2024年辽宁省大连市沙河口区中考数学一模试卷

2024年辽宁省大连市沙河口区中考数学一模试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

1.（3分）下列各数中，比-1小的数是（）

A.-2B.0C.1D.2

2.（3分）如图所示放置茶杯，则它的俯视图为（）

口B.Oc口Q

3.（3分）若某三角形的三边长分别为3,4,m,则根的值可以是（）

A.1B.5C.7D.9

4.（3分）党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，

教育普及水平实现历史性跨越，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五.将数据1040000000用科学

记数法表示为（）

A.104X107B.10.4X108

C.1.04X109D.O.1O4X1O10

5.（3分）下列运算正确的是（）

A.2（a-1）—2a-2B.（a+6）2=a1+b2

C.3a+2a=5a2D.2=ab2

6.（3分）关于尤的一元二次方程7+mx-8=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

7.（3分）将抛物线＞=/先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）

A.y—（尤-3）2+4B.y=（x+3）2+4

C.y=（x-3）2-4D.y=（x+3）2-4

8.（3分）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含

量共30g.设蛋白质、脂肪的含量分别为无（g）,y（g）（）

A.—x+y=30B.x+—y=30c.3x+y=30D.x+—j=30

2-2-2

9.（3分）我们知道物理压力公式为尸=PS.如图,如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强P要

大于lOOOPa2）的说法正确的是（)

B.S大于0.1m2

C.S小于10m2D.S大于10:/

10.（3分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多

边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，以至于不可割，则与圆周合体，他用这种思想得到了

圆周率it的近似值为3.1416.如图，。。的半径为1,以圆内接正六边形面积近似估计O。的面积，可

得h的估计值为曼2,可得h的估计值为（）

B.2加C.3D.2M

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）分解因式：%2-j2

12.（3分）要使分式旦有意义，x的取值应满足

x-2

13.（3分）一个不透明的布袋里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个

球.

14.（3分）如图,将矩形纸片48u）对折,使边48与。（7,展开后得到四边形若AB=2,BC=4.

BHC

15.（3分）在△ABC中，ZC=90°,M为AB的中点，且CN=CA=1.当以点8,M,N为顶点的三角

形是直角三角形时.

三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

16.（9分）（1）计算：|-』+（-2024）°+2一1；

2

（2）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务.

解方程：

3x+6x+2

解：孥「I、11-2第一步,

3（x+2）x+2

2x-1=3（x-1）-2第二步，

2x-l=3x-3-2第三步，

-x--4第四步，

x=4第五步，

检验：当x=4时，3（x+2）#0.第六步，

所以，尤=4是原方程的根第七步.

任务一：以上解方程步骤中，第是错误的；

任务二：请直接写出该分式方程的正确结果.

17.（8分）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车

的销售量逐年递增

（1）求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率；

（2）若按此平均年增长率，请预估该品牌新能源汽车2024年销售量.

18.（9分）据统计，数学家群体是一个长寿群体，在《数学家传略辞典》书中收录约2200位数学家的年

龄.某研究小组随机抽取了收录的部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，统计图表（部分数据）

如下：

年龄范围（岁）人数（人）

90-9125

92-93■

94-95■

96-9711

98-9910

100-101m

（1）填空：机的值；该小组共统计了名数学家的年龄;

（2）调查的数学家群体中，哪个年龄范围的长寿数学家最多；

（3）请预估《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96-97岁的人数.

100—101岁

19.（8分）某数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用yi（元）与该水果的质

量x（千克）之间的关系如图实线所示；在乙商店购买该水果的费用”（元）与该水果的质量无（千克）

之间的函数解析式为”=10尤（尤20）.

（1）求V与x之间的函数解析式；

（2）现计划用500元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？

20.（8分）如图，太阳能电池板宽为A8,点。是A8的中点，地面上三点。，E与C在一条直线上，EC

=5也在。处测得电池板边缘点B的仰角为37°,在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°.此时

点A、B与E在一条直线上（结果精确到0.1%.参考数据：sin37°^0.60,cos37°七0.80,tan37°心

0.75,企-1.41,A/3^1.73）

07A

丁KIS,rl37。

ECD

21.（9分）如图，已知△ABC内接于O。，CO的延长线交O。于点E,且点A是靠的中点.

（1）求证：BE//AD；

（2）若｛软疝=旦，。4=3,求AC的长.

22.（12分）【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺

目.小明通过查阅得知（XinghaiBayBridge）是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通

道，位于黄海水域上.大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，跨

径布置为180+460+180=820〃z.

如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为W,悬索和桥梁之间的吊杆间距10m,由于桥梁中

20

间有车辆通过

【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系？

【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次

函数相关内容和查阅到的相关数据，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题.

【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低

点），以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）.

图3

(1)请直接写出以下问题的答案：

①右侧悬索最高点B的坐标；

②y与x的函数解析式；

③最长的吊杆的长度；

(2)某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50

米/分的速度通过大桥主跨，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟；

(3)如图3,灯光秀中一个射灯光源C(-70,-21),位于悬索最低点左下方，它所发出的射线状光

线，刚好经过右侧悬索的最高点8,应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬

索上？

23.(12分)【发现问题】在数学活动课上，同学们研究两个正三角形位置关系时，发现某些连线之间总存

在某种特定的关系.

【问题探究】如图1,在正△ABC和正△OE尸中，点A和点E重合，所以，AD=BE；

【类比分析】

(1)如图2,点E在上，点C与点/重合，AD//BC；

【学以致用】

(2)点E在AB上，连接ER以EF为边向上作正BE=2AE.

①如图3,点尸在AC上，当点。、E在AC异侧，求处的值；

CF

②点尸在AC上，当点。、E在AC同侧，AE=kAD,画出图形，求空的值；

CF

【拓展应用】

(3)在(2)的前提下，如图4,直接写出AD的最小

值.图4

2024年辽宁省大连市沙河口区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

1.（3分）下列各数中，比-1小的数是（）

A.-2B.0C.1D.2

【解答】解：A、-2<-1；

B、2>-1；

C、1>-6；

D、2>-1；

故选：A.

2.（3分）如图所示放置茶杯，则它的俯视图为（）

D“口,口

【解答】解：如图所示的正三棱柱的俯视图是

故选：D.

3.（3分）若某三角形的三边长分别为3,4,m,则根的值可以是（）

A.1B.5C.7D.9

【解答】解：根据三角形的三边关系定理得：4-3<m<6+3,

解得：相<2,

即符合的只有5,

故选：B.

4.（3分）党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系,

教育普及水平实现历史性跨越，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五.将数据1040000000用科学

记数法表示为（）

A.104X107B.10.4X108

C.1.04X109D.O.1O4X1O10

【解答】解：1040000000=1.04X109.

故选：c.

5.(3分)下列运算正确的是()

A.2(a-1)=2a-2B.(a+b)2=a2+b2

C.3a+2a=5a2D.(ab)2=ab2

【解答】解:A.2(a-1)

=4a-2Xl

=7a-2,

则A符合题意；

B.(〃+/?)2=a6-^2ab+b2,

则5不符合题意；

C.5a+2a

=(3+3)a

~~5a,

则c不符合题意；

D.(ab)2=a2b2,

则。不符合题意；

故选：A.

6.(3分)关于尤的一元二次方程/8=0的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

【解答】解：：△=疡-4X2X(-8)=疗+32>5,

.•.方程有两个不相等的实数根.

故选：A.

7.(3分)将抛物线y=/先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是(）

A.y=（尤-3）2+4B.尸（x+3）2+4

22

c.尸(x-3)-4D.y—(x+3)-4

【解答】解：将抛物线y=/先向右平移3个单位，再向上平移8个单位

y=（x-3）2+6.

故选：A.

8.（3分）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含

量共30g.设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g）,y（g）（）

A.与+y=30B.无+与=30C.—x+y=30D.x+—y=30

2222-

【解答】解：•..碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，且蛋白质的含量为xg,

碳水化合物含量是3.5xg.

根据题意得：1.8x+x+y=30,

.,力x+y=30.

故选：A.

9.（3分）我们知道物理压力公式为F=PS.如图，如果100N的压力/作用于物体上，产生的压强尸要

大于1000&2）的说法正确的是（）

P/pd|

1000

A.S小于0.1»B.S大于0.1加

C.S小于10m-D.S大于10m:

【解答】解：根据题意，反比例函数解析式为：p=1W,

s

A、当sVO.l时，符合题意；

B、当s>4.1时，不符合题意；

C>当sVIO时，不符合题意；

D、当s>10时，不符合题意；

故选：A.

10.（3分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多

边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，以至于不可割，则与圆周合体，他用这种思想得到了

圆周率IT的近似值为3.1416.如图，。。的半径为1,以圆内接正六边形面积近似估计。。的面积，可

得n的估计值为司巨，可得n的估计值为（）

B.2V2C.3D.2>/3

【解答】解：如图，AB是正十二边形的一条边,

过A作AALLQB于

在正十二边形中，ZAOB=360°4-12=30°,

：.AM=^OA=^,

22

S^AOB=AOB•AM=XAX—=—'

2224

正十二边形的面积为12X1=3,

3

.•.3=22XK,

.*.71=3,

.'.it的近似值为5,

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）分解因式：%2-（%+y）（x-y）.

【解答】解：x2-y2=（x+y）（x-y）.

故答案为：（x+y）（x-j）.

12.（3分）要使分式旦有意义，x的取值应满足E

x-2

【解答】解：由题意得：X-2W0,

解得：了W8,

故答案为：xW2.

13.（3分）一个不透明的布袋里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球

2

~7~'

【解答】解：从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是，-上，

7+57

故答案为：2

7

14.（3分）如图，将矩形纸片ABC。对折，使边AB与。C,展开后得到四边形EFG//.若A2=2,BC=4

4.

【解答】解：•••四边形A8CO是矩形，

AZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB=CD,AD//BC.

由折叠可知，AG=BG=CE=DE,

：.AAGF^ABGH沿XDEF"△CEH（SAS）,

：.GF=GH=EF=EH,

...四边形E/G”是菱形.

由题意，得FH=AB=2,

四边形EFG/Z的面积=4E・FH=LX7X2=4-

52—

故答案为：8.

15.（3分）在△ABC中，NC=90°,M为A2的中点，且CN=CA=1.当以点2,M,N为顶点的三角

形是直角三角形时2或J5+1.

【解答】为AB的中点，

.1

••BM=AM=yAB-

是锐角，

当以点8、M.N为顶点的三角形是直角三角时，或NBMN=90°,

若/2W=90°=/C,

c

,:/B=/B,

：.4ABes4MBN,

・BCAB「

BNMB

.1

••BN-^BC=CN=7>

：.BC=2CN=2；

若/BMN=90°=NC,

,:/B=/B,

：.^ABC^ANBM,

•-.-B--C-二AB，，

BMNB

设BN=a,BM=b,AB=5b,

-a--+--1=---2--b,

,ba

2工

­,8a+a

,,b=-~-，

2

在RtzXABC中，由勾股定理3+Ac2=Ag2,

即(a+3)2+18=(26)2,

：.a6+2a+2=6b2,

5

226

a+7a+2=4X————a+3a+2=2a+2a,

・・a=6,

a=V^，

•••BC=a+4=&+l，

综上所述，8c的长为3或加.

故答案为：2或.

三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

16.(9分)(1)计算：|-_1|+(-2024)°+2「1；

2

(2)下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务.

解方程：2x21^X21-2

3x+6x+2

解：［-1=x-l一？第一步,

3(x+2)x+2

2x-1=3(x-1)-2第二步，

2x-l=3x-3-2第三步，

-x=-4第四步，

x=4第五步，

检验：当x=4时，3(x+2)W0.第六步，

所以，x=4是原方程的根第七步.

任务一：以上解方程步骤中，第二是错误的;

任务二：请直接写出该分式方程的正确结果.

【解答】解：(1)|-』+(-2024)5+2-1

2

=A+i+_§.

22

=2；

(2)根据题意，解答第二步出现问题，

2x-l_x-l_5

3(x+5)x+2

2x-1=5(尤-1)-6(x+5),

2x~1—8X-3-6A:-12

4x=-14,

XL--14,

5

经检验X=-是原方程的解.

5

故答案为：二.

17.（8分）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车

的销售量逐年递增

（1）求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率；

（2）若按此平均年增长率，请预估该品牌新能源汽车2024年销售量.

【解答】解：（1）设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为尤，

根据题意得:20（1+无）2=51.7,

解得：尤=0.6=60%,x=-8,6（不符合题意.

答：从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为60%；

（2）根据题意得：51.2X（6+60%）=81.92（万元）.

答：预估该品牌新能源汽车2024年销售量为81.92万元.

18.（9分）据统计，数学家群体是一个长寿群体，在《数学家传略辞典》书中收录约2200位数学家的年

龄.某研究小组随机抽取了收录的部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，统计图表（部分数据）

如下：

年龄范围（岁）人数（人）

90-9125

92-93■

94-95■

96-9711

98-9910

100-101m

（1）填空：机的值5；该小组共统计了100名数学家的年龄;

（2）调查的数学家群体中，哪个年龄范围的长寿数学家最多；

（3）请预估《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96-97岁的人数.

100—101岁

98—99岁

▼\

/\90—91岁、

26-97分。\

92-93^/

V4%/35%/

【解答】解：（1）104-10%=100（名），

即该小组共统计了100名数学家的年龄；

故〃z=100X5%=5.

故答案为：4；100；

（2）由统计图可知，调查的数学家群体中；

（3）2200X_1L=242（人）.

100

答：预估《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96-97岁的人数大约为242人.

19.（8分）某数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用yi（元）与该水果的质

量x（千克）之间的关系如图实线所示；在乙商店购买该水果的费用”（元）与该水果的质量无（千克）

之间的函数解析式为”=10尤（尤20）.

（1）求yi与x之间的函数解析式；

（2）现计划用500元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？

【解答】解：（1）当0W九W5时，设丁4与％之间的函数解析式为竺=丘（4W0）,

把（6,75）代入解析式得：5左=75,

解得上=15,

•»yi15x；

当x>8时，设yi与％之间的函数解析式为yi=mx+九（mW8）,

5m+n=75

把(5,75)和(10.

10m+n=120

解得m=5

n=30

.'.yi=9x+30,

15x(0<x<8)

综上所述，K与X之间的函数解析式为yi=

9x+30(x>5)

(2)V500>120,

：.yi-9x4-30=500,

・『470

9

,.,y8=10x=500,X=50<.470，

9

所以选甲商店购买更多水果.

20.（8分）如图，太阳能电池板宽为点。是AB的中点，地面上三点。，E与C在一条直线上，EC

=5/77.在。处测得电池板边缘点8的仰角为37°,在E处测得电池板边缘点8的仰角为45°.此时

点A、8与E在一条直线上（结果精确到0.1〃?.参考数据：sin37°-0.60,cos37°心0.80,tan37°〜

0.75,&-1.41,我-1.73）

【解答】解：过2作BM±ED于M,BN±CO于N,

：.ZDMB=9Q°,NONB=9Q°,

:/BEM=45,NBDE=37°,

:.AOEC,08N是等腰直角三角形，

设BN=MC=xm,

ME=(5-x)m,MD=(5.7-x)m,

在RtzXBAffl中，NDMB=90°,

5x

.'.tanZBDM=典=-.=0.75,

DM5.7-x

*,•%=0.2,

VZBEM=45°,ZECO=90°,

UB普,

.•・AB=6O5=(m),

答：太阳能电池板宽A8的长度约为1.4加.

EMCD

21.(9分)如图，已知△ABC内接于。0,CO的延长线交。。于点且点A是前的中点.

(1)求证：BE//AD；

(2)若｛&疝=旦，。4=3,求AC的长.

4

【解答】(1)证明：连接。4交8E于尸,

是O。的切线,

C.OALAD,

：.ZDAO=90°,

:点A是赢的中点,

：.OA±BE,

：.ZEFO=90°,

：.ZDAO=ZEFO,

：.AD//BE；

(2)解：连接AE,在RtZXOA。中,

,.,tan£)=也■/，。4=8,

AD4

：.AD=4,

,•D0={36+42=2,

：.DE=5-3=2,

9：0A=0C,

：.ZOAC=ZACO,

・・・CE是OO的直径，

：.ZEAC=90°,

9：ZDAO=90°,

・•・ZDAE=ZOAC=ZACO,

.,.△DAE^ADCA,

.AEDE_2

••—=———，

ACAD4

：.AC=5AEf

VAC2+AE2=CE8,

.*.AC2+（方AC）2=6、

・•・心丝运

5

22.（12分）【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺

目.小明通过查阅得知（XinghaiBayBridge）是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通

道，位于黄海水域上.大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，跨

径布置为180+460+180=820办

如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为工，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m,由于桥梁中

20

间有车辆通过

【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系？

【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次

函数相关内容和查阅到的相关数据，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题.

【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点(大桥主跨上悬索的最低

点)，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系(如图3).

图3

(1)请直接写出以下问题的答案：

①右侧悬索最高点B的坐标；

②y与x的函数解析式；

③最长的吊杆的长度；

(2)某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50

米/分的速度通过大桥主跨，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟；

(3)如图3,灯光秀中一个射灯光源C(-70,-21),位于悬索最低点左下方，它所发出的射线状光

线，刚好经过右侧悬索的最高点应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬

索上？

【解答】解：(1)①如图，作BDLx轴于。点，

由题意得AB=L=460,

・1

・・0D亨二230，

,*,S：L="^7，

20

OO

・•・S-Lh^x460=69,

2020

：.BD=69f

・••点5的坐标为(230,69)；

②设y=oA

把5(230,69)代入得23。2・〃=69,

解得3_

2300

与x的函数解析式为：V——*3；

,丫2300

③如图，设最长的吊杆为EF,

,:吊杆间距10根,

：.DF=10f

AOF=230-10=220,

2,

由了=--—*2得，x=220时，y=_Z_x220^63

y23002300

：.EF^63,

图3

(2)如图，作MN〃x轴、N两点，

由题意知加=孙=3.9,代入抛物线解析式得言相*3=6.9,

解得乂8=-23标，x2=237i0-

X^-23710)XN=2371Q-

•1•MN=2X23710=46^/10-

..•游客在悬索上方能看到彩车的时间为：理嗯至8=6.9<6,

游客在悬索上方能看到彩车的时间不超过8分钟.

设直线C8的表达式为y=fcc+b,则

f-21=_70k+b

I69=230k+b)

2

解得10，

b=0

，直线CB的表达式为：yJ-x.

y10x

"."GH//CB,

/.直线GH与直线C8的左相同，

设直线GH的表达式为yJ-xHr，

yio

fxF

徂33=_3

1寸-----Y-----Y4-TT'

230010

整理得3x6-690x-2300%=0,

..•直线GH与抛物线只有一个交点，

Z.A=(-690)2-5X3X(-2300/n)=0