2024福建省宁德市高三下学期5月质量检测三模数学试题及答案

2024届福建省宁德市普通高中毕业班五月质量检测数学试题注意事项:1.答题前,学生务必在练习卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名。学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本练习卷上无效。3.答题结束后,学生必须将练习卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.样本数据2,2,3,3,3,4,4,5,5,6的中位数和众数分别为A.3和3B.3.5和3C.4和3D.3.5和2,3,4,52.已知集合A2,0,2,4},B{xx}.若ABA,则m的取值范围是A.)B.)C.)D.)3.设,n表示两条不同的直线,表示平面,则以下结论正确的是A.若m/,n/,则m//nC.若m/,mn,则nB.若m,mn,则n/D.若m,n,则mn1:命题q:aa1,则p是q的74.记T为等比数列a的前n项积.设命题p:Tnn126A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.2024海峓两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕.海峡两岸各民族同胞齐聚于此,与当地群众共同欢庆“三月三”,畅叙两岸情.在活动现场,为了解不同时段的入口游客人流量,从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量,以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据i,yt,其中i4,5,y为第i次入口人流量数据(单位:百人),由此得到y关iˆ于i的回归方程ˆb(i5.已知y9,根据回归方程(参考数据:31.6,log52.3),可顶测222下午4点时入口游客的人流量为A.9.6B.11.0C.11.4D.12.06.已知圆台OO的上底半径为3,下底半径为6,母线长为6,则以下结论错误的是12A.圆台侧面积为C.圆台的体积为126B.圆台外接球的半径为6D.圆台侧面上的点到下底圆心2的最短距离为33x4y的焦点为F,Ax,y,Bx,y是抛物线上的两个动点.若227.已知抛物线1122|AB,则的最大值为yy2212A.B.C.D.4324x8.函数f(x),若关于x的不等式[f(x)]af(x)0(aR)有且仅有三个整数解,则a的取值范围是2x25ln2ln525ln2ln535ln3ln55ln5A.,B.,C.,D.e,二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知z,z是两个复数,下列结论中正确的是12A.若zz,则zzRB.若zz为实数,则zz121212121为实数D.若1为实数,则z,z均为纯虚数zC.若z,z均为纯虚数,则1212z2z23cosx.若存在aR,使得f(xa)为奇函数,则实数的值可以是10.函数f(x)(x2)A.B.C.D.42411.若定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)f(x)f(y),且值域为[),则以下结论正确的是A.f(0)1B.f(0C.f(x)为偶函数D.f(x)的图象关于中心对称三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.112.已知e,e是两个单位向量,若e在e上的投影向量为e,则e与ee的夹角为______________.12122112213.中国古代历法是中国劳动人民智慧的结晶,《尚书·尧典》记载“期三百有六旬有六日,以闰月定四时成岁”,指出闰年有366天.元代郭守敬创造了中国古代最精密的历法——《授时历》,规定一年为365.2425天,和现行公历格里高利历是一样的,但比它早了300多年.现行公历闰年是如下确定的:①能被4整除,但不能被100整除;②能被400整除,满足以上两个条件之一的年份均为闰年,则公元1110年,距上一个闰年的年数为_____.yexa和圆x2y2有2个交点,则实数a的取值范围是_____________.214.已知曲线四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在中,角,B,C的对边分别为a,b,c.已知a2c92acB,且B3sinAsinC.2(1)若BDAC,垂足为D,求BD的长;(2)若3,求ac的长.16.(15分)3.将沿AC翻折到的位置,使得在平行四边形ABCD中,D60,ACPD5.(1)证明;CD平面APC;23913|AM||MD|(2)在线段AD上是否存在点M,使得二面角MPCA的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.17.(15分))f(x)axex1(aR的图象在x0处的切线过点(2).已知函数(1)求f(x)在[0,]上的最小值;(2)判断f(x)在,0内零点的个数,并说明理由.318.(17分)桌上有除颜色外其他没有任何区别的7个黑球和7个白球,现将3个黑球和4个白球装入不透明的袋中.第一次从袋中任取一个球,若取出的是黑球则放入一个白球,若取出的是白球则放入一个黑球,本次操作完成.第二次起每次取球、放球的规则和第一次相同.(1)求第2次取出黑球的概率;(2)记操作完成n次后袋中黑球的个数为变量Xn.;(i)求X的概率分布列及数学期望EX22.(ii)求X的数学期望EXnn19.(17分)坐标平面上的点P(x,y)也可表示为P(rcos,rsin),其中r|OP|,为x轴非负半轴绕原点O逆时针旋转到与OP重合的旋转角.将点P绕原点O逆时针旋转后得到点Px,y,这个过程称之为旋转变换.xxcosysin,(1)证明旋转变换公式:并利用该公式,求点P(3,0)绕原点O逆时针旋转后的点yxsinycos,4P的坐标;(2)旋转变换建立了平面上的每个点P到P的对应关系.利用旋转变换,可将曲线通过旋转转化为我们熟悉的曲线进行研究.33(i)求将曲线C:yx绕原点O顺时针旋转后得到的曲线方程,并求该曲线的离心率;32x666:5x25y26xy8,点F,,直线AB交曲线于A,B两点,作的外角平分(ii)已知曲线22线交直线AB于点M,求|FM|的最小值.2024届宁德市普通高中毕业班五月份质量检查数学试题参考答案及评分标准说明：1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则．2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4.解答题只给整数分数，填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分40分．1．B2．D3．D4．B5．B6．C7．C8．A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．AC10．BD11．ABC11.解法一：对于选项A,令xy0,得f(0)f(0)f(0),所以f(0)0或f(0)1.2令y0,得f(0)f(x)f(0)f(x)f(0),由f(x)的值域为[),所以当f(0)0时,得f(x)0,不合题意,所以f(0)1.A正确.对于选项B,令xy1,得ff2f,所以f0或f1.2令y1,得f(x)f(x)ff(x)f,得ff(x)0，因为f(x)的值域为[),所以f0.令xy1,得ff(2f(0,所以f(0或f(2.2因为值域为[),所以f(C正确.对于选项C,令y1,得f(x)f(x)f(f(x)f(,因为f(0,则f(x)f(x),所以函数f(x)为偶函数,图像关于x0对称,C正确.对于选项D,由值域[)和偶函数,D错误.选ABC.解法二:由f(xy)f(x)f(y)f(x)f(y),则f(xy)1f(x)f(y)f(x)f(y)1,得f(xy)1[f(x)f(y),设g(x)f(x)1,得g(xy)g(x)g(y),可设g(x)x(为正偶数),f(x)x1,f(x)x1,可判断ABC正确,D错误.选ABC.2不妨设三、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分20分.12.13.514.(3四、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15.本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性．满分13分．解:(1)由a2c292acB及余弦定理,得b2ac222acBb3.…………...2分由B3sinAsinC及正弦定理,得basinC,.…………...4分11因为的面积SbBDabsinC223所以BDasinC3.…………………….6分3(2)由BABC3得acABC3①,.……………………7分11因为SABCacsinABC33,22所以acsinABC33,②……………8分由①②得tanABC3,………9分又ABC(0,),故ABC,.………………10分31从而aca2c292615.……….11分2得(ac)a22c22ac27,………………12分所以ac33.……………….13分16.本小题主要考查空间解三角形、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,空间角的计算等基础知识,考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等,考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养,体现基础性与综合性.满分15分.3,1,解:(1)证明:翻折前,因为四边形ABCD为平行四边形,D60,ACCD31在三角形ACD中,由正弦定理可得,,….1分sinsinCADsin60sinCAD1sinCAD,又AC,故CAD30..……………………2分2所以ACD90,即AC,.…………3分因为PD5,PC1,所以PC2PD2,则有PC...………………5分2PCACC,AC,PC平面APC,所以CD平面APC,.…………6分(2)由(1)CD⊥平面APC,且平面ADC,所以平面ADC平面APC.在平行四边形ABCD中,BAAC,即PAAC,故平面ADC...………………7分以点C为坐标原点,CDCA的方向分别为、、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),D(1,0,0),P(0,(0,3,0),…………………8分设AMAD3,0)(,,0)，其中„„1，则AM(0,3,0)(,,0)(,3,0),(0,,.……………9分设平面MCP的法向量为m(x,y,z),m3yz0,x3(,则,取y,则zmx(3)y0所以,m(3(,),………11分易知平面CPA的一个法向量为n0),………………12分|mn||m||n||3(|23913则|m,,整理可得210,222321因为„„1,解得,………………………14分5因此,线段PC上存在点M,使二面角MABC的余弦值为239,且|AM||MD|14.…………15分1317.本小题主要考查导数及其应用、函数的零点和不等式等基础知识,考查逻辑推理能力、运算求解能力等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想,考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养,体现基础性与综合性.满分15分.f(x)asinxex1,f(0)e,..…………2分解法一:(1)又f(0)ae,所以切线方程为yexea，..……3分又切线过点(2),得2eea,所以a2..…………4分f(x)2cosxex1,f(x)2sinxex1,所以当x[0,]时,f(x)0,所以f(x)在]上单调递减,……6分所以f(x)的最小值为f)21.………7分(2)判断f(x)在,0零点个数,等价于判断方程2xex1根的个数,32x等价于判断方程1根的个数.………8分x1e2cosx,x令g(x),0x13e2sinx2cosx4g(x),令g(x)0,则sinx0,得x..……10分x14e当x,时,g(x)g(x)在,单调递增;343444当x,0时,g(x)g(x)在,0单调递减.……12分1ge23gg(0)1,23ee3e34431(或g2e2111.41)44所以x,0时,方程g(x)1有2根,3所以f(x)在,0有2个零点..……………….15分3f(x)asinxex1,f(0)e，……………….2分解法二:(1)所以切线方程为yexe2,………….3分因此切点为(0,2e),得2eae,所以a2,.………….4分f(x)2cosxex1,f(x)2sinxex1,所以当x[0,]时,f(x)0,所以f(x)在]上单调递减,…………6分所以f(x)的最小值为f)21…………………….7分f(x)2cosxex1,f(x)2sinxex1,………………….8分(2)由(1)得(x)2xex1在令h(x)2sinxex1,则h,0上为减函数,…………….9分322h1ehe0,323所以在,上h(x)必有一个零点x,使得hx0,…………10分0032从而当x,x时,h(x)0,当xx,0时,h(x)0,003所以h(x)在,x上单调递增,在x,0上单调递减..…………11分003h2e2又h3eh(0)e0,…………12分32322所以在,0上h(x)必有一个零点x,使得hx0.……………12分11当x,x时,h(x)0,即f(x)0,此时f(x)单调递增;13当x1,0时,h(x)0,即f(x)0,此时f(x)单调递减..………………13分2fef1e2又因为f1ef(0)2e0,323323233所以f(x)在,上有一个零点,在,0上有一个零点.……….14分综上,f(x)在,0有且只有2个零点.………………….15分318.本小题主要考查全概率公式、概率的分布列及期望、递推数列及等比数列等基础知识,考查数学建模能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查或然与必然思想、化归与转化思想,考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析和数学运算等核心素养,体现基础性、综合性与创新性.满分17分.(1)记第i次取出的球是黑球为事件i,iN*,,………………1分1A2则A1A22根据全概率公式得分分P2PAP∣APAPA1211213244777761622分494949所以第2次取出黑球的概率为22.49(2)(i)由题知得X2的可能取值为:1,3,5………………….5分32则P(X77496354431;P(X7777494312;P(X7749;………………8分故X2的分布列为:135XP26314912491215949631所以EX135.…………….9分249494949(ii)设第n1次完成操作后袋中黑球数为k(k,7)则7k7k7(kPXkn1EX(kn7k075k71PXkn1k075k77PXkPXkn1n1k0k05……13分EXn17(也可以按如下方法得出递推关系:EXEXEXn1n11n1EX11EXnn1775EX1.n17(若通过特殊性入手得出递推关系得２分)575772n1即EXEX1,由此得EXEX,………………15分nn1n72712又因为EXEX,…………………16分002nn715271572所以EX,即EX.…………………17分27nn219.本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、双曲线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查逻辑推理能力、运算求解能力和创新能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养,体现基础性、综合性与创新性,满分17分.(1)证明：设Px,y,由题意可知x||)rcoscosrsinsinxcosysin,y||)rsincosrcossinxsinycos,xxcosysin,所以..……………………2分yxsinycos.故当x3,y0,且时,4446x3,662所以P,..………….4分22y3sin6.2(2)(i)设曲线C上的任一点P(x,y)绕原点O顺时针旋转后得到的点为Px,y,可视为Px,y绕原点6O逆时针旋转后得到的点P(x,y),666663123xxysinxy,2所以..……