陕西省西安市鄠邑区2023-2024学年高三年级下册三模理科数学试题

2024年陕西省西安市鄂邑区高考数学三模试卷（理科）

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若集合2={用GW2},B={-3,-1,0,1,3},则4CB=()

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,3}D.{-3,-1,0,1,3}

2.已知复数z=3+i,则公的虚部为()

A.-3B.-|C.3D.|

3.已知椭圆C；胃+/=1缶>6>0)的离心率为整，贝l|()

A.3a=4bB.a=2bC.a=3bD.2a=3b

4.若过点P(0,l)可作圆％2+y2-2%一4y+a=o的两条切线，贝Ija的取值范围是()

A.(3,+oo)B.(-1,3)C.(3,5)D.(5,+oo)

5.已知a和/?是两个平面，a,b,c是三条不同的直线，且仇八夕=。，bua,cu/?,贝！J"力〃c”是"a/

W的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知%是等比数列｛a九｝的前几项和，ar+a4+a7=2,a2+a5+a8=4,则S9=（）

A.12B.14C.16D.18

7.已知0>0,函数/（%）=sin（2%+0）,VxGR,/（%）<|f（y）b则0的最小值为（）

B?C岑D.当

OO3D

8.在研究变量比与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据（打,力）,（久2，%），…，（右，％），

（6,28）,（0,28）,利用此样本数据求得的经验回归方程为y=¥%+与，现发现数据（6,28）和（0,28）误差较

大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为y=4%+血，且=140,则m=（）

A.8B.12C.16D.20

9.已知函数/（无）=:[*'+8）则/（X）在点（5/（5））处的切线方程为（）

A.4%—y—28=0B.4%+y—12=0C.%—4y—12=0D.%+4y—22=0

10.方程式y=2160的非负整数解的组数为（）

A.40B.28C.22D.12

11.如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2

层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共立个球，第1层有1个球，第2层有3个

球,第3层有6个球，.…已知$20=1540,则引匕/=()

A.2290B.2540C.2650D.2870

12.已知定义在R上的函数〃x)满足〃2+x)-f(2-久)=4%.若3)的图象关于点(2,1)对称，且

/(0)=0,则/•⑴+f⑵+…+/(50)=()

A.0B.50C.2509D.2499

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量同—1,b—(1,1),\a+b\=2,则2-b—.

x+2y—6<0,

14.若x,y满足约束条件卜一y+320,则目标函数z=2x+y的最大值为.

y-1>o,

15.已知&,尸2分别是双曲线盘—3=l(a>0，b>0)的左、右焦点，过&的直线交双曲线的左支于4B

2TT

两点，\AF2\：|BF2|=3：7,则双曲线的离心率为.

16.在长方体4BCD中，AB=5,AD=3,AA1=4,平面a〃平面人遇⑶/，贝Ua截四面体

ACD/i所得截面面积的最大值为.

三、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题12分)

△力BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,/署台=甯.

(1)求力；

(2)若b+c的面积为容，求AA8C的周长.

18.(本小题12分)

在四棱锥P-ABCD中，平面PAD1平面ABCD,AB//CD,AB1BC,DC=BC=2,AB=4.

(1)证明：BD1AP.

(2)若4PAD为等边三角形，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.

p

19.(本小题12分)

假设某同学每次投篮命中的概率均为福

(1)若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率.

(2)该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投n(neN+，nW33)个球，若这几个球都投进，则训练结束，

否则额外再投100-3n个.试问ri为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？

20.(本小题12分)

设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点尸到圆E：(x+3)2+y2=1上一点的距离的最大值为6.

(1)求抛物线C的方程.

(2)设。是坐标原点，点设抛物线P(2,4),A,B是抛物线C上异于点P的两点，直线PA,PB与y轴分别相交

于M,N两点(异于点0),且。是线段MN的中点，试判断直线4B是否经过定点若是，求出该定点坐标；若

不是，说明理由.

21.(本小题12分)

已知函数/(X)=e"—m久，g(x)=x—minx.

(1)是否存在实数小，使得/(尤)和g(x)在(0,+8)上的单调区间相同？若存在，求出小的取值范围；若不存

在，请说明理由.

(2)已知底*%2是/'(%)的零点，X2<%3是9(%)的零点•

(i)证明：m>e.

(ii)证明:1<K3<

22.(本小题5分)

在直角坐标系xOy中，直线2的参数方程为匕二;为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为

—LSLTLCC

极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为p2+4pcos9+1=0.

(1)求直线2和曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线/和曲线C恰有一个公共点，求tcma.

23.(本小题5分)

已知函数f(%)=|2x+a|+|x—2|.

(1)若。=2,求不等式f(%)之12的解集；

(2)对于任意的％e[-5,-2],都有/(%)<2a,求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：集合4={久|口<2],B={-3,-1,0,1,3),

依题意得a={x\yTx<2}=[0,4],

则AnB={0,1,3).

故选：c.

利用交集定义、不等式性质直接求解.

本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解：===其虚部为一看

z—12+i2-r555

故选：B.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：由题可知£=亭，

a39

4a2=9b2,

■■■2a-3b.

故选：D.

根据椭圆的几何性质，化归转化，即可求解.

本题考查椭圆的几何性质，属基础题.

4.【答案】C

【解析】解：圆/+V—2%—4y+a=0,即圆(x—+(y—2尸=5-a,

则圆心为(1,2),5—a>0,.•.£!<5.由于过点P(0,l)作出圆的两条切线，

则点P在圆外，.•.2>5—a,a>3,二3<a<5.

则a的取值范围是(3,5).

故选：C.

圆外的点作圆的切线有两条，由此可列不等式.

本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：已知aC8=a,bua,cu0,当b〃c时，bC0,b〃£,

又aC8=a,；.allb.

当（1〃6时，若a与c相交，则b与c异面.

“b〃c”是“a〃6”的充分不必要条件.

故选：X.

由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系结合充分必要条件的判定得答案.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题.

6.【答案】B

【解析】解：设等比数列｛&J的公比为q,则空警=q（ai：a4：°7）=Q=2,

十。4十。7Q[十。4十。7

a

则。3+46+49=2（。2++8）=8,

所以S9=+CI4+47++45+。8+。3+。6+=2+4+8=14.

故选：B.

根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解.

本题主要考查等比数列的前几项和，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：由题意可得/（等）为函数“为的最值，

则直线％=与是函数/（%）的一条对称轴，则竽+0=+/C7T,

解得W=—+kji9kEZ,

因为9>0,所以0的最小值为一粤+3加=寿.

OO

故选：B.

根据VxeR,/（x）WIf（竽）1可得x=写为对称轴，故有:+S=]+/OT,可以求出0的值.

本题考查正弦函数的对称轴与最值，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：•••£：%=140,

*'•+J/2+y?>+、4+丫5+28+28=140+28+28=196,

一1

y=-X（yt++丫3++丫5+28+28）=28,

又•••（痴）在经验回归方程y=齐+与上,

28=y%+写,解得尤=3,

Xf=iXi=3x7—6—0=15,

又•••在经验回归方程y=4%+m_b,

・•・28=4x3+m,

解得zn=16.

故选：C.

由题意求出亍=28,根据点(茄)在经验回归方程y=9+与上求出a进而求出9,再结合点画亍)在

经验回归方程y=4x+m上即可求出ni的值.

本题主要考查了经验回归方程的性质，考查了平均数的计算，属于中档题.

9.【答案】B

【解析】解:由己知可得,当x6(0,2］时，f(%)=x2-3x,则/''(%)=2久一3,

当x£(4,6］时，x-4e(0,2］,/(%)=2f(x-2)=4f(x-4),则［(x)=4f(x-4),

.../5)=4/(1)=-8,「⑸=4f(1)=-4.

则所求的切线方程为y-(-8)=-4(x-5),

即4x+y-12=0.

故选：B.

由已知可得，当x£(4,6］时，f(x)=2/(%-2)=4/(%-4),则，(久)=4/(%-4),由此求解/(5)与「(5)

的值，再由直线方程的点斜式得答案.

本题考查函数的性质及应用，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题.

10.【答案】A

【解析】解：因为2160=24x33x5,

所以2160的因数有5X4X2=40个，

又盯=2160,

则x、y为2160的正约数，

故方程盯=2160的非负整数解的组数为40.

故选：A.

结合排列、组合及简单计数问题求解.

本题考查了排列、组合及简单计数问题，属中档题.

11.【答案】D

【解析】解：在第？1(九N2)堆中，从第2层起，第九层的球的个数比第几-1层的球的个数多几，

记第九层球的个数为%I，则a九-an_r=n(n>2),

即—1,—=2,—。2=3,…，。九一。?1―1=九,

_1

相加可得%=1+2+3+…+?!=~Tl(Tl+1),

222

在第九堆中，Sn=%+g+。3+…+=2[(1?+2+3+,,,+?1)+(1+2+3+…+?1)]

11

=-[(I2+22+32H------Fn2)+-n(n+1)],

1

当几=20时,S20=其£备I+210)=1540,

解得2阻1彦=2870.

故选：D.

记第n层球的个数为厮，由累加求和可得与，再由数列的分组求和，结合等差数列的求和公式，计算可得

所求和.

本题考查数列的运用，以及数列的分组求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题.

12.【答案】D

【解析】解：因为f(2x-3)的图象关于点(2,1)对称，

所以f(2%-3)+f(2(4-x)-3)=2,即f(2x-3)+f(5-2x)=2,

用x代替2x,W/(x-3)+/(5-x)=2,

即/Q—3)=—f(5—x)+2,

所以〃久)的图象关于点(1,1)对称.

所以/(1+乂)+/(1—久)=2,

由/'(2+%)-/(2-x)=4x,可得f(2+%)—2%=/(2—%)+2x,

即/(2+x)—2(2+x)=/(2-x)-2(2-x).

令g(x)=f(X)-2x,则g(2+x)=g(2-x),

则g(x)的图象关于直线x=2对称.

又因为g(1+%)+g(l-x)=/(I+x)-2(1+x)+f(1-x)-2(1一久)=/(I+x)+/(I-x)-4=2—

4=-2,

则g(x)的图象关于点(1,-1)对称，

即g(1+x)+g(l—x)=-2,g(2+x)+g(—x)——2,

又g(2+久)=g(2-%),

所以g(2—x)+g(—x)——2,

即g(2+x)+g(x)=-2,

g(4+%)+g(x+2)=—2,

所以g(x+4)=g(x),

故g(x)是以4为周期的函数，

因为g(0)=f(0)—2x0=0,9(1)=-1,g(2)=—2—g(0)=-2,g(3)=g(l)=-1,

所以g(0)+g(l)+g(2)+g(3)=-4,即g(l)+g(2)+g(3)+g(4)=-4,

所以((I)+f(2)+,11+/(50)=g(l)+g(2)+…+g(50)+2(1+2+…+50)

=-4x12-1-2+2550=2499.

故选：D.

根据/(2x—3)的图象关于点(2,1)对称，判断f(x)的图象关于点(1,1)对称,由/(2+x)—“2—久)=4比，

得出g。)的图象关于直线x=2对称，且。(久)的图象关于点对称，判断g(x)是周期函数，由此求解

即可.

本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了推理与运算能力，属于难题.

13.【答案】1

【解析】解：由题意，向

则M+b\=J(a+by

=Ja2+2a-b+b2

—V1+2a-b+2=2,

解得d-6=1.

故答案为：

由数量积的性质计算可得结论.

本题考查平面向量数量积的运算，属基础题.

14.【答案】9

【解析】解：由约束条件作出可行域如图,

由图可知，当I：z=2x+y过点(4,1)时，z取得最大值，且最大值为9.

故答案为：9.

由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题.

15.【答案】誓

【解析】解:根据题意可设MF2I=3m,则出初=7m,

由余弦定理可得cosNBAB=因胃%鼠产产=

222

RCI>I|/lB|+9m-49m_1

所/2\AB\x3m=~7.'

化简整理可解得|4B|=5m,

又/F2I+|48|—|48|=4a,所以57n=4a,即血=蔡,

在AF/zA中，I力回|=4,|伍1=华，|F/2l=2c,

所以35网==能：*产C解得捻=5

则所求双曲线的离心率为等.

故答案为：争.

根据双曲线的几何性质，余弦定理，即可求解.

本题考查双曲线的离心率的求解，余弦定理的应用，方程思想，化归转化思想，属中档题.

16.【答案】10

【解析】解：平面a截四面体4CD1B1的截面如图所示,

诺刍工=同空=叫=空=臣

反药。1A'人」7W-TUVU-VW

所以四边形NSRM为平行四边形，

且MR〃UW,MN//TV,

在矩形UUWT中，UV=4,VW=5,TM=5A,MU=5(1-2),

TR=44,RW=4(1-A),

於\S平行四边形NSRM=S平行四边形UVWT-2S&NVS_2SASWR=20-20[A2+(1-A)2],

•­•0<A<1,1-2>0,

2

由基本不等式可得万+(1_4)2>卬(7)]=I，

1

20-20[A2+(1-Z)2]<20-20=10,

当且仅当4=1一九即4=T时，等号成立.

故答案为：10.

利用平行线法先找到截面，再用割补法求截面的面积.

本题考查立体几何中的截面问题，属于中档题.

2sinAcosA

17.【答案】解：⑴由靛==2sinAcosA,

sin27l+cos2i4

\sinBsinAsinB

=sinA,

bsinB

所以2si?i/cos/=sinA,又/E(0,TT),sinAW0,

所以cos/=I，则/=*

(2)因为△ABC的面积为冷，

18

所以

2-3-

由余弦定理可得M=c2+b2—2bccosA=c2+b2—be=(b+c)2—36c,

因为b+c=>J~3a,所以小=(V-3a)2—8,

解得a=2,贝肥+c=2",

所以△ABC周长为2宿+2..

【解析】(1)由三角恒等变换及正弦定理，可求得COS4=2,从而求得角力；

(2)由三角形面积求得尻，结合余弦定理，求得a+c,即可求得三角形周长.

本题考查三角恒等变换及正弦定理、余弦定理的应用，属中档题.

18.【答案】(1)证明：因为4B1BC,DC=BC=勺=2,

所以BD=2/2>4DBA

由余弦定理可得=AB2+BD2_2AB-BDcos/.ABD,

即AU=42+(272)2-2x4x2<2x苧，

即4)2=8,

解得2。=

2

所以加+B£)2=AB,

则4。1BD,

因为平面24。_L平面4BCD,

平面尸4DC平面4BCD=AD,且力。1BD,BDu平面ABCD,

所以8。1平面PAD,因为APu平面P40,

所以8。1AP.

(2)解：分别瓦?，丽的方向为%轴，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

贝|。(0,0,0),5(0,272,0),P(A<2,0,<6)>C(-AA2,72,0),

所以正=(―271,71,一，g),DP=(72,0,<6)>~DB=(0,2/2,0)-

设平面PBD的法向量为元=(x,y,z),

贝,记•DP=0,即卜「2久+yfbz=0,

\n-DB=0,l272y=0,

令z=—1,得久=V3,则元=

设直线PC与平面PBD所成的角为仇

叫旧历=国,司=

0\PC\\n\4X28'

所以直线PC与平面PB。所成角的正弦值为空.

【解析】(1)根据勾股定理证出力。，8。，再结合平面24。1平面A8CD,得出BD1平面P2D,即可得证;

(2)建立空间直角坐标系，求出平面PBD的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.

本题考查线面垂直的判定以及向量法的应用，属于中档题.

19.【答案】解:(1)若该同学投篮4次，则恰好投中2次的概率P=「X(|)2x(1-|)2=|,

(2)设该同学投篮的次数为X,则X的分布列为：

Xn100-2n

11

P1----

2n

E(X)=云+(100-2n)x(1—算)=-2n+100.

令/(n)=-2n+100(nGN+),

则/(n+1)-/(n)=泞-2n+98--2n+100)=项荔2n+2,

当n<4时,f(n+1)>f(n),

当n25时，f(n+1)</(n),

所以f⑴</(2)<f⑶<f(4)<f⑸>/(6)>f⑺…,

故当n=5时，该同学投篮次数的期望值最大.

【解析】(1)由n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式求解即可；

(2)设该同学投篮的次数为X,可得X的分布列，从而可得X的数学期望，利用函数的单调性即可求解期望

的最大值.

本题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量的期望，考查运算求解能力，属于

中档题.

20.【答案】解：(1)易知抛物线C的焦点尸(表0),

因为点F到圆E上一点的距离的最大值为掾+3+1=6,

解得p=4,

则抛物线C的方程为y2=8%；

(2)不妨设直线ZB的方程为汽=ty+8(%2，丫2)，

联立｛；2m,消去'并整理得y2-Sty-8m=0,

此时4=64严+32租＞0,

由韦达定理得力+为=8t,yry2=-8m,

易知直线P4的方程为y—4=%(X—2),

令久=0,

解得加=离孕

同理得外=繁手，

因为。是线段MN的中点，

所以竺二学+如二孕=0,

巧一2%2—2

整理得8%I%2-8(%i+%2)-2(%1为+%2%)+4(yi+y2)=0,

2

即吗O2)-(为+y2)+2yly42—为+先)+4(y1+%)=°，

因为%+、2=8t,yry2=-8m,

所以根2—8t2—2m+2tm+4t=0,

整理得(m—2t)(m+4t—2)=0,

若租+4t-2=0,

此时直线ZB经过点P,不符合题意；

若租—2t=0,

此时直线45的方程为％=ty+2t,经过定点(0,-2).

【解析】(1)由题意，根据题目所给信息列出等式求出p的值，进而可得抛物线的方程；

(2)设出直线48的方程和48两点的坐标，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到月+

y2=yry2=-8m,推出直线PZ的方程，令％=0,求出点M的纵坐标，同理得点N的纵坐标，根据。

是线段MN的中点，列出等式再进行求解即可.

本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题.

21.【答案】(1)解：函数/(%)=靖一TH%,5W=x-minx,

则f'(x)=ex-m,g'OO=1-；=号.

当m<0时,/'(%)>0,g'(%)>0,

•••/(%)和g(%)都在(0,+8)上单调递增，符合题意.

当租>0时，若/(%)和g(%)都在(0,+8)上的单调区间相同，

则/(%)和g0)有相同的极值点，

由/'(%)=0,可得％=Inm,由g'(%)=0,可得％=m,

•••Inm=m.

令h(Tn)=Inm—m,JJJiJ/iYm)=——1=

vymm

・・・/l(7H)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

则/i(m)</i(l)=-1,Inm=m无解.

综上，存在血，使得/(%)和g。)在(0,+8)上的单调区间相同，

m的取值范围是(-8,0].

(2)证明:(i)由题意，/(%)有两个零点，/(%)=ex-m.

若租W0,则((%)NO,.・•/(%)在R上单调递增，不符合题意.

若租>0,当久<仇血时，/'(%)<0,当%>必租时，?(x)>0,

所以/(%)在(-8,伍m)上单调递减，在(仇犯+8)上单调递增，

且当％T—8时，/(%)T—00,当久T+8时，/(%)T+8,

・•・/(Znm)=m—mlnm<0,解得m>e,得证.

(ii)令/(%)=0,g(%)=0,得e%=mx,x—minx,

即工=爪>0,启=ni>o,令7n(久)=工。>0),n(x)=—(%>1),

则加(x)=F，")=图.

当久e(0,1)时，7n'(%)<0,7H(X)单调递减，

当％6(1,+8)时，m!{x}>0,TH(%)单调递增.

当％e(l,e)时，"(%)<0,71(%)单调递减,

当%G®+8)时,"(%)>0,71(%)单调递增.

在同一坐标平面内作出函数m(%)=^(x>0)与函数几(%)=总(％>1)的图象,

它们有公共点/(%2，丫2)，如图，

故0</<1<冷<?<久3，且有史=—=产-=卢--

xix-tlnxy

pro,

由工=布《，得='hv(~即??i(%i)=m(Znx2)，又0V仇％2V1，*,•%i=lnx2-

由卷=嚣？得总=赢，即爪(峭2)=”久3)，又峭2>e,'X3="2.

由不~=温6，得慰=e%2•仇%2=%3%1，即％1%3=福，

3

故久I%2%3=球W(l,e).

【解析】(1)对/(%),0(%)求导，再对m分类讨论，结合两函数有相同的单调区间，求解m的取值范围即

可；

(2)(i)由/(%)有两个零点，利用导数可求出