河北省张家口市2024届高三一模数学试卷(含答案)

河北省张家口市2024届高三一模数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1.已知复数Zi=(l+i)(l—2i),复数z=—2i,则|z—zj=()

A.V7B.4C.10D.V10

2.下列命题为真命题的是()

A.Vx>0,e">cosxa2>b2

C.>0,cosx>exD.3a>b,a3<b3

71则子十()

3.已知cos—+XLsin

3

厂2&

ABC.-----

-413

22

4.已知双曲线C:5—当=1(«>0,6>0)的一条渐近线的倾斜角为其焦点到

ab6

渐近线的距离为2,则。的方程为()

22222222

AA-^=IB.土-乙=1c.土-乙=1D.土-乙=1

461246463

5.过点尸(1,2)作圆。:必+产=10相互垂直的两条弦AB与CD,则四边形ACfi。的面

积的最大值为()

A.676B.2而’C.9nD.15

6.已知定义在R上的函数/(%)满足：/(x)+/(2-%)=2,/(x)-/(4-x)=0,且

2024

"0)=2.若ieN*,则£/"•)=()

Z=1

A.506B.1012C.2024D.4048

7.已知等比数列｛q,｝的前几项和为S”，q〉l,S3=e^,则数列｛4｝的公比q满足()

A.O<^<1B.-l<^<0C.q>\T).q<-\

8.设a,6为非负整数，机为正整数，若。和6被机除得的余数相同，则称。和》对

模加同余，记为a三Z?(mod和).若p为质数，〃为不能被p整除的正整数，贝U

"T三l(modp),这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重

要定理.现有以下4个命题:

①23°+1三65（mod7）；

②对于任意正整数x,x13-x=0（modl3）；

③对于任意正整数x,x13-%=0（mod7）；

④对于任意正整数x,x12-l=l（mod5）.

则所有的真命题为（）

A.①④B.②C.①②③D.①②④

二、多项选择题

9.下表是某地从2019年至2023年能源消费总量近似值y（单位：千万吨标准煤）的

数据表：

年份20192020202120222023

年份代号X12345

能源消费总量近似值y（单位：千万吨标准煤）44.244.646.247.850.8

以x为解释变量，y为响应变量，若以少=伪》+/为回归方程，则决定系数

=0.9298,若以夕2=32+。2%+。2为回归方程，则成土0.9965,则下面结论中正确

的有（）

A.变量x和变量y的样本相关系数为正数

2

B.y2=b2x+a2x+Q比丸=伪工+%的拟合效果好

C.由回归方程可准确预测2024年的能源消费总量

D.9=+q

10.已知函数/（x）=sin（2x+9）（同、］,且/⑴=/［会一%］,若函数/（%）向右平

移a（a>0）个单位长度后为偶函数，贝U（）

，9=咦B.函数八%）在区间上单调递增

C.a的最小值为巴D.a的最小值为2

612

11.已知函数/（x）=e"与函数g（x）=l+-----的图象相交于4（%,%）,双孙％）两点，

X-1

且工1<%2，则()

A.%%=1B.=—C.—~—>1D.x2y2=1

"-ex2-xl…

三、填空题

12.已知点R为抛物线C:V=16y的焦点，直线/为C的准线，则点R到直线/的距

离为.

13.有5位大学生要分配到A,B,C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，

每个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，

则这5位学生实习的不同分配方案有种.(用数字作答)

14.如图，已知点A是圆台O0的上底面圆已上的动点，B,C在下底面圆。上，

AO1=1,00=2,BO=3,BC=2卮则直线A0与平面。酒。所成角的余弦值的

四、解答题

15.已知在四边形ABCD中，为锐角三角形，对角线AC与相交于点

AD=2,AC=4,BD=瓜ZABD=-.

4

(1)求AB；

(2)求四边形ABCD面积的最大值.

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ZDAB=60°,

(1)证明：PBLBC；

(2)若二面角P-AD-C为150。，求平面APS与平面CP6夹角的正弦值.

17.某商场举办摸球赢购物券活动.现有完全相同的甲、乙两个小盒，每盒中有除颜色

外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3

个黑球和7个白球.参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从

选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出

的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球.第二次摸球有如下两

种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸

出一个球.若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结

束摸球，得100元购物券用X表示一位参加活动者所得购物券的金额.

(1)在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率.

(2)①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的

概率更大；

②依据以上分析，求随机变量X的数学期望的最大值.

22

18.已知椭圆C*+力=1(。〉6〉0)的上顶点为。(0,2),直线=H与椭圆C交于

A,3两点，且直线与。3的斜率之积为-L

3

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线/'〃/,直线/'与椭圆C交于N两点，且直线D暇与。N的斜率之和为

1,求/'与/之间距离的取值范围.

19.已知函数/(x)=W，a>0.

e

(1)当〃=2时，求函数的单调区间和极值；

(2)当次>。时，不等式/(%)-85[111/(%)]2〃111%2一4%恒成立，求a的取值范围.

参考答案

1.答案：D

2

解析：z1=(l+i)(l-2i)=l-2i+i-2i=3-i,

|z-zj=|-2i-3+i|=|-3-i|=^(-3)2+(-l)2=A/10.

故选：D.

2.答案：A

解析：对于AC,当尤>0时，Vx>0,ex>1,cosx<l,

所以Vx>0,eA>cos%,故A正确，C错误；

对于B,当a=0,/?=—1时，储=0<1=〃，故B错误；

对于D,a3-b3=(tz-Z>)(«2+ab+b2^=[a-b^+-1^2

因为a>b,所以。3一犷=(。一切+〉o,故D错误.

故选：A.

3.答案：A

故选：A.

4.答案：B

解析：由题意可得2=tan巴=且，所以。=后,

a63

双曲线的渐近线方程为y=±gx,即x±6y=0,

焦点(c,o)到渐近线x+Gy=o的距离1=7七=1=2,

所以c=4,

又片+//==16,〃=,所以/=4,a2=129

22

所以。的方程为《『L

故选：B.

5.答案：D

解析：如图所示：OP<,记0M=%ON=n,则疗+/=5,

AC=2yJ10-m,B£>=2A/10-W2,

2

SACBD=^ACBD=2V10-m-J10-G<2x叫「丁—=15,

当且仅当J10-川=J10-",即冽="=芈时，取等号.

所以四边形ACfiD的面积的最大值为15.

故选：D.

解析：/（%）+/（2-x）=2,①

.-./（l+x）+/（2-（l+x））=2,

即/（l+x）+/（l—%）=2,所以/（1+力-1=一（/（1一另一1）,

所以函数“力的图象关于（1,1）对称，

令x=l,则/（1）+/（1）=2,所以=

令尤=2,/（2）+/（0）=2,又/（0）=2,所以/（2）=0,

又/（x）-/（4-x）=0,.-./（2-X）=/（4-（2-X））=/（2+X）,②

即函数/（力的图象关于直线x=2对称，

/（3）=〃1）=1，

且由①和②，得/（x）+/（2+x）=2n/（2+x）+/（4+x）=2,

所以〃x）=/（4+x）,则函数的一个周期为4,

则/（4）=/（。）=2，

2024

所以Z/⑴=506[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]=506x(1+0+1+2)=2024.

i=l

故选：C.

7.答案：B

解析：设函数/(x)=e*,则0(x)=e，一1,

当尤<0时，f'(x)<0,/(x)为减函数；当x>0时，f'(x)>Q,/(x)为增函数；

所以/(%)2/(0)=0,即e'Nx+1.

因为S3=e*2s4+I,所以S3—SQL即&V-L

因为&=%二,ax>\,所以q<0,排除A,C.

若q=—1,囚=2〉1,则邑=2,邑=0,不满足S3=eJ,排除D.

故选：B.

8.答案：C

解析：对于①：因为23。=81°=(7+1)1°=371°+或79++C；07+1,

所以23。被7除所得余数为1,

所以23。+1被7除所得余数为2,

所以23°+1三65(mod7),正确；

对于②：若正整数X能被13整除，贝x=x(M2—1)能被13整除，

所以代一工三0(modl3)；

若正整数x不能被13整除，由费马小定理得：%12=l(modl3),即

x13-x=0(modl3),正确；

对于③：若正整数X能被7整除，贝U/3—x=x(f2—1)能被7整除，

所以父3一刀三o(modl3)；

若正整数x不能被7整除，由费马小定理得：x6=l(mod7),即x，一1三0(mod7),

X%13-x=x(x12-1)=x(x6-l)(x6+1),所以93-x三o(mod7),正确；

对于④：由费马小定理得：J三l(mod5),即X。一1三0(mod5),

又严—1=(,—1X3+V+1),

所以父2-1三o(mod5),错误.

故选：c.

9.答案：ABD

解析：对于A选项：随着变量x的增加，变量y也在增加，故变量y和变量x成正相

关，即样本相关系数为正数，正确；

对于B选项：因为用〉故%=打/+4X+C2比夕1=伪％+%的拟合效果好，正确;

对于C选项：回归方程可预测2024年的能源消费总量，不可准确预测，错误；

对于D选项：由回归方程必过样本中心点，可知y=32+%，正确.

故选：ABD.

10.答案：AC

解析：对于A,因为=—所以函数/(%)关于x=g轴对称，

所以@+0=乌+碗，左GZ,解得夕=-2+版，左GZ,

326

又帆归二，所以当左=0时，(p=--,故A正确；

26

对于B,/(x)=sin^2x--^-J,

、【42兀rt_L7兀c7111兀

当—<%<兀nj9—<2%<----9

3666

因为y=sinx在区间等］上不单调递增，故B错误；

对于CD,将函数/(力向右平移a(a>0)个单位长度后得到g(x)=sin—2a4

由g(x)偶函数，可得：一2。—女=女+版，kwZ,解得。=—三―如，左eZ,

6232

又a〉0,所以当左=-1时，。的最小值为巴，故C正确，D错误.

6

故选：AC.

11.答案：AC

解析：由题意e，=l+:一有两个不等的实数根，1=山，x=ln±U,

X—1X—1X—1

令/z(%)=%-ln小丑，贝！J/?(_尤)=_无_1口九+1二_：(九)，即必九)为奇函数；

x-l-X-1

r21

当x>l时，h\x)=--+>0,飘x)为增函数;

X-1

若力(%)=0,贝!J/z(-玉)=0,又〃(%2)=0，所以犬i+%2=0・

对于A,%为=e"e*2=e~+'2=1,正确.

对于B,若=9巧=J_成立，则有玉%2=-1,与石+%2=0矛盾，所以B不正确.

e

对于C,由指数均值不等式5上〉e”1可得《上>1,所以上&>1,C正确.

x2-Xjx2-x1X2

对于D,令F(x)=xe"F(x)=(%+l)e\当x>l时，Fr(x)>0,E(x)为增函数，

所以砥々)〉=e,即D不正确.

故选：AC.

12.答案：8

解析：根据抛物线方程可知，抛物线焦点为E(0,4),准线为y=T,所以点R到直线

/的距离为8.

故答案为：8.

13.答案：50

解析：根据特殊元素“甲同学”分类讨论，

当A单位只有甲时，其余四人分配到3,C,不同分配方案有C；C；A；+C；C；=14种；

当A单位不只有甲时，其余四人分配到A,B,C,不同分配方案有量裂A；=36

A?

种；

合计有50种不同分配方案，

故答案为：50.

14.答案：叵

10

解析：连接OC,过C作垂直于80的延长线于点以。为坐标原点，建立空间

直角坐标系如下所示：

Zk

在三角形OBC中，因为08=3,OC=3,BC=2店,

,,OB2+BC2-OC29+20-96“nc£君I。

故cosBD=---------------=--------尸=——，贝mi1lJBDtHJ=BC-cosB=2y/5x——=—

2OBBC2x3x2近333

则CH=屈E==*-故点C[，¥，O]

又5(3,0,0),0(0,0,0),Q(0,0,2),设点A(加，22),加/«—1,1],由O1A=1,则可

得/+/=1；

3C=1—3,芈,o],BO,=(-3,0,2),

I33J

设平面O#C的法向量加=(羽y,z),

fm-BC=0an_2+t5V=o言「…

则|，即133'，取y=逐，贝1Jx=2,z=3,

mBOi=0-3x+2z=0

故平面QB。的法向量加=(2,6,3),又QA=(m,",2),

设直线AO与平面。酒。所成角为0,0^0,1-

/.\H°A\lm+小n+6|12m+非n+6|

贝!]sine=cos(OA,m)=------

'/|m|OA3A/2x[m2+/+43y/10

因为加，几《[—1,1],且“+〃2=i,故令加=cosa,n=sina,crG[0,2K),

rr.2^57171

则2m+V5n+6=<5sino+2cosa+6=3sin(a+9)+6,tan。=§,cpG

2"2

XcrG[0,2TI),故sin(a+0),3sin(a+0)+66[3,9],也即

2m+V5n+6G[3,9]，

故sin。的最大值为二=也,

又。，呜,故cos6的最小值为Vl-sin20=.

371010

即直线AO与平面OM所成角的余弦值的最小值为亚.

10

故答案为：叵.

10

15.答案：(1)AB=y/3+l

(2)276

AB?+BD?-AD?A5?+6-4

解析:(1)由余弦定理可得3>

2ABBD2娓AB

化简为人笈-2岛3+2=0,解得A5=G+1或指-1,

l(8-1)+4-62-2-J3

当A3=6—1时，因为cos/B4D=^------J~1=--------―~?<0,与为锐

2x2x(g—1)2x2x(g—1)

角三角形不符合，故AB=^+1.

（2）作AE,C5垂直5。于E,F,设NAO6=N1,

则SMCD=S^D+S^CBD=^BDAE+^BDCF

=^BD(AOsinZ1+COsinZl)=-BDACsinZl

2

当5由4=1=>/1=90。=4?，%）,四边形面积最大，最大面积为、4义B=2痣.

2

16.答案：（1）证明见解析

⑵空

解析：（1）取A。的中点。，连接OP,OB,BD,

在菱形ABC。中，ZZMB=60°,

则△AB。为等边三角形，所以

因为PA=PD=W，所以ADLOP,

因为OPOB=O,OP,O3u平面POB,所以AD,平面POB,

又因为AD〃BC,所以平面POB,

又P3u平面POB,

所以尸BL5C；

(2)因为O5LAD,AD±OP,QPu平面PAD,QBu平面AC。,

所以NPOB即为二面角P-AD-C的平面角，

所以々06=150。，

如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，

OP=yJp^-OAl=3,

则4(1,0,0),B(0,73,0),C(-2,V3,0),P0,—M■，—,

故3尸=0,-任二，AB=(l,-V3,0),CB=(2,0,0),

1乙乙)

设平面PAB的法向量为〃=(x,y,z),

\n-BP=--y+-z=0r-

则有《22，令y=5贝ijx=3,Z=5,

n-AB=x-6y=0

所以〃二(3,6,5),

设平面PBC的法向量为根="c),

则有产族=-孚。+|c=0,可取巾=仅

，65),

mBC=2a=0

l.m-n282币

则17ncos私”=|=「,—=「,

mn2V7xV37V37

所以平面APB与平面CPB夹角的正弦值为

（2）①方案二中取到黑球的概率更大；②282

解析：（1）设试验一次，“取到甲盒”为事件A，“取到乙盒”为事件

“第一次摸出黑球”为事件印，“第一次摸出白球”为事件显，

19179

P(B2)=P(Al)P(B2\Al)+P(A2)P(B2\A2)=-x-+-x-=—,

21

所以不闯=称一四4）小）_出二

m)丁=3'

20

7

所以选中的盒子为甲盒的概率为4.

9

27

（2）①P（&忸2）=1-P（A|§2）=1-3=3,

所以方案一中取到黑球的概率为：

287337

4=P（A|B2）P（4|A）+P（阕2）P（周4）=—x----1——x—=——,

91091090

方案二中取到黑球的概率为:

Q=P(4间尸(4⑷+P(A出2)P(4[4)=(X?+|/=祟||，

因为二〉二,所以方案二中取到黑球的概率更大.

4590

②随机变量X的值为300,200,100,

依据以上分析，若采用方案一：

p（x=300）=p（4）=i-p（§2）=t，

Q3737

P（X=2OO）=P（5）P=一x一=---,

,7v2712090200

P（X=100）=1----=—,

'720200200

113753

E（X）=300x—+200x"+100x3=228.5,

'720200200

若采用方案二：

P（X=300）=P（4）=l-P（与）=1,

Q3131

P（X=200）=P（B}R=——x——=,

l7v2722045100

P（X=100）=1----=—,

'72010050

E（X）=300x—+200x—+100x—=282,

'72010020

所以随机变量X的数学期望的最大值282.

2y2

+匕=1

4

解析：（1）设A（X［，辰J,矶为2出2），

22

由题意，可*2,则椭圆片+〉,

y-kx

联立方程组%2y2,得（4+42左2）尤2_4。2=0,

~7-----二1

4

、一4〃2

显然△＞（）,且%+%=°，=---Z—7

4+/左2

因为乙矶=—；，即组二1生二=_：

3Xjx23

化简得（3左2+1）王工一6左（西+X2）+12=0,

所以（次则.多+12=。，解得

22

所以椭圆”+卜;

(2)由直线/'〃/,设直线/':y=Ax+(mW±2>

Af(&,也+m)，B(X4,AX4+m),

y=kx+m

联立方程组X2y2,得(1+3左2)龙2+6^^+3/712-12=0,

1124

222

则A=36k2病—4(3左2+l)(m-4)=12(12Z:-m+4)>0,

得加<12左2+4①,

—6km3m2-12

且％+%=3左2+1'%3%43k2+1

又因为反M+&N=1,即9±-+-=1,

化简得（2左一1）%3%4+（加一2）（毛+%4）=。，

则（2左—1）/寻+（〃一2）-6km

?=0,

3K十13k2+1

化简得（加一2）（4左一加一2）二0,

因为加w±2,所以根=4左一2,结合①可知。＜左＜4,

4左2—4左+1

3之…小

41+P

、a/,\4左2-4Z+1,/x2(24-1)(4+2)

设g⑶=F^，则g㈤=(1+&2'

当左=g时，g'仕）=。，

则当左gr（k）＜0,则g（x）单调递减,

当左e[g,4],g＜人）＞0,则g（x）单调递增，

所以g（x）min=g（g）=0，

又g（0）=l,g