湖北名师联盟2025届高一数学第二学期期末综合测试试题含解析

湖北名师联盟2025届高一数学第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设函数，则（）A．2 B．4 C．8 D．162．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A． B． C． D．3．四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为（）A． B． C． D．4．与直线平行，且到的距离为的直线方程为A． B． C． D．5．函数的最大值为()A． B． C． D．6．已知a>0,b>0,a,b的等比中项为2，则a+1A．3 B．4 C．5 D．427．已知数列的前4项依次为，1，，，则该数列的一个通项公式可以是（）A． B．C． D．8．已知直线，平面，给出下列命题：①若，且，则②若，且，则③若，且，则④若，且，则其中正确的命题是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．①②9．若，直线的倾斜角等于（）A． B． C． D．10．从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．数列是等比数列，，，则的值是________．12．若，，则的值为______．13．已知数列满足，，，记数列的前项和为，则________.14．若角的终边经过点，则___________.15．已知是奇函数，且，则_______．16．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天走的路程为__________里．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“阿当数列”.（1）若数列为“阿当数列”，且，，，求实数的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列为“阿当数列”，且其前项和满足？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由.（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“阿当数列”，，，当数列不是“阿当数列”时，试判断数列是否为“阿当数列”，并说明理由.18．已知函数.（1）求的值；（2）设，求的值.19．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第，，组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参广场的宣传活动，应从第，，组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组志愿者有被抽中的概率.20．设等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若成等比数列，求数列的前项和.21．如图，已知平面是正三角形，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正切值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据分段函数定义域，代入可求得，根据的值再代入即可求得的值．【详解】因为所以所以所以选B【点睛】本题考查了根据定义域求分段函数的值，依次代入即可，属于基础题．2、C【解析】

本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.【详解】如图所示，直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得.所以内切圆的面积为，所以豆子落在内切圆外部的概率，故选C．【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误．3、A【解析】

连接交于点，连接，证明平面，进而可得到即是直线与平面所成角，根据题中数据即可求出结果.【详解】连接交于点，因为平面，底面是正方形，所以，，因此平面；故平面；连接，则即是直线与平面所成角，又因，所以，.所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型.4、B【解析】试题分析：与直线平行的直线设为与的距离为考点：两直线间的距离点评：两平行直线间的距离5、D【解析】

函数可以化为，设，由，则，即转化为求二次函数在上的最大值.【详解】由设，由，则.即求二次函数在上的最大值所以当，即时，函数取得最大值.故选：D【点睛】本题考查的二次型函数的最值，属于中档题.6、C【解析】

由等比中项得：ab=4，目标式子变形为54【详解】∵a+1等号成立当且仅当a=b=2，∴原式的最小值为5.【点睛】利用基本不等式求最小值时，注意验证等号成立的条件.7、A【解析】

根据各选择项求出数列的首项，第二项，用排除法确定．【详解】可用排除法，由数列项的正负可排除B,D，再看项的绝对值，在C中不合题意，排除C，只有A.可选．故选：A.【点睛】本题考查数列的通项公式，已知数列的前几项，选择一个通项公式，比较方便，可以利用通项公式求出数列的前几项，把不合的排除即得．8、A【解析】

根据面面垂直，面面平行的判定定理判断即可得出答案。【详解】①若，则在平面内必有一条直线使，又即，则，故正确。②若，且，与可平行可相交，故错误③若，即又，则，故正确④若，且，与可平行可相交，故错误所以①③正确，②④错误故选A【点睛】本题考查面面垂直，面面平行的判定，属于基础题。9、A【解析】

根据以及可求出直线的倾斜角.【详解】，，且直线的斜率为，因此，直线的倾斜角为.故选：A.【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，要熟悉斜率与倾斜角之间的关系，还要根据倾斜角的取值范围来求解，考查计算能力，属于基础题.10、B【解析】

直接利用古典概型的概率公式求解.【详解】从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，共16个，其中大于30的有31，32，34，40，41，42，43，共7个，故所求概率为．故选B【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由题得计算得解.【详解】由题得,所以.因为等比数列同号，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12、【解析】

求出，将展开即可得解．【详解】因为，，所以，所以.【点睛】本题主要考查了三角恒等式及两角和的正弦公式，考查计算能力，属于基础题．13、7500【解析】

讨论的奇偶性，分别化简递推公式，根据等差数列的定义得的通项公式，进而可求.【详解】当是奇数时，＝﹣1，由，得，所以，，，…，…是以为首项，以2为公差的等差数列，当为偶数时，＝1，由，得，所以，，，…，…是首项为，以4为公差的等差数列，则，所以.故答案为：7500【点睛】本题考查数列递推公式的化简，等差数列的通项公式，以及等差数列前n项和公式的应用，也考查了分类讨论思想，属于中档题．14、3【解析】

直接根据任意角三角函数的定义求解，再利用两角和的正切展开代入求解即可【详解】由任意角三角函数的定义可得：．则故答案为3【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义和两角和的正切计算，熟记公式准确计算是关键，属于基础题．15、【解析】

根据奇偶性定义可知，利用可求得，从而得到；利用可求得结果.【详解】为奇函数又即，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解函数值的问题，属于基础题.16、192【解析】设每天走的路程里数为由题意知是公比为的等比数列∵∴∴故答案为三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）不存在，理由见详解；（3）见详解.【解析】

（1）根据题意，得到，求解即可得出结果；（2）先假设存在等差数列为“阿当数列”，设公差为，则，根据等差数列求和公式，结合题中条件，得到，即对任意都成立，判断出，推出矛盾，即可得出结果；（3）设等比数列的公比为，根据为“阿当数列”，推出在数列中，为最小项；在数列中，为最小项；得到，，再由数列每一项均为正整数，得到，或，；分别讨论，和，两种情况，结合数列的增减性，即可得出结果.【详解】（1）由题意可得：，，即，解得或；所以实数的取值范围是；（2）假设存在等差数列为“阿当数列”，设公差为，则，由可得：，又，所以对任意都成立，即对任意都成立，因为，且，所以，与矛盾，因此，不存在等差数列为“阿当数列”；（3）设等比数列的公比为，则，且每一项均为正整数，因为为“阿当数列”，所以，所以，；因为，即在数列中，为最小项；同理，在数列中，为最小项；由为“阿当数列”，只需，即，又因为数列不是“阿当数列”，所以，即，由数列每一项均为正整数，可得：，所以，或，；当，时，，则，令，则，所以，即数列为递增数列，所以，因为，所以对任意，都有，即数列是“阿当数列”；当，时，，则，显然数列是递减数列，，故数列不是“阿当数列”；综上，当时，数列是“阿当数列”；当时，数列不是“阿当数列”.【点睛】本题主要考查数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的性质即可，属于常考题型.18、（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）直接带入求值；（2）将和直接带入函数，会得到和的值，然后根据的值．试题解析：解：（1）（2）考点：三角函数求值19、（1）分别抽取人，人，人；（2）【解析】

（1）频率分布直方图各组频率等于各组矩形的面积，进而算出各组频数，再根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解；（2）列出从名志愿者中随机抽取名志愿者所有的情况，再根据古典概型概率公式求解.【详解】（1）第组的人数为，第组的人数为，第组的人数为，因为第，，组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽取的人数分别为：第组:；第组:；第组:.所以应从第，，组中分别抽取人，人，人.（2）设“第组的志愿者有被抽中”为事件.记第组的名志愿者为，，，第组的名志愿者为，，第组的名志愿者为，则从名志愿者中抽取名志愿者有:，，，，，，，，，，，，，，，共有种.其中第组的志愿者被抽中的有种，答：第组的志愿者有被抽中的概率为【点睛】本题考查频率分布直方图，分层抽样和古典概型,注意列举所有情况时不要遗漏.20、（1）或；（2）.【解析】

（1）利用等差数列性质先求出的值，进而得到公差，最后写出数列的通项公式；（2）依照题意找出（1）中符合条件的数列，再用等差数列前项和公式求出数列的前项和．【详解】（1）因为等差数列，且，所以所以，又，所以，于是或设等差数列的公差为，则或，的通项公式为：或；（2）因为成等比数列，所以所以数列的前项和.【点睛】本题主要考查等差数列的性质、通项公式的求法以及等差数列前项和公式，注意分类讨论思想的应用．21、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）取的中点的中点，证明，由根据线面垂直判定定理可得，可得平面，结合面面垂直的判定定理，可得平面平面；

（2）过作，连接BM，可以得到为二面角的平面角，解三角形即可求出二面角的正切值．【详解】解：（1）取BE的中点F.

AE的中点G，连接GD，CF∴,GF∥AB又∵,C