备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题29排列组合

专题29排列组合【考点预测】知识点1、排列与排列数（1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．（2）排列数的公式：．特例：当时，；规定：．（3）排列数的性质：①；②；③．（4）解排列应用题的基本思路：通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用．知识点2、组合与组合数（1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．（2）组合数公式及其推导求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数；第二步，求每一个组合中个元素的全排列数；根据分步计数原理，得到；因此．这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：．注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明．（3）组合数的主要性质：①；②．（4）组合应用题的常见题型：=1\*GB3①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型=2\*GB3②“至少”或“最多”含有几个元素的题型知识点3、排列和组合的区别组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程1、认真审题，确定要做什么事；2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．【典例例题】例1．（2023·辽宁阜新·高二校考期末）如图，提供4种不同的颜色给图中，，，四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（

）种．A．12 B．36 C．48 D．72【答案】C【解析】如果只用了3种颜色，则ABD三块区域颜色必两两不同，C区域必与A相同，则涂法有种；如果用了全部4种颜色，则涂法有种；所以总共有种涂法.故选：C.例2．（2023·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同，不同的分配方案共有（

）A．540种 B．360种 C．180种 D．120种【答案】B【解析】每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同,故三个社区分配到志愿者的人数为，故共有种.故选：B例3．（2023·辽宁营口·高二统考期末）有5名学生全部分配到4个地区进行社会实践，且每名学生只去一个地区，其中A地区分配了1名学生的分配方法共（

）种A．120 B．180 C．405 D．781【答案】C【解析】由题意，先选一名学生分配到地，剩下的4名学生在其他三个地区任选一个，方法数为，故选：C．例4．（2023·河南南阳·高二统考期末）将甲，乙等5名志愿者全部分派到4个核酸采样点协助工作（每个采样点至少1人），其中甲，乙两人不能去同一个采样点，则不同的分派方案共有（

）A．120种 B．216种 C．240种 D．432种【答案】B【解析】依题意，情况一：甲，乙单独作为一组，剩余3人分成2组，则有种方案；情况二：甲与其他三人中的一人作为一组，剩余乙和其他2人作为3组，则有种方案；情况三：乙与其他三人中的一人作为一组，剩余甲和其他2人作为3组，则有种方案；所以总共的方案为：种.故选：B.例5．（多选题）（2023·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）下列结论正确的是（

）A． B．C． D．若，则正整数x的值是1【答案】ABC【解析】选项A，因为，故A正确；选项B，，故B正确；选项C，由，，得，故C正确；选项D，因为，所以或，即或6，故D错误.故选：ABC.例6．（2023·辽宁阜新·高二校考期末）某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有_____________种.【答案】11【解析】根据分类加法计数原理得不同的选法共有种.故答案为：11.例7．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）受新冠病毒肺炎影响，某学校按照上级文件精神，要求错峰放学去食堂吃饭，高三年级一层楼有四个班排队，甲班不能排在最后，且乙、丙班必须排在一起，则这四个班排队吃饭不同方案有__________种（用数字作答）．【答案】8【解析】先将乙、丙班排序，并绑在一起，看成一个元素，有种方案，此时考虑将甲，丁及乙、丙的整体3个元素排序，由于甲班不能排在最后，故将甲班选取1个位置安排，有种方案，最后，再将丁及乙、丙的整体安排在剩下的两个位置上，有种方案，所以，根据乘法原理，共有种方案.故答案为：例8．（2023·陕西榆林·统考一模）自然对数的底数，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和一样是无限不循环小数，的近似值约为.若用欧拉数的前6位数字设置一个六位数的密码，则不同的密码共有__________个.【答案】180【解析】因为2出现2次，8出现2次，所以不同的密码共有个.故答案为：180.例9．（2023·广东汕头·高三校考阶段练习）如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为___．【答案】44【解析】若尾数为1，前三位的数字为，或，或时，0放在百位或十位上，剩余两个数进行全排列，故共有个完美四位数，若前三位数字为时，则有个完美四位数；若尾数为3，前三位的数字为，或时，0放在百位或十位上，剩余两个数进行全排列，故共有个完美四位数，若前三位数字为时，有个完美四位数；若尾数为5，若前三位数字为或时，0放在百位或十位上，剩余两个数进行全排列，共有个完美四位数，若尾数为7，若前三位数字为时，0放在百位或十位上，剩余两个数进行全排列，有个完美四位数；综上所述：共有个完美四位数.故答案为：44例10．（2023·高三课时练习）已知，则_________.【答案】2或3【解析】，，又，所以或.故答案为：2或3.例11．（2023·全国·高三对口高考）计算的值为_________.【答案】466【解析】依题意，，解得，而，于是得，所以，原式.故答案为：466【技能提升训练】一、单选题1．（2023·北京·高二北京市十一学校校考期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（

）种排法？A．72 B．36 C．24 D．12【答案】A【解析】先排三个唱歌节目这有：种情况，然后四个空排两个舞蹈节目这有：种情况，所以舞蹈节目不能相邻的情况有：情况.故选：A.2．（2023·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）设5名男同学报名参加同一时间安排的4种课外活动的方案有种；5名女同学在运动会上共同争夺跳高､跳远､铅球､跑步4项比赛的冠军的可能结果有种，则为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】每名同学报名有4种选择，5名同学报名就有种选择，所以；每项冠军归属结果有5种可能，4项冠军则有种可能结果，所以，所以.故选：A．3．（2023·高二课时练习）如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（

）．A．180 B．160 C．96 D．60【答案】A【解析】首先对①进行涂色，有5种方法，然后对②进行涂色，有4种方法，然后对③进行涂色，有3种方法，然后对④进行涂色，有3种方法，由乘法计数原理可得涂色方法种数为种故选:A4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（

）A．12 B．24 C．48 D．84【答案】D【解析】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类：当种植的鲜花为两种时：和相同，和相同，共有种种植方法；当种植鲜花为三种时：和相同或和相同，此时共有种种植方法；当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有种种植方法，综上：则不同的种植方法的种数为种，故选：.5．（2023·山西太原·高三统考期末）某学校音乐社团为庆祝学校百年华诞将举办歌曲展演，要从4首独唱歌曲和2首合唱歌曲中选出4首歌曲安排演出，若最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法种数为（

）A．96 B．120 C．240 D．360【答案】B【解析】第一步，先从两首合唱歌曲中选一首按排在最后的方法有种第二步，从其余的歌曲中选三首歌曲安排在前三位的方法有种则不同的安排方法种数为：故选：B6．（2023·广东茂名·统考一模）将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（

）A．480种 B．240种 C．15种 D．10种【答案】D【解析】将2个8插空放入不相邻的5个空位（4个6之间有5个空位）中有方法，故2个8不相邻的情况有种.故选：D7．（2023·广西·统考模拟预测）将3个1和2个0随机排成一行,则共有多少种方法（

）A．5 B．6 C．10 D．15【答案】C【解析】解:由题知3个1和2个0随机排成一行,即有5个位置留给1和0,在5个位置中挑出3个给1,剩下的填0即可,即,故选:A8．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知面积为1的正三角形三边的中点分别为，，，则从，，，，，六个点中任取三个不同的点构成的面积为的三角形的个数为（

）A．4 B．6 C．10 D．11【答案】C【解析】从，，，，，六个点中任取三个不同的点构成的面积为的三角形有两类：第一类，两个中点和一个顶点构成的三角形，共有（个）；第二类，三个中点构成的三角形，共有（个），由分类加法计数原理，知面积为的三角形的个数为．故选：C．9．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）某校有5名大学生观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名大学生且至多2名大学生观看，则这5人观看比赛的方案种数为（

）A．150 B．90 C．60 D．15【答案】B【解析】将5名大学生分为1，2，2三组，共有种方法，则将这三组分配给观看冰球，速滑，花滑三场比赛，共有种方法，则这5人观看比赛的方案种数为90种，故选：B10．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）某市要建立步行15分钟的核酸采样点，现有9名采样工作人员全部分配到3个采样点，每个采样点至少分配2人，则不同的分配方法种数为（

）A．1918 B．11508 C．12708 D．18【答案】B【解析】分组方法共有，，三种情况，所以分配方法共有.故选:B.11．（2023·江西吉安·高三统考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，10月17日各代表团分组讨论党的二十大报告．某媒体5名记者到甲、乙、丙3个小组进行宣传报道，每名记者只去1个小组，每个小组最多两名记者，若记者不去甲组，则不同的安排方法共有（

）A．15种 B．30种 C．60种 D．90种【答案】C【解析】解法1：若去乙组（或丙组），且该组只安排1人，剩下4名记者按2，2分组，再分配到另两个小组，不同的安排方法共有种；若去乙组（或丙组），且该组安排2人，从4人选1人在该组，剩下3人按2，1分组，再分配到另两个小组，不同的安排方法共有种．∴不同的安排方法有．解法2：若甲组安排1人，不同的安排方法共有种；若甲组安排2人，不同的安排方法共有种．∴不同的安排方法有．故选：C．12．（2023·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）为学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分配到3个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（

）A．360种 B．240种 C．150种 D．90种【答案】C【解析】5名宣讲员分配到3个社区，每个社区至少1人，则分配方式为，或两种情况.先分组，再将分好组人员分配到3个社区有，所以不同的分配方案共有．故选：C．13．（2023·全国·高三专题练习）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（

）A．720种 B．420种 C．120种 D．15种【答案】D【解析】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书，再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为15，故选:D14．（2023·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（）A．25种

B．50种

C．300种

D．150种【答案】D【解析】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有种；②当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有种.综上，选法共有.故选:D.二、多选题15．（2023·辽宁营口·高二统考期末）某校的高一和高二年级各10个班级，从中选出五个班级参加活动，下列结论正确的是（

）A．高二六班一定参加的选法有种B．高一年级恰有2个班级的选法有种C．高一年级最多有2个班级的选法为种D．高一年级最多有2个班级的选法为种【答案】BCD【解析】对于A：高二六班一定参加的选法有种，故A错误；对于B：高一年级恰有2个班级的选法有种，故B正确；对于C与D：从两个年级中选出五个班级参加活动共有种，其中若高一年级0个，高二年级5个，有种，其中若高一年级1个，高二年级4个，有种，其中若高一年级2个，高二年级3个，有种，其中若高一年级3个，高二年级2个，有种，其中若高一年级4个，高二年级1个，有种，其中若高一年级5个，高二年级0个，有种，则，则，而高一年级最多有2个班级的选法为种，故C与D都正确；故选：BCD.16．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考开学考试）在10件产品中，有两件次品，从中任取3件，则下列结论错误的有（

）A．“其中恰有2件次品”的抽法有8种B．“其中恰有1件次品”的抽法有28种C．“其中没有次品”的抽法有56种D．“其中至少有1件次品”的抽法有56种【答案】BD【解析】抽到的3件产品中恰好有2件次品的抽法有种，A选项正确；抽到的3件产品中恰好有1件次品的抽法有种，B选项错误；抽到的3件产品中没有次品的抽法有种，C选项正确；抽到的3件产品中至少有一件次品的抽法有，种，D选项错误．故选：BD三、填空题17．（2023·辽宁营口·高二统考期末）为了迎接节日，商场将相同样式的红、黄、蓝三种颜色的彩灯各3盏，串成一排悬挂，共有______种不同的悬挂方式.（用数字作答）【答案】1680【解析】商场将相同样式的红、黄、蓝三种颜色的彩灯各3盏，串成一排悬挂，先从9个位置中选3个，挂红色彩灯，有种，再从剩下的6个位置中选3个，挂黄色彩灯，有种，最后从剩下的3个位置中选3个，挂蓝色彩灯，有种，根据分步乘法计数原理，共有种，故答案为：1680.18．（2023·广东广州·统考二模）现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有__种．（用数字作答）【答案】144【解析】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，有种情况，②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，有种情况，则有种排法，故答案为：144．19．（2023·高三课时练习）展会期间，要安排位志愿者到个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排个人，剩下两个展区各安排个人，不同的安排方案共有_________种.【答案】【解析】第步，从位志愿者中，选出人，安排到甲展区提供服务，有种方法；第步，从剩下的位志愿者中，选出人，安排到乙展区提供服务，有种方法；第步，从剩下的位志愿者中，选出人，安排到第个展区提供服务，有种方法；第步，将剩下的位志愿者安排到第个展区提供服务，有种方法，∴不同的安排方案共有种.故答案为：.20．（2023·高三课时练习）将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只能填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有_________种.【答案】576【解析】福字有16种填写方法，禄字有9种填写方法，寿字有4种填写方法，所以不同的填写方法有种，故答案为：57621．（2023·全国·模拟预测）由数字组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个.【答案】【解析】能被整除的三位数说明末尾数字是或当末尾数字是时，百位数字除了有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法；当末尾数字是时，百位数字有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法；则一共有种故答案为：22．（2023·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）有8名歌舞演员，其中6名会唱歌，5名会跳舞，从中选出3人，并指派1人唱歌，另2人跳舞，则不同的选派方法有__________种．【答案】48【解析】因为有8名歌舞演员，其中6名会唱歌，5名会跳舞，所以既会唱歌又会跳舞的有人，所以只会唱歌的有人，只会跳舞的有人从只会唱歌的里选人去唱歌有种方法，从剩下会跳舞的5人中选人跳舞有种所以此种情况有种；从既会唱歌又会跳舞的人选1人去唱歌有种方法，从剩下会跳舞的4人中选人跳舞有种，所以此种情况有种；综上不同的选派方法有种.故答案为：4823．（2023·高二课时练习）有4名男生3名女生共七人排成一排照相，要求3名女生各不相邻的排法有______种．【答案】1440【解析】先排男生有种排法，把3名女生插入4名男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，所以有种排法.故答案为：144024．（2023·高二课时练习）有四位学生参加三项竞赛，要求每项竞赛只需其中一位学生参加，有______种参赛情况．【答案】64【解析】根据题意，每一项竞赛都有4位同学可以选择，故有种参赛情况.故答案为：25．（2023·高二课时练习）A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有______种．【答案】24【解析】根据题意，A、B必须相邻且B在A的右边，视A、B为一个元素，且只有一种排法；将A、B与其他3个元素，共4个元素全排列，有种排法，则符合条件的排法有1×24=24种；故答案为：24．26．（2023·江西上饶·高二统考期末）共6人站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么6人的排列方法种数共有______种（请用数字作答）.【答案】【解析】必须相邻且在的右边,可将捆绑在一起并且不用排序，则6人的排列方法种数共有种.故答案为：.27．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）3名女生和2名男生站成一排照相，若每名男生至少与1名女生相邻，则共有_________种站法【答案】96【解析】由题意排除两名男生相邻且排在两端即得结果，排法数为．故答案为：96.28．（2023·全国·高三对口高考）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1296【解析】若取出的数字中不含零，则有四位数个；若取出的数字中含零，则有四位数个；所以，这样的四位数有个．故答案为：1296．29．（2023·陕西西安·校考模拟预测）某重点高中选派3名男教师和2名女教师去支教，将5人分配到3所学校每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为________种.【答案】【解析】两名女教师分到同一所学校，当学校的人数分组为时，其中3人组中2位女教师1位男教师，则方法数有种.当学校的人数分组为时，其中2位女教师、2位男教师各成一组，则方法数有种.所以共有种故答案为：30．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）把6本不同的书分给甲乙丙丁4个人，每人至少得一本，则不同的分配方法___________.【答案】【解析】若有一人3本，三人1本，有种分配方法；若有两人2本，两人1本，有种分配方法；则共有种分配方法.故答案为：31．（2023·高三课时练习）某市拟成立一个由6名中学生组成的调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的4所实验中学，要求每所实验中学都有学生参加，那么不同的名额分配方法的种数是_________.【答案】10【解析】将6个名额排成一排，6个名额之间有5个空，用3块隔板插入到这5个空中，每一种插空方法就是一种名额分配方法，共有种分配方法.故答案为：.32．（2023·山东滨州·高三统考期末）10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有______种【答案】420【解析】先从7个人中选2人调整到前排有种选法，调整后前排有5个人，把2人在5个位置选2个进行排列由种站法，其他3人的相对顺序不变站到剩余3个位置，按照乘法计数原理得总共有种方法.故答案为：420四、解答题33．（2023·高二课时练习）用0、1、2，3、4、5组成无重复数字的四位数，求分别满足下列条件的四位数的个数．(1)能被25整除的数；(2)十位数字比个位数字大的数．【解析】（1）能被25整除的四位数的末两位数字只能为25或50两种，末尾为50的四位数有个，末尾为25的有个，所以一共有（个）．（2）用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的四位数，一共有（个）．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数字比个位数字大的数有（个）．34．（2023·高二课时练习）将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．(1)四个小球不同，每个盒子各放一个；(2)四个小球相同，每个盒子各放一个；(3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；(4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．【解析】（1）四个小球不同，每个盒子各放一个，属于全排列问题，则不同的放法有种；（2）四个小球相同，每个盒子各放一个，每个小球放入任何一个盒子，都为同1种情况，故不同的放法有1种；（3）四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，先将四个不同的小球分为3组，有种情况，选出一个空盒，有种情况，再将分好的3组小球，