函数性质的综合应用 学生版-2024年高考数学一轮复习

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m【考试提醒】

函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图

象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查.

B【核心题型】

题型一函数的奇偶性与单调

(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为了(g(c))>/仇(⑼),利用单调性把不等式的函数符号了”脱掉，得到

具体的不等式(组).

(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而

利用其单调性比较大小.

011(2024•吉林长春•模拟预测)己知函数/(乃=|3-3一,|,则不等式"2c—1)—/(,)>0的解集为

()

A.(-co,y)U(1,+co)B.(-CO,/)

c.(y,l)D.(l,+oo)

【变式训练】

题目Q(2024•辽宁大连・一模)设函数/(，)=sinn+e^^-e3-31-^+3则满足加)+/(3—20<4的2

的取值范围是()

A.(3,+8)B.(—oo,3)C.(l,+oo)D.(—oo,1)

题目团(2024高三•全国•专题练习)已知定义在R上的函数加),其导函数为了'(/若/⑸=/(—/)—

2sinrc,且当①>0时，有/(X)+cosc>0成立，则不等式/(①+>/(c)+simr—cosc的解集为()

A.(-B.管，+句C.(-。年)D.(-f)+oo)

题目区(2024•全国•模器噂测)已知定义在(-oo.O)U(0,+»)上的函数/⑸，对于定义域内任意的°,y,

I-I-1

都有/(怎/)=/3)+/(切，且/(2)在(0,+8)上单调递减，则不等式〃，)<1。82与^的解集为.

题型二函数的奇偈性与周期性

周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转

化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解.

网］1(2024・内米古侏峰--«)已知〃为是定义在R上的偶函数,且周期T=6.若当2C［—3,0］时，/⑸

=4一”,则/(2024)=()

A.4B.16C.±D.士

164

【变式训练】

［题目|1］(多匐(2024•重庆•模拟演浏)己知定义在R上的奇函数/(为满足：/(2+2)=/(为•+/M(—1),则

A./(l)=0B./(〃)+/管)=0C"Q+4)=—/⑸D./(,))/(4)

题目囱(多匐(2024•湖南饵旭•二O已知函数/(,)在R上可导，且〃,)的导函数为g(’).若/(,)=4

—/(，+2)，9(2劣—1)为奇函数,则下列说法正确的有()

2024

A.g(l)=0Bj2)=0C./(2)=/(8)D.£/(i)=4048

i=l

题目包(2024高三•全国•专题练习)已知定义在R上的函数/⑸对任意,4CR均有：/(2+夕)+

f{x—y)=2Kx)f(y)且/(为不恒为零.则下列结论正确的是.①/(0)=0；②〃0)=1；③〃0)=0

或/(0)=1；④函数/(c)为偶函数;⑤若存在实数aW0使/(a)=0,则/(2)为周期函数且2a为其一个周

期.

题型三函数的奇偈性与对称性

由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等.

血］1(23-24三下・上阵・阶段练习)己知函数/(，)及其导函数((，)的定义域均为凡记g(x)=/'Q).

若/已―2c),g(2+c)均为偶函数，则()

A.»=0B.g(—十)=0C./(-2)=f(l)D.g(—l)=g(2)

【变式训练】

［题目］1］(多选)(2024高三•全国•专慝练习)关于函数/(2)=如|+p/+q,下列命题正确的是()

A.当q=0时，/(力)为奇函数

B.y=f(x)的图象关于点(0,q)对称

C.当p=0,q>0时,方程/Q)=0有且只有一个实数根

D.方程/(力)=0至多有两个实数根

［题目|2］(多选)(23・24高三下•重庆•阶段练习)函数/⑺的定义域为R,且满足/(二+妨+八.―夕)=

2/(2)/(y)，/(4)=—1,则下列结论正确的有()

A./(0)=0Bj2)=0

C./Q)为偶函数D./Q)的图象关于(1,0)对称

题目区(2024•河前•一模)已知函数/(c)及其导函数/(c)的定义域均为R,记g(,)=/(,).且

_2024

/(I-3rr)+/(3/-1)=0,g(l+6)+g(l—6)=0,当力6(0,1］,于(x)=sin与r，则..i)|=______.(用数

2i=i

字作答)

题型四函数的周期性与对称性

函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题,解题时，往

往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解

决相关问题.

血］1(2024•河北沧州•一模)已知定义在R上的函数/(,)满足：/(c)+/(2—乃=2,/(0一/(4—2)=0,

•M

2024

且"0)=2.若iCN*,则»用)=()

1=1

A.506B.1012C.2024D.4048

【变式训练】

［题目|1］(23-24京三下•重庆・阶盘练习)已知函数/⑺的定义域是R,于*+-x),f(x)+

/(6—,)=0,当■时,f(x)=4x—2x2,则/(2024)=.

,题目区(2024•全国•模拟预测)写出一个同时满足下列三个条件的函数/(，)的解析式.

①/(①)=—/(rc+2)；

②/0+1)=/(l-c)；

③f⑸的导数为了'(，)且/'(，)=/'(—，).

(题目［3］(23-24方三下・陕西・开学者和已知定义在R上的函数/(2+1)为奇函数，/(2+2)为偶函数,

当cC［0,1］时，/(0=3"—3c,则方程力>)=—1在［0,99］上的实根个数为.

H【课后强化】

基础保分练

一、单54H

题目Q(2023•河南信阳•三模)已知函数/⑺=log2(c+A/^+T)+1——一,则对任意实数a,b,a+b

/IJ.

>0是/(a)+/(b)>0()

A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.不充分且不必要条件

、题目区(2024高三•全国•专题练习)已知函数/(,)=「叫则使得/(2a)</(a—1)成立的正实数a的取

值范围是()

A.(y,+℃)B.［看,+8)C.(0,1)D.(。()

、题目0(23-24方三上•辽宁辽阳•期末)已知/Q+1)是偶函数,/(0在［1,+8)上单调递增，/(0)=0,

则不等式(，+1)/(0>0的解集为()

A.(1,+8)B.(2,+co)C.(—2,0)U(0,2)D.(—1,0)U(2,+8)

题目@(2024•山东济宁・一模)设函数/㈤定义域为R,/⑵—1)为奇函数，/(2一2)为偶函数，当。e

［0,1］时，/(力=>一1,则/(2023)-/(2024)=()

A.-1B.0C.1D.2

二、多选题

〔题目〔5〕(23-24玄三下•海俞省直林县级毕位・开学者和已知定义域为R的函数人,)对任意实数工，夕都

有/(工)+/(妨=/(丁)/(7)，且/(0)丰OJ(l)=1,则下列说法正确的是()

A./(0)=3B./(2)=/(一立)

•M

C.函数/㈤的图象关于点传,0）对称D./⑴+/⑵+…+/（2024）=0

题目回（2024•广东•一模）已知偶函数/㈤的定义域为R,/（/r+l）为奇函数，且/㈤在［0」］上单调

递增，则下列结论正确的是（）

A./（-y）<0C./（3）<0D"（午）>0

〔题目〔7〕（23-24■三下•重庆•阶段练习）己知函数/⑺=|sint—cosc|+sin2c,则下列选项正确的是

（）

A.兀是函数/⑸的一个周期B.x=—号是函数/⑺的一条对称轴

C.函数/⑸的最大值为?最小值为四—1D.函数/⑸在苧,料上单调递减

【题目⑻（23・24商三下•辽宁・开学考试）已知函数沙=/（力）是R上的奇函数，对于任意;rCR,都有

/3+4）=/3）+/（2）成立，当力e［0,2）时/Q）K2'-L,则下列结论中正确的是（）

A."0）=0B.函数u=/（rc）在［―6,—2］上单调递增

C.函数?/=/（,）在［—6,6］上有3个零点D.点（4,0）是函数“=/（,）的图象的一个对称中心

三、填空题

题自回（2024•贵州毕节•模拟预测）定义在五上的可导函数/（2）满足/（,）<3,若/（2m）—/（馆―1）>

3ni+3，则机的取值范围为.

题目区（2024•宁夏银川•一模）已知八,+1）是偶函数,/（,）在［1,+8）上单调递增，/（0）=0,则不等

式（2+l）/（a;）>0的解集为.

四、解答题

南里£（2024高三•全国•专题练习）已知定义域为R的函数/（力）=三产是奇函数.

2+a

⑴求实数a,b的值；

（2）求证:函数/（⑼在（-00,+8）上是单调递减函数；

（3）若对任意的tGR,不等式/（》一2力+/（2t2-fc）<0恒成立，求实数k的取值范围

•M

综合提升练

一、单

题目①(2024•陕西西安•一模)已知定义在R上的奇函数/(为满足/(,)=/(，+2),则以下说法错误的

是()

A./(0)=0B./(c)是周期函数，且2是其一个周期

C./(2025)=lD/3)=*4)+A5)

题目@(2024•广西前宁・一模)已知函数/(,)的定义域为R,以①+n)f@—y)=f?")—产，且当，〉

0时,/(,)>0,则()

A./(0)=1B./(c)是偶函数C./Q)是增函数D./(,)是周期函数

题目区(2024・云南贵州・二若函数/(①)的定义域为R且图象关于g轴对称，在［0,+«)上是增函数,

且/(—3)=0,则不等式/(,)<0的解是()

A.(-8,-3)B.(3,+oo)C.(—393)D.(-8,-3)U(3,+8)

遒直区(2024•广东•一模)已知/(0=2闺+/,若/(/<3,则()

A.aG(l,+oo)B.a£(-1,1)C.aC(—co,l)D.aG(0,1)

题目回(2024•四川成都•二O已知函数/⑸=ln@+衣亘)--，且/(0)+/3)+2V0,则

/I1

()

A./i+力2VoB.®i+/2>0C.力1+力2>—2D.劣1+N2<—2

I超月回(2024•四川•模拟预测)已知函数V=/(:L2)的图象关于直线，=2对称，对任意的cCR,都有

f(x+3)=f(x—1)成立，且当x€［—2,0］时，f(x)=—2,若在区间(—2,10)内方程/(①)一log/rc+2)=0

有5个不同的实数根,则实数a的取值范围为()

A.(2,2/)B.(2,2V2］C.(22,2遍)D.(272,273］

［题目⑺(23-24高三上・四川・阶段练习)已知函数/(7)及其导函数/'(功的定义域均为R,且/(工—1)为

27

奇函数，/'(2—，)+/'(,)=-2,/(7)=―2,则X/'⑵-1)=()

i=l

A.—28B.-26C.-24D.—22

［题目⑻(23-24%三下•北京西城・开学者和函数/(工)及其导数广⑶的定义域均为R,记9(为=/'⑺,

若/(I—①)和gQ+2)都是偶函数，则()

A.于⑸是奇函数B.f(x)是偶函数C.g(x)是奇函数D.g⑸是偶函数

二、多选题

蜃亘］9(2024高三•全国•专慝练习)(多选)已知函数/(。)=2/一2一工+1,则下列说法正确的是()

A.函数/(0是奇函数B.函数/Q)是偶函数

C.函数/(⑼在R上是增函数D.函数/(⑶的图象的对称中心是(0,1)

【题目I10〕(2024・海南看直林县级单位・一模)己知定义在R上的奇函数/⑺，满足/(2c-l)=/(3-2c),

当ce［0,1］时，"2)=必,则下列结论正确的是()•M

A.函数/(c)的最小正周期为6B.函数/(,)在[2024,2025]上递增

22

C.2y(fc)=1D.方程/(力)=log5|a:|有4个根

A；=I

藏目①(2024•安微池州•二W已知函数/⑺的定义域为凡/(2+1)是奇函数，且\/，€凡恒有

/(/(①))=2,当①e[a,l]时(其中0<a<1),/(2)=alogo(rc+b).若/(0)+/仟)="|■，则下列说法正确

的是()

A./(2)图象关于点(1,0)对称B.f⑸图象关于点(0,1)对称

C.4a+6=1D./(—)=2

三、填空题

【题目应(2023,广东•二*)设奇函数/(，)的定义域为R，且/(，+1)是偶函数，若/(I)=7,则”2023)

+/(2024)=.

题目包(23-24英三下•安徽•阶&练习)若函数/(，+2)为偶函数，v=g(x+l)—5是奇函数，且

/(2—劣)+g(x)=2,则/(2023)=.

(题目〔14](2024方一•金图•*题练习)定义R上单调递减的奇函数满足对任意1CR,若2力+

/(2t2-fc)<0恒成立，求％的范围.

四、解答题

题目553⑵74■三上•河南周口•期和已知函数/⑸=侬土与是定义在(一1,1)上的函数，/(一,)=

1+6

一/(立)恒成立，且/(])=看.

(1)确定函数/(2)的解析式,并用定义研究/(，)在(-1,1)上的单调性；

(2)解不等式/(2-1)+f(x)<0.

•M

(题目|16](23-24iU三上•山西看中•开学者武)设/(①)是定义在R上的奇函数，且对任意实数。，恒有

f(x+2)=—/(工)，当TC[0,2]时，于(x)=2x—x2.

(1)求证：/(乃是周期函数；

⑵当龙C[2,4]时，求/Q)的解析式;

(3)计算/(0)+/(1)+/(2)+-+/(2023).

(题目|⑺(23-24d5三上•甘肃天水・阶段练习)设函数/(为对任意多、夕eR,都有/(①+切=/(力)+

/(y)，且rc>0时,于⑺<0.

(1)证明：/(c)为奇函数；

(2)证明：/(为在R上为减函数.

•M

画目［叵（2023高三•全国•专题练习）已知函数？/=/&）是定义在五上的周期函数，周期T=5,函数“=

/㈤（一LW,41）是奇函数.又已知y=/（2）在［0,1］上是一次函数，在［1,4］上是二次函数，且在立=2时

函数取得最小值一5.

⑴证明：/⑴+*4）=0;

（2）求e［1,4］的解析式；

（3）求y=/3）在［4,9］上的解析式.

（题目|19］（2023方三•全国・专题练习）设f⑸是定义在五上的偶函数，其图象关于直线t=1对称，对任

意电,电e［0,J］,都有/Qi+g）=/3i）"（奥），且AD=a>0.

⑴求/竹），，（抒

（2）证明A0是周期函数；

（3）记an=f（2n+?），求an.

拓展冲刺练

一、单

题目①(2024•陕西西安•一模)已知定义在R上的可导函数/(,),满足/(为魂0<0,且〃c)+/(—,)=

0.若则满足I/O—1)|W1的，的取值范围是()

A.[1,3]B.[-2,1]C.[0,2]D.[-1,2]

题目囱(2024・四川泸州•二梯已知/(，)，9(乃都是定义在冗上的函数,对任意2,夕满足/(2-切=

/(2)9(切一9(，)/(9)，且/(—2)=/(1)片。，则下列说法正确的是()

2024

A.g(0)=0B.若〃1)=2024,则W?S)=2024

n=l

C.函数/(2c—1)的图象关于直线7=/对称D.ff(l)+g(—1)=—1

题目回(2023•安徽非湖•模拟预测)已知函数/(,)在A上可导，其导函数为广配),若/(0满足：

(①一/(x)]>0,/(2—,)=/Q)e2-2"则下列判断正确的是()

A.f(l)>ef(0)B.f(2)>e2f(0)C.f(3)>e3f(0)D./(4)<e4/(0)

二、多选题

]题目@(2024•辽宁大连•一模)已知函数/(0是定义域为R的可导函数，若/(2+夕)=/3)+/(沙)+

3M①+沙)，且/(0)=-3,则()

A./(2)是奇函数B./(c)是减函数

C./(V3)=0