Nd，%）是抛物线E上的动点，且满足。<%<%，iH5x2+\3x2+4y2+rr\=t.现有四个

结论：①当〃?=时，。（尤2<|；②当王>2时，f的最小值是机+|'-£；③当。<不<2时，］的最小值

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

9.（2023秋•高二单元测试）已知圆C:（x-l）2+（y-2）2=16,直线/:（2m+1）%+（切+1）>一7»7-4=0,则

（）

A.直线/恒过定点

B.直线/能表示平面直角坐标系内每一条直线

C.对任意实数机，直线/都与圆C相交

D.直线/被圆C截得的弦长的最小值为2vH

10.（2023•浙江•校联考模拟预测）已知圆。:/+丁=1,尸是直线/*_y+2=0上一点，过点尸作圆。的两

条切线，切点分别为则（）

A.直线经过定点

B.|MN|的最小值为近

C.点（2,0）到直线的距离的最大值为g

D./MPN是锐角

11.（2023春•湖南岳阳•高三湖南省校考开学考试）下列说法正确的是（）

A.直线x-y+后=0的倾斜角为45

B.存在加使得直3x+畋-2=0与直线M+2y=0垂直

C.对于任意4,直线/:（4+2）x+（l-2/l）y+4-3X=0与圆（x+2y+V=8相交

D.若直线内+by+c=0过第一象限，则a6>0,bc>0

12.（2023•全国•高二专题练习）已知直线/：区-丁-左+1=0与圆C：（x-2『+（y+2y=16相交于4B

两点，。为坐标原点，下列说法正确的是（）

A.|明的最小值为2而B.若圆C关于直线/对称，贝以=3

C.若ZACB=2NCAB,贝心=1或左=」D.若4B,C,。四点共圆，贝必=-工

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三、填空题

13.（2023•全国•高二专题练习）已知直线4：x-my+l=0过定点4直线4"改+y-机+3=0过定点B,

4与4相交于点P，贝l|PA「+|尸耳丁.

14.（2023•全国•高二专题练习）已知直线/：履-y-2左+2=0被圆乙尤②+（y+1了=16所截得的弦长为

整数，则满足条件的直线/有条.

15.(2023•新疆阿勒泰•统考三模)函数/(x)=/-2x3的图象在点(1,/⑴)处的切线与坐标轴围成的三角形

的面积为•

16.(2022•河南•校联考模拟预测)已知/(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于点(2,0)对称，当无©[0,2]

时，/(无)=一戊一(无一Ip,若方程/(尤)--*-2)=。的所有根的和为6,则实数左的取值范围是.

四、解答题

17.如图，A，A为椭圆的两个顶点，耳，鸟为椭圆的两个焦点.

(1)写出椭圆的方程及准线方程；

(2)过线段6M上异于