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文档简介
山东省济南市回民中学高三下第七次模拟新高考数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,平面ABCD,ABCD为正方形,且,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为()A. B. C. D.2.若,则,,,的大小关系为()A. B.C. D.3.如图,圆的半径为,,是圆上的定点,,是圆上的动点,点关于直线的对称点为,角的始边为射线,终边为射线,将表示为的函数,则在上的图像大致为()A. B. C. D.4.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为A. B.C. D.5.若x,y满足约束条件且的最大值为,则a的取值范围是()A. B. C. D.6.设正项等差数列的前项和为,且满足,则的最小值为A.8 B.16 C.24 D.367.已知集合的所有三个元素的子集记为.记为集合中的最大元素,则()A. B. C. D.8.已知抛物线:的焦点为,过点的直线交抛物线于,两点,其中点在第一象限,若弦的长为,则()A.2或 B.3或 C.4或 D.5或9.若函数()的图象过点,则()A.函数的值域是 B.点是的一个对称中心C.函数的最小正周期是 D.直线是的一条对称轴10.已知函数的图像向右平移个单位长度后,得到的图像关于轴对称,,当取得最小值时,函数的解析式为()A. B.C. D.11.已知数列中,,且当为奇数时,;当为偶数时,.则此数列的前项的和为()A. B. C. D.12.数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数若关于的不等式的解集是,则的值为_____.14.在中,角,,的对边分别为,,,若,且,则面积的最大值为________.15.已知集合,,则____________.16.在直角三角形中,为直角,,点在线段上,且,若,则的正切值为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆经过点,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线交椭圆于、两点,若,在线段上取点,使,求证:点在定直线上.18.(12分)已知函数.(1)当时,解关于x的不等式;(2)当时,若对任意实数,都成立,求实数的取值范围.19.(12分)小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天,每名员工休假的概率都是,且是否休假互不影响,若一家店铺的员工全部休假,而另一家无人休假,则调剂1人到该店维持营业,否则该店就停业.(1)求发生调剂现象的概率;(2)设营业店铺数为X,求X的分布列和数学期望.20.(12分)在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,角为钝角,(1)求的值;(2)求边的长.21.(12分)已知.(1)求不等式的解集;(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围22.(10分)已知函数.(Ⅰ)求在点处的切线方程;(Ⅱ)求证:在上存在唯一的极大值;(Ⅲ)直接写出函数在上的零点个数.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值.【详解】由题可知,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设.则.故异面直线EF与BD所成角的余弦值为.故选:C【点睛】本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2、D【解析】因为,所以,因为,,所以,.综上;故选D.3、B【解析】
根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域,即可排除错误选项,得到函数图象,即可求解.【详解】由题意,当时,P与A重合,则与B重合,所以,故排除C,D选项;当时,,由图象可知选B.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.4、D【解析】分析:根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解.详解:因为每一个单音与前一个单音频率比为,所以,又,则故选D.点睛:此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种:(1)定义法,若()或(),数列是等比数列;(2)等比中项公式法,若数列中,且(),则数列是等比数列.5、A【解析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的最值,判断a的范围即可.【详解】作出约束条件表示的可行域,如图所示.因为的最大值为,所以在点处取得最大值,则,即.故选:A【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.6、B【解析】
方法一:由题意得,根据等差数列的性质,得成等差数列,设,则,,则,当且仅当时等号成立,从而的最小值为16,故选B.方法二:设正项等差数列的公差为d,由等差数列的前项和公式及,化简可得,即,则,当且仅当,即时等号成立,从而的最小值为16,故选B.7、B【解析】
分类讨论,分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数,即可得解.【详解】集合含有个元素的子集共有,所以.在集合中:最大元素为的集合有个;最大元素为的集合有;最大元素为的集合有;最大元素为的集合有;所以.故选:.【点睛】此题考查集合相关的新定义问题,其本质在于弄清计数原理,分类讨论,分别求解.8、C【解析】
先根据弦长求出直线的斜率,再利用抛物线定义可求出.【详解】设直线的倾斜角为,则,所以,,即,所以直线的方程为.当直线的方程为,联立,解得和,所以;同理,当直线的方程为.,综上,或.选C.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系,弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时,一般考虑抛物线的定义.9、A【解析】
根据函数的图像过点,求出,可得,再利用余弦函数的图像与性质,得出结论.【详解】由函数()的图象过点,可得,即,,,故,对于A,由,则,故A正确;对于B,当时,,故B错误;对于C,,故C错误;对于D,当时,,故D错误;故选:A【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质,需熟记性质与公式,属于基础题.10、A【解析】
先求出平移后的函数解析式,结合图像的对称性和得到A和.【详解】因为关于轴对称,所以,所以,的最小值是.,则,所以.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x的系数和平移量之间的关系.11、A【解析】
根据分组求和法,利用等差数列的前项和公式求出前项的奇数项的和,利用等比数列的前项和公式求出前项的偶数项的和,进而可求解.【详解】当为奇数时,,则数列奇数项是以为首项,以为公差的等差数列,当为偶数时,,则数列中每个偶数项加是以为首项,以为公比的等比数列.所以.故选:A【点睛】本题考查了数列分组求和、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式,需熟记公式,属于基础题.12、D【解析】
利用等差数列通项公式推导出λ,由d∈[1,2],能求出实数λ取最大值.【详解】∵数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,∴1+3d+λ(1+9d)+1+15d=15,解得λ,∵d∈[1,2],λ2是减函数,∴d=1时,实数λ取最大值为λ.故选D.【点睛】本题考查实数值的最大值的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据题意可知的两根为,再根据解集的区间端点得出参数的关系,再求解即可.【详解】解:因为函数,关于的不等式的解集是的两根为:和;所以有:且;且;;故答案为:【点睛】本题主要考查了不等式的解集与参数之间的关系,属于基础题.14、【解析】
利用正弦定理将角化边得到,再由余弦定理得到,根据同角三角函数的基本关系表示出,最后利用面积公式得到,由基本不等式求出的取值范围,即可得到面积的最值;【详解】解:∵在中,,∴,∴,∴,∴.∵,即,当且仅当时等号成立,∴,∴面积的最大值为.故答案为:【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形,三角形面积公式的应用,以及基本不等式的应用,属于中档题.15、【解析】
由于,,则.16、3【解析】
在直角三角形中设,,,利用两角差的正切公式求解.【详解】设,,则,故.故答案为:3【点睛】此题考查在直角三角形中求角的正切值,关键在于合理构造角的和差关系,其本质是利用两角差的正切公式求解.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析.【解析】
(1)根据题意得出关于、、的方程组,解出、的值,进而可得出椭圆的标准方程;(2)设点、、,设直线的方程为,将该直线的方程与椭圆的方程联立,并列出韦达定理,由向量的坐标运算可求得点的坐标表达式,并代入韦达定理,消去,可得出点的横坐标,进而可得出结论.【详解】(1)由题意得,解得,.所以椭圆的方程是;(2)设直线的方程为,、、,由,得.,则有,,由,得,由,可得,,,综上,点在定直线上.【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了点在定直线上的证明,考查计算能力与推理能力,属于中等题.18、(1)(2)【解析】
(1)当时,利用含有一个绝对值不等式的解法,求得不等式的解集.(2)对分成和两类,利用零点分段法去绝对值,将表示为分段函数的形式,求得的最小值,进而求得的取值范围.【详解】(1)当时,由得由得解:,得∴当时,关于的不等式的解集为(2)①当时,,所以在上是减函数,在是增函数,所以,由题设得,解得.②当时,同理求得.综上所述,的取值范围为.【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法,考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式,属于中档题.19、(1)(2)见解析,【解析】
(1)根据题意设出事件,列出概率,运用公式求解;(2)由题得,X的所有可能取值为,根据(1)和变量对应的事件,可得变量对应的概率,即可得分布列和期望值.【详解】(1)记2家小店分别为A,B,A店有i人休假记为事件(,1,2),B店有i人,休假记为事件(,1,2),发生调剂现象的概率为P.则,,.所以.答:发生调剂现象的概率为.(2)依题意,X的所有可能取值为0,1,2.则,,.所以X的分布表为:X012P所以.【点睛】本题是一道考查概率和期望的常考题型.20、(1)(2)【解析】
(1)由,分别求得,得到答案;(2)利用正弦定理得到,利用余弦定理解出.【详解】(1)因为角为钝角,,所以,又,所以,且,所以.(2)因为,且,所以,又,则,所以.21、(1).(2).【解析】试题分析:(Ⅰ)通过讨论x的范围,得到关于x的不等式组,解出取并集即可;(Ⅱ)求出f(x)的最大值,得到关于a的不等式,解出即可.试题解析:(1)不等式等价于或或,解得或,所以不等式的解集是;(2),,,解得实数的取值范围是.点睛:含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.22
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