北师大版数学七年级下册全册教案第二章平行线与相交线

第二章平行线与相交线

主备：

课时安排：

2・1余角与补角1课时

2.2探索直线平行的条件2课时

2.3平行线的性质2课时

2.4用尺规作线段和角2课时

回顾与思考］课时

2.1余角与补角

教学要点：

1余角、补角、对顶角的概念：

(1)和为直角的两个角称互为余角；

(2)和为平角的两个角称互为补角；

(3)两直线相交有多少对对顶角？

2余角、补角、对顶角的性质：

(1)同角或等角的余角相等；

(2)同角或等角的补角相等；

(3)对顶角相等。

教学环节：

第一环节情境引入

第二环节探索发现

第三环节小诊所

第四环节课堂小结

第五个环节布置作业

教学设计

教学目标：1、经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有

条理表达的能力。

2、在具体情景中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角

相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题。

教学重点：1、余角、补角、对顶角的概念

2、理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。

教学难点：理解等角的余角相等、等角的补角相等。判断是否是对顶角。

教学方法：观察、探索、归纳总结。

准备活动：在打桌球的时候，如果是不能直接的把球打入袋中，那么应该怎么打才能保证球

能入袋呢？

教学过程：

第一环节情境引入

活动内容：搜集生活中常见的图片，让学生从中找出相交线和平行线。

第二环节探索发现

内容一：观察图中各角与/I之间的关系：

ZADF+Z1=18O

ZADC+Z1=18O

ZBDC+Z1=18O

ZEDB+Z1=18O

Z2=Z1

教学中要鼓励学生自己去寻找，但是不要求学生说出图中所有的角与N1的关系。在对图中

角的关系的充分讨论的基础上，概括出互为余角和互为补角的概念。

提醒学生：互为余角、互为补角仅仅表明了两个角之间的度量关系，并没有对其位置关系

作出限制。（为下面的对顶角的学习作铺垫）

让学生探索出“同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等”的结论。鼓励学生用自己

的语言表达，并说明理由。

内容二：/

议一议：\/

（1）用剪刀剪东西的时候，哪对角同时变大或变小？、乂

（2）如果将剪刀简单的表示为右图，那么/I和/2有什么位置关系？/\

（3）它们的大小有什么关系？能试着说明理由吗？/'

由此引出对顶角的概念和“对顶角相等”的结论。

第三环节小诊所

活动内容：判断下列说法是否正确

1（1）3Oo,7Oo与80。的和为平角，所以这三个角互余。（）

（2）一个角的余角必为锐角。（）

（3）一个角的补角必为钝角。（）

（4）9Oo的角为余角。（）

（5）两角是否互补既与其大小有关又与其位置有关（）

2.你能举出生活中包含对顶角的例子吗？

3.下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由。

4.议一议：如上图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇

形零件的圆心角的度数吗？你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什

么？

第四环节课堂小结

小结：熟记(1)余角、补角的概念。

(2)同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。

(3)对顶角的概念和“对顶角相等”。

第五个环节布置作业

1.习题2.1数学理解1,2

习题2.1问题解决1,2

课后记

2.2探索直线平行的条件(1)

教学要点：

1平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。

2认识三线八角图形。重点认识同位角。

3掌握直线平行的条件是“同位角相等，两直线平行”。

教学环节：

第一环节：巧妙设疑，复习引入

第二环节：联系实际，积极探索

第三环节：变式训练，熟练技能：

第四环节：总结反思，情意发展

第五环节：布置课后作业：

教学设计

教学目标：1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能

力和有条理表达的能力。

2、会认由三线八角所成的同位角

3、经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题

教学重点：会认各种图形下的同位角，并掌握直线平行的条件是“同位角相等，两直线平行”

教学难点：判断两直线平行的说理过程

教学方法：实践法

教学过程：

(一)课前复习：

(1)在同一平面内，两条直线的位置关系是

(2)在同一平面内，两条直线的是平行线

(-)创设情景：

如书中彩图，装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木

条a与墙壁边缘所夹的角为多少度时才能使木条a与木条b平行？

(三)新课：

1、动手操作移动活动木条，完成书中的做一做内容。

2、改变图中N1的大小，按照上面的方式再做一做，N1与N2的大小满足什

么关系时，木条a与木条b平行？小组内交流。

3、由N1与/2的位置引出同位角的概念，如图N1与N2、Z5与N6、Z7

与/8、/3与/4等都是同位角

（四）练习1:如图，哪些是同位角？

4、几何画板动画演示两直线平行的条件一一同位角相/E

5、例：找出下图中互相平行的直线，并说明理由。1―B

D

练习2如图，Z1=Z2=55°,/3等于多少度？直线AZ

AB、CD平行吗？说明你的理由。E,

2.如图，在屋架上要加一根横梁DE,已知/B=32°,°

要使DE〃BC,则/ADE必须等于多少度？为什么？

练习3议一议：你还记得怎样用移动三角板的方法画两条电概初？

你能用这种方法过已知直线AB外一点p画它的平行线电?y

请说出其中的道理。Kr

（五）布置课后作业：k

1.习题2.2知识技能。NF

2.补充练习：如图，是由两块相同的直角三角板拼成的，

（1）请写出图中相等的角；

（2）写出图中平行的线段，并说明理由。

（六）小结：本节课学习了两直线平行的条件是同位角相等，要特别注意数形结合。

课后小记

2.2探索直线平行的条件（2）

教学要点：

1认识内错角，同旁内角。

2进一步探索直线平行的条件，会用“内错角相等，两直线平行”和

“同旁内角互补，两直线平行”。

教学环节：

第一环节：立足基础，温故知新

第二环节：大胆探究，各抒己见

第三环节：及时巩固，深化提高

第四环节：归纳小结

第五环节：布置作业：

教学设计：

教学目标：1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能

力和有条理表达的能力。

2、经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题。

3、会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。

教学重点：弄清内错角和同旁内角的意义，会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角

互补，两直线平行”。

教学难点：会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行

教学方法：观察讨论、归纳总结。

准备活动：

1、如图，a〃b,数一数图中有几个角（不含平角）C_

2、写出图中的所有同位角。

教学过程：

一、引入：

小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，

于是他在两个边缘之间画了一条线段AB（如图所示）。他

只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个

画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？

定义：1、内错角；2、同旁内角。

2.巩固练习1：课本随堂练习1：

观察右图并填空：（1）N1与是同位角；

⑵N5与______嵬骋内角；八

miV（3）N2与是隔

1练习,如图，㊀直线AB,CD被EF所截，构成

方能找出明细最同位角、内错角、同旁内角喟%;

c/D

7^1察三线八点内错角的变化和同旁内角的变玄，讨论：

（1）内错角满足什么关系时，两直线平行？为什

（2）同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？

★结论：内错角相等，两直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

三、巩固练习：

1.做一做：三个相同的三角尺拼接成一个图形，

请找出图中的一组平行线，并说明你的理由。

2.图中各角分别满足下列条件时，你能判断哪两条直线平行吗？

AZB+=180°,

VZB=Z4

//,______________________

/.—+=180。，两直线平行，同旁内角互补

小结：学生可用自己的语言归纳总结本节课的内容，指导学生总结本节课的知识要

点：鼓励学生积极发言，在总结过程中，让学生熟记：

①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两

直线平行.

会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。

布置作业：习题2.3

课后记

2.3平行线的性质（1）

教学要点：

1.两直线平行，同位角相等.

2.两直线平行，内错角相等.

3.两直线平行，同旁内角互补.

教学环节：

第一环节：复习回顾

第二环节：探索发现

第三环节：牛刀小试

第四个环节：对比发现，加深理解

第五个环节：综合应用

第六个环节：布置作业

教学目的：1.使学生掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理.

2.使学生了解平行线的性质和判定的区别.

重点难点：L平行的三个性质，是本节的重点，也是本章的重点之一.

2.怎样区分性质和判定，是教学中的一个难点.

教学过程：

一、引入：

问：我们已经学习过平行线的哪些判定公理和定理？

答：1.同位角相等，两直线平行.

2.内错角相等，两直线平行.

3.同旁内角互补，两直线平行.

问：把这三句话颠倒每句话中的前后次序，能得怎样的三句话？新的三句话还正确

吗？

答：1.两直线平行，同位角相等.

2.两直线平行，内错角相等.

3.两直线平行，同旁内角互补.

教师指出：把一句原本正确的话，颠倒前后顺序，得到新的一句话，不能保证一定

正确.例如，“对顶角相等”是正确的，倒过来说“相等的角是对顶角”就不正确

了.因此，上述新的三句话的正确性，需要进一步证明.

二、新课；

平行线的性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

简单说成：两直线平行，同位角相等.

怎样说明它的正确性呢？

方法一：通过测量实践，作出两条平行线2〃上再任意作第三条直线c,量量所

得的同位角是否相等.

方法二：从理论上给予严格推理论证.

已知：如图2-32,直线AB、CD、被EF所截，AB〃CD.

求证：Zl=Z2.

证明：（反证法）

假定/1WN2,

则过N1顶点0作直线A'B'使/EOB'=Z2.

.•.A'B，〃CD（同位角相等，两直线平行）.

故过0点有两条直线AB、A'B'与已知直线CD平行，这与平行公理矛盾.即假

定是不正确的.

.\Z1=Z2.

另证：（同一法）AJ

过N1顶点0作直线A'B'使NEOB，=Z2./\

.•・A'B，〃CD（同位角相等，两直线平行）.区&

,/AB〃CD（已知），且。点在AB上，。点在A，B，上，B

A，B，与AB重合（平行公理）图2.35

.,.Z1=Z2.一-

平行线的性质二：两条平线被第三条直线所截，内错角相等.

简单说成：两直线平行，内错角相等.

启发学生，把这句话“翻译”成已知、求证，并作出相应的图形.

已知：如图2-33,直线AB、CD被EF所截，AB〃CD,2

求证：Z3=Z2.Ay

证明：：AB〃CD（已知）32口

=两直线平行，同位角相等）.一丁'

：/1=/3（对顶角相等），图2-33

；./3=/2（等量代换）.

说明：如果学生仿照性质一，用反证法或同一法去证，应该给以鼓励.并同时指出，既

然性质一已证明正确，那么也可以直接利用性质一的结论，这样常常可以使证明过程简

单些.然后介绍或引导学生得出上面的证法.

平行线的性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.

简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

已知：如右图，直线AB、CD被EF所截，AB〃CD.

CD

图2-34

=两直线平行，同位角相等），

VZ1+Z4=18O°（邻补角），

AZ2+Z4=180o（等量代换）.

证法二：*/AB〃CD（已知），

；./2=/3（两直线平行，内错角相等）.

VZ3+Z4=180°（邻补角），

.,.Z2+Z4=180°（等量代换）.

三练习:

活动内容1：1.完成下列填空

（1）AD//BC（已知）

/B=/l（两直线平行，同位角相等）

（2）AB〃CD（已知）

.../D=/l（两直线平行，内错角相等）

（3）AD//BC（已知）

•••ZC+ZD=180（两直线平行，同旁内角互补）

2.如图所示，AB〃CD,AD〃:BC,分别找出与/ADC

相等或互补的角。

3.解决本课之始的引例问题。

4.著名的比萨斜塔建成于12世纪，从建成之日起就一

直在倾斜，目前，它与地面所成的较小的角为85°

（如图），它与地面所成的较大的角是多少度？

活动内容2：填写下列表格，并思考二者有何区别和联系:

平行线的特征直线平行的条件

师生共同总结:

特征同位角相等

两直线平行；------内错角相等

条件同旁内角互补

活动内容3：1.如图所示，一束平行光线AB与DE射

向一个水平镜面后被反射，此时/1=

Z2,Z3=Z4o

（1）Z1,/3的大小有什么关系？

Z2与/4呢？

（2）反射光线BC与EF也平行吗？

2.潜望镜中的两面镜子是平行放置的，如图所示，光线经镜子反射后，Z1=Z2,Z

3=Z4o你能从数学的角度解释一下进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线为什么

是平行的吗？

例已知某零件形如梯形ABCD,现已残破，只能量得ZA=115°,ZD=100°,你能知

道下底的两个角/B、/C的度数吗？根据是什么？（如图2-35）.

解：ZB=1800-ZA=65°,ZC=1800-ZD=80°.（根据平行线的性质三）

小结：平行线的性质与判定的区别：

1.从因果关系上看

性质：因为两条直线平行，所以……；

判定：因为……，所以两条直线平行.

2.从所起作用上看

性质：根据两条直线平行，去证两角相等或互补：

判定：根据两角相等或互补，去证两条直线平行.

四、作业

1习题2.4

补充：

1.如图，AB〃CD,Zl=102°,求/2、/3、/4、/5的度数，并说明根据？

2.如图，EF过AABC的一个顶点A,且EF〃BC,如果/B=40°,Z2=75°,

那么/I、/3、/C、/BAC+/B+/C各是多少度，为什么？

3.如图，已知AD〃BC,可以得到哪些角的和为180°?已知AB〃CD,可以得

到哪些角相等？并简述理由.

2.4用尺规作线段和角（1）

教学要点：

1作一条线段等于已知线段。

2作线段的和、差。

教学环节:

第一环节作一条线段等于已知线段

第二环节线段的和、差

第三环节巩固应用

第四环节课堂小结

第五环节布置作业

教学设计：

教学目标：1、会用尺规作一条线段等于已知线段；并了解它们在尺规作图中的简单应用。

教学重点：1作一条线段等于已知线段。

2、作线段的和、差、倍数等。

教学难点：作线段的和、差。

教学方法：讲授法、讨论、总结。

教学过程：

一、新课：

1提出问题：如何作一条线段等于已知线段？你有什么办法?

教师向学生详细的讲授尺规作图法。

作法示范

(1)作射线A，A，C

(2)以点屋为圆心，以AB的长为半径画弧，A，C

交射线葭C于点B‘。A'B'就是所

作的线段。

教师强调注意事项：

(1)解题前要写“解”；

(2)严格按作图要求操作；

(3)保留作图痕迹；

(4)下结论.

2如何作两条线段的和，差。

已知线段a,b,求作线段。=0+6

能否作线段c=a-b?

二、巩固练习：

L做一做(教材p74)

2.用心想一想，马到成功(教材p75随堂练习)

(-)用尺规作一条线段差于已知线段.已知:纬段AB

AB

求作:线段A'B',使得A'B'=AB.

(-)用尺规作一条线段等于已知线段的倍数：

已知:线段AB.11

AB

求作:线段A'B',使得A'B'=2AB.

(三)用尺规作一条线段等于已知线段的和：

(1)已知:线段a,bab

求作：线段AD,使得AD=a+b.

(2)已知：线段AB.CD.EF..11111

ABCDEF

求作:线段A，F',使得A，F'=AB+CD+EF.

(四)用尺规作一条线段等于已知线段的差：

已知:线段AB.CD111

ABCD

求作:线段11,使得"”=AB-CD.

三小结：(1)如何作一条线段等于已知线段，应该注意什么问题。

(2)如何作线段的和、差以及倍数。

四作业：教材习题2.5

五课后记

2.4用尺规作角

教学要点：

1能用尺规作一个角等于已知角。

2.能利用尺规作角的和、差、倍。

教学环节:

第一环节作一个角等于已知角的作法示范。

第二环节能利用尺规作角的和、差、倍。

第三环节巩固，练习与延伸

第四环节布置作业

教学设计

教学目的：1、经历尺规作角的过程，进一步培养学生的动手操作能力，增强学生的数学应

用和研究意识。

2、能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角。

教学重点：能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角。

教学难点：作图步骤和作图语言的叙述，及作角的综合应用。

教学方法：猜想、实践法

教学过程：

一问题的提出：

如图，要在长方形木板上截一个平行四边形，B

使它的一组对边在长方形木板的边缘上，-------------------------

另一组对边中的-条边为AB。

⑴请过点C画出与AB平行的另-条边■，：［

⑵如果你只有一个圆规和-把没有刻度的直尺，

你能解决这个问题吗？AC

二.新课：

内容一：(请按作图步骤和要求操作,别忘了留下作图痕迹)

(-)用尺规作一个角等于已知角.」

(1)已知：ZAOBX

求作：/A'(TB，，使/A'(VB，=NA0B.

作法「亲南°

(1)作射线O'A'

(2)以点0为圆心，以

任意长为半径画弧，

交0A于点C,交0B

于点D；

(3)以点0'为圆心，以

0C长为半径画弧，

交O'A'于点C'；

(4)以点C'为圆心，以

CD长为半径画弧，

交前面的弧于点D'；

(5)过点D'作射线

O'B'„/A'O'B'

就是所求作的角。

(2)已知：Na

求作：ZA0B,使NA0B=Na

(二)用尺规作一个角等于已知角的倍数:

(3)已知：Z1

求作：ZM0N,使/MON=2/1

ZC0D,使/COD=3/1

(三)用尺规作一个角等于已知角的和:

(4)已知：Nl、N2、Z3

求作：①/AOB,使/AOB=Z1+Z2

②/POQ,使/POQ=Z1+Z2+Z3

③/MON,使/MON=2Z1+Z2

(四)用尺规作一个角等于已知角的差:

已知：NCC、ZY

求作：①NA0B,使/A0B=/a-ZP

②/POQ,使/P0Q=/a-/p—/丫

③求作一个角，使它等于2/P—NY

(五)综合练习:

(1)已知:线段AB、/a、/p

求作：分别过点A、点B作/CAB=/a、ZCBA=ZP

(2)如图，点P为/ABC的边AB上的一点，过点P作直线

EF//BC

(3)已知：直线L和L外一点P,

求作：一条直线，使它经过点P,并与已知直线L平行

(4)已知：ZXABC

求作：直线MN,使MN经过点A,且MN〃BC

（5）如图，以点B为顶点，射线BA为一边，在NABC外再作一个角，

使其等于NABC

三〃、结：今天我们学习//了用尺规作一个角等于已知角，它是

一个基本的作图方法。4---------C

四：作业

课后记

第二章平行线与相交线

回顾与思考

教学要点：

1梳理本章内容

2在丰富的情景中，抽象出平行线、相交线等几何模型

教学环节：

本节课按知识点分类设计了八个教学环节:课前准备、知识梳理、

活动单元一、活动单元二、活动单元三、综合提高、课堂小结、布置

作业。

教学设计

教学目的:：

1.掌握平行线与相交线的相关知识，梳理本章内容，建立一定的知识体系；并能够综

合运用这些知识解决相关的问题。

2.在丰富的情景中，抽象出平行线、相交线等几何模型，通过讨论角与角之间的关系，

进一步认识平行线和相交线。

3.在认识操作基础上锻炼学生的语言表达能力以及逻辑思维能力。

教学重点：掌握平行线与相交线的相关知识

教学难点：用尺规作线段和角

教学过程：

第一环节课前准备

活动内容：（1）让学生课前独立回顾所学内容，并尝试回答教科书提出的问题。在独

立思考的基础上，开展小组交流和自评活动，并让学生自己尝试着建立知识框架图。（2）对

于在复习中出现的困惑的问题，进行记录并与同学进行交流。对于无法解决的问题，可以课

堂上师生共同探讨

活动目的：让学生自己小结，有利于培养学生的概括能力，使学生自主构建知识体系，

养成良好的学习习惯。通过第一个活动，希望学生能学会自己总结和反思，培养学生条例的

进行思考和独立解决问题的能力。而在第2个活动中，在培养学生解决问题的能力的同时，

更注重学生提出问题的能力。让学生养成善于思考、肯于钻研的精神。同时培养学生与他人

合作交流的意识；这两个活动中学生的思考成果会为下面的学习奠定良好的基础，必将极大

地激发了学生学习的积极性与主动性。

实际教学效果：学生由于个人认识水平和能力的不同，对于课本问题的解答和提出的困

惑问题的水平就会不同，但只要是合理的解答和学生确实存在的问题，教师都应该给与肯定

和解答。使不同的学生在学习上有不同的发展和收获。

第二环节知识梳理

活动内容:请同学们展示自己的知识网络图，开展小组交流和全班交流，使学生在反思

和交流的过程中逐渐建立完整的知识体系，师生共同总结，完成活动单元一。

邻补角是.

2.如图2,ZBDE的同位角是,内错角是,同旁内角是；ZADE

与/DGC是直线被_所截

成的角。

3.如图3,三条直线a,b,c交于一点0,/1=45°,

Z2=60°,Z3=。

4.如图4,Zl=105°,Z2=95°,Z3=105°,

Z4=o

5.当两条直线相交所成的四个角中有一个角是

直角时，就说这两条直线,它们的交点叫做，

活动目的：直线、射线、线段和角，了解了它们的有关性质，这些都是学习本章的基础.垂

线是相交线的特殊情况，两条直线互相垂直时，相交线所成的四个角中有一个是直角即可。

垂线在生产和生活中应用很广泛，垂线的概念和性质以及三线八角也是今后学习的基础知

识，要注意让学生理解和掌握.

实际教学效果：邻补角和对顶角的概念都是结合图形描述。对顶角是两条相交直线构成

的，这是一个前提条件，其中有公共顶点没有公共边C相对）的两个角，互为对顶角.邻补

角和对顶角的名称也反映了它们的本质特征,要注意，邻补角不一定是两条直线相交形成的，

每个角的邻补角有两个

第四环节：活动单元二—平行线

活动内容：

1.填写下列表格，并思考二者有何区别和练习:

平行线的特征直线平行的条件

两直线平行，同位角相等同位角相等，两直线平行

两直线平行，内错角相等内错角相等，两直线平行

两直线平行，同旁内角互补同旁内角互补，两直线平行(1)如图，：

AC/7ED(已知)

ZA=()

(2)如图，：AC〃ED(已知)

ZEDF=()

(3)如图，：AB〃FD(已知)

ZA+=180°()

(4)如图，VAB/7FD(已知)

ZEDF+=180°()

(5)如图，VBD/7EC(已知)

ZDBA=()

VZC=ZD(已知)

ZDBA=()

；.FD〃()

ZA=ZF()

(6)如图，AB//CD,EGZBEF,/EFG=50°,ZEGF=

(7)如图，DC〃AB,E为AB上一点，AD/7EC,/A=70。，

ZECB=40°,ZBCD=

(8)如图，AB〃CD,EGJ_AB于G,/CFK=50°,ZE=_____E,,

2.思维拓广：已知AB〃CD,E为平面内一点(E