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文档简介
2025届清华大学附中高一数学第二学期期末调研试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.若是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列结论中正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则2.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,,,则B.若,,,则C.若,,,则D.若,,,则3.已知:,则()A. B. C. D.4.如图所示,已知正三棱柱的所有棱长均为1,则三棱锥的体积为()A. B. C. D.5.函数,,的部分图象如图所示,则函数表达式为()A. B.C. D.6.若一元二次不等式对一切实数都成立,则的取值范围是()A. B. C. D.7.与直线垂直于点的直线的一般方程是()A. B. C. D.8.Rt△ABC的三个顶点都在一个球面上,两直角边的长分别为6和8,且球心O到平面ABC的距离为12,则球的半径为()A.13 B.12 C.5 D.109.已知等比数列的前项和为,若,,则数列的公比()A. B. C.或 D.以上都不对10.正六边形的边长为,以顶点为起点,其他顶点为终点的向量分别为;以顶点为起点,其他顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值,其中,则下列对的描述正确的是()A. B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.在中,角的对边分别为.若,则的值为__________.12.已知点,点,则________.13.某奶茶店的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:)之间的关系如下:x012y5221通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程:;但现在丢失了一个数据,该数据应为____________.14.________15.已知等差数列的前项和为,若,则_______.16.若复数z满足z⋅2i=z2+1(其中i三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,,,分别是,的中点.(1)求证:平面平面;(2)求证:平面.18.已知函数(其中).(1)当时,求不等式的解集;(2)若关于的不等式恒成立,求的取值范围.19.已知数列的前项和为,.(1)求数列的通项公式(2)数列的前项和为,若存在,使得成立,求范围?20.做一个体积为,高为2m的长方体容器,问底面的长和宽分别为多少时,所用的材料表面积最少?并求出其最小值.21.(1)已知,且为第三象限角,求的值(2)已知,计算的值.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】
试题分析:两个平面垂直,一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面,所以A不正确;两个相交平面内的直线也可以平行,所以B不正确;垂直于同一个平面的两个平面不一定垂直,也可能平行或相交,所以D不正确;根据面面垂直的判定定理知C正确.考点:空间直线、平面间的位置关系.【详解】请在此输入详解!2、D【解析】试题分析:,,故选D.考点:点线面的位置关系.3、A【解析】
观察已知角与待求的角之间的特殊关系,运用余弦的二倍角公式和诱导公式求解.【详解】令,则,所以,所以,故选A.【点睛】本题关键在于观察出已知角与待求的角之间的特殊关系,属于中档题.4、A【解析】
利用等体法即可求解.【详解】三棱锥的体积等于三棱锥的体积,因此,三棱锥的体积为,故选:A.【点睛】本题考查了等体法求三棱锥的体积、三棱锥的体积公式,考查了转化与化归思想的应用,属于基础题.5、A【解析】
根据图像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊点求出,化简即得所求.【详解】由图像知,,,解得,因为函数过点,所以,,即,解得,因为,所以,.故选:A【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式,三角函数诱导公式,属于基础题.6、A【解析】
该不等式为一元二次不等式,根据一元二次函数的图象与性质可得,的图象是开口向下且与x轴没有交点,从而可得关于参数的不等式组,解之可得结果.【详解】不等式为一元二次不等式,故,根据一元二次函数的图象与性质可得,的图象是开口向下且与x轴没有交点,则,解不等式组,得.故本题正确答案为A.【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题,考查一元二次函数的图象与性质,注意数形结合的运用,属基础题.7、A【解析】由已知可得这就是所求直线方程,故选A.8、A【解析】
利用勾股定理计算出球的半径.【详解】的斜边长为,所以外接圆的半径为,所以球的半径为.故选:A【点睛】本小题主要考查勾股定理计算,考查球的半径有关计算,属于基础题.9、C【解析】
根据和可得,解得结果即可.【详解】由得,所以,所以,所以,解得或故选:C.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量的运算,属于基础题.10、A【解析】
利用向量的数量积公式,可知只有,其余数量积均小于等于0,从而得到结论.【详解】由题意,以顶点A为起点,其他顶点为终点的向量分别为,以顶点D为起点,其他顶点为终点的向量分别为,则利用向量的数量积公式,可知只有,其余数量积均小于等于0,又因为分别为的最小值、最大值,所以,故选A.【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算,其中解答中熟记向量的数量积的运算公式,分析出向量数量积的正负是关键,着重考查了分析解决问题的能力,属于中档试题.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、1009【解析】
利用余弦定理化简所给等式,再利用正弦定理将边化的关系为角的关系,变形化简即可得出目标比值.【详解】由得,即,所以,故.【点睛】本题综合考查正余弦定理解三角形,属于中档题.12、【解析】
直接利用两点间的距离公式求解即可.【详解】点A(2,1),B(5,﹣1),则|AB|.故答案为:.【点睛】本题考查两点间的距离公式的应用,基本知识的考查.13、4【解析】
根据回归直线经过数据的中心点可求.【详解】设丢失的数据为,则,,把代入回归方程可得,故答案为:4.【点睛】本题主要考查回归直线的特征,明确回归直线一定经过样本数据的中心点是求解本题的关键,侧重考查数学运算的核心素养.14、【解析】
根据极限的运算法则,合理化简、运算,即可求解.【详解】由极限的运算,可得.故答案为:【点睛】本题主要考查了极限的运算法则的应用,其中解答熟记极限的运算法则,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.15、【解析】
先由题意,得到,求出,再由等差数列的性质,即可得出结果.【详解】因为等差数列的前项和为,若,则,所以,因此.故答案为:【点睛】本题主要考查等差数列的性质的应用,熟记等差数列的求和公式,以及等差数列的性质即可,属于常考题型.16、1【解析】设z=a+bi,a,b∈R,则由z⋅2则-2b=a2+b2+12a=0三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】
(1)根据线面垂直的判断定理得到平面;再由面面垂直的判定定理,即可得出结论成立;(2)取的中点,连接,,根据线面平行的判定定理,即可得出结论成立.【详解】(1)在三棱柱中,底面,所以.又因为,所以平面;又平面,所以平面平面;(2)取的中点,连接,.因为,,分别是,,的中点,所以,且,.因为,且,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以,又因为平面,平面,所以平面.【点睛】本题主要考查证明面面垂直,以及证明线面平行,熟记线面垂直、面面垂直的判定定理,以及线面平行的判定定理即可,属于常考题型.18、(1)或;(2).【解析】
(1)先由,将不等式化为,直接求解,即可得出结果;(2)先由题意得到恒成立,根据含绝对值不等式的性质定理,得到,从而可求出结果.【详解】(1)当时,求不等式,即为,所以,即或,原不等式的解集为或.(2)不等式,即为,即关于的不等式恒成立.而,所以,解得或,解得或.所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法,以及由不等式恒成立求参数的问题,熟记不等式的解法,以及绝对值不等式的性质定理即可,属于常考题型.19、(1);(2)【解析】
(1)根据之间关系,可得结果(2)利用错位相减法,可得,然后使用分离参数的方法,根据单调性,计算其范围,可得结果.【详解】(1)当时,两式相减得:当时,,不符合上式所以(2)令,所以所以令①②所以①-②:则化简可得故,若存在,使得成立即存在,成立故,由,则所以可知数列在单调递增所以,故【点睛】本题考查了之间关系,还考查了错位相减法求和,本题难点在于的求法,重点在于错位相减法的应用,属中档题.20、长和宽均为4m时,最小值为64【解析】
利用体积求得ab=16,只需表示出表面积,结合高为2m,利用基本不等式求出最值即可.【详解】设底面的长和宽分别为,因为体积为32,高为c=2m,所以底面积为16,即ab=16所用材料的面积S=2ab+2bc+2ca=32+4(a+b),当且仅当a=b=4时取等号,答:当底面的长和宽均为4m时,
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