甘肃省天水市某中学高三年级下册第三次模拟考试数学（理）试题

20172018学年度2015级高三第二学期第三次模拟考试试题

数学（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.命题P：£尺/（%0）22则一|尸为（）

A.VxeR,f（x）>2B.Vxe7?,/（x）<2

C.3x0GR,/（x）<2D.3x0GR,/（x）<2

2.复数z=」一（，为虚数单位）在复平面内关于虚轴对称的点位于（）

1-z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.下面是一段演绎推理：

大前提：如果一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的所有直线；

小前提：已知直线b〃平面a,直线au平面a；

结论：所以直线b〃直线a.在这个推理中（）

A.大前提正确，结论错误B.大前提错误，结论错误

C.大、小前提正确，只有结论错误D.小前提与结论都是错误的

4.设A/18C的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角

形的形状是（）

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

5.运行如图所示的程序框图，若输出的S是254,则①应为（）

A.n<5?B.n<61C.n<7?D.n<8?

6.已知函数〃0=25皿。%+0)。〉0,|9区3的部分图像如图所示，将函数〃尤)的

图像向左平移二个单位长度后，所得图像与函数y=g(x)的图像重合，贝I()

g(x)=2sin[2x+?

A.g(x)=2sin2%+一B.

g(x)=2sin[2x-y

C.g(x)=2sin2xD.

7.某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的外接球

的表面积为()

I

俯视国

100n100Ji

A.—B.9nC.D.10n

'x+y—320

8.已知变量x,y满足约束条件'x-2y+3°,则三》；的概率是（）

XW3X1N

3315

A.aB,-C,-D.-

9.己知倾斜角为135°的直线1交双曲线TX2-巳2=l（a〉0,b〉0）于A,B两点，若线段AB的

中点为P（2,-l），则双曲线的离心率是（）

A—B.卓""

10.在三棱锥PABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角PBCA的大小为120°,

则异面直线PB和AC所成角的余弦值为（）

A.-B.-C.-D.-

8484

11.魔术师用来表演的六枚硬币a,b,c,d,e,f中，有5枚是真币，1枚是魔术币，

它们外形完全相同，但是魔术币与真币的重量不同，现已知a和b共重10克，c,d共重11

克，a,c,e共重16克，则可推断魔术币为（）

A.aB.bC.cD.d

12.如图，已知抛物线Ci的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点（2,4）,圆

22

C2：x+y-4x+3=0,过圆心C2的直线1与抛物线和圆分别交于P,Q,M,N,则

|PN|+4|QM|的最小值为()

A.23B.42C.12D.52

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.用秦九韶算法求多项式f(x)-x6+2x6+3x4+4x3+5x2+6x,当x=2时多

项式的值为.

14.下列4个命题：

①已知随机变量占服从正态分布N(u,。2),若PQ<2)-P(l>6)=0.15,则

P(2W&<4)等于0.3；

②设a=Jo(2x-eX)dx,贝ija=2-e;

③二项式(卡-x2『°的展开式中的常数项是45；

④已知xG(0,4],则满足log2XW1的概率为0.5.其中真命题的序号是

15.已知向量a=(l,X),Z?=(3,l),c=(l,2),若向量2a-人与c共线，则向量a在向量c方

向上的投影为.

16.若直角坐标平面内两点满足条件：①P,Q两点分别在函数y=/(x)与y=g(x)

的图象上；②P,Q关于y轴对称，则称(P,Q)是函数丁=/(力与丁=8(力的一个“伙伴

lnx,(x>0)

点组”(点组(P,。)与(Q,P)看作同一个“伙伴点组”).若函数/(x)={与

<0)

g(x)=|x+a|+l有两个"伙伴点组"，则实数a的取值范围是.

三、解答题

17.(12分)已知数列{aj满足ai------+2(nWN*).

/a。+1an

(I)求数列｛aj的通项公式；

222

(II)证明：aj+a2+as+…+an<5.

18.（12分）前几年随着网购的普及，线下零售遭遇挑战，但随着新零售模式的不断出现，

零售行业近几年呈现增长趋势，下表为2014〜2017年中国百货零售业销售额（单位：亿

元，数据经过处理，1〜4分别对应2014〜2017）：

年份代码X1234

销售额y95165230310

（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；

（2）建立y关于x的回归方程，并预测2018年我国百货零售业销售额；

（3）从2014〜2017年这4年的百货零售业销售额及2018年预测销售额这5个数据中任

取2个数据，求这2个数据之差的绝对值大于200亿元的概率.

参考数据：

441~4~

Zy=800,£七%=2355,区（上—y）一士158.9,近士2.236

i=ii=iV/=i

参考公式：相关系数£*1（.一%）（」一歹）,

7—七八-才

回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

一无）（%一田

grZ'aa=y-bx.

19.（12分）如图，在几何体ABCDE中，CD〃AE,ZEAC=90"，平面EACD1平面ABC,

CD=2EA=2,AB=AC=2,BC=2A/3,F为BD的中点.

(I)证明：EF〃平面ABC；

(II)求直线AB与平面BDE所成角的正弦值.

X22

20.(12分)已知椭圆M：[+2=l(a>b>0)的一个焦点F与抛物线N：y?=4x的焦

a”b")

3

点重合，且M经过点(I,]).

(1)求椭圆M的方程；

(2)已知斜率大于0且过点F的直线1与椭圆M及抛物线N自上而下分别交于A,B,C,D,如图

所示，若|AC|=8,求|ABITCD

21.(12分)已知函数/(%)=xlnx,g(x)=(-V+公一3)e*(a为实数).

(1)当a=5时，求函数g(x)的图像在x=l处的切线方程；

(2)求/(x)在区间上/+2](/>0)上的最小值;

⑶若存在两个不等实数和％e-,e，使方程g(x)=2e"(x)成立，求实数a的取值

范围.

选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计

分.

22.【选修44：坐标系与参数方程】

在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为《"x1=2—3t。为参数).以坐标原点为极点,

以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为pcos6=tan6.

(1)求曲线Ci的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)若Ci与C2交于A,B两点，点P的极坐标为(275，7),求高+高的值.

23.【选修45：不等式选讲】

若关于x的不等式|3x+2]+|3x—1|—的解集为R,记实数t的最大值为a.

(1)求a的值；

_14

(2)若正头数加,〃满足4m+5〃=a,求,=-------F-------的最小值.

m+2n3m+3n

理科答案

1.【解析】根据特称命题的否定为全称命题，易知原命题的否定为:VxeR,f(x)<2.

故选B.

2.A

3.【解析】直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直.

故大前提错误，结论错误.

故选B.

4.【解析】由题意，根据等差数列、等比数列的中项公式，得2B=A+C，又A+B+C=m

所以B=I,Sint=sinAsinC,由正弦定理得b?=ac，又b?=a?+l-ZaccosB，得(a-c)2=0，从而

可得a=b=c，即△ABC为等边三角形，故正确答案为A.

5.【解析】根据程序框图可知：

该程序的作用是累加S=2+22+...+2n的值，

并输出满足循环的条件.

•••S=2+22+...+26+27=254,

故①中应填n<7.

故选：C.

6.A

7.【解析】由三视图知，该几何体为三棱锥，高为3,其一个侧面与底面垂直，且底面为

等腰直角三角形，所以球心在垂直底面的侧面的三角形高上，设球半径为R,则(3-R)2+1=R2

解得R=：,所以球的表面积为S=4TIR2=等，故选A.

x+y-3N0,

V满足约束条件卜黑产,

画出可行

域如图所示，则十4的几何意义是可行域内的点与Q(_1,0)连线的斜率不小于;，由图形

可知，直线x=3与直线x-2v+1=0的交点为B(3,2)，直线x-2v+3=0与x=3的交点为

C(3,3)，二・长号的概率是，J，则出■的概率是「卜：

故选D.

Xi+X2-4

{yi+y2=-2'

22

1

X-I-yL

2-2

ab2=1

,2

xy2

2「两式相减并整理可得kAB=g=-1,

x-2-b

2-=1xi-X2a

Ia

解得a=V2b

10.A建系处理

11.【解析】5枚真币重量相同，则任意两枚硬币之和一定为偶数，由题意可知，C,D中一

定有一个为假的，假设c为假币，则真硬币的重量为5克，则C的重量为6克，满足A,C,

E共重16克，故假设成立，若D为假币，则真硬币的重量为5克，不满足A,C,E共重16

克，故假设不成立，则D是真硬币，故选：C.

12.【解析】设抛物线的方程v2=2DX(D>0),则

16=2Dx2,2D=8»

二抛物线的标准方程：V?=8x,焦点坐标F（2,O）,由直线PQ过抛物线的焦点，则

11_2_1

|PF|+IQFI=P=2*

圆C?：(x-2)2+y2=1圆心为（2,0），半径1，

11

|PN|+4|QM|=|PF|+1+4(|QF|+1)=|PF|+4|QF|+5=2(|PF|+4|QF|)X(而+而)+5

,IPFI4|QF|、/IPFI4|QF|、

=2(5+丽+而)+522(5+2j丽x而)+5=23,

-|PN|+4|QM|的最小值为23,故选A.

13.【解析】f(x)=x6+2x5+3X4+4X3+5x2+6x=((((G+2)x+3)x+4)x+5)x+6)x,则

f(2)=(((((2+2)x2+3)x2+4)x2+5)x2+6)x2=240,故答案为240.

14.【解析】①已知随机变量£服从正态分布N(u,『)，若p(S<2)=P(£>6)=0.15,贝。u=4,

根据图像的对称性得到则P(24£<4)等于0.35；故不正确；

②设a=/(2x-ex)dx=(x?-e*)=2-e.故正确.

0

③二项式©72丫°的展开式中的通项是jbx等(_i)“当r=2时就是常数项，代入得至I]45.故

正确.

④已知xe(0,4],则满足|。3<1的x的范围是o<x<2,概率为0.5.

故答案为：②③④

15.【解析】o

历(一%)九<0

16.【解析】设点(x,y)在〃尤)上，则点(fy)所在的函数为网力={,

-y/x,x>0

则g(x)与/z(x)有两个交点，

g(x)的图象由y=W+l的图象左右平移产生，当〃力=1时，x=-e,

如图，

供

fifr)

所以，当g(x)左移超过e个单位时，都能产生两个交点,

所以〃的取值范围是(e,+8)。

17.【解析】试题分析：(1)根据递推关系可得出一个等差数列｛；｝,进而求出数列｛an｝的通

dn

项公式；(2)放缩an2=(?=：二<：•；•[=；(六马，累加后相加相消即可证出.

试题解析：

①由1可知列R｝为等差数列，且首项为3,公差为2,故an=1

anzzn

②依题可知an2=(5)2=，,<*•看=；(六马

r-r-I922o1.Ill11.

所以ai+a2+a3+…+an<-(1+1

222

故a/+a?+as+…+an<|

18.解析：(1)由表中的数据和参考数据得

4I4

天=2.5,9=200,2(%—x)2=5,枢(%—y)2-158.9,

z=lVi=l

444

Z(%-元)(X-刃=»戊-0=2355-2.5x800=355,

i=li=l;=1

355

rx---------«0.999.

2.236x158.90

因为y与x的相关系数近似为0.999,说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性

回归模型拟合y与X的关系.

~>4(x-x)(y.-y)355

(2)由3=200及(1)得2=,且一八%"=32=71,

£段-寸5

a=y-^x=200-71x2.5=22.5,

所以y关于x的回归方程为$=22.5+75.

将2018年对应的x=5代入回归方程得夕=22.5+71x5=377.5.

所以预测2018年我国百货零售业销售额为377.5亿元.

(3)从这5个数据中任取2个数据，结果有：

(95,165),(95,230),(95,310),(95,377.5),(165,230),(165,310),(165,377.5),

(230,310),(230,377.5),(310,377.5)共10个.所取2个数据之差的绝对值大于200亿元

3

的结果有：(95,310),(95,377.5),(165,377.5),共3个，所以所求概率P=而.

19.

试题解析：

(I)取BC中点G，连接FG，AG-

又；F为BD的中点，CD=2EA>CD//AE-

:.FG=齐D=EA,且FG〃AE，

•••四边形AGFE是平行四边形，

，EF〃AG，

而且EF(t平面ABC，AGU平面ABC，

EF〃平面ABC；

(II)ZEAC=90°>平面EACDJ-平面ABC，且交于AC，

.•.平EA-L面ABC，

由(I)知FG〃AE，，FG■*•平面ABC，

又；AB=AC，G为BC中点，

•'•AG1BC，

如图，以GA，GB，GF所在直线为X，V，z轴建立空间直角坐标系，

则A(LOQ)，B(0拒0)，D。-丘2)，E(1.0.1)-

•*.AB=(-1,V3,O)»BD=(0,-2^3,2)，BE=(1,-

设平面BDE的法向量为Ft=(XMZ)，则

fn-BD=0fz-V3y=0

In'BE=0>即lx-M3y+z=0，

令V=1,得n=(O,l,V^)，

直线AB与平面BDE所成角的正弦值为磊［=7.

20.

试题解析：（1）易知F的坐标为（L0），所以c=l，

（19

—+——=1

所以S'解得a?=4,b?=3,

la-b=1

所以椭圆M的方程为[+[=1.

（2）设直线|的方程为v二k（x-l）（k>0），代入v?=4x，^k2x2-（2k2+4）x+k2=0»

、n_El2k2+44

设A（xi,vi），C（X2,V2），贝kl+X2=^-=2+2

4

因为|AC|=XI+X2+2=4+彳=8,k>0，所以k=l.

将V二x-1代入彳+事=1'得7x?-8x-8=0-

gg

设B（X3,V3），D仅X44），则X3+X4=],X3X4=-],

所以|BDI=Ml+1J（X3+X4）2・4X3X4=

2432

故|AB|-|CD|=|AC|-|BD|=8-7=7.

J

-21.解：（1）当a=5时g（2）=（一32+51-3）e%

g（l）=e,g'（2）=（一工2+3工+2）片,

故切线的斜率为g'（D=4e,

所以切线方程为、-e=4eCr—：L）,即y=4ez-3e：

21.（4分）

(2)=In=+1,

二土「工-1

(°7-b)—(Vs)

-•.、一:、'-'--

—O、.十,

八二）单词递减极小值（最小值）单调递增

-i'

当上导堂时，在区间匚入£+2：］上，丁（工）为i#函数，

所以_/XN）my==Hnt；

当ov（v全日寸，在区间［八4-）内，/y为