云南省昆明市西山区2024届中考考前最后一卷数学试卷含解析

云南省昆明市西山区重点达标名校2024年中考考前最后一卷数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0・5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.已知直线y=ax+b（a#））经过第一，二，四象限，那么直线y=bx.a一定不经过（）

A.第一象跟

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.若代数式一!二十«有意义，则实数X的取值范围是（）

x-1

A.B.x>0C.x¥0D.xX）且xrl

3.将抛物线）=产-*+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）

A.y=x2+3x+6B.y=x2+3xC.y=x2-5x+10D.y=^-5x+4

4.化简J语的结果是（）

A.±4B.4C.2D.±2

5.如图，矩形ABCD的边AB=1,BE平分NABC,交AD于点E,若点E是AD的中点，以点B为圆心,

则图中阴影部分的面积是（）

6.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c（a/））的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A.a<0,bVO,c>0

b

B.-------=1

2a

C.a+b+c<0

D.关于x的方程ax2+bx+c=-l有两个不相等的实数根

7.若二次函数》二/一2工+机的图像与x轴有两个交点，则实数机的取值范围是（）

A.m>1B.m£1C.m>\D.m<\

8.如图，点A,B,C在。O上，ZACB=30°,。。的半径为6,则A8的长等于（）

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2,0）,B（0,2）,（DC的圆心为点C（-1,0）,半径为1.若D是。C上

的一个动点，线段DA与y轴交于E点，则△ABE面积的最小值是（）

VC>101A^x

8~0©

A.2B.-C.2+7D.2-7

10.下列说法中，正确的是（）

A.不可能事件发生的概率为0

B.随机事件发生的概率为1

C.概率很小的事件不可能发生

D.投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.写出一个一次函数，使它的图象经过第一、三、四象限：.

12.如图是一本折扇，其中平面图是一个扇形，扇面ABDC的宽度AC是管柄长0A的一半，已知OA=30cm,

ZAOB=120°,则扇面ABDC的周长为cm

A'B

D

O

13.若式子'叵有意义，则x的取值范围是

x

14.如图，利用图形面积的不同表示方法，能够得到的代数恒等式是（写出一个即可）.

k6k

15.如图，函数y=-（x<0）的图像与直线厂•上x交于A点，将线段OA绕O点顺时针旋转30。，交函数y=-（x<0）

x3x

的图像于B点，得到线段OB,若线段AB=3y2・G，!®k=.

16.已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为6cm,则它的侧面展开图的面积等于.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q.

（1）求证：OP=OQ；

⑵若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒,

请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形.

B

Q

18.（8分）如图，二次函数丁=0?+法+3的图象与x轴交于A（-3,0）和3（1,0）两点，与y轴交于点C,一次

函数的图象过点A、C.

（1）求二次函数的表达式

（2）根据函数图象直接写出使二次函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围.

19.（8分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟

通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统

计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次统计共抽查了名学生，最喜欢用电话沟通的所对应扇形的圆心角是一°;

⑵将条形统计图补充完整；

⑶运用这次的调查结果估计1200名学生中最喜欢用QQ进行沟通的学生有多少名？

（4）甲、乙两名同学从微信，QQ,电话三种沟通方式中随机选了一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求

出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率.

20.（8分）如图，一次函数丫=・*+4的图象与反比例函数y4（k为常数，且k#））的图象交于A（1,a）,B（3,b）

x

两点.求反比例函数的表达式在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标求△PAB的面积.

21.（8分）近年米，新能源汽车以其舒适环保、节能经济的优势受到热捧，随之而来的就是新能汽车销量的急速增加,

当前市场上新能漂汽车从动力上分纯电动和混合动力两种，从用途上又分为乘用式和商用式两种，据中国汽车工业协

会提供的信息，2017年全年新能源乘用车的累计销量为57.9万辆，其中，纯电动乘用车销量为46.8万辆，混合动力

乘用车销量为11.1万辆；2017年全年新能源商用车的累计销量为19.8万辆，其中，纯电动商用车销量为18.4万辆，

混合动力商用车销量为L4万辆，请根据以上材料解答下列问题：

（1）请用统计表表示我国2017年新能源汽车各类车型销量情况；

（2）小颖根据上述信息，计算出2017年我国新能源各类车型总销量为77.7万辆，并绘制了“2017年我国新能源汽车

四类车型销量比例”的,扇形统计图，如图L请你将该图补充完整（其中的百分数精确到0.1%）;

图2

（3）2017年我国新能源乘用车销量最高的十个城市排名情况如图2,请根据图2中信息写出这些城市新能源乘用车销

售情况的特点（写出一条即可）；

（4）数据显示，2018年1〜3月的新能源乘用车总销量排行榜上位居前四的厂家是比亚迪、北汽、上汽、江准，参加

社会实践的大学生小王想对其中两个厂家进行深入调研，他将四个完全相同的乒乓球进行编号（用“1,2,3,4”依次

对应上述四个厂家），并将乒乓球放入不透明的袋子中搅匀，从中一次拿出两个乒乓球，根据乒乓球上的编号决定要调

研的厂家.求小王恰好调研“比亚迪”和“江淮”这两个厂家的概率.

22.（10分）在矩形4BCO中，点E在上/_LAE,垂足为F.求证.。尸=A3若NFDC=30。,且

43=4,求AD.

23.（12分）在等边△ABC外侧作直线AM,点C关于4M的对称点为连接80交AM于点E,连接CE,CD,

AD.

D

图2

(1)依题意补全图L并求NSEC的度数；

(2)如图2,当NM4c=30。时，判断线段BE与OE之间的数量关系，并加以证明;

(3)若0OVNM4CV120。，当线段OE=28E时，直接写出NM4c的度数.

24.如图(1),P为4ABC所在平面上一点，且NAPB=NBPC=NCPA=120。，则点P叫做△ABC的费马点.

(1)如果点P为锐角△ABC的费马点，且/ABC=60。.

①求证：△ABP^ABCP；

②若PA=3,PC=4,贝IJPB=.

(2)已知锐角△ABC,分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD相交于P点.如图(2)

①求NCPD的度数；

②求证：P点为△ABC的费马点.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、D

【解题分析】

根据直线丫=a?^^(a/0)经过第一，二，四象限，可以判断a、b的正负，从而可以判断直线y=bx-a经过哪几个象限,

不经过哪个象限，本题得以解决.

【题目详解】

•••直线y=ax+b(a#0)经过第一，二，四象限，

/.a<0,b>0,

二直线y=bx-a经过第一、二、三象限，不经过第四象限，

故选D.

【题目点拨】

本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答.

2、D

【解题分析】

试题分析：・・•代数式」二十五有意义，

x-\

x-1^0

/.(,

A>0

解得x>0且x#l.

故选D.

考点：二次根式，分式有意义的条件.

3、A

【解题分析】

先将抛物线解析式化为顶点式，左加右减的原则即可.

【题目详解】

y=/-x+1+；，

当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得

y=j+2)+[+3=(r+，+^=x2+3x+6

故选A.

【题目点拨】

本题考查二次函数的平移；掌握平移的法则“左加右减”，二次函数的平移一定要将解析式化为顶点式进行;

4、B

【解题分析】

根据算术平方根的意义求解即可.

【题目详解】

=4，

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于。，即x2",那么这个正数x叫做。的算术平方根,

正数。有一个正的算术平方根，。的算术平方根是。，负数没有算术平方根.

5、B

【解题分析】

利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出AE,BE的长以及NEBF的度数，进而利用图中阴影部分的面积

二S也聆网7)-S.ABE-S厨物邮,,求出答案.

【题目详解】

;矩形ABCD的边AB=LBE平分NABC,

.\ZABE=ZEBF=45°,AD/7BC,

/.ZAEB=ZCBE=45°,

/.AB=AE=1,BE=V2，

・・,点E是AD的中点，

/.AE=ED=1,

_

•••图中阴影部分的面积=S矩形.CDSAliES巾形EBF=k2-7又1X1-色与，:

236024

故选B.

【题目点拨】

此题考查矩形的性质，扇形面积的计算，解题关键在于掌握运算公式

6、D

【解题分析】

试题分析：根据图像可得：a<0,b>0,c<0,则A错误；-2>1,则B错误；当x=l时，y=0,即a+b+c=0,则

2a

C错误；当y=-l时有两个交点，即ax2+bx+c=-l有两个不相等的实数根，则正确，故选D.

7、D

【解题分析】

由抛物线与x轴有两个交点可得出△=b2-4ac>0,进而可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围.

【题目详解】

•・•抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点，

22

AA=b-4ac=(-2)-4xlxm>0,即4・4m>U,

解得：m<l.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2・4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键.

8、B

【解题分析】

根据圆周角得出NAOB=60。，进而利用弧长公式解答即可.

【题目详解】

解：VZACB=30°,

/.ZAOB=60°,

60%x6

•**AB的长==2n,

180

故选B.

【题目点拨】

此题考查弧长的计算，关键是根据圆周角得出NAOB=60。.

9、C

【解题分析】

当。C与AD相切时，△ABE面积最大，

连接CD,

则NCDA=90°,

VA(2,0),B(0,2),0c的圆心为点C(-1,0),半径为1,

.\CD=1,AC=2+1=3,

:.AD=7AC?TCD2=2A/2,

VZAOE=ZADC=90°,ZEAO=ZCAD,

AAAOE^AADC,

eOA_OE

•*AD=CDr

即4邛,•,•OE=3,

也

ABE=OB+OE=2+y

BE?OA=^x(2+0x2=2+^

故答案为c.

10、A

【解题分析】

试题分析：不可能事件发生的概率为0,故A正确；

随机事件发生的概率为在。到1之间，故B错误；

概率很小的事件也可能发生，故C错误；

投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件，D错误:

故选A.

考点：随机事件.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、y=x-1（答案不唯一）

【解题分析】

一次函数图象经过第一、三、四象限，则可知y=kx+b中k>0,b<0,由此可得如：y=x-1（答案不唯一）.

12、17T+1.

【解题分析】

分析：根据题意求出03根据弧长公式分别求出AB、CD的弧长，根据扇形周长公式计算.

详解：由题意得，OC=AC='OA=15,

2

120^x30

A8的长二=20;:,

18()

120^x15

。。的长==10n,

18()

・•・扇面ABDC的周长=20兀+10/15+15=1加+1(cm),

故答案为lx+1.

点睛：本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：£二言是解题的关键.

180

13、xN—1且XHO

【解题分析】

・.,式子31在实数范围内有意义，

x

.\x+l>0,且x和，

解得：xN・l且"0.

故答案为X>-1且xRO.

14、(a+b)2=a2+2ab+b2

【解题分析】

完全平方公式的几何背景，即乘法公式的几何验证.此类题型可从整体和部分两个方面分析问题.本题从整体来看，

整个图形为一个正方形，找到边长，表示出面积，从部分来看，该图形的面积可用两个小正方形的面积加上2个矩形

的面积表示，从不同角度思考，但是同一图形，所以它们面积相等，列出等式.

【题目详解】

解：•.・从整体来看，大正方形的边长是反

大正方形的面积为(。+4，

从部分来看，该图形面积为两个小正方形的面积加上2个矩形的面积和，

一.该图形面积为6?十2”。十〃,

•・同一图形，

/.(<7+^)2=a2+2ab+b?.

故答案是(a+Z?)2=/+2ab+b2.

【题目点拨】

此题考查了完全平方公式的几何意义，从不同角度思考，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键.

15、・36

【解题分析】

作AC_Lx轴于C,BD_Lx轴于D,AE_LBD于E点，设A点坐标为(3a,•石a),则OC=・3a,AC=-Jia,利用勾

股定理计算出OA=・26a,得到NAOC=30。，再根据旋转的性质得到OA=OB,ZBOD=60°,易证得

RtAOAC^RtABOD,OD=AC="V3a,BD=OC=-3a,于是有AE=OC-OD=・3a+"a,BE=BD-AC=-3a+73a,即

AE=BE,则△ABE为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到3亚•灰=血(-3a+V3a),求出a=l,确

定A点坐标为(3,•6),然后把A(3,•垂)代入函数丫=人即可得到k的值.

x

【题目详解】

作AC_Lx轴与C,BD_Lx轴于D,AE_LBD于E点，如图，

点A在直线y=・@x上，可设A点坐标为（3a,

3

在RtAOAC中，OC=・3a,AC=・J^a,

:.OA=JAC2+OC2=2后a,

AZAOC=30°,

:直线OA绕O点顺时针旋转30。得到OB,

/.OA=OB,ZBOD=60°,

/.ZOBD=30°,

ARtAOAC^RtABOD,

:.OD=AC=-75a,BD=OC=-3a,

•・•四边形ACDE为矩形，

AE=OC-OD=-3a+73a,BE=BD・AC=・3a+&a,

.\AE=BE,

/.△ABE为等腰直角三角形，

AAB=V2AE,即3加•6=夜(-3a+V3a),

解得a=l,

・・・A点坐标为(3,-百)，

而点A在函数y=与的图象上，

x

Ak=3x(-73)=-373.

故答案为・3后.

【题目点拨】

本题是反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用勾股定理、旋转的性质以及

等腰直角三角形的性质进行线段的转换与计算.

16、2471cm2

【解题分析】

解：它的侧面展开图的面积=!・1兀・4乂6=14兀Cem1).故答案为14AC加.

2

点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于

圆锥的母线长.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)证明见解析(2)；

【解题分析】

试题分析：(1)先根据四边形ABCD是矩形，得出AD〃BC,ZPDO=ZQBO,再根据O为BD的中点得出

△POD^AQOB,即可证得OP=OQ；

(2)根据已知条件得出NA的度数，再根据AD=8cm,AB=6cm,得出BD和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形

时，利用勾股定理即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱形.

试题解析：(D证明：因为四边形ABCD是矩形，

所以AD〃BC,

所以NPDO=NQBO,

又因为O为BD的中点，

所以OB=OD,

在APODVAQOB中，

ZPDO=ZQBO,OB=OD,ZPOD=ZQOB,

所以△POD^AQOB,

所以OP=OQ.

(2)解：PD=8-t,

因为四边形PBQD是菱形，

所以PD=BP=8-t,

因为四边形ABCD是矩形，

所以NA=90。，

在RtAABP中，

由勾股定理得：AB2+AP2=BP2t

即4+*=『8-42，

解得：t=3

即运动时间为多时，四边形PBQD是菱形.

考点：矩形的性质；菱形的性质；全等三角形的判断和性质勾股定理.

18、(1)y=-x2-2x+3；(2)-3<x<0.

【解题分析】

(1)将A(—3,0)和3(1,0)两点代入函数解析式即可；

(2)结合二次函数图象即可.

【题目详解】

解：⑴•・•二次函数y=+辰+3与工轴交于4—3,0)和8(1,0)两点，

9a-3b+3=0

<7+Z?+3=0

解味二.2

，二次函数的表达式为y=-f-21+3.

(2)由函数图象可知，二次函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围是-3<x<0.

【题目点拨】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式，解题的关键是熟悉二次函数的性质.

19、(1)120,54；⑵补图见解析；(3)660名；i：4)g.

【解题分析】

(1)用喜欢使用微信的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用360谏以样本中电话人数所占比例；

⑵先计算出喜欢使用短信的人数，然后补全条形统计图：

(3)利用样本估计总体，用1200乘以样本中最喜欢用QQ进行沟通的学生所占的百分比即可；

(4)画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数，然后根据概率公

式求解.

【题目详解】

1Q

解：(1)这次统计共抽查学生24・20%=120(人)，其中最喜欢用电话沟通的所对应扇形的圆心角是360。、丽=54。，

故答案为120、54；

⑵喜欢使用短信的人数为120-18-24-66-2=10(A)，

条形统计图为:

短旗信00其他沟通方式

66

(3)1200x——=660,

120

所以估计1200名学生中最喜欢用QQ进行沟通的学生有660名；

(4)画树状图为：

微信8电话

微信QQ电话微信《电话微信QQ电话

共有9种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为3,

所以甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率|.

【题目点拨】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果

数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.也考查了统计图和用样本估计总体.

20、(1)反比例函数的表达式尸(2)点P坐标(50),(3)SAPAB=1.1.

x2

【解题分析】

(1)把点A(1，代入一次函数中可得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例解析式中即可得到反比例函数的表

达式；(2)作点。关于x轴的对称点。，连接4。交x轴于点P,此时口+尸〃的值最小.由B可知。点坐标，再由待

定系数法求出直线的解析式，即可得到点P的坐标；(3)由5“4产S/皿7〃皿即可求出的面积.

解：(1)把点A(1,。)代入一次函数产・x+4,

得。=-1+4,

解得。=3,

：.A(1,3),

点A(1,3)代入反比例函数产£

x

得&二3,

3

・••反比例函数的表达式产一,

（2）把8（3,b）代入尸之得，b=l

x

，点5坐标（3,1）；

作点8作关于x轴的对称点。，交x轴于点C,连接A。，交x轴于点P,此时/M+P8的值最小,

工。（3,-1）,

设直线AD的解析式为y=nix+nf

把A,。两点代入得，［：+〃3,解得机=・2,

工直线AD的解析式为产・2x+l,

令尸0,得mg,

，点P坐标（2,0）,

2

姝

点晴：本题是一道一次函数与反比例函数的综合题，并与几何图形结合在一起来求有关于最值方面的问题.此类问题的

重点是在于通过待定系数法求出函数图象的解析式，再通过函数解析式反过来求坐标，为接下来求面积做好铺垫.

21、（1）统计表见解析；（2）补全图形见解析；（3）总销量越高，其个人购买量越大；

（4）

6

【解题分析】

（D认真读题，找到题目中的相关信息量，列表统计即可；

（2）分别求出“混动乘用”和“纯电动商用”的圆心角的度数，然后补扇形图即可；

（3）根据图表信息写出一个符合条件的信息即可；

（4）利用树状图确定求解概率.

【题目详解】

（1）统计表如下:

2017年新能源汽车各类型车型销量情况〔单位：万辆)

类型纯电动混合动力总计

新能源乘用车46.811.157.9

新能源商用车18.41.419.8

(2)混动乘用：iy-yxl00%s：14.3%,14.3%心60。之51.5。,

II•I

1Q4

纯电动商用：^yxioo%=23.7%,23.7%又36。。=85.3。，

II•I

补全图形如下：

2017年我国新育筋汽车

各类车型销量比例统计图

混动通用18*.

(3)总销量越高，其个人购买量越大.

(4)画树状图如下：

1234

/T\/N/T\/N

234134124123

・・•一共有12种等可能的情况数，其中抽中1、4的情况有2种，

，小王恰好调研“比亚迪”和“江淮”这两个厂家的概率为圣

【题目点拨】

此题主要考查了数据的分析，利用统计表和扇形统计图表示数据的关系，以及用列表法或树状图法求概率，难度一般,

注意认真阅读题目信息是关键.

22、(1)证明见解析；(2)1

【解题分析】

分析：(1)利用“AAS”证△ADFgaEAB即可得；

(2)由NADF+NFDC=90。、NDAF+NADF=90。得NFDC=NDAF=30。，据此知AD=2DF,根据DF二AB可得答案.

详解：(1)证明：在矩形ABCD中，・・・AD〃BC,

・・・NAEB=NDAF,

XVDF±AE,

/.ZDFA=90°,

AZDFA=ZB,

XVAD=EA,

AAADF^AEAB,

ADF=AB.

(2)VZADF+ZFDC=90°,NDAF+NADF=90。，

・・・NFDC=NDAF=30。，

/.AD=2DF,

VDF=AB,

/.AD=2AB=1.

点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质.

23、(1)补全图形如图1所示，见解析，ZBEC=60°；(2)BE=2DEt见解析；(3)ZA/AC=90°.

【解题分析】

(1)根据轴对称作出图形，先判断出NAbO=NAZ)5=j,再利用三角形的内角和得出x+$即可得出结论；

(2)同(1)的方法判断出四边形A5CD是菱形，进而得出NC5O=30。，进而得出NSCD=90。，即可得出结论；

(3)先作出E尸=25E,进而判断出再判断出NC5£=90。，进而得出N5C£=30。，得出NAEC=60。，即

可得出结论.

【题目详解】

(1)补全图形如图1所示，

根据轴对称得，AD=ACtZDAE=ZCAE=x,NDEM=NCEM.

「△ABC是等边三角形，

：.AB=ACtNR4c=60°.

：.AB=AD.

：.ZABD=ZADB=y,

在^ABD中，2x+2y+60°=180°,

.\x+j=60°.

:.ZDEM=ZCEM=x+y=6Q°.

/.ZBEC=60°；

(2)BE=2DEt

证明：是等边三角形，

：.AB=BC=ACf

由对称知，AD=ACfNC4D=2NC4M=60。，

・•・△ACO