2025优化设计一轮课时规范练26　利用导数研究函数的极值、最值

课时规范练26利用导数研究函数的极值、最值高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI20251234567891011121314151617基础巩固练1.(2024·河南郑州模拟)已知函数f(x)=x3-3x2+a,则f(x)的极值点个数为(

)A.不确定

B.0

C.1

D.2D解析

函数f(x)定义域为R,且f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,解得x=0或x=2,所以当x>2或x<0时,f'(x)>0,当0<x<2时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)内单调递增,在(0,2)内单调递减,所以f(x)在x=0处取得极大值,在x=2处取得极小值,因此f(x)有2个极值点,故选D.1234567891011121314151617B解析

f'(x)=ln

x,令f'(x)=ln

x=0得x=1,当x>1时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)内单调递增,当x<1时,f'(x)<0,即f(x)在(0,1)内单调递减,则f(x)在x=1时取得极小值,也是最小值,故f(x)≥f(1)=-1,故选B.12345678910111213141516173.(2024·山东济南模拟)已知函数f(x)=ax++1在x=1处取得极值0,则a+b=(

)A.-1 B.0

C.1

D.2B12345678910111213141516174.(2024·山东青岛模拟)函数f(x)=x3-3ax+a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是(

)A.[0,1) B.(0,1) C.(-1,1) D.(0,)B1234567891011121314151617B12345678910111213141516176.(2024·四川绵阳模拟)若函数f(x)=ax2-2lnx有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围为(

)A.(-∞,0]

B.(0,+∞)C.(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)B因为f(x)有且仅有一个极值点,所以方程ax2-1=0有且仅有一个正根,所以a>0,故选B.12345678910111213141516177.(多选题)(2024·安徽宿州模拟)已知x=1为函数f(x)=x2-3x-logax的极值点,则(

)(参考数据:ln2≈0.6931)A.f(x)在(0,1)内单调递减B.f(x)的极小值为-2C.f(x)有最小值,无最大值D.f(x)有唯一的零点BD12345678910111213141516178.(2024·河北唐山模拟)已知x=1是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点,那么函数f(x)的极大值为

.

4解析

f'(x)=3x2-3a,因为x=1是函数的极小值点,所以f'(1)=3-3a=0,解得a=1,此时f(x)=x3-3x+2,f'(x)=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0,得x=-1或x=1,所以f(x)在x=-1处取极大值,f(-1)=-1+3+2=4.12345678910111213141516179.(2024·福建三明模拟)某圆锥的母线长为10cm,当其体积最大时,圆锥的高为

cm.

1234567891011121314151617(1)若曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与y=g(x)也相切,求a的值;(2)若a=1,求函数y=f(x)+g(x)的最大值.12345678910111213141516171234567891011121314151617综合提升练D123456789101112131415161712.(2024·福建泉州模拟)若函数f(x)=x2+ax+2lnx有两个不同的极值点,则实数a的取值范围为(

)A.(-∞,-4)

B.(4,+∞)C.(-4,4)

D.(-∞,-4)∪(4,+∞)A123456789101112131415161713.(多选题)(2024·福建莆田模拟)已知函数f(x)=(x2-3x+1)ex,则下列说法中正确的是(

)A.f(x)在R上有两个极值点B.f(x)在x=-1处取得最小值C.f(x)在x=2处取得极小值D.函数f(x)在R上有三个不同的零点AC1234567891011121314151617解析

f(x)定义域为R,f'(x)=(x2-x-2)ex=(x-2)(x+1)ex,∴当x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-1,2)时,f'(x)<0.∴f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)内单调递增,在(-1,2)内单调递减,∴f(x)极大值为f(-1)=,极小值为f(2)=-e2,当x<0时,x2-3x+1>0,ex>0,∴f(x)>0恒成立,可作出f(x)图象(如图所示).对于A,f(x)的极大值点为-1,极小值点为2,故选项A正确;对于B,f(-1)不是f(x)的最小值,故选项B错误;对于C,f(x)在x=2处取得极小值,故选项C正确;对于D,由图象可知,f(x)有且仅有两个不同的零点,故选项D错误,故选AC.1234567891011121314151617D123456789101112131415161715.(2024·河北承德联考)函数f(x)=|x-1|+xlnx的最小值为

.

0解析

f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=|x-1|+xln

x=当x≥1时,f'(x)=1+(ln

x+1)=ln

x+2>0,所以f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,最小值是f(1)=0.当0<x<1时,f'(x)=-1+(ln

x+1)=ln

x<0,所以f(x)在区间(0,1)内单调递减.综上所述,f(x)的最小值为0.123456789101112131415161716.(2024·浙江余姚模拟)已知函数f(x)=ex-2x,g(x)=-x,且f(x1)=g(x2),则x1-x2的最小值为

.

1因为g(x)的值域以及f(x),g(x)的定义域均为R,所以x1的取值范围是R,令h(x)=ex-x(x∈R),则h'(x)=ex-1,令ex-1=0,解得x=0,当x∈(-∞,0)时,h'(x)<0,即h(x)在(-∞,0)内单调递减;当x∈(0,+∞)时,h'(x)>0,即h(x)在(0,+∞)内单调递增,所以h(x)min=h(0)=1,故(x1-x2)min=1.1234567891011