2024高考数学九省联考数学试题（解析版）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为（）

A.14B.16C.18D.20

【考查目标】样本数据中位数

【解题思路】排序再找中位数

【命题考向趋势】样本数据涉及到的概念【备考复习建议】样本数据相关概念

1.B【解析】将这些数据从小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,则

其中位数为16.

-1

2.椭圆+/=1（。〉1）的禺心率为彳，则（）

a2

A.—B.V2C.V3D.2

3

【考查目标】椭圆性质、离心率

【解题思路】a、b、c关系及离心率公式

【命题考向趋势】椭圆的基本性质

【备考复习建议】灵活掌握椭圆基本性质

2.A【解析】由题意得6=必三1=工，解得。=哀1,

a23

【知识链接】椭圆离心率专题

求离心率常用公式公式1：e=9

r22

公式3:已知椭圆方程为二+a=1（。〉b〉0），两焦点分别为斗巴，设焦点三角形3乙

a

B，则椭圆的离心率e=4需靠

证明：/尸片用=%/尸7¥；=力,

5四1^1

由正弦定理得:

sin(180°—a—夕)sinasin/3

I^l+I^l2c2a

由等比定理得:，即Bn一

sin(a+/?)sina+sm/?sin(a+/?)sina+sm/3

c_sin(a+,)

asina+sin(3

22

公式4:以椭圆十方小小。)两焦点耳片及椭圆上任一点尸(P余长轴两端点外)为

a+万

cos......-

2

顶点MM/PG用=a/PFE=0，则e=

cos…

2

证明：由正弦定_理_^\有PF.\第\P=F7岛I\F=.F需,I=\号F.F,%I

c.a+Ba+Ba+B

2sin----—•cos-----cos-----

|FXF2I_sin(a+/?)22.§二2

a+a-P'aa-B

|PFX|+1PF21sina+sin°。

2sin......--cos......-cos......-

222

jr

公式5:点尸是椭圆的焦点，过E的弦AB与椭圆焦点所在轴的夹角为6,eeO,Q,后为直线

A—1

AB的斜率，且万;=2丽(2>0),则e=W+左之当曲线焦点在轴上时,e=

2+1y

注'=卷或者2=与而不是《或答

3.记等差数列｛%｝的前"项和为5,%+。7=6吗2=17,则醯=()

A.120B.140C.160D.180

【考查目标】等差数列通项公式及前n项和公式

【解题思路】公式应用

【命题考向趋势】等差数列通项公式及前n项和公式综合运用

【备考复习建议】对等差数列通项公式及前n项和公式的理解

3.C【解析】因为4+。7=2%=6,所以%=3,所以%+%2=3+17=20,

LLf(a+^,,)x16々

所以S]6—------------=8(。5+。12)=160

【知识链接】

1.等差数列的前"项和公式

公式一■=〃（％;""）

Sa

证明：（倒序相加法）n=i+a2+a3+.••+an_x+an①+an_x+an_2++a2+ax②，由①+

②得2S〃=（%+%）+（&+%"）+（&+。〃一2）+…+（%+?）,因为%+勺=&+an-\=a3+an-2=…=%+%,

所以2S”〃m+a”），由此得"J"*

公式二：凡=吗+丫

证明：将+代入.="（"「）可得s“=吗+吟皿.

2.前〃项和与函数关系

由S,=叫+.（；-1）d=3"+1q_[>，令A=^B=ai；

5„=An2+Bn（A,B为常数）.

（1）当d=0即/=0时,S”=3〃="%,s”是关于〃的一个一次函数;它的图像是在直线y=4x

上的一群孤立的点.

（2）当d力0即/#0时,S”是关于〃的一个常数项为零的二次函数;它的图像是在抛物线

y=Ax2+Bx上的一群孤立的点.

①当d>0时,S,有最小值；

②当1<0时,S“有最大值.

4.设a4是两个平面，加,/是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A.若a_L民加〃aj〃4，则加_L/B.若mua,lu。,功〃1,则cr〃尸

C.若aCB=m,l〃a,l〃B，则相〃/D.若mLa,l工0,m〃l,则a_L尸

【考查目标】空间线面的位置关系

【解题思路】空间线面位置关系简图或利用周边环境想象思考【命题考向趋势】空间线面

的位置关系

【备考复习建议】理解空间线面位置关系

4.C【解析】对于A,/可能平行，相交或异面，故A错误，

对于B,d4可能相交或平行，故B错误，

对于D,d4可能相交或平行，故D错误，

由线面平行性质得C正确，

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有

()

A.20种B.16种C.12种D.8种

【考查目标】排列组合

【解题思路】先排乙丙，再排甲

【命题考向趋势】排列组合应用【备考复习建议】排列组合灵活应用

5.B【解析】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，

①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，

排乙丙有A；种方法，排甲有出种方法，剩余两个位置两人全排列有A；种排法，

所以有A：xA；xA；=8种方法；

②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，

排乙丙有A；种方法，排甲有㈤种方法，剩余两个位置两人全排列有A：种排法，

所以有A"A；x8=8种方法；

由分类加法计数原理可知，一共有8+8=16种排法，

【知识链接】

一、分类与计数原理

1、分类加法计数原理的概念

完成一件事可以有n类方案，各类方案相互独立，在第一类方案中mi种不同方法，在第二

类方案中种不同方法…在第九类方案中nin种不同方法，那么完成这个件事共有

N=7H1+Tn2H----1"爪71种方法.

2、分步乘法计数原理的概念

完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有mi种方法，做第二步有瓶2种方法…

做第n步有血兀种方法，那么，完成这个件事共有N=7HiXni2X…X血0种方法.

3、两个计数原理的联系与区别

原理分类加法计数原理分步乘法计数原理

联系两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言

区别一每类方法都能独立完成这件每一步得到的只是中间结果，

事，它是独立的、一次的，且每任何一步都不能独立完成这件事，

次得到的是最后结果，只需一种只有各个步骤都完成了才能完成这

方法就可完成这件事.件事.

区别二各类方法之间是互斥的、并各步之间是相互依存，并且既

列的、独立的.不能重复也不能遗漏.

二、排列与排列数

1.排列与排列数：一般地，从71个不同元素中取出7nmiW71)个元素，按一定顺序排成一列,

叫作从72个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫作从72个不同元素中

取出m个元素的排列数，用符号2祟表示.

2.排列数公式：A^=n(n—l)(n—2)(n——m+1)=^n_'mymeN*且m£n).n

个不同元素全部取出的一个排列，叫作71个的一个全排列.这个公式中TH=71,即有

线=n\=n(n—l)(n—2)(n—3)…2x1.规定：0!=l.

三、组合与组合数

1.组合与组合数：一般地，从律个不同元素中取出rn(7nW71)个元素合成一组，叫作从几个

不同元素中取出m个元素的一个组合，所有不同组合的个数，叫作从71个不同元素中取出m个

元素的组合数，用符号表示.

2.组合数公式：C^g-W(n-1)(n-2)(ra；3)-(W-m+1)-—^―(n.771€M且血工71)入个不同元

UliIILJ.

素全部取出的一个排列，叫作n个的一个全排列.这个公式中m=n,规定：C°=l.

3.组合数性质:

(1)C^=C^m(几、mdV*且TH工九)；

(2)C；1I=C：+C：T(律、meN*且mWn)；

【变式】在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，

不同排列表示不同信息，若所有数字只有0和1则与信息0110至多有两个对应位置上的数字

相同的信息个数为()

A.10B.llC.12D.15

【答案】B

【解析】当与信息0110对应位置上的数字各不相同时，这样的信息个数只有1个；当与

信息0110对应位置上的数字只有1个相同时，这样的信息个数只有4个；当与信息0110对应

位置上的数字只有2个相同时，只需从四个位置中选出两个位置使相应的数字相同，有盘种

方法，剩下的两个位置上的数字对应不相同，只有1种可能，故此时共有窗个不同的信息.根

据分类原理知共有：1+4+盘=11个不同信息.故选B.

6.已知。为直线/：x+2y+l=0上的动点，点尸满足方=(1,-3),记尸的轨迹为E,贝|

()

A.E是一个半径为指的圆B.E是一条与/相交的直线

C.E上的点到/的距离均为&D.E是两条平行直线

【考查目标】平面向量的坐标运算、平行线间的距离公式

【解题思路】先确定动点Q的坐标，再设点P,利用向量坐标运算建立等量关系，求出P的

轨迹E再用平行线间的距离公式求解即可

【命题考向趋势】平面向量的坐标运算、平行线间的距离公式【备考复习建议】平面向量

的坐标运算、点到直线距离公式

6.C【解析】设P(x,y),由存=(1,—3),则Q(x—1/+3),

由0在直线/：x+2,v+l=0上，故x—1+2(>+3)+1=0,

化简得x+2y+6=0,即尸的轨迹为E为直线且与直线/平行，

E上的点到/的距离d=尸1=人,故A、B、D错误，C正确.

Vl2+22

【点评】将轨迹方程、平面向量的坐标运算、直线与直线的位置关系、两条平行直线间的距

离公式等知识综合起来，考查直线与直线的位置关系、两条平行直线间的距离公式等基础知识、

基本方法的理解和掌握。该题立足基础知识，计算量小，强调知识之间的综合和应用，很好检

测了考生的知识体系和认知结构，有良好导向性，发挥了服务选才功能。

7.已知辛/}tan29=_4tan|e+?

)

【考查目标】三角函数诱导公式

【解题思路】三角函数诱导公式化简，注意定义域【命题考向趋势】三角函数诱导公式化

【备考复习建议】三角函数诱导公式灵活运用

7.A【解析】由题6e[+，7r],tan2，=_4tan[6+£],

-4(tan6+1)

得2tan6n-4(tan6+1)2=2tan8,

1-tan201-tan0

贝ij(2tan8+1)(tan8+2)=0ntan8=—2或tan0——

2

因为[彳,兀卜an。£（-1,0）,所以tan。=一；,

l+sin28sin2O+cos+2sin^cos3tan2^+l+2tan^二+1-1i

2cos2e+sin282cos2^+2sin^cos02+2tan6-2^-1）-Z

【点评】以简单三角恒等变换公式和同角三角函数关系为载体，该题题干简洁，注重基础,

难度适中，考查考生对基础知识的理解、掌握及灵活应用。

【知识链接】

1.两角和与差的余弦

cos(cr+,)=cosacos/3-sinasin(3变形cosacos夕一sinasin[3=cos(a+B)

cos(a—P)=cosacos万+sinasin/3变形cosacos/3+sinasin0=cos(a-')

2.两角和与差的正弦

sin(cr+(3)=sinacos/?+cosasin(3变形sinacos/3+cosasin/3=sin(a+0)

sin(a—/?)=sinacosP-cosasin/3变形sinacos°-cosasin/3=sin(a-')

3.两角和与差的正切

/八、tana+tan6八、tana-tanS、.

tan(a+Z?)=--------------—,tan(z6z-B)=--------变形・

1-tanatan°、1+tanatan［3"

tana+tan/3=tan(a+/?)(1-tanatan/?)；tana+tanp+tanatan/3tan(a+/?)=tan(a+/3)•

八tana+tanB

tancrtanp=1-------------------

tan(6z+B).

【变式】已知cos［t+a)=2cos(>-a),则tan5-a卜()

A.-4B.4C.--D.—

33

［答案］C

［解析】因为cosH+a)=2cos(»-a),所以一sina=-2cosa=tana=2,所以

(n11-tana

tan----oc------------=-g,故选©.

(4)1+tana

22

8.设双曲线C:4-5=1伍〉0）〉0）的左、右焦点分别为公,鸟，过坐标原点的直线与C

ab

交于48两点，阳3=2阳4项.亭=4/,则。的离心率为（）

A.V2B.2C.V5D.V7

【考查目标】双曲线离心率与向量的结合

【解题思路】双曲线与向量的结合

【命题考向趋势】双曲线与平面向量有机结合

【备考复习建议】双曲线与平面向量有机结合

8.D【解析】由双曲线的对称性可知阳1=|月

\F{B\=\F^,有四边形/大8月为平行四边形，

令阳a=i且却=冽,则阳理=优，=2冽,

由双曲线定义可知旧闻-阳闻=2a,故有2加-加=2a,

即加=2a,即闺/|=优0=加=2a,闺4=内/|=4a,

2

F2A-F2B="2卜"5卜0$4用8=2ax4acosZAF2B=4«,则cosNAF?B=—,gpZAF^B=y,

2兀阳轩+优轩-|单球（4不+（2疗-（2域j_

故/为明=§,则有cos/48£=-9

2|M-M2x4ax2a2

20a2—4°2

即----，则e?=7,由e>1,故e=V7.

16<7222

【点评】以双曲线为载体，考查双曲线、向量的基本概念和性质。该题深入考查逻辑思维能

力、运算求解能力和数形结合思想，强调对知识的综合理解和灵活应用的能力。试题符合高中

数学课程标准的基本要求，很好引导中学教学。需要从双曲线的定义出发进行分析，对直观想

象与数学运算能力有一定要求。

【知识链接】双曲线的离心率专题

求离心率常用公式公式1：e='

a

公式2:e=Jl+3

Va

22

公式3:已知双曲线方程为A-4=1伍〉0,b〉0）两焦点分别为耳心设焦点三角形

ab

PFANPg=a,APF2Fx=0，贝IJe=5吆%

\sma-smp\

证明：/尸片6二2/尸6片=人

由正弦定理得:

2c2acsin(a+/3)

由等比定理得：即

sin(a+/?)sina-sin/?’a\sina-sinp\

22

公式4:以双曲线5-==1（。〉0,b〉0）的两个焦点片、鸟及双曲线上任意一点P（除实轴

ab

.B+a

sin-----

上两个端点外)为顶点的转尸鸟,/产片用=a/PFE=，，则离心率e=

sm------

2

证明：由正弦定^理,有焉\P=F,品I\F=.F,媪I=\F."F,^I

••sgsina..H-LK专

sinJ3-sinasin(a+6)

即

.B+a

asin—

B+a.B-a.B+a尸+aXo<a+/?<%,cosa+B丰0,「，=2

cos——­sin2―sin——­cos2―2a-P-a

2222sin------

2

7T

公式5:点F是双曲线焦点，过尸弦$AB$V双曲线焦点所在轴夹角为，,6e0,-,k为直线

AB斜率，/=X而(2〉0),则e=J1+MA-l

2+1

当曲线焦点在了轴上时，e=1+Ffcr

注”=$或者2=答而不是籍或筹

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

已知函数/(x)=sin[2x+与

9.+COS2X+T，贝U()

函数

A./(x―7为偶函数B.曲线＞=/(%)的对称轴为》=左肛左eZ

7171

在区间〃的最小值为

C./(x)丁5单调递增D.x)-2

【考查目标】三角函数化简、三角函数图像性质

【解题思路】三角函数化简再结合图象分析【命题考向趋势】三角函数的图象性质

【备考复习建议】三角函数图象性质灵活运用

3兀

9.AC【解析】/(x)=sin|2x+—|+cos|2x+—

44

sin2xcos—+sin—cos2x+cos2xcos--sin2xsin—

4444

--sin2x+—cos2x--cos2x——sin2x=-V2sin2x,

2222

即f(x)--V2sin2x,

对于A,-V2sin|^2x-1j=V2cos2x,易知为偶函数，所以A正确；

对于B,/(x)=-V5sin2x对称轴为2x=]+E,左eZ=>x=：+g,左eZ,故B错误;

对于C,y=sin2x单调递减，贝！|

/(x)=-Min2x单调递增，故C正确；

对于D,/(x)=-V2sin2x,贝！|sin2xe[-1,1],所以/(x)e卜行,后],故D错误;

故选：AC

10.已知复数z,w均不为0,则()

,,,,ZZ2-------—Zz

A.z=zB.==-~~-yC.z-w=z-wD.一=一

ZIZrWW

10.BCD

【考查目标】复数的运算、共辄复数、复数的模

【解题思路】灵活运用复数的运算、共辄复数、复数的模解决问题【命题考向趋势】较复杂

的复数的有关运算

【备考复习建议】灵活掌握复数的四则运算、复数的模、共辄复数

【解析】设2=°+历(a,6eR)、w=c+di(c,deR)；

对A：设2=a+6ieR),贝！Jz?=(a+bi)~=a?+Zabi—b?=a?—b2+2aZ?i,

\z\2=(^la2+b2^=a2+b2,故A错误；

22

对B：2=L,又2-z=，，即有===，故B正确；

zz-zZ|z|

对C：z—w=u+bi—c—di=ci—c+(b—d^i,贝！Jz—w=a—c—(6—d)i,

z=a—bi，w=c—di，则z—w=a—M—c+di=a—c—0—d)i,

即有z-w=z-iv,故C正确；

za+/?i(a+Z?i)(c-di)ac+bd-(ad-bc)i

对D：

wc+di(c+di)(c-di)c2+d2

ac+bdad-bcy_Iac'+Zabcd+b2d2+a2d2_2abcd+b2cl

C2+^J—d1+屋)2

c1+d2

_la2c2+b2d2+a2d~+b2c2_yla2c2+b~d2+a2d2+b~c~

(c2+d2f~c2+d2;

且=但+右=〃2+/2xJc2+/=J/+/)卜2+/)

222222

Hyjc+dc+dc+d

='a2c2+b2c2+bQ[,故二=旦，故口正确.

c2+d2ww

【点评】以复数为载体，考查复数、共辗复数和复数的模的概念及复数的代数运算，强调

对高中数学基本概念、基本运算的掌握，体现了课程标准对复数学习的要求，较好引导复数教

学，考查学生逻辑思维能力和运算求解能力。

【知识链接】

1.复数的定义

形如a+万(a,6eR)的数叫复数，其中。叫复数的实部，6叫复数的虚部，，为虚数单位且规定i?=-1.

要点诠释：(1)因为实数。可写成“+Oxi,所以实数一定是复数；

(2)复数构成的集合叫复数集，记为C

2.虚数单位i的周期性

计算得「=11=不2=_1"3=_"继续计算可知i具有周期性，且最小正周期为4,故

有如下性质：

(1)i"=覃4向=i,i"'+2=_革4"+3=_i(〃eN*)；

(2)i4),+i4,,+1+i“"+2+i-,+3=0eN)

3.复数核心运算

1*运算律:(l)z城-z"=zm+";(2)3")"=Zmn-(3)(Z]•Z2广•zf(叽n&N).

=W;(3)|z-|=|zr；(4)z-z=|z|2.

2.模的性质：⑴归匐=|马闫;⑵五

Z2lZ2i

3.重要结论：

222

⑴匕1-Z2「+h+z『=2(|z『+|z2|j;z-z=|z|=|zI

(2)(1±z)2=±2z;---==i;

1+11-i

1n

(3)方=1o(①—1)(疗+0+i)=0o①=]或啰=——±-^-i

11.已知函数的定义域为R,且卜0,若/(x+v)+〃x)/3=4孙，则()

B.=

C.函数/(x-£|是偶函数D.函数/(x+[是减函数

【考查目标】抽象函数性质

【解题思路】特殊值带入寻找解题路径【命题考向趋势】抽象函数变化

【备考复习建议】理清抽象函数的特点属性

11.ABD【解析】令x=：、了=0,则有+⑼=/g][l+/(0)]=0,

又/g，0,故1+/(0)=0,即/(0)=—1,

令XjT，则有/1-口+/图/|-)=4'“3

即/(o)+/[KT]=—1,由/(0)=—1,可得]=°，

又/g，0,故/1-£|=0,故A正确；

令N=-；，则有—1+=

即/[-1=-2x,故函数/]x-g]是奇函数，

有/1x+1一)]=一2(%+1)=-2x-2,即/[x+J=-2x—2,

即函数/\+£|是减函数，

令x=l,有/[：]=-2xl=-2,

故B正确、C错误、D正确.

【点评】解答过程应该是由题目条件得到川尸-1,再进一步得到於1/2)=0,由此导出道x-1⑵

的表达式，最后得到小)的表达式。有关抽象函数的试题很多都是在奇偶性、周期性的基础上

设计，类似题目多了难以避开程式化的误区。第11题设计新颖，叙述简洁，选项设置符合题

目内在逻辑，且形式优美对称，是试题规范性的极好示例。

【知识链接】

1.周期概念理解

1.定义:设/⑴的定义城为D，若对VxeD，存在一个非零常数T，有/(x+T)=〃x),则称函数

/(x)是一个周期函数，称T为/(x)的一个周期.

2.若/(x)是一个周期函数，则/(x+T)=/(x)，那么/(x+2T)=f(x+7)=〃x),即27也是/(x)的

一个周期，进而可得kT(keZ,左片0)也是/(%)的一个周期.

3.最小正周期:若T为/(X)的一个周期，WeZ,^0)也是/(x)的一个周期，则在某些周期

函数中，往往存在周期中最小的正数，称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正

周期,比如常值函数〃x)=C就没有最小正周期.

2.常见周期性结论

序号函数式满足关系(xeA)周期

(1)〃x+T)=/(x)T

(2)/(x+n=-/«2T

/(x+r)=-^-；/(x+r)=--l-

IT

(3)〃x)/(x)

(4)f(x+T)=f(x-T)2T

f(x+a)="x+b)或_a)=f(x-b)\a-b\

函(5)

数(6)f(x+T)=-f(x-T)4T

周rf(a+x)=f{a-x)

(7)2a

J(x)为偶函数

期

性"(a+x)=/(a-x)

2,-,

(8)J(b+x)=f(b-x)

的

'/(a+x)=_/("x)

(9)2a

些/(x)为奇函数

结y(a+x)=-f(a-x)

2,

(10)JS+x)=-〃I)

论

7(a+x)=/("x)

4。

(11)J(x)为奇函数

7(a+x)=_/("x)

(12)4。

/(x)为偶函数

7(。+x)=/(。-x)

4|«-6|

(13)[f(b+X)=-f(b-X)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合/={—2,0,2,4},8={x||x—3|<加},若/c5=Z,则〃？的最小值为.

【考查目标】集合交集运算、不等式

【解题思路】集合交集运算、不等式【命题考向趋势】集合相关运算

【备考复习建议】灵活掌握集合相关运算

12.5【解析】由/口8=2,故Z=由卜一3|〈加，得-加+3<x4加+3,

f4<m+3[m>1

故有1,>即<、<，即加》5,即加的最小值为5.

-2>-m+3[m>5

【点评】将集合、不等式、最值等知识有机结合起来，不仅考查了考生对集合的表示方法、

集合的交集运算性质、集合间的关系、绝对值不等式等基础知识的掌握情况，而且考查了数学

中重要的分类和数形结合思想。该题题面简洁，内涵丰富，强调数学知识之间的联系与融合。

【知识链接】

L集合技巧全攻略

交集4cB屋4AcBjBAr>A=A=04cB=B

并集AuB卫AAuB江BAYJA=AA<J0=AA<JB=B<JA

补集

C(j(Q/4)=/CyU=0Cu0=U(C/)c/=(CumuA=U

2.集合的互异性

对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的.凡是出现含参数的集合，必须首先

考虑集合的互异性,即集合中元苏不相等，例如集合/={。力}，则有"6

3.集合相等

对于两个集合Z与3,如果Zq3,且8。/,那么集合Z与3相等，记作2=3.

4.集合子集个数

真子集有（2〃-1）个,非空真子集有（2"-2）个.

5.子集与交集

若则Zc8=Z;若Zc8=Z,则ZqB.

6.子集与并集

若/08,则Zu8=3;若Zu3=8,则Z口3.

7.子集与空集

题目中若有条件80Z,则应分5=0和5w0两种情况进行讨论.

8.并集与空集

由于Zu0=Z,因止匕,Zu8=8中的Z可以为0.

9.反演律（德摩根定律）

G（ACB）=（C/Z）D（C/）（交的补等于补的并）

“AuBXGAWS）（并的补等于补的交）

10.容斥原理

用card（Z）表示集合Z中的元素个数（有资料中用|/|或其他符号），则通过维恩图可理解其

具备的二维运算性质card(ZuB)=card(Z)+card(5)-card(/cB).

13.已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球O的直径相等，则圆锥W的体积与球

O的体积的比值是,圆锥的衣而积与球。的表面积的比值是

【考查目标】圆锥轴截面概念、圆锥表面积、体积公式、球体表面积、体积公式

【解题思路】根据题设条件建立等量关系

【命题考向趋势】圆锥轴截面概念、表面积、体积公式，球体体积、表面积公式

【备考复习建议】球体、锥体表面积、体积公式运用

13.答案：①.；②.1

【解析】设圆锥的底面半径为「，球的半径为R,

因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高力=6厂，母线/=2r,

由题可知：h=2R,所以球的半径尺=立外

2

所以圆锥的体积为匕=；x（7txr2）x=^y-7tr3,

3

球的体积匕=3成3=37rx-^-r=—7ir,

圆锥的表面积H=nrl+nr2=3nr2,

r/?V

2

球的表面积S,=4成2=47rx——r=3TV,

2

【点评】以圆锥和球为载体，考查简单几何体的体积和表面积公式等基础知识。该题背景

熟悉，计算量不大，要求考生能在已有知识的基础上进行推理、运算，融合考查了空间想象、

逻辑思维、运算求解等数学关键能力。

【知识链接】

1.多面体的表面积和体积公式

名称侧面积s侧全面积s全体积修

棱棱柱直截面周长X/S底x〃或S直截面x1

S侧+2S底

柱直棱柱chS底•用

棱锥各侧面面积之和

棱底坊

s侧+s底

锥17,

正棱锥—chS侧

2

棱台各侧面面积之和

棱

g/S上底+S下底+Js上底.S下底）

1ffS侧+S上底+S下底

台正棱台5（c+c）〃

要点诠释：表中S表示面积，C；c分别表示上、下底面周长，〃表示高，”表示斜高，/表示侧

棱长

2.旋转体的表面积和体积公式

名称侧面积s侧全面积s全体积厂

圆柱2兀rl2%7•（/+F）Tir^h（即兀r?l）

圆锥兀rl7ir（l+r）—Tir^h

3

圆台"（勺+校）/"（勺+0）/+乃（7f+4）

士兀R3

球4万R?

3

要点诠释

表中/，力分别表示母线、高，表示圆柱圆锥的底面半径，外,-2分别表示圆台的上下底面半径，R

表示球的半径.

3.公式法

(1)柱体的体积公式：％=勖

(2)锥体的体积公式：曝

⑶台体的体积公式：V台=；(S+S+用)h

(4)球的体积：％=%甯

5.正四面体与球的组合

正四面体力-BCD的棱长为%它的高为ga,体积为普外接球半径为£入内接半

径为将.

6.表面积和体积最值问题

1.求棱长或高为定值的几何体的体积或表面积的最值.

2.求表面积一定的空间几何体的体积最大值和求体积一定的空间几何体的表面积的最小

值.

3.组合体中的最值问题一般思路：

(1)根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平

面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；

(2)利用基本不等式或建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数或者导数方法

解决.

14.以maxM表示数集/中最大的数.设0<a<b<c<l,已知b22a或a+bW1,则

max{b-a,c-b,l-c}的最小值为.

1„

14.1或0.2

【考查目标】不等式

【解题思路】最大值变量中的最小值辩证关【命题考向趋势】不等式的灵活运用【备考复

习建议】注重概念深层次理解。

b=l-n-p

【解析】令6-。=加,。一/?=〃,1一。=夕,其中m,n,p>0,所以

a=l-m-n-p，

若622a,贝!|6=1—〃一夕之2（1—加一〃一夕），故2阴+〃+夕》1,

M=max{b-a,c-b,l-c}=max{加,，，7},

2M>2m

因此，故4M22〃z+〃+)21,则M2工，

M>p

若a+6<l,贝!|1一〃一)+1—加一”一PVI,即加+2〃+2夕21,

Af=max[b-a,c-b,l-c]=max{加，，，,},

M>m

则<2M>2n，故5M2加+2〃+2夕21,贝[|M2—，

2M>2p'

当加=2〃=20时，等号成立，

综上可知max{b-a,c-b,l-c}的最小值为1,

故答案为：—

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知函数/（切=向+/+依+2在点（2,/（2））处的切线与直线2工+3>>=0垂

直.

（1）求。；

（2）求〃x）的单调区间和极值.

【考查目标】函数与导数

【解题思路】导数、切线、直线斜率垂直条件、利用导数求解函数的单调性、极值

【命题考向趋势】函数与导数，求单调性、极值

【备考复习建议】利用导数求解函数的单调性、极值

【知识链接】

1.导数的符号与丞数的单调性

一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，则在这个区间上，

(1)若/(x)>0,则/(x)在这个区间上为增函数；

(2)若/(x)<0,则/G)在这个区间上为减函数；

(3)若恒有/(x)=0,则/(X)在这一区间上为常函数.

反之，若/G)在某区间上单调递增，则在该区间上有/(x)K)恒成立(但不恒等于0)；

若f3在某区间上单调递减，则在该区间上有/(x)2)恒成立(但不恒等于0).

要点诠释：

(1)因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上了'(X)>0,即切线斜率为

正时，函数/⑴在这个区间上为增函数；当在某区间上/'⑴<0,即切线斜率为负时，函数/⑴

在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减.

(2)若在某区间上有有限个点使广⑴=0,在其余点恒有厂(x)>0,则/(x)仍为增函数

(减函数的情形完全类似)，即在某区间上，f,M>0n/(x)在这个区间上为增函数：

/⑴<0n/(x)在这个区间上为减函数，但反之不成立.

(3)/⑴在某区间上为增函数n在该区间广⑴汽)；/⑴在某区间上为减函数n在