圆锥曲线之焦点三角形（讲义）2024高考总复习压轴题

专题05圆锥曲线之焦点三角形

一、椭圆的焦点三角形：

椭圆上任意一点尸与两焦点耳、耳构成的三角形:AP£鸟。

秒杀技巧与性质一:

1.周长为定值：2（a+c）。

2./耳2巴=。,当点「靠近短轴端点时夕增大，当点P靠近长轴端点时夕减小；与短轴端点重合时夕最

大。（注：椭圆中端点三角形（长轴两端点与椭圆上一点构成）当P在短轴端点时顶角最大。）

秒杀技巧与性质二：

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in

3.三角形面积：S=-x2cx\y\=cx\y\=b-tan-,5侬*=6。，即P与短轴端点重合时面积最大。

秒杀技巧与性质三：

4.焦点直角三角形:底角为90°,有四个(四个全等，P点为通径端点。)；顶角为90°,即以片鸟为直径

b>>e>0),0

的圆与椭圆交点为点P：<b=c(e=等0,2o

b<c(l>e>-^-),4

秒杀技巧与性质四：

5.双曲线:固焦点直角三角形的个数：一定为八个，顶角为直角与底角为直角的各为四个;

固S%%=/Acot5(，为焦点三角形的顶角)=c-M。等面积思想在解题时非常重要。

二、双曲线的焦点三角形：

双曲线上任意一点P与两焦点耳、8构成的三角形:APKE。

22

已知双曲线方程为二—==1(a>0/>0).如图，顶点在第一象限，

ab

=%NP片鸟=尸(。>尸),/么尸为=7.对于双曲线焦点三角形，

秒杀技巧与性质一:

如图，工、工是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记/用小一，贝U尸耳用的面积5=--

tan—U

2

秒杀技巧与性质二：

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n*2cot—

1、如图，有户耳|.|「"=--------

1-cos/

2、离心率6=生，=sinz=sing+/).

2aasine-sin,sina-sin.

秒杀技巧与性质三:

双曲线中，焦点三角形的内心/的轨迹方程为%=a（-b<y<b,y^0）.

证明：设内切圆与尸耳，尸为，耳耳的切点分别为M,N,T,则由切线长定理可得

仍M=归M,国M=14刀,=国刀,因为|尸耳卜|尸巴仁国闾一|顼图=|耳〃一|耳刀=方,

|耳司=|耳7j+优刀=2c,所以优T|=c-。，所以点T的坐标为30）,所以点/的横坐标为定值a.

提升•必考题型归纳

题型【一】、以焦点三角形的周长为情景命题

22

y3

例1、（2020•西藏南木林县第一中学高三月考）若椭圆二+二1（其中H>6>0）的禺心率为y,两焦

a

点分别为&&〃为椭圆上一点，且△££"的周长为16,则椭圆。的方程为（）

.2,22,22,2,2,2

xxx

Ay1D+=1

A.---1---二ID.+--j----u.—+J-iw

1625259925

【答案】D

22

【解析】椭圆5+1=1（其中a>6>0）的两焦点分别为内，员,〃为椭圆上一点，且〃的周长为

ab

V223c3

16,可得2K2c=16,椭圆二+y=1（其中己>8>0）的离心率为一，可得一=—,解得，5,c=3,则

a5a5

22

为4,所以椭圆。的方程为：—+^=1.故选D.

2516

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例2、（2018•辽宁大连•统考二模）设椭圆C:/=1的左焦点为F,直线，：>=近区H0）与椭圆C交于AB

4'

两点，则△AEB周长的取值范围是（）

A.（2,4）B.（6,4+2白）C.（6,8）D.（8,12）

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合椭圆的对称性、椭圆的定义，求出弦A3长的范围即可.

【详解】令椭圆C:]+y2=l的右焦点为F,长半轴长。=2,直线/：>=履（左/0）过椭圆中心，因此

\BF\=\AF'\,

则△AFB周长IA尸l+l/l+|AB|，AF|+|Ab'l+|AB|=2a+|AB|=4+|AB|,

,

k'。'由+42=4得⑶飞+以2，0^|AB|=717F-2|x|=4J^^=4^+-^-£（2,4）

1V1+4H丫41+4公

所以△4归周长的取值范围是（6,8）.

故选：C

22

例3、（2023,山西吕梁•统考二模）已知双曲线C：4-4=1（«>0,^>0）的左、右焦点分别为小F2,

ab

直线y=履与C交于P,。两点，尸耳•。耳=0,且△尸月。的面积为4a，则C的离心率是（）

A.V3B.75C.2D.3

【答案】B

【分析】由题意尸石，。片，结合图形的对称性可得四边形P不。入为矩形，再根据双曲线的定义利用勾股定

理求解即可.

【详解】如图，若尸在第一象限，因为尸耳•。耳=0,所以尸片，。用，

由图形的对称性知四边形咫。月为矩形，因为△MQ的面积为4〃，所以归耳卜|尸典=8储，

又因为忸耳桃|=2a,所以归置=4a,归局=2a,

在RtZV^K中，（4a）2+（2a）2=（2c）2,解得e=（=J^.

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/Q।\

故选：B

22L

例4、（2023•甘肃定西•统考模拟预测）已知双曲线C：,r方v=1（">0,10）的渐近线方程为>=±历，

左、右焦点分别为6，F2,过点与且斜率为右的直线/交双曲线的右支于〃，N两点，若△…的周长

为36,则双曲线C的方程为（）

2222222

A,匕-匕=1B.匕-匕=1C.t-匕=1D.尤2-匕=1

36510482

【答案】D

【分析】由题意可得6=缶，则直线/为y=6（x-百a）,代入双曲线方程中，利用弦长公式求出|MN|,

再由双曲线的定义和明的周长为36,可求出“，从而可求出双曲线的方程.

【详解】因为双曲线C：m-1=l（a>0乃>0）的渐近线方程为y=±J%,

ab

22

所以6=缶，则双曲线方程为多一上y=l（a>0）,耳（-疯?,0）,乙（扃,0）,

所以直线/为>=有（了-百。），设（御％），

由\a22a2

得x2—6指ax+1la2=0,

y=6(x-Cd)

则％+々=&J%,玉々=1lo2,

22

所以=V1+3-5(上+尤2)2—41々=2^/108a-44a=16a，

因为|加害|=|峥|+24,|A^；|=|A^|+2a,

所以眼百|+|N£|=|人阊+|尊|+4a=+4a=20a,

因为AMN4的周长为36,所以|MF；|+|M；|+|Aev|=36,

所以20a+16a=36,得a=l,所以双曲线方程为x?—匕=1,

2

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故选：D

小试石T|

22

1、（2020•黑龙江）已知点耳,且分别是椭圆=1的左、右焦点，点P在此椭圆上，则APKK的周

长等于（）

A.20B.16C.18D.14

【答案】C

【解析】根据椭圆方程可知a=5,c=4,根据椭圆的定义可知，瑞的周长为2a+2c=10+8=18,

故选C.

2.（2019•广西南宁）定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆

22

C4=1（。〉6〉0）的焦距为4君，焦点三角形的周长为4岔+12,则椭圆C的方程是

ab

鹏+上

【答案】

3616

22

【解析】设椭圆的半焦距为c,由题意得，噂；膘国12=｛晨有，所以b=4,故椭圆C的方程是工+2L=1.

=3616

22

3.（2023•山东青岛•统考三模）已知。为坐标原点，双曲线C：二-与=1（。＞0力＞0）的左，右焦点分别为

ab

22

耳，尸2，过c的右焦点心且倾斜角为（的直线交c右支于A,B两点,A3中点为W,|KW|=yla+b,SFtAB

的周长等于12,贝U（）

A.。=3B.双曲线C的渐近线方程为＞=±缶

C.\AB\=9D.\OW\=46

【答案】D

【分析】运用韦达定理、弦长公式、双曲线定义及两点间距离公式可求得。、A的值，进而代入计算判断各

个选项即可.

【详解】如图所示，

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由题意知，耳（―C,。），工（C,。），其中C=+/，

设直线A3方程为y=6（X-C）,

y=6(x-c)

22

联立炉y2=>(Z?—34)X+6〃-%—3Q%2—a2b2=0,

=1

设A(M，M),B(x2,y2),

6a2c3a2c2+a2b2

贝ljxx+x2=-----,XX?=z------7

3a2-b2---------123a2-b1

b2-3a2^0

A>0-272

则=>3a>b

%+W>0

xxx2>0

222222

26ac/3ac+abSabg

所以|AB\=y/l+kxJ(%+/>-4再X2=2J(----y-4x------------=--~~-①，

3a2-b23a2-b23a2-b2

由双曲线定义知，

\AFX\-\AF2^\BFX\-\BF21=2a,

所以4AB的周长为

\AF1\+\AF2\+\BF1\+\BF2\=2\AF2\+2a+2\BF2\+2a=2(\AF2\+\BF2\)+4a=2\AB\+4a^l2,

所以|AB|=6-2〃②，

由①②得："一片+加=。③，

又因为W为AB的中点，

所以％,卅=指（/一°）=产：2,

23a-b3a-b

所以W（3a%,.%）,

V3a2-b2,3a2-b2>

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所以I6W1=J(壬了一4+(-4^

=万，解得:a=b@,

V3a-b3a-b3a2-b2

由③④可得：a=b=L

所以双曲线方程为天2-y=1.

所以双曲线渐近线方程为1=±乙故A项错误、B项错误;

对于C项，|AB|=6-2a=4,故C项错误；

对于D项，因为。=6=1,所以c=&，

所以卬¥，乎),

所以="，故D项正确.

故选：D.

22

4.(2022•全国・模拟预测)(多选题)已知椭圆C:?+q=l的左、右焦点分别为尸、E,直线x=，〃(-l<m<l)

与椭圆相交于点A、3,贝U()

A.椭圆C的离心率为且

2

B.存在〃2,使“E4B为直角三角形

C.存在加，使_况45的周长最大

D.当机=0时，四边形FBE4面积最大

【答案】BD

【分析】直接求出椭圆的离心率判断A；利用椭圆的对称性及角4中的范围判断8;利用椭圆定义及数学

转化分析AMB的周长判断C；由四边形面积公式分析。正确.

【详解】解：如图所示：

对于A,由椭圆方程可得，a=2,b=拒,则C=A/7二齐=1，椭圆C的离心率为e=g,故A错误；

77"

对于8,当相=0时，可以得出=

37T

右取根=1时，得tanZAFE=-<l=tan—,

44

根据椭圆的对称性，存在加使一E4B为直角三角形，故3正确；

对于C,由椭圆的定义得，.E4B的周长4ABI+IAFI+I班1

=^AB\+(2a-\AE\)+(2a-\BE\)=4a+\AB\-\AE\-\BE\,

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\AE\+\BE^\AB\,.-\AB\-\AE\-\BE\＜0,当AB过点E时取等号，

.­.\AB\+\AF\+\BF\=4a+\AB\-\AE\-\BE\＜4a,即直线x=机过椭圆的右焦点E时，E4B的周长最大，

此时直线A3的方程为x=/n=c=l,但是-1＜根＜1,

二不存在优，使一E4B的周长最大，故C错误；

对于。，一定，根据椭圆的对称性可知，当机=0时，|AB|最大，四边形面积最大，故。正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合的解题思想，考查分析问题与求解问题的能力.

22

5.（2023・广东广州,统考模拟预测）（多选题）已知双曲线£:＞三=1伍＞0）的左、右焦点别为耳，F2,

过点区的直线/与双曲线E的右支相交于P,。两点，则（）

A.若E的两条渐近线相互垂直，则°=忘

B.若E的离心率为石，则E的实轴长为1

C.若NF"=90。,贝小尸耳HP图=4

D.当。变化时，月P。周长的最小值为8及

【答案】ACD

【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】依题意，6=0,

A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以2=1,。=6=0,故A正确;

a

解得。=1,所以实轴长2a=2,故B错误;

\PF^-\PF^=2a

C选项，若/耳P玛=90。,

归耳『+|尸闾2=归'

整理得2|尸耳卜尸巴卜4c2-4/=»=8,|尸耳HP/=4,故C正确;

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PR-PF2\=2a

D选项，根据双曲线的定义可知,

QFt-QF21=2a

两式相加得|即|+|Q耳HP0=4a，|P4|+|Q4|=4a+|PQ|,

所以月尸。周长为4a+2|PQ|,

当尸。，月亮时，|PQ|取得最小值更=3,

aa

所以4a+2|尸4a.3=80,

Q_

当且仅当4"=—,即4=后时，等号成立，

a

所以月尸。周长的最小值为80,故D正确.

故选：ACD

22

6.（2022•全国•统考高考真题）已知椭圆C:二+与=1（。>6>0）,C的上顶点为4两个焦点为耳，B,

离心率为过耳且垂直于A8的直线与C交于。，E两点，|OE|=6,则VADE的周长是.

【答案】13

22

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为2+9=1,即3/+4/-12c2=0,根据离心率得到直线AE的斜

率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程：x=43y-c,代入椭圆方程

3/+4y272c2=0,整理化简得到：13y?一6白。-9c?=。，利用弦长公式求得c=r，得。=2C=7,根据对

o4

称性将VADE的周长转化为△鸟OE的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a=13.

c1

【详解】回椭圆的离心率为e=—=7,回4=2。，=a2-c2=3c2,团椭圆的方程为

a2

22

券+9=1,即3/+4y2一12,2=0,不妨设左焦点为月，右焦点为尸2,如图所示，回A《=a,OF2=c,a=2c，

0ZAf；O=j,回△AKK为正三角形，回过匕且垂直于的直线与C交于。，E两点，DE为线段A区的垂

直平分线，回直线DE的斜率为坐，斜率倒数为由，直线OE的方程：x=gy-c,代入椭圆方程

3£+4丁-1勿2=0,整理化简得到：13/-6^cy-9c2=0,

判别式△=(6辰『+4x13x9/=62X16XC2,

回|OE|=Jl+(［必_印=2义噂

=2x6x4x-=6，

13

第10页共50页

13「13

0c=w,侍a=2c=—j-

回DE为线段A工的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2,AE=EF2,回VADE的周长等于的周长,

利用椭圆的定义得到△耳。E周长为

\DF2\+\EF2|+|郎=|DF2\+\EF2。用+|幽卜|DFt\+\DF2\+\EFl\+\EF2\=2a+2a^4a=13.

故答案为：13.

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题型【二】、以焦点三角形的面积为情景命题

例5、（2020•安徽省定远中学）已知椭圆Ci=+'yuKa〉/?〉。）的左、右焦点分别为耳、工，P为椭

ab

圆上一点，且尸耳，Pg,若区的面积为9,则6=.

【答案】3

n

22

【解析】（技巧法）S.PFF=btan-=btan45°=9,b=3

nrrlr22

（常规法）因为4月的面积为9,所以g|PG|・|PEI=9.1PG|・|P£|=18

因为尸耳，「心，所以I尸用2+|PK|2=W&|2

即（）22

|PF1\+\PF2\-2\PF1IIPF21=1FYF2I

（2a）2-2x18=（2c）2:.b2=a2-c2=9,6=3故答案为：3

例6、（2020•云南陆良）己知耳、工为双曲线aV—V=1的左、右焦点，点?在C上，/月月工=60°,

则"得|明=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】（技巧法）忙与疗用=悬方=匕=4

1----

2

（常规法）由双曲线的定义得归用―忸闾|=2①,又|耳闾=2c=2&，/单第=60°,由余弦定理

2

\PF,f+\PF2f-|P^||P^|=|^7^|=8@,由①2-②得|尸周|尸.=4,故选B.

例7,（2019・安徽蚌埠•蚌埠二中校考二模）已知抛物线y2=4x的准线过双曲线=•-5=1（〃>08>0）的左焦

点且与双曲线交于A、8两点，。为坐标原点，且，AQB的面积为，，则双曲线的离心率为

4

3

A.-B.4C.3D.2

2

【答案】B

【解析】求出抛物线/=4%的准线方程，可得双曲线,方=i（〃>o乃>o）的左焦点，求出产-1时，y的值.

3

利用AOB的面积为万，求出。，即可求出双曲线的离心率.

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【详解】由抛物线y2=4x得其标准方程为x=-l,

所以双曲线[-[=1（。>0,8>0）的左焦点为（TO）,

ab

X=-1时，代入双曲线方程，且加=1一

可得y=土三匚，

a

AAO3的面积为二，

J1.2X"，则」，

2。44

a

故选：B.

【点睛】本题考查了抛物线、双曲线的几何性质，考查三角形面积的计算.属于中档题.

22

例8、（2019•四川宜宾•统考三模）已知双曲线三-匕=1的左右焦点分别为耳耳，以它的一个焦点为圆心,

a23一

半径为。的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A,2两点，则四边形4A22的面积为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】根据渐近线方程及焦点到渐近线的距离等于。，结合双曲线中。、氏c的关系可求得。、c的值，

进而求得切点A的坐标，即可求四边形月入48的面积.

22

【详解】因为双曲线二-匕=1的左右焦点分别为£（-c,0），8（c,0）

a3

双曲线的渐近线方程为y=士是x，即其中一条渐近线方程为氐-ay=0

a

以它的一个焦点为圆心，半径为。的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A,B两点

根据焦点到渐近线的距离及双曲线中。、氏c的关系

所以解得a-c-V6，

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则四边形居A&B的面积为SFiAF2B=2sg伍=2xgx2"x乎=6

故选D

【点睛】本题考查双曲线的简单性质以及圆与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属

于中档题.

---------

小试高I

„2

1、（2020•山西大同）已知耳、K为双曲线C:§—>2=1的左、右焦点，点户在C上，ZF,PF2=60°,

则APRF2的面积为

【答案】6

2

b1r

【解析】（技巧法）SApFiF2=--=-^=y[3

tan—组

23

2

（常规法）双曲线C：±r—丁=1,则。2=312=1,所以。2=储+32=4,

3"

则归司—|p引=2a=26,平方得|p用2+归％『=12+2归耳卜归闻，且|耳闾=2c=4,

12+2P4PF.—161

即cos60

由余弦定理cos〃公叫渭MF2PF\P月2

解得阿H明=4,则S晔=T尸用.|%.sinN600=gx4x¥=G

—27r

2.（2020•上海普陀•高三三模）设P为双曲线f—y2=1（。>0）的上一点，/RPF,=—,（耳、F2

矿3

为左、右焦点），则的面积等于（）

B，旦2C.BD,正

A.6a2

333

【答案】c

_b2_1_V3

【解析】（技巧法）0-

tan-,

2

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（常规法）双曲线二—y2=i（q〉0）,贝鲂=1

a

不妨设P是双曲线的右支上一点，

则由双曲线的定义，得IP"-|尸鸟|=2〃

2〃

则4P8丁

2TZ*

所以4c2=|PFi|2+1Pg|2-2|P^|.|P^|cos—

22

=\PFt\+\PF,\+\PFi\-\PF,\

=（\PF1\-\PF2\y+3\PF1\-\PF2\

所以4c2=41+3|p耳|p工|,即31P耳|“P工|=4/-4/=4"=4

4

所以8|=3

H?”C_1IDUIIDUI•2"_14V3_A/3

所以SAFiPF?=l-IP^Isin-=-x-x—

故选：C

3.（2020•全国•统考高考真题）设耳，心是双曲线C:V-汇=1的两个焦点，。为坐标原点，点尸在C上且

3

\OP\=2f则工的面积为（）

75

A.—B.3C.—D.2

22

【答案】B

【分析】由6月尸是以P为直角直角三角形得到|PKF+|P&『=16,再利用双曲线的定义得到

||尸耳|-|尸&||=2,联立即可得至1]|尸片||尸鸟I,代入心尸封=3|及；||/^|中计算即可.

【详解】由已知,不妨设1（—2,0）,舄（2,0）,

则a=l,c=2,因为|0可=2=；闺用，

所以点尸在以耳耳为直径的圆上，

即，片耳尸是以P为直角顶点的直角三角形，

故|P4F+|%阳耳工『，

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即|尸耳『+|尸耳『=16,又||P片HPFj=2a=2,

所以4=||3|一|尸乙『=|PKF+1『一2|「耳||尸乙|=16-2|尸石11尸工|,

PF

解得\PFl\\PF2\=6,所以SAFE=；|PFJIi1=3

故选：B

【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，

是一道中档题.

fV21

4.（2023•全国•模拟预测）（多选题）已知椭圆二+二=1的离心率为A3为椭圆的左、右顶点，耳后为

椭圆的左、右焦点，。是椭圆上异于A3的任意一点，过尸2作直线针的垂线，垂足为直线F2M交BP

于点N,交椭圆于瓦方两点，回的面积最大值为12,则（）

A.。=4

B.若。（。力）,则|尸。|+|尸耳|的最大值为8+4百

C.N在圆上运动

11_2

D-q+网=§

【答案】ABD

【分析】判断出点M的轨迹即可求出国河的面积最大值，进而求出a,6,c；根据椭圆的定义即可求出

|PQ|+|P阊的最大值；设出直线APIP,工M的方程，且点尸在椭圆上，即可求出桃2=-“最后联立直线

8尸，居M的方程即可求得点N的轨迹方程；设出直线所的方程，并与椭圆联立利用韦达定理即可求解

11

----------

|%|\FF2\-

【详解】对于选项A,因为40，9，所以点/在以A8为直径的圆上，所以边上高为半径等时,

回的面积最大值，即5."=12如心。=幽土9=12,

222

又因为e=£=1，即c=[,所以+j1,解得。=4,故A正确；

a22--------=12

2

由选项B,由选项A可知，a=4,c=2,则人=荷=7=2相，所以。（4,2省），

\PQ\+\PF2\=\PQ\+2a-\PFl\<2a+\QFl\=8+14+2?+（20『=8+4石，当P在直线的上时,等号成

立.故B正确;

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由选项C,因为A(-4,0),8(4,0),名(2,0),所以设直线AP:y=匕。+4)(匕H0),

直线8P:y=%2(x—4)的NO),直线=(尤-2),

化1

因为椭圆方程为三+匚1,所以尸(%%)满足寸+超=1,所以列「2(16-

，所以

kk=%%=%—=_3

I2一飞+4毛-4一焉-16一4'

联立直线BP,F2M的方程得一!(x-2)=&(x-4),解得％=t,

所以N在直线％=-4上运动，故C错误；

设直线口的方程为y2)(左W0),设£(/,%),外与，力),

y=k(x-2)

直线和椭圆联立X2V,21,消去>整理得(3+4/)彳2—16左，+1642-48=0,

——+—

I1612

A=(-16)t2)-4(3+4Z:2)(16F-48)=576(F+l)>0,

16k216%2—48

所以1七十以=3+4左2'Xe'Xf3+4A:2

—发)

因为点E在椭圆上，所以$=

a2

所以|%|=-域+y;=a-exE=4一;/,同理可知|方刃二〃一ex尸=4--1xF,

32—2(4+x)

1_1_____I____1__=______1____I_________F

所以即||明-卜

4-&464-8+xF)+x£-

32-2,

96+96/2

左2

64-8(/+号)+//64_8.1616左2一48144+144/3

----------7-1------------7

3+4K3+4公

故选项D正确;

故选：ABD.

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【点睛】本题考查考生运算求解能力、推理论证能力、函数与方程的思想、数形结合的思想、化归与转化

的思想.

22

5.（2023・上海嘉定•统考一模）焦点在x轴上的椭圆三+方=1与抛物线＞2=4尤，椭圆的右焦点与抛物线的

焦点均为尸，A为椭圆上一动点，椭圆与抛物线的准线交于尸、。两点，则S,A,。的最大值为.

【答案】8

【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得出〃的值，可得出椭圆的方程，求出的值，以及点A到直线产。

距离的最大值，再结合三角形的面积公式可求得S4W的最大值.

【详解】抛物线V=4x的焦点为b（1,0）,由题意可得9-片=1,可得6'8,

所以，椭圆方程为《+二=1,

9o

抛物线的准线方程为*=-1,由f2可得8,则|P2|=2x；=—,

——+-=133

[98Uy=±-3

因为A为椭圆上一动点，则当点A为椭圆的右顶点时，点A到直线x=-l的距离取到最大值3,

则的最大值为gx与x3=8.

故答案为：8.

22

6.（2024•贵州•校联考模拟预测）已知双曲线E:与-1=1（八0,。＞0）的左、右焦点分别为耳，F2,点M在

ab

E的左支上，过点M作E的一条渐近线的垂线，垂足为N,则当+取最小值16时，△月N瑞面积

的最大值为.

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【答案】32

【分析】由双曲线的定义结合三角形两边之和大于第三边的相关性质得1MMMVI的最小值为b+2a=16,

S.=2s△耳加=ab,结合基本不等式即可求得最值.

【详解】题意得1也1盯1=2%故|M8|=|班|+2a,如图所示，

则|Mf；|+|M2V|^MFt\+2a+\MN\2忸N|+2az6+2a,

当且仅当M,K，N三点共线时两个等号同时成立，

所以乙|+|初V|的最小值为》+24=16,所以1622A&,即HW32,

当且仅当6=8,。=4时，等号成立，

而F,(-c,0)到渐近线bx+ay=O的距离闺N|=，=6,

又防=c,i^\ON\=a,

所以5的限=2S&RN0=2x；|峭||NO|=W32，

即区面积的最大值为32.

故答案为：32.

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题型【三】、以焦点弦为情景命题

22

例9、(2021•浙江•统考二模)已知片，B是双曲线-方=1(〃*>0)的左、右焦点，过F?的直线交双曲

线的右支于A,B两点，且|A6|=2|A闾，56=中区,则下列结论正确的有.

①双曲线C的离心率e=手；

②双曲线C的一条渐近线斜率是出；

③线段|加卜6〃；

④△人耳心的面积是岳a2.

【答案】②④

【分析】利用题设条件分析、探讨出a,6的关系，并对四个问题的条件逐一处理即可得解.

【详解】依题意结合双曲线定义得：\AF2\=\AFt\-\AF2\=2a,则阳|=4a,

\AB\\AF.|c

因/A片g=//由"而4月48=/54月，贝UFtAF2-BAFt,"=片/=2,如图：

IA4||Ar21

则|AB|=8a,\BF2\=6a,\BFi\=\BF2\+2a=8a=\AB\,4防是等腰三角形，cos/尸AF=5"/1］，

12|AB|4

2

△MK中，由余弦定理得1GBl=1+1AB/一21A用•|A居|cosZF,AF2=16a,

双曲线C的焦距2c=4a,即c=2a,b=^a,

双曲线离心率e=£=2,①不正确；