山东省济宁市高三5月高考模拟考试（二模）数学试卷（理）（解析版）

山东省济宁市2019届高三5月高考模拟考试(二模)

数学试卷(理)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数z=M的共辗复数是()

1-1

A.1+iB.1—iC.—1+iD.—1—i

【答案】D

【解析】rz=+')=_]+,,-.z=-1-i,选D

l—i2

2.设集合4={尤|，。92久40}，B={x|l<3x<27}>则(G?A)nB=()

A.(0,1)B.(1,3]C.(1,3)D.[1,3)

【答案】C

【解析】由题得，A=(0,l]，B=(0,3)

.•.CRA=(-8,0]u(l,+8),.••((；〃)nB=(1,3),选c.

3.下列结论正确的是()

2

A.若命题p：VxGR,x+x+1>0，则-ip：3X0ER,XQ+x0+1<0.

B.若诉R,则2a>2>是。2>上的充要条件.

C.若pvq是真命题，贝Up一定是真命题.

2

D.Bn6N,n>2".

【答案】D

【解析】A选项中，应为三与6&XQ+Xg+1<0；

B选项中，2a>2>是>砂的既不充分也不必要条件；

C选项中，pvq是真命题，贝Up是真命题或q是真命题；

D选项中，存在n=3时，/>2”成立，故选D.

4.在A4BC中，角4B,C的对边分别为a,b,,已知+今=asEB,则角A等于()

nn2n5TT

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【解析】由正弦定理得，sinBsin^A+=sinAsinB

sinB工0,sin^A4--j=sinAfWflsinA=在cosA,tanA=^/3

71

u：0<A<n,・・・4=§.选B.

(x~y+4>01

5.若变量x,y满足%-2<0,则目标函数z=4%x&y的最大值为()

(x+y-2>02

11

A.—B.-C.4D.16

324

【答案】D

【解析】

【分析】

作出可行域，再求目标函数2=4**(}>=22»(即1=2久一丫)的最优解，代入求最值.

【详解】由线性约束条件画出可行域，如下图所示阴影部分所示.

由目标函数z=4*x(}，=22A>,令t=2久-y

则y=2》T,令t=0,作出直线y=2%,并作出一系列平行线

则在点4(2,0)处，t=2久-y取得最大值为4,

故Z=4,x$)，=224,最大值为16.选D.

【点睛】本题考察线性规划知识，作出可行域及目标函数直线，联立方程求最优解，再代入

求最值.

6.某程序框图如图所示，若输出S=2,则判断框中M为(

B.fc<7?

C./c<8?D.k>8?

【答案】B

【解析】当k=l时，S=蚀-1；

当k=2时，S=72-1+73-^2=V3-1;

当k=3时，5=73-1+2-^3=1；

当k=4时，S=1+V5-2=V5-1;

当k=5时，5=75-1+76-^5=76-1；

当k=8时，S=-\/9—1=2,即k=8时程序结束，此时k<8,故选B.

2

7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且己尤+4)=f(x)；当xe(0,2)时,f(x)=x+inx,则

f(2019)=()

A.-1B.O

C.1D.2

【答案】A

【解析】由f(>+4)=f(x)可得函数f(工)周期为7=4,

又因为人工)是定义在R上的奇函数，

所以f(2019)=/•(以5x4-1)=f(-1)=-f(1)=-l.

71

8.将函数f(%)=5出%cos%的图象向右平移：个单位后得到函数gO)的图象,若对于任意％eR都

6

有9(。+汽)=g(0-久)，则七即20=()

A.JL3B.-JL3C.-出JD.J方

33

【答案】C

7T

【解析】由/（町=sinxcos》=7s出2%的图像向右平移二个单位,

26

得0(尤)=；sE2(x—g)=；sin

又因为9(。+乃=g(0-处所以9(%)的图象关于％=。对称

.Ji7157rkn

令2第一一=—+kn,kGZ,得％=—+—,k6Z

32122

――57rkn

所以。=—+—EZ

,,57rkn57r57rA/3__

故=tan2(——+-)=tan(——+kn)=tan——=———.选C.

122663

9.已知直线过抛物线C：、2=3工的焦点凡交。于4,B两点，交。的准线于点P,若心=所,

贝山/切=()

A.3B.4C.6D.8

【答案】B

33

【解析】如下图所示：不妨设A在第一象限，由抛物线C八3,可得七,。），准线加--4

因为加=而，所以F是4P的中点

则AD=2CF=3.所以可得4（；，叫

3

则心F=小，所以直线4P的方程为：y=73（x--）

4

3

联立方程?二旧（"―/整理得：，_1+?=°

Iy2=3x216

553

所以支1+%2=-,则|48|=久1+第2+P=]+5=4.选B.

10.某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）

41

正（主）呻9同㈤融

A.41TTB.48〃

C.517rD.164TT

【答案】A

【解析】由三视图可得该几何体为如下图（一）所示三棱锥，

其中，DALAB,BCLAB,AB=AD=4,BC=3

因为CD的中点E到所有顶点的距离相等，所以E为外接球球心.

因为CD=^42+32+42=-\/41

所以外接球半径为：r=,?/41,则表面积为：4元尸=41兀.选A.

11.已知a,b为正实数，直线y=x—a+2与曲线y=，+b-1相切，则:+；的最小值为（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【解析】由、=第一。+2得丫,=1；由丫=，+"-1得y'=，+';

因为V=x-a+2与曲线y=，+"-1相切，

令，+力=1，则可得汽=一6,代入y=，+忆1得y=0；

所以切点为（一①0）.贝!J—b—a+2=0,所以a+b=2.

,,111labba

故—+=（_+x）（+）=1++N2

abab222a2b

当且仅当?=4，即a=6=1时等号成立,

此时取得最小值2.选B.

2a2b

12.在A4BC中，F=30°,BC=^,AB-?,,。是边BC上的点，B,C关于直线4D的对称点分

别为夕，C',贝IJABBC面积的最大值为（)

3书7

DR.---

7

【答案】A

【解析】由B=30。，BC=&4B=2,可得A4BC为直角三角形，且C=90°

则以C为原点，C4为x轴，CB为y轴建立如下图所示直角坐标系.

则4(1,0),B(0,回C(0,0)

设。（0/）（0＜；1＜干），则直线4D：y=-；l（无一1）,即&+y-4=0

|A/3—A|

过点B作直线4。的垂线，与AD交于点E,则|幽=多壬;

J1+A2

1

又因为直线BE:y—但=-x,Wflx-Ay+何I=0

A

|V3A|

此时C到直线BE的距离为：h=^=

J1+A2

|J3-A||A/3A|

所以,C，到B9的距离为人=-

Jl+A2J1+A2

则所求面*1产xI^A/3—Alx联|A/3AI3A—

(1—阚西+3)

因为S'=

(1+A2)2

J3

所以当；16,一＞0；当；IwJ同时,SYO；

所以当;1=,Smax='y,选A.

二、填空题。

13.若（⑪-,2的展开式中各项的二项式系数之和为6%则展开式中的常数项为

【答案】60

【解析】••・因为各项的二项式系数之和为64,[2"=64，即==6；

23

•••通项公式T『+1=%（宿6T（q）『=（_2）『c/r

3

令3-，r=0,解得r=2.

•••展开式中常数项为（-2猿x裔=60.

14.在A4BC中，BD=7.DC,AB=1,AC=2,Z.BAC=60°,则勃.沅=

【答案】2

2212

【解析】■■■^C=AC-AB,Ab=Xfe+-5*C==-A^B+-^C

ADBC=+|/ft)•

=--jfB-AC+-AC2--^2

333

1121

=—xlx2x-+-x22'——x1=2

3233

15.若从区间注2]内随机取两个数，则这两个数之积大于2的概率为

l—ln2

【答案】

2

【解析】设这两个数为工,y,则％ye[0,2],且町＞2

2

令盯=2,则丫=-，则可作出如下图所示图像。

X

要使孙＞2,则居y必须在曲线的上方.

2

2—J(—)c/x=2—(2lnx\^)=2—2/n2,

故曲线上方与正方形的共同部分的面积为:

1

以F为圆心，以|。F|为半径的圆交双

曲线C的右支于P,Q两点（。为坐标原点），AOPQ的一个内角为60。，则双曲线C的离心率为

,..-1+a

【答案】

【解析】如下图所示：OP=OQ,且AOPQ的一个内角为60。,

则AOPQ为等边三角形，所以。P=PQ

连接PF,PG,则@G=90。

VZ.POG=30°，:.£.OGP=60°

:.PG=PF=FG=c

/3

VOG=2c,OP=73c,.•.尸(2=麻即「"=]A<

33J3

：.OH=-c,故p(千,小)

久2y2

又因为P为双曲线c：下一彳=1上一点

a2b2

(-c)2(—c)2_

所以、22'即9e4-L6e2+4=0

--------------1

a2b2

小,曰28+2"1+V7

解得e=—/，；•e=—

三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列｛册｝的前几项和为无，且。3=2,56=15.

(I)求数列｛%｝的通项公式；

(II)若从数列｛%｝中依次取出第1项，笫2项，第4项，第8项，…，第2"-1项，按原来

的顺序组成一个新的数列｛九｝,求数列｛勾｝的前几项和

解：(I)设等差数列｛%｝的公差为d,则

i%+2d=2

16al+15d=15'

解得%=0,d=l.

/.an=n-1.

(II)由题意知%=&2*1=2"一1一1,

2

：.Tn=(2°-1)+(21—1)+(2-1)+...+(2"T—1)

=(2°+21+22+...+2n-1)-n

l-2n

=-----n

1-2

=2n-n-l.

18.如图，在直角梯形ABED中，AB//DE,ABJ.BE,且AB=2DE=2BE,点C是4B中点，现

将AACD沿CD折起，使点4到达点P的位置.

A

（I）求证：平面PBCJ.平面PEB；

（II）若PE与平面PBC所成的角为45。，求平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

（I）证明：,:AB//DE,=点C是4B中点，

ACB//ED,CB=ED,四边形BCDE为平行四边形，

.,.CD//EB,

又EB14B,：.CDLAB,

：.CD1PC,CDIBC,平面PBC,

：.EB1平面PBC,

又u平面PEB,平面PBC1平面PEB；

（II）解：由（I）知EB_L平面PBC,

/.4EPB即为PE与平面PBC所成的角，

：.^EPB=45°,

,：EBl^FffiPFC,；.EB1PB,.♦.△PBE为等腰直角三角形，:.EB=PB=BC=PC,

故APBC为等边三角形，

取BC的中点。，连结P。，贝IJP01BC,

VEFl5FffiPBC,又EBu平面EBCD,

平面EBCD1平面PBC,又POu平面PBC,

；.P。1平面EBCD,

以。为坐标原点，过点。与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，0P所在的直线为轴

建立空间直角坐标系如图，

设BC=2,则E(2,l,0),£>(2-1,0),P(0,0,病,

从而庞=(0,2,0),用=(2,1,一4)，

设平面PDE的一个法向量为m=(x,y,z),

则由黑器线得[2x+籥=0，令2=2得自=(闻2),

又平面PBC的一个法向量7=(1,0,0),

则c°sg㈤=丽="=下'

所以，平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值为且.

7

19.有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量(均

在1至11kg)频数分布表如下(单位：kg)：

分组[1,3)[3,5)57)17,9)19,11)

频数103040155

以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率.

(I)由种植经验认为，种植园内的水果质量X近似服从正态分布N(〃Q2),其中“近似为样

本平均数区M处4.请估计该种植园内水果质量在(5.5,95)内的百分比；

(II)现在从质量为11,3),⑶5),-5,7)的三组水果中，用分层抽样方法抽取8个水果，再从

这8个水果中随机抽取2个.若水果质量在口3),[3,5),[5,7)的水果每销售一个所获得的利

润分别为2元，4元，6元，记随机抽取的2个水果总利润为丫元，求丫的分布列和数学期望.

附：若服从正态分布NO"),则P(4-cr<f</z+ct)=0.6827,P(〃—2。Wf<〃+2。)=0.9545.

解：(I))=焉(2x10+4x30+6x40+8x15+10x5)=5.5,

由正态分布知，

P(5.5<X<9.5)=P(u<f<p+2<r)=1P(/Z-2<T<f</z+2<r)

=-x0.9545=0.47725.

2

该种植园内水果质量在（5.5,9.5）内的百分比为47.725%.

（II）由题意知，从质量在口3）,[3,5）,[5,7）的三组水果中抽取的个数分别为1,3,4,

丫的取值为6,8,10,12.

3

则。(丫=6)=^-=云；

cl28

P(…)=2LZJ

cl284

P(y=io)=登L12二

'287

叩=12)=4=勺

,魔2814

所以，y的分布列为

Y681012

3133

P

284714

3712619一

E(y)=6x—+8x—+10x—+12x———=9.5.

?282828282

20.在平面直角坐标系中，若a=（久+啊y）,b=（x-^y）,且|a|+向=4.

（I）求动点的轨迹C的方程;

(II)设（I）中曲线C的左、右顶点分别为4、B,过点（1,0）的直线与曲线C交于两点P,Q

（不与4,B重合）.若直线PB与直线x=4相交于点N,试判断点4Q,N是否共线，并说明

理由.

解：（I）设片（一强0）,尸2（闻），则

向+历I=向+何2+y2+&_病2+y2=附叼+|MF2|=4>|F1F2|.

，动点砥久丁）的轨迹是以匕（一佝0）,-2（/，0）为焦点的椭圆，

Xy

设其方程为吗+彳=l(a>6>0),贝12a=4,2c=2#，即a=2,c=B

(TD

2

222x2

b=a-c=l.A动点M(%y)的轨迹C的方程为士+y=l.

4

(II)①当直线的斜率不存在时，：X=1,不妨设(2(1-p,

•••直线PB的方程为丫=一?(久一2),

令x=4得N(4,一同

•••&0=心'=—f•，点4Q，N共线•

②当直线的斜率存在时，设:y=fc(x-l),设尸01，%),

,y=k(x-l)

由|*2,2_1消y得(1+4k2>)x2—8k2x+4fc2—4=0-

|T+y=1

一、8k24k2—4

由题意知A>0恒成立，故叼+第2=------3,%1工2=------

1+4/14-4k2

71

・•・直线P8的方程为y=--(x-2),

x1—2

2yl

令宛=4得N(4,-

xt—2

2yl

--y2%3(%1-2»2-(%2+2)%

,2汽1-2=-------------=---------------------

kAQ-kAN=————叼+23&-2)3(勺—2)(工2+2)

%2+26

上式中的分子=3fc(x1-2)(x2-l)-fc(x2+2)&-1)

=2,kx1x2—5k^x1+x2)+8k

4k2—48k2

=2kx--------Sfcx(-------)+8k=0.

1+4k21+4k2

.\kAQ=kAN,.•.点4,Q,N共线.

综上可知，点4Q,N共线.

21.已知函数=x—a(lnx)2,aeR.

(I)当a=l,久>1时，试比较f(X)与1的大小，并说明理由；

(II)若/•(>)有极大值，求实数a的取值范围；

Q

(III)若fO)在¥=无0处有极大值，证明：1</(而)<1

解：(I)当a=l,久>1时，/(X)=x-(Znx)2,x>l.

1x—2lnx

f'(%)=1—2(Znx)x—=------.

xx

2x—2

令g(^=x—2lnx,x>1,贝!Jg'(%)=1——=---,

xx

当口《(1,2)时,gl(x]<0,g(%)单调递减,

当第€(2,+8)时，g\x)>0,g(%)单调递增;

>g(2)=2—2ln2>0,即「(%)>0,

・•・/(乃在(1,+8)上单调递增.

故当a=1,x>1时>1.

,…、2alwcx—2alnx

(II)V/,(x)=l------=--------(%>0),

xx

人，…2ax—2a

令九(第)=第一(汽>°)，贝！)九'(第)=1一一=----

xx

①当a=0时，/(»=%无极大值.

②当Q<0时，>0,九㈤在(0,+8)上单调递增;

11

八⑴=1>°'h(e诟)=0-1<0'

1

物使得“⑷丑

.•.当Me(0,叼)时，r(“)<0，/'(久)单调递减，

当久6(叼,+8)时，/1'(%)>0,f(x)单调递增，

../(X)在久=》1处有极小值，f(K)无极大值.

③当a>0时，九(工)在(0,2a)上单调递减，九(%)在(2a,+oo)上单调递增,

••"(》)有极大值,

h(2a)=2a—2a/n(2a)=2a(1—仇2a)<0,即a>

又h(l)=1>0,h(e)=e—2a<0,

x

^xo€使得=x-2alnx=0,即a/nx。=一n；

QQu2

・・・当％W(O,%o)时,f(x)>0,f(%)单调递增,

当口《(称e)时,f(x)<0,/(%)单调递减，

••/(X)有极大值，综上所述，a>|.

x

(III)由(II)可知：alnx=一n，

Q02

xolnxo

>

=xo-a(lwcoy=Xo-----(1<x0<e),

设p(x)=x—(1<x<e),

1+Inx1—lnx

则p'Q)=1-——>0,

:.p(%)在(l,e)上单调递增,

e

<p(x)Vp(e),即1Vp(X)<-,

,,e

故1</(%)<了

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为茕。:制(⑴为参数).

(I)以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标