北京市2024届数学高一年级下册期末达标检测模拟试题含解析

北京市北师大二附中2024届数学高一下期末达标检测模拟试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;

非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

7171,且"吟卜后,sin(p+J4

1.已知。<a<_y,则

2

sin(a+P)=(

)

Rg„3710D3M

r>.-....C.----L>.—-----

10

2.已知函数丁=5诂（31+中）（3〉0,|叫＜£）的部分图象如图所示，则此函数的解析式

B.y=sin(2x+—)

.,A兀、

C.y=sin(4x+—)D.y=SIII(4A:+—)

x+yV5,

2x-y<4,

3.（2018年天津卷文）设变量满足约束条件J则目标函数z=3x+5y

y>0,

的最大值为

A.6B.19C.21D.45

4.已知a>b,则下列不等式中成立的是（

11

A.—>—B.Q2>b2C.ac2>bc2D.a-b>b-a

ab

5.若一个人下半身长（肚脐至足底）与全身长的比近似为,称为黄

金分割比），堪称“身材完美”，且比值越接近黄金分割比，身材看起来越好，若某人着

装前测得头顶至肚脐长度为72c“肚脐至足底长度为103,根据以上数据，作为形

象设计师的你，对TA的着装建议是（）

A.身材完美，无需改善B.可以戴一顶合适高度的帽子

C.可以穿一双合适高度的增高鞋D.同时穿戴同样高度的增高鞋与帽子

6.将函数/（x）=sin2x的图象向右平移三个单位长度得到g（x）图象，则函数的解析

6

式是（）

A.g（x）=sin[2x+g]B.g（x）=sin12x+看]

C.g（x）=sin[2x-：）D.g（x）=sin1

7.在正方体ABC。—AfF，]中，E,F,G,H分别是々q,AD,DD〃的

中点，K是底面A3CD上的动点，且“K〃平面EFG,则HA与平面A5CD所成角的

正弦值的最小值是（）

A・平BfC当

8.已知点4（2,—3）,5（—3,—2）,直线/过点且与线段AB相交，则直线/的

斜率左满足（）

333

A.左或左W-4B,左2下或左<一1C,-4<k<-D.-<^<4

4444

9.下列函数中，既是偶函数又在上是单调递减的是（）

A.B.C.D.

10.若线性方程组的增广矩阵是,解为，则的值为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.一个几何体的三视图如图所示（单位:m），则该几何体的体积为m3.

12,若当0<x<ln2时，不等式。。工—e-x)+(22x+e-2x

,则实数a

的取值范围是_____.

13.某几何体是由一个正方体去掉一个三棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上

小正方形的边长为1,那么该几何体的体积是—

14.在等比数列3｝中,已知〃+a+a=l,a+a+a=2则

n123234

a+a+a

8910

..(x+l)(y+2)

15.已知正数x、y满足2x+y=l,则_------：——的最小值是

16.方程sin2x=sinx在区间［°，2兀)内解的个数是______

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.AABC中，角A,B,C所对边分别是a、b、c,且cosA=g.

,JB+c_.

(1)求sm2-2-+cos2A的值；

(2)若。=赤，求ZWC面积的最大值.

18.设等差数列的前“项和为S,已知a=12,S>0,S<0；

n31213

(i)求公差a的取值范围;

(2)判断与0的大小关系，并说明理由；

67

(3)指出S5、-一、S中哪个最大，并说明理由；

1212

19.已知函数/(%)=办2+法+1(。〉0).

(1)若/(2+x)=/(4-x),且对任意的xe葭4+3],/(x)<ax2恒成立，求实数

a的取值范围；

(2)求/(D=0,解关于％的不等式fU)<0.

20.如图，四棱锥尸—ABCD中，ABLAD,CDLAD,平面K4D_L平面ABCD,

PA=AD=PD=AB=2,CD=4,M为PC的中点、.

(1)求证：8M〃平面PAD；

(2)求点A到面PCD的距离

(3)求二面角尸―BD—C平面角的正弦值

21.已知/G)=2sin4%+2cos4x+cos22x-3.

(1)求函数/(X)的最小正周期；

(2)求函数/(X)在闭区间上的最小值并求当了G)取最小值时

X的取值.

lo1O

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1、C

【解题分析】

根据同角公式求出cos[a-3]=闻9,cos[p+g]=f■后，根据两角和的正弦公式

可得.

【题目详解】

兀兀八兀兀

因为W<a,，所以。<7aj，

兀717171

因为o<B<“所以丁0Q+H丁

43

因为sin所以cos

55

所以sin(a+P)=sin(a—+[P+

33M4_3M

To-X5+10X5-10

故选：C

【题目点拨】

7171

本题考查了同角公式，考查了两角和的正弦公式，拆解a+Po=a—彳+0n+彳是解题

关键，属于中档题.

2、B

【解题分析】

77X3^^27T

由图象可知T=2(-———-)=兀，所以co==2,

ooT

c3兀n

又因为2x+(p=7i,，(p=

84

n

所以所求函数的解析式为y=sin(2x+).

4

3、C

【解题分析】

分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，

最后求解最大值即可.

详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数

“十，—：，可得点A的坐标为：A(2,3),

在点A处取得最大值，联立直线方程：<

-x+y=1

据此可知目标函数的最大值为：z=3x+5y=3x2+5x3=21.本题选择c选项.

max

点睛：求线性目标函数N=or+勿(必#0)的最值，当〃>0时，直线过可行域且在y轴上

截距最大时，Z值最大，在丁轴截距最小时，Z值最小；当bV0时，直线过可行域且在

y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

4、D

【解题分析】

由4=2,b=l,计算可判断A；由4=2,b=-3,计算可判断B；由。二。，可判

断。；作差可判断。.

【题目详解】

解：a>b,当〃=2,b=l时，可得故A错误；

ab

当a=2,匕=一3时，a2<b2,故3错误；

当c=0,ac2=bc2,故C错误；

a—b—(b—a)=2(〃—/?)>0,即a—b>b—a,故。正确.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查不等式的性质，考查特殊值的运用，以及运算能力，属于基础题.

5、C

【解题分析】

对每一个选项逐一分析研究得解.

【题目详解】

A.放103（所以她的身材不完美,需要改善，所以该选项是错误的；

B.假设她需要戴上高度为x厘米的帽子，则，显然不符合实际,

所以该选项是错误的；

C.假设她可以穿一双合适高度为y的增高鞋，则，所以该选项

是正确的；

D.假设同时穿戴同样高度z的增高鞋与帽子，则，显然不符合实

际，所以该选项是错误的.

故选：C

【题目点拨】

本题主要考查学生对新定义的理解和应用，属于基础题.

6、C

【解题分析】

由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论.

【题目详解】

由题意，将函数/（%）=sin2x的图象向右平移J个单位长度，

6

可得g（尤）=sin2（x--）=sin（2x-—）.

63

故选C.

【题目点拨】

本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.

7、A

【解题分析】

根据题意取的中点加，N,可得平面跖阳//平面EPG,从而可得K在4W

上移动，HA_L平面ABCD,即可与平面ABCD所成角中最小的为ZAMH

【题目详解】

如图，取的中点",N,连接HN,MN,HM,AM,

Ci

由E,F,G,H分别是qq,4?,DD〃的中点，

所以HN//FG,MN//EF,且HNcMN=N,FGcEF=F,

则平面MNHII平面EFG,

若K是底面A3CD上的动点，且“K//平面EFG,

则K在MN上移动，

由正方体的性质可知HAL平面A8CO,

所以与平面ABCD所成角中最小的为ZAMH,

不妨设正方体的边长为«,

a_

在AW"sinW=^=扁=4.

2

故选：A

【题目点拨】

本题考查了求线面角，同时考查了面面平行的判定定理，解题的关键是找出线面角，属

于基础题.

8、A

【解题分析】

画出三点的图像，根据24,尸8的斜率，求得直线/斜率左的取值范围.

【题目详解】

如图所示，过点P作直线PC轴交线段48于点C,作由直线PA,尸3①直线/与

线段的交点在线段AC（除去点C）上时，直线/的倾斜角为钝角，斜率左的范围是

左（左..②直线/与线段A3的交点在线段5c（除去点C）上时，直线/的倾斜角为锐

-3-1-2-13

角，斜率上的范围是因为左=左=_^=所以直线/的

PBPA2—1pB—3—14

3

斜率左满足左2下或左WT.

故选:A.

【题目点拨】

本小题主要考查两点求斜率的公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数

学思想方法，属于基础题.

9、C

【解题分析】

先判断各函数奇偶性，再找单调性符合题意的即可。

【题目详解】

首先可以判断选项D,不是偶函数，排除；

然后，由图像可知，在上不单调，在上单调递增，

只有选项C：符合，故选C。

【题目点拨】

本题主要考查函数的性质，奇偶性和单调性。

10、C

【解题分析】

由题意得，，解方程即可得到所求值.

【题目详解】

由题意得，，

解得，

则，故选C.

【题目点拨】

本题主要考查了线性方程组的解法，以及增广矩阵的概念，考查运算能力，属于中档题.

、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

8兀

11、

3

【解题分析】

该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成，所以该几何体的体积为

.1,.8?r

2x_X7cxl+7tx2=—-(zm3).

33

考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.

25、

12、［r--,+oo)

O

【解题分析】

用换元法把不等式转化为二次不等式.然后用分离参数法转化为求函数最值.

【题目详解】

13

设/=久一6-工，t=ex-e-x=ex-一是增函数，当0<x<ln2时，0<14彳，

/2

不等式。

3

不等式上+at+420在上恒成立，

f=0时，显然成立，

343

^e(0,_］,-。</+彳对上恒成立，

4031325

由对勾函数性质知y=f+—在(。=］是减函数，»=彳时，y=/,

t22min6

,25、25

一。〈丁，即。2—-^.

66

综上，a———.

6

25、

故答案为：［--2--00).

o

【题目点拨】

本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为

一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值.

13、6

【解题分析】

先作出几何体图形，再根据几何体的体积等于正方体的体积减去三棱柱的体积计算.

【题目详解】

几何体如图所示：

去掉的三棱柱的高为2,底面面积是正方体底面积的q,

所以三棱柱的体积：2x2x7rx2=2

所以几何体的体积：2x2x2—2=6

【题目点拨】

本题考查三视图与几何体的体积.关键是作出几何体的图形，方法：先作出正方体的图

形，再根据三视图“切”去多余部分.

14、128

【解题分析】

a+a+a=1

123

a+a=Q+Q+o)q

234123

q=2

a+a+a=G+a+a=2i=128

8910123

15、25.

【解题分析】

01G+l)G+2)।3636c

利用等式2x+y=1得-------------=1+-+-,将代数式一+一与代数式2x+y相

xyxyxy

36(x+1)(y+2)

乘，利用基本不等式求出一+一的最小值，由此可得出--------——的最小值.

xyxy

【题目详解】

­/2x+y=l,所以

(%+1)(y+2)xy+2x+y+2,2x+y+2(2x+y)36

==1+=1+—+—,

xy----------xy------------------------xy----------------xy

由基本不等式可得

(x+l)(y+2)+2x+y+236

^=l++=l+f3+6](2/力

孙孙xy(xyj

a3y12xI3y12x

=13++--->13+2I——•----=，3,

xyyxy

1(x+l)(y+2)

当且仅当y=2x=R时，等号成立，因此，--------——的最小值是25,故答案为：

2xy

25.

【题目点拨】

本题考查利用基本不等式求最值，解题时要对代数式进行合理配凑，考查分析问题和解

决问题的能力，属于中等题.

16、4.

【解题分析】

分析：通过二倍角公式化简得到sin2x=2sinxcosx=sinx,进而推断sinx=O或

1

cosX=-,进而求得结果.

详解：sin2x=2sinxcos%=sin%,所以sinx=0或cosx=；,

„.„兀5兀

因为xe[r0,2.71),所以光=0或》=兀或1\：=百或x=-^―,

故解的个数是4.

点睛：该题考查的是有关方程解的个数问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦

的倍角公式，方程的求解问题，注意一定不要两边除以sinx,最后求得结果.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17、(1)-^；(2)

94

【解题分析】

.B+C.

⑴将SH12——+COS2A化简代入数据得到答案.

9

⑵利用余弦定理和均值不等式计算历<z,代入面积公式得到答案.

【题目详解】

B+C.—A

V17sin2+cos2A=sni2+2COS2A-1

22

A1l+cosA八，1

=COS2—+2cos2A—I=----------------+2cos2A-1

22

1I

l+—11

—±+2x--l=--'

由余弦定理可得。2=Z72+。2-2bccosA=b?+C2--be>2bc--bc=—be,

393

即有beWS=当且仅当匕=C=k，取得等号.

442

则/\ABC面积为-besinA<-\-x入@.

22434

即有b=c=I时，AA8C的面积取得最大值班.

【题目点拨】

本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型.

24

18、((--,-3)；理由见解析；(理由见解析；

1)/67(2)a-a<Q963)S

【解题分析】

(1)由4=12,",〉0,S3<0,得到不等式2xl2+7d〉0且2xl2+8d〉0,

即可求解公差Q的取值范围；

(2)由S>0,S<0,结合等差数列的性质和前“项和公式，得到。+a〉。且

121367

%>°，即可求解；

(3)有(2)知。>0,(?<0,可得d=a-a<0,数列｛a｝为递减数列，即可求

6776n

解.

【题目详解】

(1)由题意，等差数列的前几项和为S,且a=12,S>0,s<Q,

n31213

r/ma12(a+a)<13(a+a)13(2a+8d)

可得S=-----3----w-=6(2a+7a)>0,S=-----s----u-=------s------->0,

」12237,1322

24

即2xl2+7d〉0且2xl2+8d〉0,解得一<-3,

24

即公差d的取值范围是(一7,—3).

(2)由S>0,S可得S=12(。+“7)〉0且S=13(q+%)—13。>0,

12131221327

即〃+Q>0且〃>0所以。>0,a<0,所以〃•〃<0.

6776767

(3)有(2)知。〉0,。<。，可得一。<0,数列｛。｝为递减数列，

6776n

当1V〃《6,"£N+时，CL>0,当"27/EN+时，ci<0,

nn

所以sS、…、S中S最大.

12126

【题目点拨】

本题主要考查了等差数列的前几项和公式，等差数列的性质，以及等差数列的单调性的

应用，其中解答熟记等差数列的前〃项和公式，等差数列的性质，合理利用数列的单调

性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

19、(1)亚(2)见解析

6

【解题分析】

(1)由题意，若/(2+x)=/(4—x),则函数关于x=3对称，根据二次函数对称性,

可求b=-6a,代入化简得6ax»l在xe[a,a+31上恒成立，由a>0,知当x=a为

最小值，根据恒成立思想，令最小值21,即可求解；

(2)根据题意，由a>0,化简一元二次不等式为—；)x-D<0,讨论参数范

围，写出解集即可.

【题目详解】

b

解：(1)若/(2+x)=/(4—x),所以函数对称轴％=—〜―=3,b=-6a.

2a

/(x)<0X2,即axi-6ax+1<0x2在xe[a,a+3〕恒成立，

即6ax21在工604+3]上恒成立

所以6a2之1,又a>0,故aN屿

6

(2)/⑴=0,所以匕=一。一1；

原不等式变为(ax-l)(x-l)<0,

因为a>0,所以

所以当1<1,即。>1时，解为-<x<l；

aa

当a=l时，解集为0；

当1＞1,即0＜。＜1时，解为1＜%＜1

aa

综上，当0＜。＜1时，不等式的解集为］xll＜x＜；］；

当a=l时，不等式的解集为必0；

当°＞1时，不等式的解隼为

【题目点拨】

本题考查（1）函数恒成立问题；（2）含参一元二次不等式的解法；考查计算能力，考

查分类讨论思想，属于中等题型.

20、（1）见详解；（2）J3；（3）母

7

【解题分析】

（1）通过取尸。中点N,利用中位线定理可得四变形8MMi为平行四边形，然后利

用线面平行的判定定理，可得结果.

（2）根据ANLPD,AN,CD,可得AN，平面PCD,可得结果.

（3）作作EF工BD,可得二面角P—瓦＞—E平面角为/PEE,然后计

算sin/PFE,可得结果.

【题目详解】

（1）取尸。中点N,连接AN,MN,如图

由M为PC的中点，所以MN//CD且MN=；CD

又AB_LAZ),CD_LAD,且AB=2,C