初中数学中考二轮复习重难突破专题10 方程（组）与不等式（组）(含答案)

专题10方程（组）与不等式（组）重点分析在中考，不等式的性质常在选择题中考查；一元一次不等式的解法及其数轴上的表示常在选择题、填空题和计算题中考查；一元一次不等式的应用常结合二元一次方程、分式方程或一元二次方程在解答题形式中考查。难点解读难点一：不等式的基本性质性质1不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，即若a＞b,则a±c＞b±c性质2不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b,c＞0，则ac＞bc（或）性质3不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向不变，即：若a＞b,c＜0，则ac＜bc（或）难点二：一元一次不不等式的解法及解集表示解法步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1x＜ax＞ax≤ax≥a总结在数轴上表示解集时，“≥”或“≤”用实心圆点，“＞”或“＜”用空心圆点；小于向左，大于向右。难点三：一元一次不等式组的解集类型及表示不等式组（a＞b)解集在数轴上表示口诀x＞a同大取大x＜b同小取小b＜x＜a大小、小大中间找无解大大、小小取不小【提分要点】解一元一次不等式组的一般解答步骤分别求出不等式组中各个不等式的解集、再在数轴上表示出不等式的解集，然后利用数轴或根据口诀确定不等式组的解集难点四：列不等式解应用题的步骤找找出题目当中的不等关系（正确理解表示不等关系的关键词的意义：例如“至少”（≥）、“最多”（≤）、“不低于”（≥）、“不高于”（≤）、“不大于”（≤）、“不小于”（≥）等）设设未知数列根据不等关系、列出不等式解解不等式答根据题意作答（要注意所取值要符合实际意义，例如：人数必为正整数，当x表示人数且x≥时，则x咋最小值为4，即至少有4人）【提分要点】题干中至少，设未知数时需注意；不能设至少要x，而应明确设为x，如求甲至少要购买多少件，则设购买甲x件，再根据题目条件列不等式求解。真题演练1.若关于x的一元二次方程有实数根，则字母k的取值范围是（）A. B.且 C. D.且【答案】D【解析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且△=（-2）2-4k×(-3)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得k≠0且△=（-2）2-4k×(-3)≥0，解得且k≠0．故选：D．【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．2.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，有下列结论：①；②；③二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为a和b，则．其中，正确结论的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】将已知的一元二次方程整理为:一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，确定出二次函数解析式，令y=0，

得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断.【详解】一元二次方程化为一般形式得：，∵一元二次方程有两个不相等的实数根，，∴，∴，故②正确；∵一元二次方程有两个不相等的实数根，，∴，，而选项①中，只有在m=0时才能成立，故①错误；二次函数y=====，当y=0时，=0，∴x=2或x=3，∴抛物线与x轴的交点为（2,0）与（3,0），即a=2，b=3，∴a+b=2+3=5，故③正确，故选：C.【点拨】此题考查已知一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系式，二次函数图象与坐标轴交点，根与系数的关系公式及根的判别式公式是解此题中的关键计算.3.已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.无实数根 D.只有一个实数根【答案】A【解析】由数轴可知：，，然后计算根的判别式的值即可得出答案．【详解】由数轴可知：，；∴；∴有两个不相等的实数根故选：A【点拨】本题主要考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的方法、某点在数轴上的位置确定其正负是解题的关键，属于基础知识题．4.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A.x2＝2x B.x2－2x＝－1 C.2x2－1＝x D.2x2－2x+1＝0【答案】D【解析】逐一求出四个选项中方程的根的判别式△的值，取其小于零的选项即可得出结论．【详解】解：A.∵x2＝2x∴x2-2x＝0∴△=（-2）2-4×1×0=4＞0，∴一元二次方程x2-2x=0有两个不相等的实数根，故不符合题意；B.∵x2－2x＝－1∴x2－2x+1＝0∴△=(-2)2-4×1×1=0，∴一元二次方程x2－2x＝－1有两个相等的实数根，故不符合题意；C.∵2x2－1＝x∴2x2－x-1＝0∴△=（-1）2-4×2×（-1）=90，∴一元二次方程2x2－1＝x有两个不相等的实数根，故不符合题意；D.∵△=（-2）2-4×2×1=-4<0，∴一元二次方程2x2－2x+1＝0没有实数根，故符合题意．故选：D．【点拨】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程没有实数根”是解题的关键．5.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．【详解】解：由题意得：，故选A【点拨】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．6.随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间=工作总量÷工作效率，再结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程．【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，依题意，得：．故选：B．【点拨】本题考查了由实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．7.《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（）A.x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 B.2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2C.x2＝42＋（x﹣2）2 D.x2＝（x﹣4）2＋22【答案】A【解析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．【详解】解：根据勾股定理可得：x2=（x-4）2+（x-2）2，故选：A．【点拨】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．8.如图所示，小琳总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程，那么A和B分别代表的是（）A.分式基本性质，最简公分母=0B.分式的基本性质，最简公分母≠0C.等式的基本性质2，最简公分母=0D.等式的基本性质2，最简公分母≠0【答案】C【解析】根据解分式方程的步骤，可得答案．【详解】去分母得依据是等式基本性质2，检验时最简公分母等于零，原分式方程无解.故答案选：C.【点拨】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练的掌握解分式方程的方法.9.若关于x的方程的一个根为1，则代数式的值为__________．【答案】-1．【解析】把x=1代入方程，整体求值即可．【详解】解：关于x的方程的一个根为1，代入得，，移项得，，故答案为：-1．【点拨】本题考查了一元二次方程的解，解题关键是明确方程解的概念，代入未知数的值求代数式的值．10.若方程组的解适合x+y=2，则k的值为_____．【答案】3【解析】分析：根据等式的性质,可得关于k的方程,根据解方程,可得答案.详解：两式相加,得

3(x+y)=3k-3,

由x+y=2,

得

3k-3=6,

计算得出k=3,

故答案为3.点睛：本题考查了二元一次方程组的解，利用等式的性质得出3(x+y)=3k-3是解答本题的关键.11.写出一个解集为的不等式组：____________．【答案】【解析】根据不等式的性质对进行变形，“同大取大，同小取小”，从而可得出另一个不等式为，即可得出一个满足条件的不等式组．【详解】由不等式的性质：由可得；所以可得另一个不等式：；所以不等式组为；故答案为：【点拨】本题主要考查不等式的性质、熟悉求解一元一次不等式组的过程，要求学生能够熟练地掌握不等式的性质、解一元一次不等式组的方法，属于基础知识题．12.不等式组的最大整数解为_____．【答案】1【解析】首先分别求出每一个不等式的解集，得出不等式组的解集，进一步得出最大整数解即可．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，所以不等式组的解集为，最大整数解为1．故答案为：1．【点拨】此题考查求不等式组的整数解，求出不等式组的解集是解决问题的关键．13.关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围是____________.【答案】8⩽a<13；【解析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【详解】解不等式3x−5>1，得：x>2，解不等式5x−a⩽12,得：x⩽，∵不等式组有2个整数解，∴其整数解为3和4，则4⩽<5，解得：8⩽a<13，故答案为8⩽a<13【点拨】此题考查一元一次不等式组的整数解，掌握运算法则是解题关键14.解方程：x2﹣4x+3=0．【答案】x1=1，x2=3．【解析】【详解】试题分析：本题考查了一元二次方程的解法，用十字相乘法分解因式求解即可.解：x2﹣4x+3=0（x﹣1）（x﹣3）=0x﹣1=0，x﹣3=0x1=1，x2=3．15.（2021年河南省淮滨县第一中学中考九年级数学模拟试题）解不等式组：【答案】【解析】分别求出每一个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可.【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：∴不等式组的解集为：.【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式的方法.16.已知两人各自每天所读页数相同．读书天数12345页码之差7260483624页码之和152220424（1）表中空白部分从左到右2个数据依次为，；（2）小明、小红每人每天各读多少页？（3）已知这本名著有488页，问：从第6天起，小明至少平均每天要比原来多读几页，才能确保第10天结束时还不被小红超过？（答案取整数）【答案】（1）288，356．（2）小明每天读28页，小红每天读40页．（3）小明至少平均每天要比原来多读8页，才能确保第10天结束时还不被小红超过．【解析】（1）第一天两人一共读了152-84=68页，故第三天页码之和=220+68=288页，第四天页码之和=288+68=356页；（2）小明每天读x页，小红每天读y页．由题意，解方程组即可解决问题；（3）从第6天起，小明至少平均每天要比原来多读m页．由题意：84+28×5+5（28+m）-10×40≥0，解不等式即可解决问题.【详解】（1）第一天两人一共读了152-84=68