湖北省随州市2024届中考二模数学试题含解析

湖北省随州市名校2024学年中考二模数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.比较4,V17）病的大小，正确的是（）

A.4<^/17<^63B.4<^63<717

C.^63<4<^/17D.V17<^/63<4

2.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息.已知甲先出

发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：

①甲步行的速度为60米/分；

②乙走完全程用了32分钟；

③乙用16分钟追上甲；

④乙到达终点时，甲离终点还有300米

3.某商场试销一种新款衬衫，一周内售出型号记录情况如表所示:

型号（厘米）383940414243

数量（件）25303650288

商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

4.如图，AABC中，AB=6,BC=4,将AABC绕点A逆时针旋转得到AAEF,使得A尸〃BC,延长交AE

于点。，则线段CD的长为（）

BDE

A.4B.5C.6D.7

5.某校有35名同学参加眉山市的三苏文化知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛.其中一名同学知

道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的（）.

A.众数B.中位数C.平均数D.方差

6.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=1.若点E是边CD的中点，连接AE,过点B作BFJ_AE交AE于点F,则

君

A3A/10R3A/10rV10n3

2555

7.二次函数丁=以2+法+。（a、b、c是常数，且a/））的图象如图所示，下列结论错误的是（）

A.4ac<b2B.abc<0C.b+c>3aD.a<b

8.右图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（）

&

9.方程2=1的解为()

x+3x-1

A.x=3B.x=4C.x=5D.x=-5

10.如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当N2=38。时，Nl=（）

A.52°B.38°C.42°D.60°

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

3Y

11.分式方程——=1的解为.

x+4

12.分解因式：a3-ab2=_.

13.如图，菱形ABC。的边AB=8,4=60°,P是A3上一点，BP=3,Q是CO边上一动点，将梯形APDQ

沿直线P。折叠，A的对应点为4,当CA的长度最小时，Q2的长为.

14.将161000用科学记数法表示为1.61x10",则〃的值为

x-a>1

15.若不等式组,cc的解集是-IVxWL贝!|a，b=

Z?x+3>0

16.如图，在四边形ABC。中，AB=AD,ZBAD^ZBCD=9Q°,连接AC、BD,若S四边形ABCD=18,则80的最小

值为

17.如图，在AACB中，ZACB=90°,点D为AB的中点，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转，当CB经过点D

时得到AAiCBi.若AC=6,BC=8,则DBi的长为

BD

1

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知两点A(0,3),B(1,0),现将线段AB绕点B按顺时针方向旋转90。

得到线段BC,抛物线y=ax2+bx+c经过点C.

(1)如图1,若抛物线经过点A和D(-2,0).

①求点C的坐标及该抛物线解析式；

②在抛物线上是否存在点P,使得NPOB=NBAO,若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明

理由；

(2)如图2,若该抛物线y=ax?+bx+c(a<0)经过点E(2,1),点Q在抛物线上，且满足/QOB=NBAO,若符合

条件的Q点恰好有2个，请直接写出a的取值范围.

（图1）（图2）

19.(5分)规定：不相交的两个函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“亲近距离”

(1)求抛物线-2x+3与x轴的“亲近距离”；

(2)在探究问题：求抛物线y=--2x+3与直线y=x-l的“亲近距离”的过程中，有人提出：过抛物线的顶点向x轴

作垂线与直线相交，则该问题的“亲近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离，你同意他的看法吗？请说明理由.

1,2

(3)若抛物线2x+3与抛物线》=—x+c的“亲近距离”为一，求c的值.

43

20.(8分)计算：历-(-2)°+|1-^|+2cos30°.

21.(10分)如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE.若DE：AC=3：

、AD»小

5,求---的值.

22.(10分)在矩形ABCD中，两条对角线相交于O,ZAOB=60°,AB=2,求AD的长.

o

-----------------

23.（12分）已知：在△ABC中，AC=BC,D,E,F分别是AB,AC,CB的中点.

求证：四边形DECF是菱形.

24.（14分）在“双十二”期间，A,3两个超市开展促销活动，活动方式如下：

A超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；

3超市：购物金额打8折.

某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在A,3两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：若一次性付

款4200元购买这种篮球，则在3商场购买的数量比在A商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；学校计划

购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少.（直接写出方案）

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解题分析】

根据4=而〈后且4=呵＞痈进行比较

【题目详解】

解：易得：4=丁记〈，万且4=痫＞病，

所以标V4VJI7,

故选C.

【题目点拨】

本题主要考查开平方开立方运算。

2、A

【解题分析】

【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题.

【题目详解】由图可得，

甲步行的速度为：240+4=60米/分，故①正确，

乙走完全程用的时间为：2400+(16x60+12)=30(分钟)，故②错误，

乙追上甲用的时间为：16-4=12(分钟)，故③错误，

乙到达终点时，甲离终点距离是：2400-(4+30)x60=360米，故④错误，

故选A.

【题目点拨】本题考查了函数图象，弄清题意，读懂图象，从中找到必要的信息是解题的关键.

3、B

【解题分析】

分析：商场经理要了解哪些型号最畅销，所关心的即为众数.

详解：根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是各种型号的衬衫的销售数量，即众数.

故选：C.

点睛：此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.反映数据集中程度的统计量有

平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用.

4、B

【解题分析】

3ABe

先利用已知证明△8AC：/\BDA,从而得出——=——，求出BD的长度，最后利用=求解即可.

BDBA

【题目详解】

QAF//BC

：.ZFAD=ZADB

ZBAC=ZFAD

:.ZBAC=ZADB

/B=NB

BACBDA

BABC

…BD-BA

.6_4

"BD-6

:.BD=9

:.CD=BD-BC=9-4=5

故选：B.

【题目点拨】

本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.

5、B

【解题分析】

分析：由于比赛取前18名参加决赛，共有35名选手参加，根据中位数的意义分析即可.

详解：35个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有18个数，

故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了.

故选B.

点睛：本题考查了统计量的选择，以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数

6、B

【解题分析】

根据SAABE=^S矩形ABCD=1=L・AE・BF,先求出AE,再求出BF即可.

22

【题目详解】

如图，连接BE.

•••四边形ABCD是矩形，

.\AB=CD=2,BC=AD=1,ZD=90°,

在RtAADE中，AE=不AD?+DE?=^32+12=晒，

..11

■:SAABE=—S矩形ABCD=1=—•AE*BF,

22

.3710

5

故选：B.

【题目点拨】

本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用面积

法解决有关线段问题，属于中考常考题型.

7、D

【解题分析】

根据二次函数的图象与性质逐一判断即可求出答案.

【题目详解】

由图象可知：△>0,

•*.b2-4ac>0,

b2>4ac,

故A正确；

•••抛物线开口向上，

/.a<0,

•.•抛物线与y轴的负半轴，

/.c<0,

b

•・,抛物线对称轴为x=——<0,

2a

Ab<0,

abc<0,

故B正确；

*.*当x=l时,y=a+b+c>0,

V4a<0,

；・a+b+c>4a,

/.b+c>3a,

故c正确；

,当x=-1时，y=a-b+c>0,

•*.a-b+c>c,

/.a-b>0,

.*.a>b,

故D错误；

故选D.

考点：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程、

不等式之间的转换，根的判别式的熟练运用.

8、B

【解题分析】

解：从上面看，上面一排有两个正方形，下面一排只有一个正方形，故选B.

9、C

【解题分析】

方程两边同乘(x-1)(x+3),得

x+3-2(x-l)=0,

解得：x=5,

检验：当x=5时，(x-1)(x+3)邦，

所以x=5是原方程的解，

故选C.

10、A

【解题分析】

试题分析：如图：；N3=N2=38。。(两直线平行同位角相等)，二/1=90。-N3=52。，故选A.

考点：平行线的性质.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、x=l

【解题分析】

分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的解.

详解：两边都乘以x+4,得：3x=x+4,

解得：x-1,

检验：x=l时，x+4=6和,

所以分式方程的解为x=L

故答案为：x=l.

点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

12、a(a+b)(a-b)

【解题分析】

先提取公因式。，再利用平方差公式分解因式即可.

【题目详解】

a3-ab2=々(4—b1^=a^a+b)^a—b^

故答案为：a(a+b)(a-b).

【题目点拨】

本题考查了分解因式，熟练掌握因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法的区别，根据题目选择合适的方法是解题

的关键.

13、7

【解题分析】

如图所示，过点。作8_1_43,交AB于点H.

在菱形ABC。中，

VAB=BC=8,且4=60°,所以ABC为等边三角形，

=sin=sin60°=8X—=4A/3.

2

根据“等腰三角形三线合一''可得

4P1

AH=HB=-=-x8=4,因为3P=3,所以HP=HB-BP=1.

在RtaCHP中，根据勾股定理可得，CP=^CH-+HP1=7（4A/3）2+12=7.

因为梯形沿直线P。折叠，点A的对应点为A',根据翻折的性质可得，点A'在以点P为圆心，R4为半径的

弧上，则点A在PC上时，CA的长度最小，此时NAPQ=NCPQ,因为AB”。。.

所以NC0P=/APQ,所以NCQP=/CPQ,所以CQ=CP=7.

点睛：4为四边形AOQP沿尸。翻折得到，由题目中可知AP长为定值，即4,点在以尸为圆心、AP为半径的圆上，当

C、4、尸在同一条直线时。V取最值，由此结合直角三角形勾股定理、等边三角形性质求得此时C。的长度即可.

14、5

【解题分析】

【科学记数法的表示形式为axion的形式，其中耳同〈10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成a时，小数点

移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，”是正数；当原数的绝对值＜1时，”是

负数.

【题目详解】

；161000=1.61x105.

:.n=5.

故答案为5.

【题目点拨】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中〃为整数，表示时关键要

正确确定”的值以及”的值.

15、-2-3

【解题分析】

先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出关于a、b的方程，求出即可.

【题目详解】

x-a>1@

解：由题意得：,。八6

版+3»0②

解不等式①得：x>l+a,

3

解不等式②得:xW-7

b

3

不等式组的解集为：1+aVxW-7

b

不等式组的解集是-1<XS1,

3

..l+a=-l,----=1,

b

解得:a=・2,b=-3

故答案为：2-3.

【题目点拨】

本题主要考查解含参数的不等式组.

16、6

【解题分析】

过A作AM_LCZ）于过A作AMLBC于N,先根据“AAS”证明△四ABAN,再证明四边形AMCN为正方形，

可求得AC=6,从而当时80最小，且最小值为6.

【题目详解】

如下图，过A作AM_LC。于M,过A作AN_LBC于N,则NMAN=90。，

ZDAM+ZBAM=90°,ZBAM+ZBAN=90°,

:.NDAM=NBAN.

；NOAM=NN=90。，AB=AD,

：./\DAM^/\BAN,

：.AM^AN,

二四边形AMCN为正方形，

2

S四边形ABCD=S四边形AMCN=—AC,

2

：.AC=6,

：.BD±AC时BD最小，且最小值为6.

故答案为：6.

【题目点拨】

本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.

17、2

【解题分析】

根据勾股定理可以得出AB的长度，从而得知CD的长度，再根据旋转的性质可知BC=BiC,从而可以得出答案.

【题目详解】

•.•在AACB中,ZACB=90°,AC=6,BC=8,

：•AB=^BC-+AC2=V62+82=10，

I•点D为AB的中点，

/.CD=—AB=5,

2

,将△ACB绕点C按顺时针方向旋转，当CB经过点D时得到△AiCBi.

，CBi=BC=8,

/.DBi=CBi-CD=8-5=2,

故答案为：2.

【题目点拨】

本题考查的是勾股定理、直角三角形斜边中点的性质和旋转的性质，能够根据勾股定理求出AB的长是解题的关键.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、(1)①y=--x2+-x+3；②P(------',----，)或2(-----'_,―-----'_)；(2)--<a<l；

36444128

【解题分析】

(1)①先判断出△AOB之△GBC,得出点C坐标，进而用待定系数法即可得出结论；②分两种情况，利用平行线(对

称)和直线和抛物线的交点坐标的求法，即可得出结论；(2)同(1)②的方法，借助图象即可得出结论.

【题目详解】

(1)①如图2,VA(1,3),B(1,1),

/.OA=3,OB=1,

由旋转知，ZABC=91°,AB=CB,

/.ZABO+ZCBE=91°,

过点C作CGLOB于G,

.,.ZCBG+ZBCG=91°,

ZABO=ZBCG,

.♦.△•AOBdGBC,

.*.CG=OB=1,BG=OA=3,

.\OG=OB+BG=4

AC(4,1),

抛物线经过点A(1,3),和D(-2,1),

16a+4Z?+c=l

{4a—2b+c=0,

c=3

1

a=——

3

•••\“b=—5,

6

c=3

.••抛物线解析式为y=-gx2+^x+3；

36

②由①知，△AOBg/\EBC,

.\ZBAO=ZCBF,

VZPOB=ZBAO,

AZPOB=ZCBF,

如图1,OP〃BC,

VB(1,1),C(4,1),

直线BC的解析式为y='x-'，

33

直线OP的解析式为y=1x,

•••抛物线解析式为y=-』x2+^x+3；

3+3折3-3折

x=----------x=----------

联立解得，｛二44或｛二(舍)

1+V171-V17

y=---------y=---------

■44

.p.3+3717I+后、

44

在直线OP上取一点M(3,1),

点M的对称点M，(3,-1),

二直线OP，的解析式为y=-jx,

2

•••抛物线解析式为y=--x+fx+3;

36

7+A/1937-^/i93

x=----------x=-----------

44

联立解得，｛2—或｛,—(舍)，

7+V1937-V193

y-y—

1212

..7+V1937+V193.

*(-----------9------------)\

412

(2)同(1)②的方法，如图3,

16a+Ab+c=1

•・•抛物线y=ax2+bx+c经过点C(4,1),E(2,1),：.｛〜1

4〃A+2b+c=I

b=-6a

：.｛,

C=8Q+1

・••抛物线y=ax2-6ax+8a+l,

令y=L

/.ax2-6ax+8a+l=l,

.8。+1

..X1XX2=-----

a

•・•符合条件的Q点恰好有2个，

，方程ax2-6ax+8a+l=l有一个正根和一个负根或一个正根和1,

.8〃+1

..X1XX2=------<1,

a

Va<l,

.\8a+l>l,

・

••a>-—1，

8

口口1

即：--WaVL

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，对称的性质，解题的关键是

求出直线和抛物线的交点坐标.

19、(1)2；(2)不同意他的看法，理由详见解析；(3)c=l.

【解题分析】

(1)把广--2x+3配成顶点式得到抛物线上的点到x轴的最短距离，然后根据题意解决问题；

(2)如图，尸点为抛物线尸工2-2*+3任意一点，作尸。〃了轴交直线y=x-l于Q,设P(f,d-2什3),则Q(f,”1),则

PQ=t2-2f+3-(t-1),然后利用二次函数的性质得到抛物线j=x2-2x+3与直线产l1的“亲近距离”，然后对他的看

法进行判断；

1,1

(3)M点为抛物线y=，-2x+3任意一点，作轴交抛物线y=—式+。于N,设M(f,F-2什3),则N(f，—3+<0,

-44

51,

与⑵方法一样得到拉N的最小值为--c,从而得到抛物线尸7-2x+3与抛物线y=—V+c的“亲近距离”，所以

3-4

52

然后解方程即可.

33

【题目详解】

(1)Vj=x2-2x+3=(x-1)2+2,

.•.抛物线上的点到X轴的最短距离为2,

/.抛物线J=x2-2x+3与x轴的“亲近距离”为：2；

⑵不同意他的看法.理由如下：

如图，P点为抛物线-2x+3任意一点，作尸。〃y轴交直线y=x-1于。，

37

PQ=t2-2t+3-(t-1)=/2-3f+4=(f-----)2+一,

37

当u不时，尸。有最小值，最小值为：，

24

7

/.抛物线j=x2-2x+3与直线产x-1的“亲近距离”为一，

4

而过抛物线的顶点向x轴作垂线与直线相交，抛物线顶点与交点之间的距离为2,

不同意他的看法；

1,

⑶M点为抛物线j=x2-2x+3任意一点，作MN//y轴交抛物线y=工厂+c于N,

MN=@-2什3-(—F+c)=—-2什3-c——(t~—)?H--c>

44433

45

当U—时，AfN有最小值，最小值为——c,

33

15

，抛物线-2x+3与抛物线y=彳厂9+c的“亲近距离”为］-C,

.5_2

••一―C———9

33

:.c=l.

【题目点拨】

本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，正确理解新定义是解题的关键.

2°、543-2-

【解题分析】

(1)原式利用二次根式的性质，零指数塞法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值进行化简即可得到结果.

【题目详解】

原式=3布-7+V3-7+2xy，

=3由-1+A/S-1+g'

=56-2,

【题目点拨】

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

1

21、一

2

【解题分析】

根据翻折的性质可得NBAC=NEAC,再根据矩形的对边平行可得AB〃CD,根据两直线平行，内错角相等可得

NDCA=NBAC,从而得到NEAC=NDCA,设AE与CD相交于F,根据等角对等边的性质可得AF=CF,再求出DF=EF,

从而得到△ACF和△EDF相似，根据相似三角形得出对应边成比，设DF=3x,FC=5x,在RtAADF中，利用勾股定

理列式求出AD,再根据矩形的对边相等求出AB,然后代入进行计算即可得解.

【题目详解】

解：•.•矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处,

，CE=BC,NBAC=/CAE,

•..矩形对边AD=BC,

；.AD=CE,

设AE、CD相交于点F,

在AADF^DACEF中，

ZADF=ZCEF=9Q°

<ZAFD=ZCFE,

AD=CE

/.△ADF^ACEF(AAS),

；.EF=DF,

VAB/7CD,

，/BAC=/ACF,

又；NBAC=NCAE,

；.NACF=NCAE,

；.AF=CF,

；.AC〃DE,

.,.△ACF^ADEF,

*EF_DE_3

••——f

CFAC5

设EF=3k,CF=5k,

由勾股定理得CE=J(5左(3A『=4k，

/.AD=BC=CE=4k,

又；CD=DF+CF=3k+5k=8k,

；.AB=CD=8k,

AAD：AB=(4k)：(8k)=-.

2

【题目点拨】

本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，综合题难度较大，求

出AACF和小DEF相似是解题的关键，也是本题的难点.

22、2石

【解题分析】

试题分析：

由矩形的对角线相等且互相平分可得:OA=OB=OD,再由NAOB=60。可得△A