福建省永春县第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题

永春一中高二年（下）期中考数学（理）科试卷（2018.4）命题：陈鹏林审核:李金聪考试时间：120分钟试卷总分：150分本试卷分第I卷和第II卷两部分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为（）A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数 C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数2．下面是关于复数的四个命题：：|z|=2，：z2=2i，：z的共轭复数为，：z的虚部为1，其中真命题为（）A．， B．， C．， D．，3．我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为()A．B．C．D．4．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（）A． B． C． D．5．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2=BD•BC．拓展到空间，在四面体A﹣BCD中，AD⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在△BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（）A． B．C． D．6．已知，，，，…，，则推测（）A．1033 B．199 C．109 7．已知是上的单调增函数，则的取值范围是（）A．﹣1b2 B．﹣1b2C．b﹣2或b2 D．b﹣1或b28．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（）A． B． C． D．9．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．36 B．42 C．48 10．设函数在区间（a，b）上的导函数为，在区间（a，b）上的导函数为，若在区间（a，b）上，则称函数在区间（a，b）上为“凹函数”，已知在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为（）A． B． C．D．11．已知函数是定义在上的奇函数，，当x＞0时，有成立，则不等式的解集是（）A．B．C．D．12．设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把正确答案填在答题卡中横线上）13．．14．用0，1，2，3，4这五个数字可以组成个重复数字的四位奇数．15．已知的展开式中x3项的系数为25，则实数=．16．设过曲线（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）如图，梯形中，.（1）若求AC的长；（2）若，求的面积.（本题满分12分）设，数列的前项和为，已知，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.(本小题满分12分)已知函数（）（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求的取值范围．（本题满分12分）如图，是平行四边形，已知，,平面平面.（1）证明：；（2）若，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值．（本题满分12分）已知椭圆的两焦点为，，离心率.（1）求此椭圆的方程；（2）设直线，若与此椭圆相交于，两点，且等于椭圆的短轴长，求的值；

（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.（本题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．（1）求的解析式及单调减区间；（2）若函数无零点，求的取值范围．永春一中高二年（下）期中考数学（理）参考答案一、选择题123456789101112DBACACABCDAD二、填空题13.14．3615.316.三、解答题17．解：（1）因为，所以为钝角，且，，……………2分因为，所以.在中，由，解得.………………5分（2）因为，所以，故，.……6分在中，，整理得，解得，………………8分所以.…………10分18．解：（1）由得：…………1分所以数列是以为首项，为公差的等差数列…3分由成等比数列.即解得………………4分所以， ………5分（2）由（Ⅰ）可得，………6分所以，即①.………8分②.…………10分①—②可得，所以.……12分19.解：（1），………………1分当≤0时，∵x＞0，∴＞0恒成立，∴在定义域（0，+∞）上单调递增………………3分当＞0时，令=0，得x=，∵x＞0，∴＞0得x＞；＜0得0＜x＜，∴在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．……5分（2）当=0时，＞0恒成立……6分当＜0时，当x→0时，→﹣∞，≥0不成立…………8分当＞0时，由（1）可知f（x）min=f（）=﹣ln，由f（）=﹣ln≥0得1﹣ln≥0，∴∈（0，e]………………11分综上所述，的取值范围是[0，e]．………………12分20．解：（1）∵是平行四边形，且∴，故，即取BC的中点F，连结EF，∵，∴又∵平面平面，∴平面∵平面，∴∵平面，∴平面，∵平面，∴……………6分（2）∵,由（Ⅰ）得以B为坐标原点，所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图)，则∴设平面的法向量为，则，即得平面的一个法向量为由（1）知平面，所以可设平面的法向量为设平面与平面所成二面角的平面角为，则即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为.………12分21、.解：（1）设椭圆方程为，则，，所求椭圆方程为.……4分（2）由，消去y，得，则得（*）设，则，，，解得.，满足（*）…………8分设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为（不妨设k<0），则BC边所在直线的方程为，由，得A用代替上式中的k，得，由，得k<0，解得或，故存在三个内接等腰直角三角形.………12分

22．解：(1)，………………1分又由题意有：，故.……3分此时，，由或，所以函数的单调减区间为和.…………5分（说明：减区间写为的扣2分.）(2)，且定义域为，要函数无零点，即要在内无解，亦即要在内无解.…6分构造函数.①当时，在内恒成立，所以函数在内单调递减，在内也单调递减.又，所以在内无零点，在内也无零点，故满足条件；……………8分②当时，⑴若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增.又，所以在内无零点；易知，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；⑵若，则函数在内