黑龙江省部分学校2024届高三年级下册三模考试数学试卷(含答案)

黑龙江省部分学校2024届高三下学期三模考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1.已知集合4={2,3},5={x|0<x<5,xeN},则满足Aq3的集合C的个数为

（）

A.2B.3C.4D.5

2.已知i为虚数单位，复数z满足|z-1|=|3-1则z的实部为（）

A.±2B.±lC.lD.2

3.已知函数〃X）=COS27U,则图中的函数图象所对应的函数解析式为（）

A.y=/（2x-l）B.y=/g-1]C.y=f^-^jD.y=f^2x-^

4.有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前〃项和已经被研究了几百

年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当〃很大

时，1+工+工+…+Lgin〃+7,其中/称为欧拉一马歇罗尼常数，

23n

0.577215664901...,目前还不确定/是有理数还是无理数.由于上式在〃很大时才

成立，故当〃较小时计算出的结果与实际值之间存在一定误差，已知ln2”0.693,

hi3«1.099,则用上式估算出的ln6与实际的ln6的误差绝对值近似为（）

A.0.081B.0.073C.0.657D.0.122

5.已知抛物线C：V=8%的焦点为准线为/,点A在C上，直线AR交y轴于点

B,且Ab=2FB,则点A到准线/的距离为（）

A.4B.5C.6D.8

6.袋中装有标号为1,2,3,4,5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸

出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4人参与摸球，

则恰好2人获奖的概率是ln6（）

215口324

B.------C

625625t唱

7.已知函数/(x)=2cos[2x-^J,把建的图象向左平移个单位长度可得到函数

g(x)的图象,则()

A.g(x)是偶函数B.g(6的图象关于直线X=-TC对称

C.g(x)在0,1-上的最大值为0D.不等式g(x)WO的解集为kn+^,kR+7i,

keZ

22

8.已知双曲线当=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为耳，居，过耳作直线

ab

Q1

与双曲线C的左，右两支分别交于A,3两点.若且cosNE3g=w，则

双曲线C的离心率为()

54

A.-B.2C.-D.3

33

二、多项选择题

9.在某市初三年级举行的一次体育考试中(满分100分)，所有考生成绩均在[50,100]

内，按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成五组，甲、乙两班考生

的成绩占比如图所示，则下列说法错误的是()

60.00%---------------------------------------------------------

50.00%

40.00%

30.00%

20.00%

10.00%

0.00%

—甲班成绩占比一乙班成绩占比

A.成绩在[70,80)的考生中，甲班人数多于乙班人数

B.甲班成绩在[80,90)内人数最多

C.乙班成绩在[70,80)内人数最多

D.甲班成绩的极差比乙班成绩的极差小

10.如图，三棱锥尸―ABC中，PA,PB,PC两两垂直，PA=2,PB=2,PC=2,

则()

7

A.BC±PAB.三棱锥尸-ABC的体积为二

3

C.点P到平面ABC的距离为二D.三棱锥P—ABC的外接球的表面积为3兀

3

11.已知函数/(x)=JMcosx,则下列结论正确的是()

处的切线在轴上的截距为］一

A"(x)的图象在点y

、2

B"(x)在卜：,0上为增函数

C"(x)在-上的最大值为e

D.若/(%)在(-他叫内恰有H个极值点，则实数机的取值范围为［号，竽］

三、填空题

12.甲、乙两个家庭共10人周末到某景区游玩，他们在景区门口站成两排拍照，每排

5人且从左到右按从高到矮的顺序排列，则有种排法.(用数字作答)

13.已知圆C:(x-1)2+(丁-4)2=/(/>0),A(—3,0),8(-1,0).若C上存在点尸，使得

ZAPB=90°,则r的取值范围为.

四、双空题

14.在长方体AECD—ABJGA中，A3=AA=4,AD=2,点尸为侧面45百4内一

动点P,且满足GP〃平面AC2，则CP的最小值为，此时点P到直线AC

的距离为..

五、解答题

15.已知函数/(x)=(x-2)e*-20r2+4or(a>0).

(1)若。=1,求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若/(x)恰有三个零点，求a的取值范围.

16.为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育

部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的

《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟

测试，并从中随机抽取了500名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的

频率分布直方图.

(1)估计这500名学生健康指数的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；

⑵由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X近似服从正态分布其中

4近似为样本平均数x,cr2近似为样本方差/(s1=84.75).

①求P(60.29WXW87.92)；

②已知该市高三学生约有30000名，记健康指数在区间［60.29,87.92］的人数为J,试

求E©.

附：参考数据：78475^9.21,若随机变量X服从正态分布贝IJ

P(/z-cr<X<//+cr)«0.683,P(//-2cr<X<〃+2cr)B0.955,

P(//-3cr<X<〃+3cr)p0.997.

17.在如图所示的多面体MMRCD中，四边形A5CD是边长为2的正方形，其对角线

的交点为Q，曲/l平面ABC。，DM//BN,DM=2BN=2,点P是棱。M的中点.

M

⑴求证：尸。，平面ANC；

（2）求直线A7V和平面CMN所成角的正弦值.

18.记椭圆c：1r+g=1（。〉6〉0）的左、右顶点分别为A，4，上顶点为3（0,1）,

直线BAX,BA,的斜率满足kBAi-4%=-：.

⑴求椭圆C的方程；

22

⑵已知椭圆3+七=1（。〉6〉0）上点（%,为）处的切线方程是辫+誓=1.若点P为直

abab

线/：%=更上的动点，过点P作椭圆C的切线PM,PN,切点分别为胆，N,求

3

△PMN面积的最小值.

19.如果〃项有穷数列｛%｝满足％=%,,…，4=4，即

ai=an_M（z=l,2..„ri）,则称有穷数列｛%｝为“对称数列”.

⑴设数列也｝是项数为7的“对称数列”，其中伪，瓦,仇，当成等差数列，且4=3,

4=5,依次写出数列｛0｝的每一项；

⑵设数列匕｝是项数为1（壮N*且左"）的“对称数列”，且满足*「c”|=2,记

5,为数列｛%｝的前〃项和.

①若G，g，…，鼠构成单调递增数列，且金=2023.当左为何值时，S21取得最大值?

②若q=2024,且$21=2024,求左的最小值.

参考答案

1.答案：C

解析：由题知8={%|0<%<5,尤eN)={l,2,3,4}.因为47。口3,所以根据子集的定

义，集合C必须含有元素2,3,且可能含有元素1,4,即求集合{1,4}的子集个数,

即有22=4个.

2.答案：D

解析：々z=a+bi(a,beR),贝|z=a-历，|z-1|=|tz+Z?i-1|=^(a-1)2+b~,

R-z|=|(3-a)+历|=J(3-a)2+/,因为|z-l|=0一z],所以

,("1)2+/=J(3_q)2+/,所以0=2.

3.答案：B

解析：由图知，图中函数图象的最小正周期T=2,所以排除A,D；对于C,

=COS2兀=COS（7LX-71）=-COSTLX,过排除；对于B,

=cos2兀=COS（7tX-2K）=COSTtx,满足条件，正确.

4.答案：A

解析：依题意1H---1---1---1---1—aln6+7,所以

23456

ln6»l+-+-+-+-+--/=2.45-7^1.8728,又

23456

In6=ln2+ln3a0.693+1.099=1.792,所以估算出的ln6与实际的ln6的误差绝对值近

似为1.8728-1.792=0.0808。0.081.

5.答案：D

解析：设4%,%),因为"2,0),AF=2FB,所以(2-)=2(—2,U),

所以毛―2=2x2,所以为=6,所以A至U/的距离d=6+2=8.

6.答案：A

解析：从袋子中一次性摸出两个球，共有C；=10种情况，其中两个号码的和为偶数的

有{1,3},{1,5},{2,4},{3,5}共4种情况，所以一个人摸球，能够获奖的概率为

'=所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率p=C：x1|]x[||=!||.

7.答案：C

解析：由题知g(x)=2cosx+—m=2cos(2x+])=—2sin2x,由于g(x)的定

义域为R,J=L^(-x)=-2sin(-2x)=sin2x=-g(x),故g(x)为奇函数，A错误；又

g[[f|=_sin图=0,故g⑴的图象不关于直线对称，B错误；因为

xe0,1-时，2%£[0,兀],所以y=-2sinz在Z£[O,TI]上的最大值为0,最小值为-2,

故C正确；g(x)<0,贝！Jsin2X20,贝！J2工£[2左兀,2配+兀],keZ,故xe[ku,E+g，

左eZ,D错误.

8.答案：B

解析：由题意结合双曲线定义可知[叫1叫=2"且马不妨设

忸耳|—忸用=2.113111

Q11

|A/^|—m,贝！J|AB|=5机，|JB7^|=-m-2a,=2〃+八在△ABg中，

cosN《3£=；,由余弦定理得=|AB「+忸月「―2|AB|.忸阊<osN片时,即

(2a+m)2=+(，加一2a)—2义!■根义(?加一2a[x].解得机=个。.在△石3片中，

由余弦定理得山阊2=|明『+忸月「—2忸片卜忸阊-osN片时,即

4c2=f-zn>l+{-m-2a\-2x-znxf—?72-2a^x—,结合〃2=Uq,Mc2=ACT,故

U)U)313)411

离心率e，=2.

a

9.答案：ACD

解析：由图知，每一组中的成绩占比都是以各自班级的总人数为基数的，所以每一组

中的甲班、乙班人数不能从所占的百分比来判断，故A错误；甲班成绩主要集中在

［80,90),乙班成绩主要集中在［60,70),B正确，C错误；甲班成绩的极差和乙班成绩

的极差的大小无法确定，故D错误.

10.答案：AC

解析：由已知PAYPC,PCPB=P,PC,P5u平面P3C,得PA_L平

PBC,又BCu平面P3C,

故A正确；

因为％PB,PC两两垂直，则/ABC=K?BC=W1X1X2=L故B错误;

L/Z1ILJ\^

设尸到平面ABC的距离为力，因为S0Bc=gx&xj5-：=|,所以

V…解得.所以点尸到平面树的距离为不故C正确;

因以，PB,PC两两垂直，故三棱锥尸-ABC的外接球即是以2,1,1为棱长的长方

体的外接球，故球的半径为业产=乎,则球的表面积为4兀(母］=6兀，故D错

误.

11.答案：ACD

解析：当龙＞0时，f(x)=excosx,f\x)=ex(cosx-sin%),所以/

71、

兀

,所以函数/(%)的图象在点p/

7

故切线在y轴上的截距为会5,A正确；当xe-1,0时，/(x)=e-，cosx,

/'(x)=e「"(sinx+cosx)=一后sin［x+；J,所以当xe一：时，/'(%)>0;当

时，r(x)<0,所以函数/⑴在「」,二］上单调递增，在［-工o］上单调

4J124」L4

递减，又函数/(%)为偶函数，所以/(%)在0,：上单调递增，在上单调递减，

所以/(x)在-^上的最大值为故B错误，C正确；

当光>0时，f(x)=e"cosx,/'(%)=e"(cosx-sinx)=Ce"令八%)=0得，

JT

x=］+foi(左=0,1,2,3,4,5...),当xvO时，/(x)=e-xcosx,

,

f\x)=-e-^(cosx+sinx)=-y［lc~x+令/'(x)=0得，％=+E(左=0,-1,-

2,-3,-4,-5...),且以上零点均为变号零点，故均为极值点，而/(%)为R上的偶函

数，％=0也是/(%)的一个极值点，因此，函数/(%)在(-加,加)内有11个极值点，贝！J

-+47i</n<-+57i+5,即实数机的取值范围为［止,也］,故D正确.

44I44_

12.答案：252

解析：由题意，10人选5人为一排，另5人为另一排，且每排排法只有一种，所以共

有C：0=252种.

13.答案：［4,6］

解析：因为点4(-3,0),8(-1,0),而点P满足NAP5=90。，则点尸的轨迹是以线段

A3为直径的圆M(除点A,3外)，圆M：(x+2)2+y2=i(yw0),半径々=1,又点尸

在圆C:(x—0+⑶―4)2=/(］>0)上,圆C的圆心半径为厂，

|CM|=7(-2-l)2+4=5,依题意，圆M与圆C有公共点，因此卜-用《阿。区厂+小

BP|r-l|<5<r+l,解得4WrW6.

14.答案：20冬磬

解析：如图所示，因为AB//CQ且A5=CQ,故四边形ABGA为平行四边形，则

BCJ/AD,,因为5G<z平面AC',ARe平面ACR,所以BQ〃平面4c同理可

证A3〃平面ACR，因为43BG=B,\B,平面A/G，所以平面^^弓〃

平面AC',因为Pe平面照用5,要使得£P〃平面AC。，则C/u平面43G，因

为平面想旦夕〕平面ABG=4§，故点P的轨迹为线段48,当取最小值时，

QPLA.B,则尸为46的中点，。建=2百.以。为原点，DA,DC,的方向分

别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系，易知4（2,0,4）,5（0,4,4）,P（2,2,2）,

普=坐=(—1,2,0),则

\C=(-2,4,0),40=(0,2,-2)，取。=4。=(0,2,-2)，u=

X|AG|5

7=8,q.M=拽，所以点尸到直线4a的距离为GM=3笆

解析：⑴a=l时，/(x)=(%-2)e'-2x2+4x,所以/'(x)=(x-l)e*—4%+4,

所以7(0)=-2,/'(0)=3,

所以曲线产/(x)在点(OJ(O))处的切线方程为y+2=3x,即3x-y-2=0

(2)因为/(x)=(x-2)/-2ax2+4ax=(x-2)(/-lax),

所以尤=2是/(x)的一个零点，

因为/(x)恰有三个零点，

所以方程e，-2ax=0有两个不为2实数根，即方程—=-有两个不为2实数根,

2aex

令h(x)=—,所以hf(x)=X，

e%e%

令hXx)<0,得%>1,令h\x)>0,得xv1,

所以/l(X)在区间(-8,1)上单调递增，在区间(1,+8)上单调递减，

当X6(-oo,l］时，/z(x)的值域为1-8—；当xe(l,+oo)时，/z(x)的值域为［。，9,

i92e2

所以0<—<e且丁所以.〉屋且a/'

2a

(2)

所以。的取值范围是■—,+oo

(24)

16.答案：(1)69.5

(2)①0.819

②24570

解析：(1)由题意得，平均数

%=50x0.05+60x0.25+70x0.45+80x0.2+90x0.05=69.5；

(2)①由⑴可知〃=69.5,cr=V84.75«9.21,

则尸(60.29<X<87.92)=尸(69.5-9.21«XK69.5+9.21x2)

则尸(60.29<X<87.92)=尸(69.5-9.21WXV69.5+9.21x2)

=P(〃一。<XV〃+2b)=；义0.683+1x0.955=0.819;

②由①可知1名学生的健康指数位于［60.29,87.92］的概率为0.819,

依题意，孑服从二项分布，BP^~B(3xlO4,0.819),

则EC)=叩=24570.

17.答案：(1)证明见解析

⑵半

解析：(1)证明：连接PN,QN.

因为。平面A3CD,AD,DC,OBu平面ABCD,所以PD1AD,

PDLDC.

因为DW=26N=2,尸是DM中点，所以四边形尸D3N为矩形，PN=BD=2,

PD=NB=1.

因为。是正方形A3CD的对角线交点，所以。为AC,中点，PQ=NQ=y[2

所以PQ?+N。=pH,PQ1QN

因为PA=PC=g,。为AC中点，所以PQ_LAC.

又ACNQ=Q,AC,NQu平面A7VC,所以尸Q,平面AAC

(2)由(1)知，DA,DC,DM两两垂直，以。为原点，以D4,DC,DM所在直线分别

为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A(后,0,0),C(0,V2,0),“(0,0,2),N(0,0,1),

则CN=(0,0,1),MN=@,C,-D，A2V=(0,72,1),

设平面CAW的法向量为"=(x,y,z),

所以由卜削=0,得］£+后一=0,

n-CN=0,V2x+2=0,

令z=6,可得〃=(-1,2,2),

In-A/v|3Q742

设直线4V和平面CMN所成角为6,贝ljsin6='—［二>二

卜卜"V3-V77

所以直线A7V和平面CMN所成角的正弦值为疸.

7

九2

18.答案：(1)不+9=1

4'

⑵W

O

解析：(1)由题知，上顶点6(0,1),得6=1；

左、右顶点4（―〃,0）,40）,左网,左时—----———,得a=2,

丫2

故椭圆。的方程为工+丁2=1

4

（2）设/（％,%），Ngy?），尸（笠/,

由题意知，过M,N的切线分别为乎+%y=l,寸+%y=l,

代入P点坐标得+电=1,-^-x2+02=1,

线MN：%+）=1x+~—0,

联立椭圆方程消去工得：（3/+4）/_69—1=0,