山西省运城市部分学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含答案)

山西省2023-2024学年第二学期期中教学质量监测

八年级数学（人教版）

满分120分，考试时间120分钟

第I卷选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x<5B.x>5C.x<5D.x>5

2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

3.在平面直角坐标系中，点P（3,-4）到原点的距离是（）

A.3B.4C.5D.±5

4.下列计算正确的是（）

A.-J（-3）"=3B.（百）=±3C.J（-3）"=±3D.-（百）=-3

5.如图，在矩形488中，对角线4。,5。相交于点。.若/40。=120°,43=4,则。。的长是（）

A.2B.3C.4D.5

6.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门边AB,3c的

长，再测量点A到点C之间的距离，由此可推断N3是否为直角.这样做的依据是（）

A.勾股定理B.勾股定理的逆定理

1

C.三角形的内角和定理D.直角三角形的两锐角互余

7.如图，在平面直角坐标系中，ABCD的三个顶点的坐标分别为（—1,2）,（2,-1）,（3,2）,则顶点

3的坐标为（）

4(-1,2)D(3,2)

C(2,-l)

A.(-3,-2)B.(-2,-2)D.(-2,-1)

8.如图，菱形ABC。的对角线AC,5。相交于点。，4以_£。。于点女，连接0”.若05=12,菱形48。

的面积为120,则的长为（）

9.如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点，AA5C的三个顶点均在格

点上.若，AC,垂足为点。，则30的长为（）

7V1387139A/13IOA/13

A.--------B.--------C.--------D.---------

13131313

10.如图，在AABC中，分别以AB,BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCDG，连接AE,AG,且E,A,C

三点恰好在一条直线上.若AC=3,AG=5,则的长为（）

2

A.V15B.4C.5D.V17

第n卷非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将正确答案填在答题卡中的横线上）

11.计算：历-屈=.

12.如图，在，A5CD中，点在对角线AC上，添加一个适当的条件，使四边形5ED尸是平行四边形,

这个条件可以是.（填一个条件即可，不添加任何辅助线）.

13.已知》=百+1,y=百一1,贝！|犬+2盯+y2=.

14.《九章算术》是我国传统数学最重要的著作之一，其中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三

尺.引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何.”译文为：如图，一竖立着的木柱A3,在木柱的上端点A处系有

绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵引绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺的

点。处，绳索用尽.问绳索的长为多少.设绳索AC的长为x尺，根据题意可列方程为.

15.如图，ABLCD,点E,歹分别是边AD,5c的中点，连接E产.若A3=8,C£>=6,则所的长是

3

A

B

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答时写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）

16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分）计算：

（1）V48-V2-^1XV12+A/54

⑵（1-273）2-（2-^）（2+73）

17.（本题7分）

如图，一艘轮船位于灯塔P北偏东60°的方向上，且距灯塔P30海里的A处，轮船沿正南方向航行到达3处.

若5处位于灯塔P南偏东30°的方向上，求此时轮船所在的位置3与灯塔P之间的距离.

北

18.（本题7分）

座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T=,其中T表示周期（单位：s）,

/表示摆针的摆长（单位：m）,ga9.8/n/s.若一台座钟的摆针的摆长为0.49m.

（1）求该座钟摆针摆动的周期；（结果保留根号和万）

（2）若该座钟的摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，在Imin内，该座钟至少发出多少次滴答声？（参考

数据：有。2.24,万士3）

19.（本题8分）

如图，在四边形AEDF中，点民C分别在的延长线上，连接分别与相交于点G,",

AB^DC,ZB=NC,5H=CG.求证：四边形A即尸是平行四边形.

4

B

rH

G

20.（本题8分）

如图，在AABC中，ZABC=ZC,BC=10cm,AD±BC,垂足为点。，点E是边AC上一点，连接BE.

若CE=6cm,BE=8cm,求AE的长.

21.（本题10分）

如图，在四边形ABCD中，对角线AC,5。相交于点。，AB//CD,AB=AD,AC平分

（1）求证：四边形A3CD是菱形；

（2）过点。作CELA6交A5的延长线于点E,连接OE交于点P，若NACfi=20°,求NCFE的度

22.（本题11分）

阅读下面材料，完成相应的任务.

阿波罗尼奥斯定理

阿波罗尼奥斯（约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的

三大数学家.阿波罗尼奥斯定理又称为中线定理，其内容为三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上

的中线的平方和的两倍.如图1,在AABC中，点。为的中点，根据阿波罗尼奥斯定理，可得

AB2+AC2=2（M+BD2）.

下面是该定理的部分证明过程：

证明：

5

A

如图1,过点A作AE±BC于点E.

在MAABE中，由勾股定理，^AB~=AE2+BE2

同理可得AC2=AE2+CE2,AD-=AE2+DE2.

:点。为的中点，

BD=CD,

：.AB-+AC2=AE~+BE~+AE~+CE2

任务：

(1)按照上面的思路，将该定理剩余的证明过程补充完整；

(2)请利用阿波罗尼奥斯定理解决下面的问题：如图2,已知点P为矩形ABCD内任意一点.求证:

PA1+PC2=PB-+PD2

图2

23.(本题14分)

综合与探究

在矩形ABCD中，AB^3,AD=4,点分别在边CD,BC上，将ACE/沿直线所折叠，点C的对应

点为点G.

(1)如图1,当点厂与点3重合，点G落在AD上时，求AG的长；

(2)如图2,当点E是的中点，且N5/G=90°时，连接BG,求BG的长；

7

(3)如图3,当CE=—,点G恰好落在3E上时，延长PG交A。于点直接写出的长.

6

6

图1图3

参考答案

一、选择题

题号12345678910

选项ABCDCBDCAD

二、填空题

11.V312.答案不唯一，如AE=CF或AF=CE13.2014.x2=(x-3)2+8215.5

三、解答题

16.解：（1）原式=+3

=276-76+3^

=4正

(2)原式=1—4若+12—22-

=13-473-1

=12-46

17.解：由题意可得AB〃PQ,ZAPC=60°,/BPQ=30°,AP=30海里,

NB=ZBPQ=30°,ZAPB=180°-ZAPC-ZBPQ=90°,

AB=2AP=60海里,

BP=VAB2-AP2=A/602-302=30A/3(海里)

答：此时轮船所在的位置B与灯塔P之间的距离为30石海里.

7

^49&

18.W：(1)将/=0.49,g^9.8代入丁=2乃,上，得Ta2兀xs，

9.85

答：该座钟摆针摆动的周期为叵s.

5

(2)lmin=60s

60+工仁44.8

5n

或60+乂2土60+1.344土44.6

5

答：在Imin内，该座钟至少发出44次滴答声.

19.证明：；ZB=NC,

：.AB//DC,

•1,BH=CG,

：.BH+GH=CG+GH,即

AB=DC

在AABG与ADCH中，\ZB=ZC,

BG=CH

：.AABG=ADCH(SAS),

：.ZAGB=/DHC,

AF/IDE,

又ABIIDC,

四边形AEDF是平行四边形.

20.解：CE2+BE2=62+82=100,BC2=102=100,

CE?+BE?=BC?,

ABCE是直角三角形，且ZBEC=90°

ZAEB=180°-ZBEC=90°

•：ZABC=ZC,

AB=AC,

设AE=i,则AB=AC=AE+CE=x+6,

8

在用A4BE中，由勾股定理，得AE2+BE2=/32,X2+82=（尤+6»

7

解得x

3

7

AE的长为一.

3

21.（1）证明：：AB/ICD,

：.4BAC=ZACD,

,：AC平分NBA。，

ABAC=ACAD,

：.ZACD=ZCAD,

AD=CD,

9：AB=AD

AB=CD,

又ABIICD,

四边形ABC。是平行四边形，

又AB=AD,

...四边形ABCD是菱形.

（2）解：由（1）可知四边形A6CD是菱形，

OA=]-AC,AB=BC,

2

ABAC=AACB=20°,

•：CE±AB,

：.ZAEC=9Q°

：.OE=-AC,

2

：.OA=OE

：.ZOEA=ZBAC=20°,

：.ZCOE=ZOEA+ABAC=40°

...NCFE=ZCOE+ZACB=60°.

22.解：（1）2AE2+（BD+DE）2+（CD-Z）E）2

=2AE2+（BD+DE）2+（BD—DE?

=2AE2+2BD2+2DE2

9

=2AD2+2BD2

=2(AD2+BD2)

(2)如图，连接AC,5。相交于点。，连接。P.

•.•四边形A3CD是矩形，

AC=BD,OA=~AC,OB=-BD,

22

:.OA=OB.

根据阿波罗尼奥斯定理，得P/V+PC?=2（。12+。。2）,PB?+PD?=2（0B?+OP。）,

：.PA2+PC2PB2+PD2

23.解：（1）•••四边形ABCD是矩形，

3C=AD=4,NA=90°,

由折叠的性质，得BG=BC=4,

在及A4BC中，由勾股定理，得AG=y/BG-AB?=萩—&=币；

（2）•..四边形A3CD是矩形，

05=45=3,5。=AD=4,NC=90°,

:点E是的中点，

13

CE=—CD=—,

22

由折叠的性质，得NEGR=NC=90°,GE=CE,

•：ZBFG=9Q°,

：.ZGFC=180°-ZBFG=90°,

四边形CEGb是矩形，

又GE=CE,

...四边形CEGE是正方形，

3

CF=GF=CE=-,

2

35

：.BF=BC-CF=4--=~.

22

10

在WABEG中，由勾股定理,得BG7BF?+GF?=

9

(3)AH的长为一.

4

部分试题答案解析

8.•.•四边形ABCD是菱形,

OA=OC,BD=2OB=2x12=24,

S萼彩招⑺=-BD.AC=120,

.---x24AC=120,

2

/.AC=10.

-：AHVCD,

ZAf/C=90°,

OH=-AC=5.

2

―1117

9.由题意，得SAAM=3X3—xlx2—xlx3—x2x3二—

"2222

由勾股定理，得勾C=j2?+32=屈，

•：SMBC=-AC-BD,

：.-Xy/13BD=-,

22

"亚

13

10.如图，过点8作砥，AE于点H,则NAHfi=90°,

四边形AB印和四边形BCDG都是正方形，

/.EB=AB,BC=BG,NABE=ZCBG=90°,

：,ZABE+ZABC=ZCBG+ZABC,即NEBC=ZABG,

11

AEBC=AABG（SAS）,

：.EC=AG=5,：.AE=EC-AC=5-3=2

,：EB=AB,BH±AE,

：.EH=~AE=\,

2

BH==AE=1,CH=EC-EH=4,

2

在RtABCH中,由勾股定理，得==曲了=扪.

13.原式二必+2盯+y2=（x+y）2=（75+1+A/5-1）2=（2A/5）2=20

15.如图，连接30,