2024届广东省深圳市中考冲刺模拟卷数学试题含解析

2024学年广东省深圳市平冈中学中考冲刺卷数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列运算正确的是（）

A.（a2）s=a7B.（x-1）2=x2-1

C.3a2b-3ab2=3D.a2,a4=a6

2.如图，小桥用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第

3个图案由13个黑子和6个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第8个图案中共有（）和黑子.

A.37B.42C.73D.121

3.等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（）

A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数

4.半径为R的正六边形的边心距和面积分别是（）

A.旦R,-V37?2B.-R,-A/37?2

2222

C.旦R,正收D.-R,走A?

2424

2x-a>Q

5.如果关于了的不等式组、,八的整数解仅有1=2、x=3,那么适合这个不等式组的整数。、b组成的有序

3x-b<0

数对（a/）共有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

6.按如下方法，将△ABC的三边缩小的原来的!，如图，任取一点O,连40、BO、CO,并取它们的中点。、E、F,

2

得AOEF,则下列说法正确的个数是（）

①AABC与4DEF是位似图形②AABC与^DEF是相似图形

③AABC与AOE尸的周长比为1：2④△A5C与AOE尸的面积比为4：1.

B

D.4

7.如图，AB/7CD,AD与BC相交于点O,若/人=50。101ZCOD=100°,则NC等于（)

B.29010FC.29050rD.50010r

8.下列函数中，当x>0时，y值随x值增大而减小的是（)

31

A.y=x2B.y=x-1C.y=~xD.》=一

X

9.下列长度的三条线段能组成三角形的是

A.2,3,5B.7,4,2

C.3,4,8D.3,3,4

10.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）

11.设心0是一元二次方程x2+2x-l=0的两个根，则（10的值是（）

A.2B.1C.-2D.-1

12.如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（）

32x

13.方程-----=1的解是

x~l1—x

14.已知。+8=1,那么。2一52+2万=.

15.关于x的方程ax=x+2（a^l）的解是.

22

16.已知x+j=y/39xy=76，贝!Ixy+xy的值为.

2

17.已知三个数据3,x+3,3-x的方差为则、=.

18.如图，要使AABCsaACD,需补充的条件是.（只要写出一种）

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）计算：712+（7r-l）°-6tan30°+f--^解方程：皂4+1=等平

I3J%—23x—o

20.（6分）综合与实践——折叠中的数学

在学习完特殊的平行四边形之后，某学习小组针对矩形中的折叠问题进行了研究.

问题背景：

在矩形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的动点，且BE=DF,连接EF,将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在

点C处,点D落在点D，处，射线EU与射线DA相交于点M.

猜想与证明：

（1）如图1,当EC，与线段AD交于点M时，判断△MEF的形状并证明你的结论；

操作与画图：

（2）当点M与点A重合时，请在图2中作出此时的折痕EF和折叠后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作

图痕迹，标注相应的字母）；

操作与探究：

（3）如图3,当点M在线段DA延长线上时，线段分别与AD,AB交于P,N两点时，C，E与AB交于点Q,

连接MN并延长MN交EF于点O.

求证：MOJ_EF且MO平分EF；

（4）若AB=4,AD=4百，在点E由点B运动到点C的过程中，点D，所经过的路径的长为.

21.(6分)(1)计算：也-4sin31°+(2115-n)(-3)2

⑵先化简，再求值：其中X、y满足―什⑵-y-3）M.

22.（8分）某商店准备购进甲、乙两种商品.已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价

45元.

⑴若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？

⑵若该商店准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应

该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少？（利润=售价-进价）

23.（8分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字2,3、1.

（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为;

（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转

动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）.

2（x+2）>3x

24.（10分）解不等式组：｛3x-lc，并将它的解集在数轴上表示出来•

--------->-2

2

25.（10分）如图1,图2…、图机是边长均大于2的三角形、四边形....凸”边形.分别以它们的各顶点为圆心,

以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、〃条弧.

⑴图1中3条弧的弧长的和为，图2中4条弧的弧长的和为

⑵求图机中〃条弧的弧长的和（用n表示）.

26.（12分）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高

度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m,张角NHAC为118。时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后

一位：参考数据:sin28°=0.47,cos28°=0.88,tan28°~0.53)

已知。O,请用尺规做。O的内接正四边形ABCD,（保留作图痕迹，不写做法）

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解题分析】

根据幕的乘方法则：底数不变，指数相乘；完全平方公式：（a±6）2=a2±2ab+b2；合并同类项的法则：把同类项的系数

相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数塞的乘法法则：同底数塞相乘，底数不变，指数相加分别

进行计算即可.

【题目详解】

A、（层）5=小,故原题计算错误；

B、（x-1）2=x2-2x+l,故原题计算错误；

C、3a2白和3a"不是同类项，不能合并，故原题计算错误;

D、（^•a4-a6,故原题计算正确；

故选：D.

【题目点拨】

此题主要考查了塞的乘方、完全平方公式、合并同类项和同底数塞的乘法，关键是掌握各计算法则.

2、C

【解题分析】

解：第1、2图案中黑子有1个，第3、4图案中黑子有1+2x6=13个，第5、6图案中黑子有1+2x6+4x6=37个，第7、

8图案中黑子有1+2x6+4x6+6x6=73个.故选C.

点睛：本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后

推广到一般情况.

3、B

【解题分析】

根据一次函数的定义，可得答案.

【题目详解】

设等腰三角形的底角为y,顶角为x,由题意，得

x+2y=180,

所以，y=-；x+90。，即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系，

故选B.

【题目点拨】

本题考查了实际问题与一次函数，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键.

4、A

【解题分析】

首先根据题意画出图形，易得AO8C是等边三角形，继而可得正六边形的边长为R,然后利用解直角三角形求得边心

距，又由s正六边形二6sOBC求得正六边形的面积.

【题目详解】

解：如图，。为正六边形外接圆的圆心，连接03,OC,过点。作OH,5c于H,

•；六边形ABCDEF是正六边形，半径为R,

：.ZBOC=-x360°=60°,

6

'：OB=OC=R,

•••△OBC是等边三角形,

：.BC=OB=OC=RfZOBC=60°

*：OHLBC,

CH

:,在RtOBH中,sinZOBH=sin60°=——,

OB

即也=立，

R2

：.OH=BR,即边心距为且R；

22

,/sOBC=LBCOH=LR正R=2R2,

OBC2224

S正大边形=6SOBC=6xR。=3^^R。,

0BC42

故选：A.

【题目点拨】

本题考查了正多边形和圆的知识；求得正六边形的中心角为60。，得到等边三角形是正确解答本题的关键.

5、D

【解题分析】

nh

求出不等式组的解集，根据已知求出1<—W2、3<-<4,求出2<aW4、9<b<12,即可得出答案.

23

【题目详解】

解不等式2x-aK）,得：x>-,

2

b

解不等式3x-bW0,得：x<-,

3

•••不等式组的整数解仅有x=2、x=3,

则1<巴42、3<-<4,

23

解得：2<a<4>9<b<12,

则a=3时，b=9、10、11；

当a=4时，b=9、10、11；

所以适合这个不等式组的整数a、b组成的有序数对（a,b）共有6个，

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，有序实数对的应用，解此题的根据是求出a、b的值.

6^C

【解题分析】

根据位似图形的性质，得出①4ABC与ADEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出②^ABC与4DEF

是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案.

【题目详解】

解：根据位似性质得出①4ABC与ADEF是位似图形，

②4ABC与ADEF是相似图形，

•.•将AABC的三边缩小的原来的

2

.'△ABC与ADEF的周长比为2：1,

故③选项错误，

根据面积比等于相似比的平方，

...④Z\ABC与ADEF的面积比为4：1.

故选C.

【题目点拨】

此题主要考查了位似图形的性质，中等难度,熟悉位似图形的性质是解决问题的关键.

7、C

【解题分析】

根据平行线性质求出N。，根据三角形的内角和定理得出NC=180"N»NC。。，代入求出即可.

【题目详解】

,JAB//CD,

:.ZD=ZA=5d°W,

VZCOD=lOO0,

:.ZC=180°-ZZ>-ZCO£>=29°50,.

故选c.

【题目点拨】

本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质的应用，关键是求出N。的度数和得出NC=180O-ND-NC。。.应该掌

握的是三角形的内角和为180°.

8、D

【解题分析】

A、、；y=x2,.•.对称轴x=0,当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧，y随着x的增大而减

小，故此选项错误

B、k>0,y随x增大而增大，故此选项错误

C、B、k>0,y随x增大而增大，故此选项错误

D、y=-（x>0）,反比例函数，k>0,故在第一象限内y随x的增大而减小，故此选项正确

x

9、D

【解题分析】

试题解析：A.---3+2=5,：.2,3,5不能组成三角形，故A错误；

B.V4+2<7,：.7,4,2不能组成三角形，故B错误；

C.V4+3<8,.*.3,4,8不能组成三角形，故C错误；

D.V3+3>4,.*.3,3,4能组成三角形,故D正确；

故选D.

10、D

【解题分析】

分析：先根据多边形的内角和公式（"-2）・180。求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，

并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360。求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减

去3即可得解.

详解：•••五边形的内角和为（5-2）・180。=540。，.•.正五边形的每一个内角为540。+5=18。，如图，延长正五边形的两

边相交于点。，则Nl=360。-18改3=360。-324。=36。，360。+36。=1....已经有3个五边形，：.1-3=7,即完成这一圆

环还需7个五边形.

故选D.

点睛：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意

需要减去已有的3个正五边形.

11、D

【解题分析】

试题分析：•.'a、口是一元二次方程/+2x-/=0的两个根，，a0=T=-l,故选D.

考点：根与系数的关系.

12、C

【解题分析】

看到的棱用实线体现.故选C.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、x=-4

【解题分析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【题目详解】

去分母得：3+2x=x-1,

解得：x=-4,

经检验x=-4是分式方程的解.

【题目点拨】

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

14、1

【解题分析】

解：*.'a+b=l,

二原式=(a+〃)(a+2Z?=(a+2Z?=a+26=a+〃=1.

故答案为L

【题目点拨】

本题考查的是平方差公式的灵活运用.

【解题分析】

分析：依据等式的基本性质依次移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案.

2

详解：移项，得：ax-x=l,合并同类项，得：(«-1)x=l.Va^l*.a-1^0,方程两边都除以a-1,得：x=------.故

9a—1

2

答案为-

a—1

点睛：本题主要考查解一元一次方程的能力，熟练掌握等式的基本性质及解一元一次方程的基本步骤是解题的关键.

16、30

【解题分析】

分析：因式分解，把已知整体代入求解.

详解：x2j+xj2=xj(x+y)=76x73=372.

点睛：因式分解的方法：(1)提取公因式法仍+nzc=zra(a+%+c).

(2)公式法:完全平方公式，平方差公式.

(3)十字相乘法.

因式分解的时候，要注意整体换元法的灵活应用，训练将一个式子看做一个整体，利用上述方法因式分解的能力.

17、±1

【解题分析】

先由平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再代入方差公式进行计算，即可求出x的值.

【题目详解】

解：这三个数的平均数是：(3+x+3+3-x)+3=3,

1?

则方差是：-[(3-3)2+(x+3-3)2+(3-x-3)2]=~,

33

解得：x=±l；

故答案为：士1.

【题目点拨】

本题考查方差的定义：一般地设n个数据，XI,X2,…Xn的平均数为元，则方差S2=^[(X1收)2+(X2收/+…+(xn每)

n

叽它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.

18、NACD=NB或NADC=NACB或AD：AC=AC：AB

【解题分析】

试题分析：VZDAC=ZCAB

...当NACD=NB或NADC=NACB或AD：AC=AC：AB时,△ABCs/\ACD.故答案为NACD=NB或NADC=NACB

或AD：AC=AC：AB.

考点：1.相似三角形的判定；2.开放型.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)10;⑵原方程无解.

【解题分析】

(1)原式利用二次根式性质，零指数塞、负整数指数塞法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；

(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【题目详解】

(1)原式=2石+1—6x且+9=10;

3

(2)去分母得：3(5x-4)+3x-6=4x+10,

解得：x=2,

经检验：x=2是增根，原方程无解.

【题目点拨】

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

20、(1)AMEF是等腰三角形(2)见解析(3)证明见解析(4)与万

【解题分析】

(1)由AD〃BC,可得NMFE=NCEF,由折叠可得，NMEF=NCEF,依据NMFE=NMEF,即可得到ME=

MF,进而得出△MEF是等腰三角形；

(2)作AC的垂直平分线，即可得到折痕EF,依据轴对称的性质，即可得到D，的位置；

(3)依据△BEQ四△D'FP,可得PF=QE,依据△NC'P^4NAP,可得AN=C'N,依据RtAMC'NgRtAMAN,

可得NAMN=NCMN,进而得到△MEF是等腰三角形，依据三线合一，即可得到MOJ_EF且MO平分EF；

(4)依据点D，所经过的路径是以O为圆心，4为半径，圆心角为240。的扇形的弧，即可得到点D，所经过的路径的长.

【题目详解】

(1)AMEF是等腰三角形.

理由：•••四边形ABCD是矩形，

；.AD〃BC,

:.ZMFE=ZCEF,

由折叠可得，NMEF=NCEF,

NMFE=NMEF,

/.ME=MF,

.,.△MEF是等腰三角形.

(2)折痕EF和折叠后的图形如图所示:

VFD=BE,

由折叠可得，D'F=DF,

/.BE=D'F,

在4NC'Q和4NAP中，NCNQ=N,ANP,ZNC'Q=ZNAP=90°,

.\ZC'QN=ZAPN,

,.•ZC'QN=ZBQE,ZAPN=ZD'PF,

/.ZBQE=ZD'PF,

在ABEQ^UADTP中，

ZBQE=ZDPF

[BE=D'F,

AP=C'Q

.,.△BEQ^AD'FP(AAS),

；.PF=QE,

•••四边形ABCD是矩形，

，AD=BC,

AAD-FD=BC-BE,

,\AF=CE,

由折叠可得，C'E=EC,

.,.AF=C'E,

.".AP=C'Q,

在4NCQ和ANAP中，

ZC'NQ=ZANP

{ZNC'Q=/NAP,

AP=C'Q

/.△NC'P^ANAP(AAS),

.*.AN=C'N,

在RtAMC'N和RtAMAN中，

MN=MN

'AN=C'N'

/.RtAMC'N^RtAMAN(HL),

二ZAMN=ZC'MN,

由折叠可得，ZC'EF=ZCEF,

•••四边形ABCD是矩形，

；.AD〃BC,

.\ZAFE=ZFEC,

.,.ZC'EF=ZAFE,

.\ME=MF,

.-.△MEF是等腰三角形，

AMOIEF且MO平分EF；

(4)在点E由点B运动到点C的过程中，点D，所经过的路径是以O为圆心，4为半径，圆心角为240。的扇形的弧,

如图：

240XTTX416

故其长为L=-------...71.

1803

故答案为学力.

3

【题目点拨】

此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、弧长计算公式，等腰三角形的判定与性质以及全等

三角形的判定与性质的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定定理和性质定理是解本题的关键.

y1

21、⑴・7；⑵-----

x+y3

【解题分析】

（1）原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数塞法则计算，最

后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果;

（2）原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，利用非

负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值.

【题目详解】

-1

⑴原式=3-4x—+l-9=-7；

2

x—y(x+2»,x+2yx+y-x-lyy

⑵原式=1-=]-----=-----------=-

x+2y(x+y)(x-y)x+yx+yx+y

•.•|x-2|+(2x-y-3)2=l,

・・、x—2=0,

2x-y=3

解得：x=2,y=l,

当x=2,y=l时，原式=-；.

y

故答案为(1)・7；(2)---------

x+y3

【题目点拨】

本题考查了实数的运算、非负数的性质与分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握实数的运算、非负数的性质与分

式的化简求值的运用.

22、（1）商店购进甲种商品40件，购进乙种商品60件；（2）应购进甲种商品20件，乙种商品80件，才能使总利润

最大，最大利润为900元.

【解题分析】

（1）设购进甲、乙两种商品分别为x件与y件，根据甲种商品件数+乙种商品件数=100,甲商品的总进价+乙种商品

的总进价=2700,列出关于x与y的方程组，求出方程组的解即可得到x与y的值，得到购进甲、乙两种商品的件数；

（2）设商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品（100-a）件，根据甲商品的总进价+乙种商品的总进价小于等于3100,

甲商品的总利润+乙商品的总利润大于等于890列出关于a的不等式组，求出不等式组的解集，得到a的取值范围，根

据a为正整数得出a的值，再表示总利润W,发现W与a成一次函数关系式，且为减函数，故a取最小值时，W最

大，即可求出所求的进货方案与最大利润.

【题目详解】

⑴设购进甲种商品x件，购进乙商品y件，

根据题意得：

x+y=100

15x+35y=2700'

-40

解得：<

y=60

答：商店购进甲种商品40件，购进乙种商品60件；

⑵设商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品（100-a）件，

根据题意列得：

15«+35（100-«）<3100

<5a+10（100-a）>890'

解得：20<a<22,

:总利润W=5a+10（100-a）=-5a+1000,W是关于a的一次函数,W随a的增大而减小，

.,.当a=20时，W有最大值，此时W=900,且100-20=80,

答：应购进甲种商品20件，乙种商品80件，才能使总利润最大，最大利润为900元.

【题目点拨】

此题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质，以及一元一次不等式组的应用，弄清题中的等量关系及不等关

系是解本题的关键.

21

23、（1）-；（2）这两个数字之和是3的倍数的概率为

33

【解题分析】

（1）在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，根据概率公式可得；（2）用列表法列出所有情况，

再计算概率.

【题目详解】

解：（1）•••在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，

2

•••指针所指扇形中的数字是奇数的概率为1,

2

故答案为；；

3

(2)列表如下：

123

1(1,1)(2,1)(3,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)

由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，

所以这两个数字之和是3的倍数的概率为'3.1

93

【题目点拨】

本题考核知识点：求概率.解题关键点：列出所有情况，熟记概率公式