切线问题（讲义）2024高考总复习压轴题

专题11切线问题

圆锥曲线中的切线问题

4、综合问题

22

1.椭圆的切线方程：椭圆三+2r=1（。〉6〉0）上一点尸（与,为）处的切线方程是考+*=1；椭圆

aba-b~

22

二+当=1（。〉6〉0）外一点P（x0,y0）所引两条切线方程是誓+誓=1.

a'b''a"b~

22

2.双曲线的切线方程：双曲线1―5=1（。〉0］〉0）上一点尸（公,%））处的切线方程是誓—岑=1；

abab

22

双曲线*—2=1（。〉0］〉0）上一点P（x0,y0）所引两条切线方程是笄—誓=1.

abab

3.抛物线的切线方程：抛物线V=2px（p〉0）上一点P（xo，y0）处的切线方程是=抛物

线V=2px（p〉0）上一点尸（七,%）所引两条切线方程是%丁=Mx+x。）.

4.设抛物线C:/=2py1p>0）的焦点为F,若过点P的直线PA,P8分别与抛物线C相切于A,B两点，

则ZPFA=ZPFB.

22

5.设椭圆C:三+A=1（。〉6〉0）的焦点为F,若过点P的直线PA,分别与椭圆C相切于A,B两点,

ab

则NPFA=NPFB.

22

6.设双曲线C:j—gy=1（。〉0,b>0）的焦点为F,若过点P的直线PA,PB分别与椭圆C相切于A,B

ab

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两点，则/PFA=/PFB

.提升•必考题型归纳

题型【一】、圆中的切线问题

1.已知圆方程为:f+y2+gy+R=0（。2+石2一4斤＞0）,

若已知切点P（%,%）在圆上，则切线只有一条，其方程是：玉工+%y+。号2+石"2+尸=0；

2.已知圆方程为:/+/=/,

2

若已知切点P（x0,%）在圆上，则该圆过P点的切线方程为xox+=r；

3.已知圆方程为圆:（x—ay+（y—4=产.

（1）过圆上的《（%0，及））点的切线方程为（%0-。）0-。）+（贝）一"（丁一/?）=/.

（2）过圆外一点（毛,阳）作圆的两条切线，则切点弦方程为（1-a）（x-a）+（%-/?）（丁一〃）=产.

例1.（2021•河南郑州•统考三模）已知圆加过点A（L3）、B（L-1）、c（-3,l）,则圆加在点A处的切线方程

为（）

A.3x+4y-15=0B.3x-4y+9=0C.4%+3y—13=0D.4x—3y+5=0

【答案】A

【分析】设圆M的一般方程为/+V+Ox+@+F=0,将点A、B、C的坐标代入圆M的方程，可求得£＞、

E、厂的值，可得出圆心〃的坐标，求出A〃所在直线的斜率，可求得切线的斜率，利用点斜式可得出所

求切线的方程.

【详解】设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+尸=0,

D+3E+F+10=01

由题意可得,。一E+尸+2=。,解得<£二一2,

-3£>+E+F+10=0[F=-5

所以，圆M的方程为炉+/+天_2'-5=0,圆心为

_3-1_4

直线AM的斜率为期二口二1

1H-

2

3

因此，圆M在点A处的切线方程为y—3=—w（%T），即3x+4y—15=0.

故选：A.

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【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：

(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.

如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

②圆心在任意弦的中垂线上；

③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；

(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量.一般地，与圆

心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式.不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有

三个独立等式.

例2.(2023・全国•高三专题练习)过点M(0,-4)作圆C：/+/+2%-6丫+6=0的两条切线，切点分别为A,

B,则直线AB的方程为()

A.2x-y+3=0B.x-7y+18=0

C.2x-5y+5=0D.x+5y+5=0

【答案】B

【分析】根据题意，可知圆尤2+>2+2X-6〉+6=0的圆心为。(-1,3),半径r=2,由切线长公式求出的

长，进而可得以〃为圆心，为半径为圆，则A3为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方

程作差后计算可得答案.

【详解】根据题意，可知圆尤2+>2+2》-6>+6=0的圆心为C(-l,3),半径厂=2,

过点M(0，-4)作圆/+/+2苫一6旷+6=0的两条切线，设切点分别为A、B,

而|MC|=Ji*?=5贬,则|AM|=JMC|2_4=廊,

则以"为圆心，为半径为圆为炉+(y+4)2=46,即圆尤?+/+8y-30=0,

X1++2x-6y+6=0

所以A3为两圆的公共弦所在的直线，则有

2

尤2+y+8y-30=0

作差变形可得：x-7y+18=0；

即直线AB的方程为x-7y+18=0.

故选：B.

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小试薪I

1.（2022•河北石家庄•一模）与直线x+2y+l=0垂直，且与圆/+丁=1相切的直线方程是（）.

A.2x+y+近=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0

C.2x-y+如=0或2x-y-V?=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0

【答案】C

【解析】

【分析】

设所求的直线方程为2x-y+0=o,解方程1=-4=即得解.

【详解】

解：由题得直线x+2y+l=。的斜率为所以所求的直线的斜率为2,

设所求的直线方程为y=2x+6,；.2x-y+6=0.

因为所求直线与圆相切，所以l=£p；）=±括.

所以所求的直线方程为2x-y+q=0或2x-y-如=0.

故选：C

2.（2022•江西•模拟预测（理））已知圆O：r+/=2,直线/：x+y-4=0,P为直线/上一动点，过点产

作圆。的两条切线用，PB,A,8为切点，贝U（）

A.点尸到圆。上的点的最小距离为2立B.线段抬长度的最小值为2夜

C.R4.尸8的最小值为3D.存在点P,使得△PAB的面积为g

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给定条件结合圆的性质、圆的切线长定理逐项分析各个选项，计算判断作答.

【详解】

圆。：/+V=2的圆心0（0,。），半径/=应，如图，

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对于A,点。到直线/的距离］=*=2夜，则点尸到圆。上的点的最小距离为〃一厂=夜，A不正确；

对于B,由选项A知，|OP|2d=2jI,由切线长定理得1PAi=J|0尸『一2«2近）。-（后=底,B

不正确;

对于C,依题意，ZAPB=2ZAPO,在RtZXOPA中，sinNAPO=蚂父=,

\OP\\OP\

则PAPB^PA\\PB\cosZAPB=|PA|2(1-2sin2ZAPO)=(|0P|2-2)(1-=\°pF+-6,

Q

由选项B知，|O尸产28,而函数x+嚏-6在［8,+⑹上单调递增，则当|O尸『=8时，(丛.必)1nm=3,C正确;

对于D,S“a=1|PA|•|RB|sinZAPB=\PA\2sinZAPOcosZAPO=@气「=⑸

PAB2|OP|22+1PA|2

V2近

一2।1一,由选项B知|尸川2"，显然2।丁对1PA+Q0）单调递增,

1PAi3网1pAi3+网

因此，当|P4|=#时，（5.『£；索=孚>|，D不正确•

故选：C

3.（2021・重庆八中模拟预测）已知直线/:无->+4=0与x轴相交于点A,过直线/上的动点P作圆V+产=4

的两条切线，切点分别为C,。两点，记M是CZ）的中点，则的最小值为（）

A.2夜B.3yliC.后D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

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设点尸（/,什4）,C（XQJ,%）,根据圆的切线的性质可得C,。在以OP为直径的圆上，求得其圆

的方程，再由C,。在圆d+y2=4上，可得直线。的方程，求得直线CO恒过定点Q（-U）,从而得M

在以。。为直径的圆，得出圆的方程可求得|如田的最小值.

【详解】

设点P”，什4）,C（x，yJ,。伍,%）,因为PDPC是圆的切线，所以OD，P"OC，PC,

所以C,。在以O尸为直径的圆上，其圆的方程为、一一（：=虫"，

又C,。在圆/+产=4上，则将两个圆的方程作差得直线CO的方程：比+（什4）y-4=0,即

《x+y）+4（y-l）=0,所以直线CO恒过定点。（一1，1）,

又因为WCD,。，C£＞四点共线，所以WMQ,即M在以OQ为直径的圆]y-=；

上，其圆心为。[-展]],半径为厂=1^,

22

所以1mli=恒。1一厂=/一1+4]+[[-亨=2近，所以的最小值为20，

方法点睛：求直线恒过点的方法:方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成y=Mx-a）+〃，

将％=0带入原方程之后，所以直线过定点（。，b）；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的,"是取不同值

变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个，w的值带入

原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.

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题型【二】、椭圆中的切线问题

1.设P（x0,y0）为椭圆捻+2=1上的点，则过该点的切线方程为:登+^=1

22

设P（xo,yo）为椭圆今+4=1外一点，过该点作椭圆的两条切线,切点为A,B则弦AB的方程为：

xxo^yyo

出+铲=1

例3.（2023下•天津•模拟）圆尤2+/=/在点（%,%）处的切线方程为工胚+%>=/，类似地，可以求得椭

22

圆土+匕=1在点（2,1）处的切线方程为.

82

【答案】x+2y-4=0

22

【分析】类比得到5+2=1在点（X。,为）处的切线方程为岑+誓=1,代入数据计算得到答案.

cibab

【详解】尤2+y2=尸在点（1,为）处的切线方程为x0x+=r2,

22

类比得到5+?=1在点优,为）处的切线方程为¥+察=1,

abab

故椭圆上+二=1在点（2,D处的切线方程为?+5=1,即x+2y-4=0.

8282

故答案为：x+2y-4=0.

【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力和计算能力.

例4.（2023・全国•高三专题练习）已知圆V+y2=产在点（%,为）处的切线方程为无。尤+%>=/，类似地，可以

22

求得椭圆三+工=1在点（4,2）处的切线方程为_____

328

【答案】5+5=1

84

22

【分析】把尤2+产=产写成，+多=1，切线方程写成华+晔=1,根据圆方程与其切线方程的结构形式

rrrr

可以得到椭圆相应的切线方程.

22

【详解】圆的方程可写成3+4=1，圆在点（X。，%）处的切线方程为华+卒=1，类似地，因椭圆方程为：

rrrr

—+^=1,故椭圆在点（4,2）处的切线方程为詈+呼=1即：+：=l,

32832oo4

故答案为：7+T=1.

84

第7页共22页

小试薪I

22

1.（2022•河南焦作•一模（理））已知椭圆C:，+与=1（。>6>0）的左、右焦点分别为片，工，M为C上一

cib

点，且△町鸟的内心为若△西居的面积为46,则叫R产=（）

357134

A.-B.-C.—D.-

2323

【答案】B

【解析】

【分析】

根据椭圆的定义，三角形的面积可求出椭圆的离心率，所求即为离心率的倒数可得解.

【详解】

由题意可得，乙的内心/（%,2）到无轴的距离就是内切圆的半径.

又点M在椭圆C上，由椭圆的定义，得|町|+|叫|+闺阊=2a+2c,S△y3=g（2a+2c）x2=2（a+c）=46,

即a+c=2b.

又。=匐，所以b="（l+e）,

2

因为力=①+02,

L-]2

22

所以+0储=〃，Bp（l+e）+4e=4,

3

所以5，+2e-3=0,解得e=g或T（舍去），

\MFl\+\MF2\=2a_l_5

所以但用2ce3-

故选：B

2.（2022・河南•一模（理））已知椭圆G：二+5=1（。>6>0）,其长轴长为4且离心率为在椭圆G上

任取一点P,过点尸作圆C2：》2+仃+3）2=2的两条切线尸加,卬，切点分别为",N,则PM.PN的最小值

为（）

3l

A.—2B.——C.4,2-6D.0

第8页共22页

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知条件解得a,b,进而可得椭圆G的标准方程.不妨设NMGN=26,得

PM-P^=(|PC|2-2)[1-2X

2[西),换元，利用函数单调性即可求解.

【详解】

22

由椭圆G:-y+=1(。>b>0)，

ab

其长轴长为4且离心率为走，

2

「.2a=4,—=,a2=b2+c2解得。=2,b=l,

a2

椭圆G的标准方程为：—+/=!.

4

再设点P(x，y),贝l]Y+y2=l,可得V=4-4y2,点G(0,-3),

|PC1|2=x2+(y+3)2=4-4y2+y2+6y+9=-3(y-l)2+16,

T到1,则|PC?『e[4,16]

不妨设NMCZN=20,

则PMPN=^PM^PN^cosZMPN=|PW|2(1-2COS261)

2222

=|PM|l-2xf^^)L(|PC2|-2)l-2xf^^),

111

LUP]。I[\pc2\J

令|小2「=x(xe[4,16]),y=PM-PN,

则y=(x_2)(i_B=x+g_6,

Q

由对勾函数的性质可知，y=x+、-6在无44,16]递增，

Q

故外,=4+16=0,此时|尸。2卜2,

故PM-PN的最小值为0,

故选：D.

3.(2022•山东•济南市历城第二中学模拟预测)画法几何的创始人一一法国数学家加斯帕尔•蒙日发现:与椭

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圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已

知椭圆C:1+%=l（a>6>0）的蒙日圆方程为/+产=片+〃，椭圆C的离心率为乎，M为蒙日圆上一个

动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于尸、。两点，则""。面积的最大值为（）

A.3b°B.2b2C.^-b2D.6b2

3

【答案】A

【解析】

【分析】

利用椭圆的离心率可得。=J%，分析可知PQ为圆尤2+丁=3廿的一条直径，利用勾股定理得出

|〃尸「+|〃。「=12凡再利用基本不等式可得出河尸。面积的最大值.

【详解】

a=五b，所以，蒙日圆的方程为炉+产=3后,

1

由已知条件可得MPLMQ,则PQ为圆f+丁=3b的一条直径，则|MP「+四0『=|尸0「=nb2,

MP2MQ22

所以，5amp6=1|MP|.\MQ\<l|+l|=3b-当且仅当|“"=|陷2|=而时，等号成立.

故选：A.

题型【三】、双曲线中的切线问题

1、设POo，y0）为双曲线5=1上的点，则过该点的切线方程为:翳—缪=1

过PQo，yo）为双曲线马-《=的两支作两条切线，则切点弦方程为爷-普=1

2222

例5.（2022・全国•高三专题练习）已知椭圆子匕=l与双曲线C：2-5=l（m>0,">0）有公共焦点片，鸟,

点P（4,：在双曲线C上，则该双曲线在点P处的切线的斜率为.

【答案】1/1.25

4

【分析】依题意，注意到点在椭圆H+M=l上，由此得到椭圆在点P处的切线方程；再结合上述

I5）259

性质得到椭圆与双曲线在其公共点尸处的斜率间的关系，进而求出双曲线在点尸处的切线的斜率.也可以利

第10页共22页

用结论6直接得到答案.

【详解】根据结论6,由题意得椭圆江+父=1在点尸（4,3处的切线方程为"+其=1,

259I5J259x5

即4x+5y-25=0,该直线的斜率为-三4，由结论5得知，该双曲线在点P处的切线的斜率为5:.

54

故答案为：—.

4

例6.（2022•全国•高三专题练习）设双曲线C：/一2/=1上点尸（百,1）.求双曲线C在点尸处的切线/的

方程.

【答案】瓜-2y-l=0.

【分析】将双曲线在某点的切线方程转化为曲线在某点的切线方程，利用导数求出在某点的切线斜率，进

一步求出切线的方程.

【详解】由（?：/一2/=1可得、=±'三，

根据题目条件，可知求曲线y=在点P（73,l）处的切线/的方程，

1

2

,ifx-l\^X

J尤=即_1）

回曲线y=在点尸（6,1）处的切线斜率为K=呼

回曲线y=在点P（®1）处的切线方程为y=¥（x-石）+1

化简得后-2y-l=0

回双曲线C在点P处的切线/的方程为氐-2y-l=0.

小试薪|

1、（2021・山西吕梁•一模（理））过双曲线C：］磊=1（°>0,6>0）的右焦点歹（c,0）作圆好+产=/的一

条切线，切点为8,交y轴于。，若FB=3BD,则双曲线C的离心率为（）

A.6B.6C.2D.V5

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【答案】C

【解析】

【分析】

根据切线的性质，利用三角形的等积法建立方程可化简求出离心率.

【详解】

因为|OB|=a,|O尸|=c,且切点为2,

所以|碎=行一/=b，

因为FB=3BD，

所以|2。|=b:，

y/9a2+b2

故|。。|=

3

因为|OD||OF|=|Oa|FD|,

+h4bJ9/+/

改---a=----------c，

33

化简可得-8［，1+16=0,

即二=4,

a

所以e=2,

故选：C

r22

2.（2022・广西广西•模拟预测（理））已知尸为双曲线十-v左=1（。>0,6>0）的左焦点，若双曲线右支上存

在一点P,使直线尸尸与圆/+;/=/相切，则双曲线离心率的取值范围是（）

A.(A/^,+8)B.C.D.(1,夜)

9

17\7

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直线尸尸与圆1+V=/相切以及直线PF与渐近线y=-x的斜率的关系列不等式，化简求得离心率的

a

取值范围.

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【详解】

依题意可知，直线P厂的斜率存在，设直线P厂的方程为y=M》+c）,

ipfcr-y+fa?=O,

圆的圆心为（0,0）,半径厂=.,

圆心到直线P厂的距离=a

两边平方并化简得JU=l+1与，

ak

丫2

双曲线鼻-2G=1的一条渐近线为>=±h乙，

aba

由于尸在双曲线的右支，所以网<"后2<5，"4,

a2c2a2a2+b2

>1+>1+F，>1+

a2

b1a2b4,b2,

(+1_>皿=后

故选：A

题型【四】、抛物线中的切线问题

1、设P（%o，yo）为抛物线y2=2px上的点，则过该点的切线方程为yy（）=p（x+x0）

设P（%o，yo）为抛物线y2=2px开口外一点，则切点弦的方程为:yy（）=p（%+工。）

例7.（2023•全国•模拟预测）已知抛物线C：f=2py（〃>0）,。的一条切线方程为x-y-1=0,则。的准线方

程为.

【答案】y+i=o

【分析】由『=2刀，消去y得/-2px+2P=0,由△=（）求出P,从而求得准线方程.

[x-y-l=0

【详解】由消去y得尤2-2px+2P=0,

由题意A=（—2〃）2—4x2p=0,解得p=2,

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则抛物线方程为：x2=4y,

所以抛物线的准线方程为：y=-l,即y+l=o.

故答案为：y+l=o.

例8.（2023•河南•校联考模拟预测）已知。为坐标原点，点Q（-2,l）在抛物线C:尤2=2py（p>0）上，过直线

x=2上一点P作抛物线。的两条切线，切点分别为M,N.则尸的取值范围为.

【答案】［-4,+s）

【分析】根据导数的几何意义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】因为。（-2,1）在抛物线C上，所以（-2）2=2夕1,解得。=2,所以C:/=4y.

(2(22

设A/|'N兀2,才r

"由y=7求导得y=］，

4

,2,2

贝ij直线尸M:y=五x—五，直线尸N:y=^x—三

2424

XyX2X.+x

y=-x——-x=------9-

242再+%2

由<解得所以P

2

y=-x——->=苧,

24

又尸在直线％=2上，得占+巧=4.

再—XX；XXx—玉xf—XX

所以尸二2x22x2

2424

（再一/J再再一（%一％2）2（4+玉电）

41616

2

[(石+入2)-4X1X2J(4+X1X2)(16-4X1X2)(X1X2+4)(X^2)-16

>-4♦

16164

故答案为：［-4,+oo）

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【点睛】关键点睛：本题的关键是根据导数的性质求出抛物线的切线方程.

1、（2014年辽宁卷）已知点A（-2,3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切

于点8,记C的焦点为B，则直线8尸的斜率为（）

【答案】D

2

【解析】抛物线为:,则切线方程为:y%=4(x+2-)，代入点A,得%=8,

8

选Do

秒杀公式：阿基米德三角形：由/，选D。

2、（2021•江西•上高二中模拟预测（文））抛物线G：VUZPMP〉。）与双曲线e：/一3y2=力有一个公共

焦点尸,过C2上一点尸（364）向G作两条切线，切点分别为A、B,则w郎|明=（）

A.49B.68C.32D.52

【答案】A

【解析】

【分析】

将P坐标代入双曲线方程求得双曲线的方程，进一步求得抛物线的方程中的参数P，利用导数几何意义求得

两切线的方程，利用韦达定理求得两根之和，两根之积，利用抛物线的定义，将48到焦点的距离转化为

到准线的距离，表示为48的纵坐标的关系式，求得|A用18娼关于48纵坐标的表达式.

【详解】

由P在双曲线上，将尸点坐标代入双曲线的方程，A=（375）2-3X42=-3,

回双曲线的方程为y一[=1,双曲线的焦点在y轴上，a2=l,b2=3,[?\c2=a2+b2=4,

回c=2,双曲线的焦点坐标为（0,2）,抛物线Y=2py的焦点坐标为

回抛物线与双曲线的焦点重合，回5=2，回抛物线的准线为丫=-2,。=4,

抛物线的方程为V=8y,即y=：/，

O

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）/=%,设4（/%）,以%,%）,切线的斜率分别为；玉,卜2,切线方程分别为

＞一》=，1（尤一尤1），＞_%=%"一々），

将P的坐标及乂=［转M=1只代入，并整理得其-6岛+32=0,第一6国+32=0,

OO

可得不，%为方程X2-6氐+32=0的两个实数根，由韦达定理得

XjX2=32,占+%=6A/5,

|A川忸制=（%+2）（%+2）=［x：+2,"考+2）=2（尤尼『+；（x；+考）+4

=2（占%）2+；［（%+々）2-2中2］+4=^义322+：（6百）-2x32+4=49,

故选:A

【点睛】

本题考查双曲线与抛物线的方程和性质，考查利用导数研究切线问题，关键是设而不求思想和韦达定理的

灵活运用.

题型【五】、综合问题

例9.（2020•甘肃•武威第六中学模拟预测（文））已知抛物线C：＞=g无"过点。（1」）的动直线与抛物线C

交于不同的两点A、B,分别以A、8为切点作抛物线的切线乙、4,直线4、4交于点？

（1）求动点P的轨迹方程；

⑵求△PAB面积的最小值，并求出此时直线的方程.

【答案】（1）y=xT

（2）1,y=x

【解析】

【分析】

（1）设A1』,01分别求出以A，8为切点的切线方程，联立两切线方程表示出点尸的坐标,

再设直线AB的方程为：y-l=%（x-l）,与抛物线的方程联立，代入可得点P的轨迹方

程;

⑵由（1）知|明和P（k,f到直线AB的距离，利用三角形面积公式求得&AB面积S=J［（I）2+斤,

可求得S的最小值和直线AB的方程.

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⑴

y=],y'=x

，台辛

设人］芭41,

则以4为切点的切线为yV3（f）,整理得：y=X］-x-^-

同理：以8为切点的切线为：y=x/-£

%+尤2

联立方程组：,,解得尸

2

y=x2x-—

设直线A3的方程为：y-l=%（x-l）,

y-1=k（x-V）

联立方程组12，整理得：/一2履+2左一2=0,

y=­x

2

△=4/-4（2左-2）=4（氏一I）?+4>0恒成立,

由韦达定理得：xx+x2=2k,x1x2=2k-2,故P（A,A-1）,

所以点尸的轨迹方程为尤-yT=0;

⑵

解：由（1）知：［4却=J1+/."（.+%）2—4再％=2，1+、27k2-2k+2,

\k2-2k+

P（匕左-1）到直线AB的距离为：d='L

TiTF

0S=||AB|-d=J（公一2%+2）3=7［（jt-l）2+l］3,

回左=1时，S取得最小值1,此时直线AB的方程为'=不

【点睛】

思路点睛：本题考查直线与抛物线的交点相关问题，涉及到抛物线的切线和三角形的面积的最值，直线与

抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.属中档题.

例10.（2022•吉林长春•模拟预测（理））已知圆M过点。,0）,且与直线尤=-1相切.

（1）求圆心M的轨迹C的方程；

⑵过点「（2,0）作直线I交轨迹C于A、8两点，点A关于x轴的对称点为4,过点尸作PQ，A'B,垂足为。，

在平面内是否存在定点E,使得|召。|为定值.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

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【答案】⑴V=4x；

⑵存在定点E，使得|EQ|=2,点E(0,0).

【解析】

【分析】

(1)设出点M的坐标，利用给定条件列式化简作答.

(2)设出直线/的方程，与轨迹C的方程联立，探求出直线A3所过定点，再推理计算作答.

(1)

设圆心M(x,y),依题意，J(x-l)2+y2=|x+l|,化简整理得：y2=4x,

所以圆心河的轨迹C的方程是：y2=4.x.

(2)

依题意，直线/的斜率存在且不为0,设直线/的方程为：x=ty+2,A(占则4(占,-%),

y产一%，

=%一(—-)=%+%=4

由抛物线对称性知，点A，在轨迹C上，直线A3的斜率为一一式弁一%-%，

T-T

直线A3的方程为：元-”)，化简整理得：y='一x-尺"，

[x=ty+2°

由2\消去工并整理得：/_物—8=0,则有％%=-8,

[y=4x

4

直线A3的方程化为：＞=-----(%+2),因此直线A3恒过定点P'(-2,0),

因尸Q，AB于点。于是得PQP'是直角三角形，且点0(0,0)是斜边pp，的中点，则恒有|。。卜JPP'\=2,

令点(0,0)为E,从而有|石。1=2,

所以存在定点E,使得IEQ1=2为定值，点E坐标为(0,0).

【点睛】

思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利

用韦达定理并结合已知推理求解.

例11.(2022•山西晋中•一模(文))在平面直角坐标系xOy中，已知直线3x+4y+50=0与圆G：x2+y2=r2

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相切，另外，椭圆G：：+，=1（。＞人＞0）的离心率为白，过左焦点片作x轴的垂线交椭圆于C,D两

点.且|CDk1.

⑴求圆G的方程与椭圆G的方程；

⑵经过圆G上一点尸作椭圆C2的两条切线，切点分别记为A,B,直线以，尸8分别与圆G相交于M，N

两点（异于点尸），求AOAB的面积的取值范围.

【答案】①/+＞2=5,—+/=1；

4

-4

（2）-,1.

【解析】

【分析】

（1）由直线与圆的相切关系及点线距离公式求参数广，即可得圆C1的方程，根据椭圆离心率、|C。卜竺及

椭圆参数关系求出b、c,即可得椭圆C?的方程.

（2）设4（石,%）、B（x2,y2）,P（x0,y0）,讨论直线以，P8斜率存在性，则直线以为y=勺（龙一百）+%、

直线PB为＞=%（%-9）+%，联立椭圆方程并结合所得一元二次方程A=0求k、k2,进而得直线必为

当+%y=l、直线P8为等+%y=l,结合尸在直线以，P8上有AB为午+%y=l,联立椭圆方程，应

用韦达定理、弦长公式、点线距离公式，结合三角形面积公式得S+1求面积范围.

■3尤+5

（1）

由题设,圆G：炉+产=产的圆心为倒⑼,

因为直线3x+4y+5石=0与圆C［相切，贝"

所以圆G的方程为Y+y2=5,

因为椭圆c,的离心率为3，即0=£=3，即c=1a,

2a22

^\CD\=—=1,贝朋2=熹又片=62+02,

a2

所以/=旦+宜，解得〃=2,b=l,

24

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所以椭圆G的方程为—+y2=L

4'

综上，圆G为/+9=5,椭圆G为《+y2=l.

4

⑵

设点A&,%）,3（%,%）,月（%，%）.

当直线E4,尸8斜率存在时，设直线B4,依的斜率分别为匕，网，贝IJ直线%为丁=£（%-为）+%,直线

为了=鱼（%-々）+丫2.

由卜2Vz：'）："，消去y得：（1+4%：卜2+瓯（必_审加+4（必_匕占）2一4=0.

\x+4y—4=0'7

所以A=6%（%一刎『一40+4将）b（必_砧）2_q.

令A=0,整理得（4一天；）6+2&y£+l-寸=0,则用

”项4%4%

所以直线B4为丫=母（石尤|）+3，化简得：XF+4%y=4y；+x；,即?+%y=l.

经验证，当直线外斜率不存在时，直线B4为x=2或x=-2也满足型+“y=l.

4'

同理，可得直线尸8为学+%>=