2024届高考数学冲刺模拟卷11（B卷较难版）

2024届高考数学冲刺模拟卷11（B卷较难版）C.[4,4码D.即,响

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

7.已知acR,函数/（%）=>+1%-。|+|力十一a||,记/（%）的最小值为小⑷，则（）.

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考A.加（。）在（7,0）上是增函数，在（0,+8）上是减函数

证号填写在答题卡上。

相。）在（）上是减函数，在（）上是增函数

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，B.-8,00,+8

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。C.制。）在R上是奇函数

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

皿。）在上是偶函数

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。D.R

8.如图，已知矩形ABCD,A8=1,3C=G，沿对角线AC将折起，当二面角8—AC-。的余弦值为-；时，B

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知复数建在复平面内对应的点在虚轴上，则实数（）B

1+1

A.-1B.0C.1D.2

2.已知全集/nN,集合A={H%=2〃,〃WN},3={%k=4",〃wN},贝（J（）

D

A.I=A\JBB./=AU（©3）A.也B.0

3

C./=（利_3D./=（飘）u（⑻C.9D.72

3

3.“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派3人划左桨、3人

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）.

A.26种B.31种C.36种D.37种9.在二项式（2«-的展开式中（）

4.在中，A=90。，点。在线段上，点E在线段AC上，且满足AD=D3=2,2AE=EC=2,CD交BE于

A.常数项是第4项B.所有项的系数和为1

点、F,贝尸.C5二（）

32「29厂23n17C.第5项的二项式系数最大D.第4项的系数最小

A.—B.—C.—D.—

5555

fl1

10.设等比数列{为}的公比为q,其前〃项和为I，前〃项积为7；,且满足条件%>1,«20242023>»

tana_2（、

5•已知,则+力等于（）

（^024-1）（^3-l）<0,则下列选项正确的是（）

A.一正B,变C..也D.旦

A.0<^<1B.$2023>,2024—1

551010

6.过点尸（-3,0）作直线2%+（4+l）y+2;l=0（；lwR）的垂线，垂足为M,已知点N（-3,3）,则当4变化时，|MN|的取C.心”是数列{北}中的最大项D.n（）45<1

值范围是（）

A.[2^,4]B.[5/5,35/5]

11.如图，已知抛物线E：丁=4%的焦点为R准线/交x轴于点C,直线机过C且交E于不同的A,B两点,3在16.如图，在三棱锥A-3c。中，平面ABD_L平面BCD。是瓦)的中点，=AD._OCD是边长为1的等边三角形,

£在射线ZM上.

线段AC上，点尸为A在/上的射影.下列命题正确的是()

⑴证明：OAlCDi

(2)若。石=2E4,且二面角石-3。一。的大小为45。，求二面角A—BC-D的大小；

(3)若A0=l,求直线CE与平面BCD所成角的正弦的最大值.

A.若则|AP|=|PC|B.^\AB\=\BC\,则冈=2|即

C.若|A尸|=4,则P,B,歹三点共线D.对于任意直线处都有|/用+忸同>2|CF|

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知数列小｝是等差数列，数列帆｝是等比数列，若出+%+4=5兀，仿贴6=3/，贝(JtanEM=____.

1一q线

14

13.若且a+3Z?=5,则----+-~~；的最小值为_________,而一廿一°+匕的最大值为_________.

a—b0—1

14.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑•波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造

17.已知函数/(%)=cos%+%sin%,xe(-7t,7r).

三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(此等边三角形称为拿破仑三角形)的顶

⑴求了(%)的单调区间和极小值；(2)证明：当%)时，2/(x)<ex+e-\

点.”已知内接于半径为«的圆，以3C,AC,A3为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A,4,C.

若NAC3=30,贝！LA'?。的面积最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在一ABC中，角A民。的对边分别为。，"G且cos23+cos2C=2cos2A—2sin3sinC.

⑴求角A;

(2)若NBAC的平分线交于点。,b=3,c=4,求AD的长.

18.已知抛物线r：V=4x的焦点为产，准线为二；19.三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：

⑴若/为双曲线C：W-2y2=1(。＞0)的一个焦点，求双曲线C的离心率e；

a、a2a3ijk

a

"b2b?=%b2c3+a2b3C1+a3ble2—a3b26一a2ble3—%b3c2•若axb=%y4，则称为空间向量a与B的叉乘，

因

CCZ

若G23%2%2

(2)设/与x轴的父点为£,点尸在第一象限，且在「上,附=彳,求直线改的方程;

其中£=玉£+乂j+z1Mxp%,ZiwR),a=x2i+y2j+z2k(x2,y2,z2&R),{i,工左}为单位正交基底.以。为坐标原点、

(3)经过点尸且斜率为2(氏。0)的直线『与「相交于A,B两点，O为坐标原点，直线OA分别与/相交于点M,N；

分别以九j，后的方向为工轴、,轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A,3是空间直角坐标系中异于

试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由；

。的不同两点

⑴①若A(l,2,l),B(0,-l,l),求OAXOB；

②证明OAXO8+OBXOA=6.

(2)记AAOB的面积为SAOB,证明：SAOB=^\OAxOB\.

(3)证明：(04x05)2的几何意义表示以乙Aa为底面、|0Ax0@为高的三棱锥体积的6倍.

参考答案:

1.c

【分析】

根据复数的运算和几何意义分析求解.

【详解】

a-1_fl-i_(«~i)(l-i)_a-1<7+1.

由题意可得:1+i5-1+T-(l+i)(l-i)2-1

因为复数*H在—I复平面内对应的点在虚轴上，贝!)Z7，—1=0,解得〃=1.

1+12

故选：C.

2.B

【分析】根据题意画出韦恩图，根据韦恩图即可判断每个选项.

【详解】根据题意A是非负偶数的集合，而8是4的非负整数倍组成的集合,

易得8为A的真子集，根据题意，画出韦恩图,

对于A,AB=A^I,故不正确；

对于B,A")=1,故正确；

对于C,(可⑷B^l,故不正确；

对于D,(飘)J(/)=(”)",故不正确;

故选：B.

3.D

【分析】根据题意，设人=｛只会划左桨的人｝,8=｛只会划右桨的人｝,C=｛既会划左桨又会划右桨的人

｝,据此按集合A中参与人数分3种情况讨论，再由加法原理求解即可.

【详解】根据题意，设人=｛只会划左桨的人｝,2=｛只会划右桨的人｝,C=｛既会划左桨又会划右桨的人

},

据此分3种情况讨论:

①从A中选3人划左桨，划右桨的在(BuC)中剩下的人中选取，有C；=10种选法;

②从A中选2人划左桨，C中选1人划左桨，划右桨的在(2UC)中剩下的人中选取，有C；.C；.C：=24种选

法;

③从A中选1人划左桨，C中2人划左桨，8中3人划右桨，有C；=3种选法,

则有10+24+3=37种不同的选法.

故选：D.

4.C

【分析】由已知可得AB=4,AC=3,设CF=MD，根据平面向量的线性运算，推出AF=3(1-X)A£+/AB,

由8,E,F三点共线求得"再将ARBC表示成以为基底的向量，由平面向量数量积的运算法则得

答案.

如图：由AD=D3=2,2AE=EC=2^AB=4,AC=3,

设C/=ACD，

贝ijAF=AC+CF=AW+XCD=AC+gX(CA+CB)

=AC+-ACA+-AAB--AAC

222

=(1-2)AC+12AB=3(1-2)AE+12AB.

14

民E,尸二点共线，3—+=1,即

AF=-AC+-AB

559

,-2-12-2112

则A=(145+二4。)(45—4。)=145--ABAC--AC

321923

=--------x4x3x0----=——

5555

故选：C.

5.D

【分析】

利用两角和的正切公式求出tana,再由两角和的正弦公式、二倍角公式及同角三角函数函数的基本关系将

弦化切，最后代入计算可得.

tanatana2

兀3i

tana+—tana+tan一

【详解】因为I44,解得tana=2或tana=-,

1兀

I-tanatan—

4

又sin12a+£=sin2acos—+coslasin—

44

=-^-(sin2a+cos2a)

=^^(2sinacosa+cos2cr-sin2a

2

&

2sin。cosa+cos26Z-sin2a

2一x----------2---------------

cosa+sma

0

-2tancr+l-tan2a

2X----------2------，

I+tana

2tana+1-tan2a_62x2+1-2272

当tana=2时xx--------

21+tan2a2l+2210

二也f—2x

,I」62tana+l-tan2a_V2

当tana=一§时下-x

I+tan2a~10；

综上可得sin£a+9=也.

I4j10

故选：D

6.B

【分析】化己知直线为(2x+y)+〃y+2)=0,即有2x+y=0且y+2=0,解方程可得定点Q,可得M在以PQ

为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值.

【详解】直线2无+Q+l)y+24=0(2eR),即(2x+y)+〃y+2)=。，

f2x+y=0fx=l,

由°c,求得°,直线经过定点。(l，-2).

[y+2=0[y=-2

当垂足M与。不重合时，由为直角三角形，斜边为PQ,M在以PQ为直径的圆上运动，当垂足M与

。重合时也符合，(由于已知直线不能表示直线、=-2,所以点M的轨迹要从上面的圆中除去点(-3,-2),这

个点显然不影响下面的取值范围)

可得圆心为P。的中点半径为r=gI尸。|=«,

则N(-3,3)与M的最大值为|诋|+厂=7(-3+1)2+(3+1)2+6=26+&=3后,

则N(-3,3)与M的最小值为网-r="(-3+1产+(3+1)2-行=26-后6，

故肱V的范围为：［百,3石］,

故选：B

7.D

【分析】根据题意，得到/(x)=2max{/,|x-a|},令g(x)=max{*,|x-a|},分别讨论TWaWl,或

a<-l,三种情况，画出对应函数图像，结合图像，即可得出结果.

【详解】函数/(x)=/+1x-a|+|ew-|.r-a||=2max{*\|x-a|},

令g(x)=max{#,

①当-IWaVl时，g(x)的图象如图所示，加(a)=2g(x)1nhi=2,且g(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上

单调递增.

②当。>1或时，g(X)的图象如图所示，gOOmin在点A或4处取得，

根据图形的对称性知，m(a)=2g(x)^=2g(xA)=2g(x^),

且当。＞1时，g(X)在(v30,4)上单调递减，在(*4，+°°)上单调递增.

当时，g(x)在(-哈尤A)上单调递减，在上单调递增.

所以于(x)=2g(x)的最小值m(a)在R上是偶函数.

故选：D.

【点睛】本题主要考查求函数的最值，以及判断函数单调性，灵活运用数形结合的方法求解即可，属于常

考题型.

8.B

【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式计算模长即可.

【详解】过8和。分别作BELAC,DFJ.AC,

在矩形A8CD,A8=1,8C=5AC=2,

S^ABC=S4ABe>-AB,BC=-AC-BE

BE=DF=昱,则AE=CF=!，即EF=2—1=1,

22

平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为-g,

cosEB,FD=-^

BD=BE+EF+FD，

2/\22-2-2

:.BD=(BE+EF+FD)=BE+EF+FD+2BE-EF+2FD-BE+2EF-FD

=-+1+--2|EB|.|FD|COSEB,FD=--2X—|=-+-=3,

44।"।222I3j22

则|刈(卜百，即8与。之间距离为后,

故选：B.

9.BCD

【分析】利用二项式展开式通项可判断A选项；利用赋值法求所有项系数和可判断B选项；利用二项式系

数的性质可判断C选项；先求系数绝对值最大的项，然后利用符号即可判断D选项.

=C：(2石r=(-1/-28y尸,

【详解】二项式的展开式的通项为KM

对于A,令4-左=0,得左=4,故常数项是第5项，故A错误;

对于B,令x=l,则所有项的系数和是(2-1)8=1,故B正确;

对于C,二项式展开式共9项，则由二项式系数的性质知第5项的二项式系数最大，故C正确;

r\S—k、09—k「k—l

对于D,设第k+1项的系数的绝对值最大，则284、；274c3解得24左43,

又上eZ,所以左=2或笈=3,

当上=2时，4=1792尤2；当左=3时，(=一1792x,

所以第4项的系数最小，故D正确.

故选：BCD

10.AB

【分析】根据给定条件，探讨等比数列｛q｝的性质，再逐个选项分析判断即可.

【详解】由(丹024—1)(%023—1)<。,02023—1>°,。2024-1<。或02023〜1<0,iZ2g24-1>0,

而％>1,。2024%023>1>。2023,02024同号，则“2023>>°2024<1,即数列前2023项大于1,从第2024项开始小

于1，

对于A,4=为<1,又q>0,则0<q<l,A正确;

“2023

对于B,由。2024<1，得，2024—^2023="2024<1,则邑023>4^2024~»B正确;

对于C,显然｛q,｝是递减正项数列，且出。23>1，出024<1，因此5。23是数列｛1｝中的最大项，C错误；

对于D,加5-45=d"•产++4°44=武5•产.期二侬⑵户、：1，D错误.

故选：AB

11.BCD

【分析】设出直线方程，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理与抛物线的定义进而逐项分析即可，其中D

选项需要结合均值不等式；

【详解】如图，由已知条件可得尸。,0),C(TO).由抛物线的对称性，

不妨设直线机的方程为'=左(％+1)(左>0),4(石,％),B(x2,y2),依题意%>%，

由］:+“整理得以2+(2F-4)X+*=0.

当A=(2左2_韦2—4rt=16—16%2>0,即0<左<1时，

由韦达定理，得%+%=土理，^2=1.

k

对A选项，假设|APRPC|成立，由为等腰直角三角形，ZACP=45°,ZACF=45°,所以△友万为

等腰直角三角形，则点B在y轴上，这与已知条件显然矛盾，故A错误；

对于B选项，过3作仅2，/,垂足为。，由已知可得AP//BQ,所以黑=器.

5i\AB\=\BC\,所以=2忸*

由抛物线的定义，得|AF|=|AP|,怛同=|"2|,因此|AF|=2忸刊，故B正确；

对于C选项，叫=4=4+1=4(3,2月,所以川-1,2月，1=-百，

由直线A3的方程为/=¥。+1),

结合占丑=1可得联立3号寺，脸=-6，

所以P,民尸三点共线，C正确;

对于D选项，因为|AF|=X1+1,忸8=9+1,

所以[AFI+忸同=占+w+2»2<J^^+2=4,又X]4%，|CF|=2,

故|A司+|BF>2|b|成立，故D正确.

【分析】

根据等差和等比数列的性质，再结合特殊角的正切值，即可求解.

57110兀

【详解】由等差数列的性质可知，％+%+。6=3%=5兀，即。4=5，而4+%=2%=亍，

根据等比数列的性质可知，仇%仅=&=3百，则勿=有，b力『吟=3,

所以3哥=tan1?)=ta吟=石.

故答案为：6

13.25—/0.0625

16

14

【分析】①利用已知条件构造(。-b)+4S-1)=1,然后与一^十丁:相乘构造基本不等式，利用基本不等

a-bb-i

式即可；②由/j+bXa—OAS—D，结合3-力+43-1)=1利用基本不等式即可求解

【详解】①由。>人>1,可知〃一/?>0,b-l>Q,

所以(a-b)+4S_l)=Q+3b_4=5_4=l,

所以(^7+7^7][(〃_b)+4ST)]

\a-bb-\)

(a-b)+4s-1)4[(a-b)+4(b-1)]

=--------------1----------------

a-bb-l

=1/H--------------1---------------

a-bb-1

l4(b-l)4(a-b)_

_1/H-/x-,

Va-bb-1

当且仅当〃一人=人一1=[=/?=《,4=:时，等号成立，

14

故」7+匕的最小值为25.

a-bb—1

_________________________i913

②又1=(乙一〃)+4(〃一1)之2dg一b)•4(b-1)=4y/(a-b)-(b-l),当且仅当=4s-1)=一=>6=—,a=一

288

时，等号成立，

ffi^kab—b2-a+b—(a—b)-(b—l)<-,

16

故ab-b?-a+b的最大值为二.

16

故答案为：25；—

16

14.2省+3

【分析】设；ABC的三个内角A,g,C所对的边分别为a,"c,由正弦定理求出c,由题意可得/AC?=90,

从而表示出（48'）2=《1^,结合余弦定理求得12（2+有），利用三角形面积公式即可求得答案.

【详解】

ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

由正弦定理可得丁餐=2瓜.-.c=y[6,

sin30

因为4,夕是以BC,AC为边向外作的等边三角形的外接圆圆心,

故ZA'CB=/B'C4=30，故/A'C8'=90,

由题意知A'C=旦」=—a,B'C=—b,

2333

贝ij(AB)=B'C2+A'C2=a+b,

3

又a?+匕2—2abcos30=c2,a2+b2—6ab=6,

22

故。2+/-6=其646._£^_,...a+/?<12(2+A/3),

当且仅当a=b=«(2+向时等号成立，

即(A'B1)2=a二<4(2+回,

由题意知一A'3'C'为等边三角形，

故SA'B'C=¥(AB)2二%/丁vf4(2+且)=2石+3,

即.A'3'C'的面积最大值为2/+3,

故答案为：26+3

【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于明确拿破仑三角形的含义，即.A8C'为等边三角形，由此可结合

正余弦定理以及基本不等式求解.

71

⑵名

7

【分析】(1)利用正、余弦定理，二倍角公式等计算即可；

(2)利用等面积法SABC=SABD+SAS结合条件计算即可.

【详解】(1)因为cos2B+cos2c=2-2sin2A-2sin8sinC,

所以1—2sir?2+1—2sin?C=2—2sin2A—2sin2sinC,

即sin2A=sin2B+sin2C-sin8sinC

由正弦定理得a?=/+。2-乩,

又由余弦定理a2=b2+c2-26ccosA,可得cosA=；

因为Ac(0,7i),所以A4；

(2)在ABC中，A=p

由等面积法得SABC=SABD+sACD，

11A1A

即一ACA5sinA=—A5A0sin-+—ACAOsin—,

22222

BP—x3x4x——=—x4xADx—+—x3xADx—，

222222

所以4。=吆叵.

7

16.(1)证明见解析

(2)arctan2

⑶空

7

【分析】（1）证明AO,平面BCD得到答案.

（2）确定/EGF为二面角E-3C-。的平面角，根据角度计算49=1,再确定NAMO为二面角A-3C-£>

的平面角，计算得到答案.

（3）过点E作于歹，连接尸C,确定/ECF为直线CE与平面BCD所成角，

sinZECF=.=

\（\1Y7,计算得到最值.

y[a~2j+4

【详解】（1）AB=AD,。为的中点，所以AO_L3。，

又平面ABD_L平面BCD,平面ABDc平面BCD=3D,AOu平面ABD,

故AO_L平面8c。，又CDu平面3CD,所以AO_LCD

（2）过E作EF_L8D,交BD于点F,过尸作FG_L3c于点G,连结EG,

由题意得所〃AO,又AO_L平面BCD,故跖/平面BCD,又3Cu平面BCD,

所以EF上BC,又BCLFG,FGcEF=F,FG,EFI平面毋C,

故平面EFG,又EGu平面EFG,所以3c_LEG,

则NEGF为二面角E—BC—D的平面角，即ZEGF=45°,

又CD=DO=OB=OC=1,所以/3OC=120。，贝U/OCB=NO3C=30。，

故/BCD=90。，所以FG//CD,

因啮谯啜总312所以翳黑

贝!JAO=—EFQF=—,DF=—,3

233

223

则GP=-,EF=GF=~,AO=-EF=1,

332

过点。作0暇，3c与连接AM,

AO_L平面BCD,BCu平面BCD,故AO13C,

又OMIBC,OMAO=O,OM,AOu平面OMA,故BC/平面OMA,

4Wu平面OMA,故BC_L4W,

故NAMO为二面角A-3C-O的平面角，MO=-CD=-,tanZAMO==2,

22OM

故NAA1O=arctan2,即二面角A-5C-£>的大小为arctan2

(3)如图所示：过点E作跖_LBD于F,连接尸C,

则EF//AO,又AO_L平面BCD,故EF1平面BCD,

NECF为直线CE与平面3C。所成角,

设斯=。(〃20),40=00=1,△49。为等腰直角三角形，故。F=a,

在△CFD中，FC2=DF2+DC2-2DF-DC-cosZFDC=a2-a+1,

所以EC?=FC2+EF-=2〃-a+1,

当a=2时，sinNECF最大为短

7

17.（1）递增区间为（-私-克,（0片），递减区间为（-极小值为1;

（2）证明见解析.

【分析】

（1）求出函数Ax）的导数，利用导数求出单调区间及极值.

(2)根据给定条件，构造函数，利用导数结合基本不等式推理即得.

【详解】(1)函数/(x)=cosx+%sinx,%£(一兀,兀),求导得了'(%)=—sinx+sinx+%cos%=xcos%,

7T71

当一兀<%<-5时，f(x)>O,/(x)单调递增；当一5<%v0时，/(x)<O,/(x)单调递减；

当0<%<；时，/'(x)>O,/(x)单调递增；当］<芯<兀时，/'(x)<O"(x)单调递减，

所以"%)的递增区间为(-兀厂共(0片)；递减区间为(最,0)《，兀)，”%)的极小值为"0)=1.

(2)当XE［0,兀)时，令尸(%)=匕*+©一*一2(cosx+xsinx),

求导得Fr(x)=ex-e-x-2%cosx>ex-e~x-2x,

令<p(x)=e'-e-'-lx,求导得(p\x)=er+e_x-2>2信.b一2=0，

函数G(x)在［0,兀)上单调递增，则0(x)20(O)=O,砥尤)20,尸(幻在［0,兀)上单调递增，

因此产(%)。尸(0)=0,所以2f(x)Me*+eT.

18.(1)72

(2)x-y+l=0

(3)以线段MN为直径的圆C过定点(1,0),(-3,0),理由见详解

【分析】(1)先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求双曲线的0J即可得离心率；(2)根据抛物线的定义

进行转化分析可得=进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程；(3)设直线，

4

的方程及A,8两点的坐标，进而可求M,N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C

的方程分析判断定点.

【详解】(1)抛物线的焦点为/(1,0),准线为/：X=-!,

Y2__2L-iIT

双曲线C的方程为双曲线2y2=1,即/I则z，=*,c=/+L

a--2V2

由题意可知：C=J/+，=1,则〃=受，

V22

故双曲线C的离心率e=£=夜.

a

(2)由⑴可知：E(-l,0),

过点尸作直线/的垂线，垂足为M,贝1依|=|加|,

\PM\PF

sinZMEP=\~,且/ME尸£0,

附PE-2

71

：.ZMEP=-

4

7T

故直线"的倾斜角”“斜率人tana=l,

.♦.直线£尸的方程为y=x+