上海市宝山区吴淞中学2025届高一数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

上海市宝山区吴淞中学2025届高一数学第二学期期末教学质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知集合，，则A． B． C． D．2．《九章算术》卷第六《均输》中，提到如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？”其大致意思是说，若九节竹每节的容量依次成等差数列，下三节容量四升，上四节容量三升，则中间两节的容量各是（）A．升、升 B．升、升C．升、升 D．升、升3．已知过点的直线的倾斜角为，则直线的方程为（）A． B． C． D．4．直线上的点到圆上点的最近距离为（）A． B． C． D．15．在中，，则是（）A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形6．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A． B． C． D．与a的值有关联7．设满足约束条件则的最大值为（）.A．10 B．8 C．3 D．28．下列结论不正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则9．已知点，，则直线的斜率是（）A． B． C．5 D．110．给出下面四个命题：①；②；③；④.其中正确的个数为()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．两圆交于点和，两圆的圆心都在直线上，则____________；12．已知则sin2x的值为________.13．已知指数函数上的最大值与最小值之和为10，则=____________。14．和的等差中项为__________．15．在中，，，则角_____.16．已知平面向量，，满足：，且，则的最小值为____.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．求倾斜角为且分别满足下列条件的直线方程：（1）经过点；（2）在轴上的截距是-5.18．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付元，没有奖金；第二种，每天的底薪元，另有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的薪酬中奖金比前一天的奖金多元；第三种，每天无底薪，只有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的奖金是前一天的奖金的倍.（1）工作天，记三种付费方式薪酬总金额依次为、、，写出、、关于的表达式；（2）该学生在暑假期间共工作天，他会选择哪种付酬方式？19．已知向量，（1）若，求；（2）若，求.20．已知数列满足，令（1）求证数列为等比数列，并求通项公式；（2）求数列的前n项和.21．已知函数，且.（1）求常数及的最大值；（2）当时，求的单调递增区间.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】分析：由题意先解出集合A,进而得到结果。详解：由集合A得,所以故答案选C.点睛：本题主要考查交集的运算，属于基础题。2、D【解析】

由题意知九节竹的容量成等差数列，至下而上各节的容量分别为a1，a2，…，an，公差为d，利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出中间一节的容量．【详解】由题意知九节竹的容量成等差数列,至下而上各节的容量分别为a1，a2，…，a9，公差为d，即=4，=3，∴=4，=3，解得,，∴中间两节的容量,，故选：D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，利用等差数列的通项公式列出方程组，解出首项与公差即可，考查计算能力，属于基础题.3、B【解析】

由直线的倾斜角求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程求解．【详解】∵直线的倾斜角为，∵直线的斜率，又直线过点，由直线方程的点斜式可得直线的方程为，即．故选：B．【点睛】本题考查直线的点斜式方程，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．4、C【解析】

求出圆心和半径，求圆心到直线的距离，此距离减去半径即得所求的结果.【详解】将圆化为标准形式可得可得圆心为，半径，而圆心到直线距离为，

因此圆上点到直线的最短距离为，故选：C.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，求圆心到直线的距离是解题的关键，属于中档题.5、D【解析】

先由可得，然后利用与三角函数的和差公式可推出，从而得到是直角三角形【详解】因为，所以所以因为所以即所以所以因为，所以因为，所以，即是直角三角形故选：D【点睛】要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：①角化边：把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得到边的对应关系，从而判断三角形形状，②边化角：把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.6、C【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为．考点：几何概型，圆的面积公式．7、B【解析】

作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解.【详解】作出可行域如图：化目标函数为，联立，解得.由图象可知，当直线过点A时，直线在y轴上截距最小，有最大值.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.8、B【解析】

根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A正确.对于B选项，若，则，故B选项错误.对于C、D选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C、D正确.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题.9、D【解析】

根据直线的斜率公式，准确计算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据直线的斜率公式，可得直线的斜率，故选D.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10、B【解析】①；②；③；④,所以正确的为①②，选B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由圆的性质可知，直线与直线垂直，，直线的斜率，，解得.故填：3.【点睛】本题考查了相交圆的几何性质，和直线垂直的关系，考查数形结合的思想与计算能力，属于基础题.12、【解析】

利用二倍角的余弦函数公式求出的值，再利用诱导公式化简，将的值代入计算即可求出值．【详解】解：∵，，则sin2x＝=，故答案为.【点睛】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．13、【解析】

根据和时的单调性可确定最大值和最小值，进而构造方程求得结果.【详解】当时，在上单调递增，，解得：或（舍）当时，在上单调递减，，解得：（舍）或（舍）综上所述：故答案为：【点睛】本题考查利用函数最值求解参数值的问题，关键是能够根据指数函数得单调性确定最值点.14、【解析】

设和的等差中项为，利用等差中项公式可得出的值.【详解】设和的等差中项为，由等差中项公式可得，故答案为：.【点睛】本题考查等差中项的求解，解题时要充分利用等差中项公式来求解，考查计算能力，属于基础题.15、或【解析】

本题首先可以通过解三角形面积公式得出的值，再根据三角形内角的取值范围得出角的值。【详解】由解三角形面积公式可得：即因为，所以或【点睛】在解三角形过程中，要注意求出来的角的值可能有多种情况。16、-1【解析】

，，，由经过向量运算得，知点在以为圆心，1为半径的圆上，这样，只要最小，就可化简．【详解】如图，，则，设是中点，则，∵，∴，即，，记，则点在以为圆心，1为半径的圆上，记，，注意到，因此当与反向时，最小，∴．∴最小值为-1．故答案为-1．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是由已知得出点轨迹(让表示的有向线段的起点都是原点)是圆，然后分析出只有最小时，才可能最小．从而得到解题方法．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

(1)利用倾斜角与斜率的关系与点斜式求解即可.(2)利用点斜式求解即可.【详解】解：（1）∵所求直线的倾斜角为,斜率,又∵经过,故方程为∴即方程为.（2）∵所求直线在轴上的截距是-5,又有斜率,故方程为∴所求方程为【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系以及直线方程的点斜式运用.属于基础题.18、（1），，；（2）第三种，理由见解析.【解析】

（1）三种支付方式每天支付的金额依次为数列、、，可知数列为常数数列，数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列是以为首项，以为公比的等比数列，利用等差数列和等比数列求和公式可计算出、、关于的表达式；（2）利用（1）中的结论，计算出、、的值，比较大小后可得出结论.【详解】（1）设三种支付方式每天支付的金额依次为数列、、，它们的前项和分别为、、，第一种付酬方式每天所付金额组成数列为常数列，且，所以；第二种付酬方式每天所付金额组成数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以；第三种付酬方式每天所付金额组成数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以；（2）由（1）知，当时，，，，则.因此，该学生在暑假期间共工作天，选第三种付酬方式较好.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的应用，涉及等差数列和等比数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.19、（1）3；（2）或【解析】

（1）由，得，又由，即可得到本题答案；（2）由，得，即，由此即可得到本题答案.【详解】解：（1）由，得，即，（2）由，得，即，又，解得或.【点睛】本题主要考查平面向量与三角函数求值的综合问题，齐次式法求值是解决此类问题的常用方法.20、（1）；（2）【解析】

（1）由变形可得，即，于是可得数列为等比数列，进而得到通项公式；（2）由（1）得，然后分为奇数、偶数两种情况，将转化为数列的求和问题解决．【详解】（1）∵，∴，∵，∴．又，∴数列是首项为8，公比为3的等比数列，∴．（2）当为正偶数时，．当为正奇数时，．∴．【点睛】（1）证明数列为等比数列时，在运用定义证明的同时还要说明数列中不存在等于零的项，这一点容易忽视．（2）数列求和时要根据数列通项公式的特点，选择合适的方法进行求解，求解时要注