2024届广东省深圳市二模数学试题试题及答案

2024年深圳市高三年级第二次调研考试

数学

2024.4

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用

2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴

处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按

以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知a为正整数，且">2”,则（）

A.n=lB.n=2C.n=3D.n>4

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，构造数列探讨该数列单调性即得.

n219

［详解】令氏=—〃WN*,显然=—,%=L。3=—，

2〃28

(〃+1)2/+2rl+1+2〃+1

当〃24时，—=

42n2

因此当“24时，n2<2n,

所以w为正整数，且1>2",有〃=3.

故选：C

2.已知正方体ABC。-,过点A且以为法向量的平面为a,则a截该正方体所得截面的形

状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】A

【解析】

【分析】作出辅助线，根据线面垂直的判定定理得到。巴，平面故平面。即为平面AC。1，得到

截面的形状.

【详解】连接AC,AD,,CD},BD,

因为35]，平面ABC。，ACu平面ABCD,

所以3耳LAC,

又四边形ABC。为正方形，所以

又BB[CBD=B,平面，

所以AC，平面8月。，

因为用Du平面3耳。,

所以ACLgD,

同理可证明AD11B〔D,

因为AD]AC=A,A£>i，ACu平面ACD],

故BQ1平面ACDX,

故平面a即为平面AC。1，

则a截该正方体所得截面的形状为三角形.

3.对于任意集合M,N,下列关系正确的是（）

A.M屈NN=MNB.瘩N）=（mNN）

CMNN=M\ND.瘠H加N）=（乂NM\&NN）

【答案】B

【解析】

【分析】利用韦恩图进行判断即可得到结果.

对于A：如图所知，gNN为区域①，所以=故A错误；

对于B：&UN（MCN）为区域①和③；（心口/以）为区域③，（如口》）为区域①，贝U

（魏NM）U（MSVN）也为为区域①和③；两边相等,故B正确；

对于C：（砺出"）为区域①，A/c与UNN为区域①，不等于区域②（区域②为McN）,故C错误;

对于D：与VN（MCN）为区域①和③；而（即的/）为区域③，（即3"）为区域①，所以

（魏N〃）c（WNN）为空集，所以D错误；

故选：B.

4.已知。>0,且awl,则函数y=log〃[x+L]的图象一定经过（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D.三、四象限

【答案】D

【解析】

【分析】由函数y=log]x+£]过（0,—1）点，分类可解.

【详解】当尤=0时，v=log-=-l,

fla

则当0<a<l时，函数图象过二、三、四象限;

则当a>1时，函数图象过一、三、四象限;

所以函数y=log/x+:）的图象一定经过三、四象限.

故选：D

5.已知z=2-,其中i为虚数单位，则z-（z—l）=（）

1+i

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的乘、除法运算可得z=l-i，进而三=l+i，结合复数的乘法计算即可求解.

【详解】由题意知，2=2=就%=1,

所以I=l+i，

所以2(Z-l)=(l+i)(l-i-l)=l-i.

故选：B

6.已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这

六名同学获得的名次情况可能有（）

A.72种B.96种C.144种D.288种

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意分别求出甲是第一，乙是第一的可能情况，再利用分类加法计数原理计算即可.

【详解】由题意，丙可能是4,5,6名，有3种情况，

若甲是第一名，则获得的名次情况可能是C；A：=72种，

若乙是第一名，则获得的名次情况可能是C；A：=72种，

所以所有符合条件的可能是72+72=144种.

故选：C.

22

7.P是椭圆C：=+与=1(a>6>0)上一点，耳、工是C的两个焦点，PFi.PF；=0,点Q在

ab

/耳尸居的平分线上，。为原点，OQ〃P£,且则C的离心率为()

A|B.2C.逅D.也

2332

【答案】C

【解析】

【分析】设|W|=m，归阊=〃，由题意得出△AQP是等腰直角三角形，列方程组得到含。的齐次方

程求解离心率即可.

【详解】如图，设归耳|=加，归闾=〃，延长交「工于4

由题意知0Q〃P6，。为耳心的中点，故A为「工中点，

--------7T

又尸片.尸月二0,即尸耳J_PB，则NQAP=5，

叫

p

JT

又由NQPA=：,则AA。尸是等腰直角三角形,

m-}-n=2a

m—n=2bm=a+b

故有1疗+/=4c2化简得即《

m+n~2an-a-b

b7+—1n=1—m

I22

代入机2+〃2=4,得++（〃_人）2=4,,

即4+/=2。2,由/=6一。2所以2a2=3。2,

所以e2=2,e=圆.

33

故选：C.

8.设函数/(x)=x+e*,g(x)=x+lnx,若存在X1,巧，使得/(%)=8(%2)，则%-9|的最小值为

()

1

A.-B.1C.2D.e

e

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由条件可得/(%)=/(ln%)，即可得到构造函数/z(x)=lnx—x,求导

得其最值，即可得到结果.

【详解】由题意可得/(%)=g(%2)，即％+e』=々+ln%，

所以％+e*1=e瓜也+In,

又r(x)=l+e”>0,所以/(x)在R上单调递增，

即/(%)=/(ln%2)，所以占=111工2，

-V|

且阮-x2|=|lnx2-eI=|lnx2-x2|,

令/z(x)=lnx-x,xe(0,+co),

11-y

则〃(x)=——1=-其中x>0,

XX

令"(x)=0,贝!|%=1,

当xe(0,1)时,//(x)>0,则/z(x)单调递增,

当xe(l,+oo)时，〃(x)<0,则/z(x)单调递减,

所以当x=l时，人⑺有极大值，即最大值，

所以⑴=一1,,(刈21,

所g-刃皿=帆々-%2L=H=L

故选：B

【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求

导即可得到结果.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知机，〃是异面直线，mua,nu/3,那么()

A.当或“时，aL/3

B.当根//分，且〃//a时，alI/3

C.当。时，m±j3,或〃J_a

D.当a,万不平行时，加与万不平行，且〃与a不平行

【答案】AB

【解析】

【分析】根据线线、线面和面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可.

【详解】A：当加_L力，mua时，a工B；

当〃_1_0，时，aL/3,故A正确；

B：当机//，，〃//a时，又以”为异面直线，所以。//〃，故B正确；

C：当。时，由mUtz,得加//，或机与£相交；

当。，小时，由〃u，，得〃//a或九与a相交，故c错误；

D：当名万不平行时，可能“2//分或机与尸，〃//a或“与a相交，故D错误.

故选：AB

10.已知函数/(x)=sintyx+acosaw(xwR,6y>0)的最大值为2,其部分图象如图所示，则()

A.a=^/3

B.函数/［彳一：

为偶函数

C.满足条件的正实数。，存在且唯一

D./(可是周期函数，且最小正周期为兀

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据函数的最大值及/(。)>0求出由/1求出。的

取值，再根据周期确定。的值，即可得到函数解析式，即可判断.

、,a1

【详解】因为/(x)=sinox+acoscox=Ja?+1sin(。龙+0)(其中sin。=/,、cos<p=-i==),

平)Va2+1Va2+1

2

又f(x)max=y/a+1=2'解得a—±^3，

又y(0)=a>0,所以a=6,故A正确;

71

则/(%)=sins+石cos=2sincox+—\,

3

716971Tt①71

又/2sin——+—1,即sin——+—

4343

冗〃)JT571.

结合图象可知丝+'=H+2E/£Z,所以G=2+8左水£Z,

436

2兀兀

又工〉工,—〉一

所以co2,解得0<@<4,所以G=2,故C正确;

24

口〉0

所以/(x)=2sin|2x+|J,则小2sin2^兀

+—=2sin2x为奇函数，故B错误;

/(%)是周期函数，且最小正周期7=m=兀，故D正确.

故选：ACD

11.设函数/(%)=［%］的函数值表示不超过尤的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数y=/(x)的图

象与圆(尤—t)2+(y+/)2=2/(r>0)的公共点个数可以是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题意确定圆心坐标和半径，易知该圆过原点，作出函数/⑴在xe[-3,3)的图象，结合图形分析,

即可求解.

【详解】由。T)2+(y+f)2=2/(/>()),得该圆心为亿T),半径为衣,

易知该圆过原点，由/(%)=[划，当xe[—3,3)时,

—3,—3Wx<—2

-2,-2<x<-l

—1,—1Vx<0

得/⑴='作出函数1的图象,如图，

1,1<%<2

2,2<x<3

由图可知，当0(/时，圆与函数/(丈)的图象有2个交点，

2

当/=工时，圆与函数/(X)的图象有1个交点，

2

当;<区|时，圆与函数/(力的图象有2个交点，

当]时，圆与函数/3的图象有4个交点，

根据圆与函数/(刈的对称性，后续交点情况类比即可.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于理解取整函数的定义，利用数形结合的思想分析圆与函数人元)

图象交点的个数.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知样本X],矛2，工3的平均数为2，方差为1，则X；,X；,片的平均数为.

【答案】5

【解析】

【分析】根据平均数和方差的定义建立方程组，解之即可求解.

【详解】由题意知，Xi+L+L=2,所以%+%+%=6,

由（为―2）2+（/—2）+（三-2）2=],得x；+X；+*=15,

3

所以册+达+三=5.

3

故答案为：5

13.己知圆锥的内切球半径为1,底面半径为行，则该圆锥的表面积为.

注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球.

【答案】8兀

【解析】

【分析】借助过圆锥的轴以及内切球球心的截面图求出圆锥的母线长，即可求出圆锥表面积.

【详解】由题过圆锥的轴以及内切球球心的截面图如下：

设圆锥高为/7,母线长为/,

则在三角形中有三+形=/2,即在+2=/2①，

又由SDOSO[B得鸟=吐q,即/=②，

rI

所以由①②得I=3\/2,%=4,

所以圆锥的表面积为S=S底+S=兀/2+兀力=2兀+6兀=8兀.

故答案为：871.

14.已知△ABC中，tanO=3tan£,双曲线E以8,C为焦点，且经过点A,则E两条渐近线的夹角为

22

AC

；tan—+tan—的取值范围为

22

P+1

【答案】①.|②.------,+oo

I3J

【解析】

【分析】根据双曲线的性质和三角形内心性质得到垂足/的位置，再由tanO=3tan£得到双曲线中

22

七仇c的关系，即可得到渐近线的夹角；根据tanO=3tan£对所求式进行化简，再根据基本不等式求得

22

范围即可.

【详解】如图所示，设双曲线的实轴长为2“，虚轴长为2b,焦距为2c.

设一ABC的内心为/,过点/向三边作垂线，垂足分别为4,N,P.

根据三角形内心的性质可知，|AP|=|AN|,15Pl=||,|CM|=|CN|,

又因为双曲线E以8,C为焦点，且经过点A,

所以MC—|A邳=2a,即||⑷V|+|QV|一|阴—忸）=m-忸?||=||CM|-|BM||=2a,

因为tan0=3tanC,所以所以|AC|>|AB|,

22

所以点A在双曲线的左支上，所以|CM|—|3|=26

而|CM|+|5M|=2c,

所以|CM\=c+a,|BM|=c-a,

所以M为双曲线的左顶点.

…BMICMlr

所以tan一二---二,tan—二----------

2MBc-a2MCc+a

rrc

所以——=3——,即一二2,

c-ac+aa

所以2=6,渐近线的倾斜角为g,

a3

所以两条渐近线的夹角为A.

l-tan^tan^l-3tan^

A113C

又因为tan—=tan222------77—tan——,

22B+CBC,CC42

tan—tan——btan—4tan一4tan—

22222

AC11C

tan——I-tan——=+—tan——

所以22，C42，

4tan一

2

而tangw0,

11Cy/3

FKi、i------”H—tan—〉—

所以C423-

4tan—

2

故答案为：—

【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质和三角形的最值.本题的关键点在于根据tanO=3tanC作

22

出三角形的内心，从而根据内心性质和双曲线的定义进行求解.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，三棱柱ABC-4与£中，侧面底面ABC,且=A^B^A^C.

(1)证明：A4，平面ABC；

⑵若A4,=BC=2,NB4c=90。，求平面ABC与平面ABC1夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

【解析】

【分析】(1)取8c的中点连结MA、加4,根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得6C1平面

A.MA,进而由AAB]B得B]B八BC,再证明用8，平面ABC即可得证.

(2)建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于43的垂面，从而得出二面角的

平面角再进行求解即可.

【小问1详解】

取8C的中点连结MA、MAX.

因为AB=AC,AXB=\C,所以BCL\M,

由于AM,A"u平面且AMcA"=A/,

因此平面

因为4Au平面AM4,所以

又因为AAB]B,所以48ABC,

因为平面BBCC，平面ABC,平面BBCC。平面A5C=5C,且用Bu平面8月CO,所以用8J.平面

ABC,

因为AAB]B,所以平面ABC.

【小问2详解】

法一：因为NB4C=90°,且BC=2,所以AB=AC=J^.

以AB,AC,AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,

则A（0,0,2）,B（V2,0,0）,C（0,V2,0）,Ct（0,V2,2）.

所以43=（四,0,—2）,4。=（0,后,—2）,4。；=倒,后,0）.

/、m-AB=0yjlxi-2z1=0

设平面ABC的法向量为机=（%,x，zj,贝4可得《

\m-\C-00M-2Z]=0

令4=1,则77l=（C,&,1）,

/、n-AB=0A/2X-2Z=0

设平面43G法向量为〃=（程%*2），贝叫:可得《22

〃•AG=o^2y2=0

令Z2=1,则”=（夜,0,1）,

\m-n\3J15

设平面ABC与平面ABC1夹角为氏贝UCOS6=^^=T-尸=?

|m||n|V5xV35

所以平面A.BC与平面\BCX夹角的余弦值为边5.

5

法二：将直三棱柱A3C-4与。1补成长方体ABDC—44AG-

连接G。，过点C作CP，G。，垂足为P,再过P作PQ^AB,垂足为0,连接CQ,

因为8D/平面CD2G，且CPU平面CDRG，

所以BDLCP,

又因为CP，G。，由于BD，£。<=平面A3Z）G，且3Z>C[D=D,

所以CP_L平面ABOG，则..CPQ为直角三角形,

由于45u平面ABDC],所以A3LCP,

因为CP,「。匚平面”。，且CPPQ=P,所以45,平面CP。，

因为CQu平面CPQ,所以CQ^AB,

则/CQP为平面ABC与平面的夹角或补角，

在ABC中，由等面积法可得。0=等，

因为PQ=AG=0，所以COSNCQP=0^=史，

CQ5

因此平面\BC与平面ABQ夹角的余弦值为巫.

5

16.己知函数/(x)=(ax+l)e',/'(x)是/(%)的导函数，l./,(x)-/(x)=2ex.

(1)若曲线y=/(x)在x=0处的切线为丫=履+6,求左，6的值；

(2)在(1)的条件下，证明：f(x)>kx+b.

【答案】(1)k=3,b=l；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)根据题意，求导可得。的值，再由导数意义可求切线，得到答案；

(2)设函数g(x)=(2x+l)e*-3x-1,利用导数研究函数g(x)的单调性从而求出最小值大于o,可得证.

【小问1详解】

因为/(x)=(av+l)e",所以/'(x)=(av+a+l)e',

因为J'(x)—〃x)=2e1所以a=2.

则曲线y=/(x)在点x=0处的切线斜率为/'(0)=3.

又因为"0)=1,

所以曲线y=/(x)在点％=0处的切线方程为丁=3x+1,

即得左=3,b=l.

【小问2详解】

设函数g(x)=(2x+l)e"xeR,

贝i]g，(x)=(2x+3)e'-3,

设/z(x)=g'(x),贝！]〃(x)=e*(2x+5),

所以，当x〉—g时，〃(x)>0,g'(x)单调递增.

又因为g'(O)=O，

所以，x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增；

—■|<x<0时，g(x)单调递减.

又当x<—g时，g'(x)=(2x+3)e、—3<0,

综上g(力在(-8,0)上单调递减，在(0,+“)上单调递增，

所以当x=0时，g(x)取得最小值g(0)=0,

即(2x+l)e，-3x-1N0,

所以，当xeR时，/(x)>3^+l.

17.某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发

现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这

两批零件混合放在一起，则合格品率为97%.

(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X,

求X的分布列和数学期望；

(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指

标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型

企业把零件交给甲工厂生产的概率.设事件A="甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件5="该大型

企业把零件交给甲工厂生产”、已知0<P(8)<l,证明：P(A\B)>P(A\B).

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)设出甲乙两厂零件数，表示事件发生的概率，由题意知X服从二项分布，写出分布列和期望

即可.

（2）因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提

高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，即P（3|A）＞P（司Z）,化简变形即可证

得.

【小问1详解】

设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，

事件"混合放在一起零件来自甲工厂"，事件N="混合放在一起零件来自乙工厂“，事件C="混合放

在一起的某一零件是合格品”，

则尸=P(N)=—

m+nm+n

P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)

rnY!

=94%x------+98%x-------=97%,

m+nm+n

计算得3根二〃.

所以P(M)="-=L.

m+n4

X的可能取值为0,1,2,3,

E(xf，

P(X=2)=C(J图啥p(x=3)=C咱闾

所以，X的分布列为：

X0123

272791

P

64646464

【小问2详解】因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在

甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，

所以43同＞网同可.

3厘

P（A）P（I）•

因为P（A）＞0,P（A）＞0,

所以P（AB）P（A）＞P（AB）P（A）.

因为P（可=1—P（A）,P^ABj=P（B）-P（AB）,

所以P（—P（A））＞（P（5）—P（AB））P（A）.

即得尸（AB）＞尸（A）尸（5）,

所以P（AB）-P（AB）P（B）＞P（A）P（B）-P（AB）P（B）.

即P（AB）（1-P（B））＞P（B）（P（A）-P（AB））.

又因为1-P（B）=P⑻,P（A）-P（AB）=P（AB）,

所以P（AB）P回＞P（B）P（通）.

因为0〈尸（5）＜1,O＜P（B）＜1,

所以尸（叫尸（间

所以M丽.

即得证P（A忸）＞P（A同.

18.设抛物线C：犬=2py（。＞0）,直线/：y=H+2交C于A,8两点.过原点。作/的垂线，交直

线y=-2于点对任意ZeR,直线AM,AB,8M的斜率成等差数列.

（1）求C的方程；

（2）若直线/'/〃，且/'与C相切于点N,证明：的面积不小于2夜.

【答案】（1）%2=4y；

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据题意，分左=0与左W0代入计算，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，再

由等差中项的定义列出方程，即可得到结果；

（2）方法一：联立直线/'与抛物线的方程，表示出A3中点E的坐标，再由点M,N,E三点共线可得△AMN

面积为△蚪面积吟，结合三角形的面积公式代入计算，即可证明；方法二联立直线/,与抛物线的方

程，再由A=0,得〃=-左2,点N（2£F）,即可得到直线MN与无轴垂直，再由三角形的面积公式代入

计算，即可证明.

【小问1详解】

设点5（%，%），

由题可知，当左=0时，显然有心用+左则=0；

当左W0时，直线OM的方程为丁=—Lx,点M（2左2）.

k

联立直线A8与C的方程得犬-20fcc-4/?=O,A=4p2左2+16p〉0,

所以为+%=2pk,xtx2=-4p,

因为直线AM,AB,的斜率成等差数列,

M+2।%+2

所以=2k

石-2kx2-2k

即空|+y=2%，（bq+4）（X2—2左）+（仇+4）（七一2左）

二2左，

玉—2KX2-2k

化简得2伍2+2）（%+电—4左）=0.

将％+%=2必代入上式得2（产+2）（2p4-4左）=0,

则P=2,

所以曲线C的方程为d=4y.

【小问2详解】

（法一）设直线/'：y^kx+n,联立C的方程，得丁―4乙_4/=0.

由A=0,得〃=—左2,点N（24#2）,

设AB的中点为E,

因为史1&=2左，&=M%+X2）+4=2）+2,则点42匕2左2+2）.

222v7

中斗242+2—2,

因为----------=k2,

2

所以点M,N,E三点共线，且点N为ME的中点，

所以面积为面积的工.

4

2k2+4

记△AMN的面积为S,点M（2左2）到直线AB：依―y+2=。的距离d=诟二,

11I------/（2左1+4）/、2,­

v722

所以S=w|A@xd=w，l+左2、J（石+赴）一一4七々x^2=（Z:+2）>2V2,

当左=0时，等号成立.所以命题得证.

（法二）设直线/'：y^kx+n,联立C的方程，得了2—4依—4"=0.

由A=0,得〃=—左2,点N（24#2）.

所以直线MN与x轴垂直.

记的面积为S,

=（产+2）乏20•

当左=0时，等号成立.

所以命题得证.

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键采用设线法，联立抛物线方程，根据相切求出N（24收2）,再得出

E（2k,2k2+2）,最后计算出