湖南省教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷5

湖南省教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷5一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、已知a，b∈R，i是虚数单位，若a一i与2+bi互为共轭复数，则(a+bi)2=()A、5—4iB、5+4iC、3-4iD、3+4i标准答案：D知识点解析：根据已知得a=2，b=1，所以a+bi)2=(2+i)2=3+4i．2、设全集U=R，集合A={x｜x2+x-2＞0}，B={x｜x2一2x-3＜0}，则=()A、[-2，1)B、[一2，3)C、(1，3)D、(一1，1]标准答案：D知识点解析：∵A=(1+∞)∪(一∞，一2)，B=(一1，3)，∴=(一1，1]．3、函数f(x)=的定义域为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：(log2x)2一1＞0，即log2x＞1或log2x＜一1，解得x＞2或0＜x＜，故所求的定义域是(0，)∪(2，+∞)．4、用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是()A、方程x3＋ax+b=0没有实根B、方程x3+ax+b=0至多有一个实根C、方程x3+ax+b=0至多有两个实根D、方程x3＋ax+b=0恰好有两个实根标准答案：A知识点解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”．5、计算sin43°cos13°一cos43°sin13°的结果等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：sin43°cos13°一cos43°sinl3°=sin(43°一13°)=．6、直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A、B、C、2D、4标准答案：D知识点解析：由4x=x3，解得x=0或x=2或x=一2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为∫02(4x一x3)dx=(2x2一x4)｜02=4．7、有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：A55=5！=120，只语文相邻或数学相邻12×2=24，语文、数学相邻A33×4=24，∴P=．8、已知函数f(x)=｜x-2｜+1，g(x)=kx，若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A、(0，)B、(，1)C、(1，2)D、(2，+∞)标准答案：B知识点解析：在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y=kx的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y=x一1的斜率时符合题意，故＜k＜1．9、一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图所示，这组数据的众数与中位数分别为()A、9与8B、8与9C、8与8．5D、8．5与9标准答案：C知识点解析：一组数据中出现次数最多的数值，叫众数。故由图1可知，众数为8，将统计总体当中的各个变量值按大小顺序排列起来，形成一个数列，处于变量数列中间位置的变量值或中间两个值的平均数就称为中位数．故中位数为8．5．10、已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()A、x±=0B、+y=0C、x±2y=0D、2x±y=0标准答案：A知识点解析：椭圆C1的离心率为，所以a4—b4=a4，即a4=4b4，所以a=b，所以双曲线C2的渐近线方程是y=±=0．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、复数(i为虚数单位)的实部等于________．FORMTEXT标准答案：一3知识点解析：直接运算得=一(3+i)=一3一i，故实部为一3．12、在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________．FORMTEXT标准答案：x一y一1=0知识点解析：直接化简，两式相减消去参数t得，x一y=1，整理得普通方程为x一y一1=0．13、若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为_________．FORMTEXT标准答案：7知识点解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示是一个三角形，三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，2)，C(3，1)，画出直线2x+y=0，平移直线2x+y=0可知，z在点C(3，1)处取得最大值，所以Zmax=2×3+1=7．14、平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x=一1的距离相等，若机器人接触不到过点P(一1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．FORMTEXT标准答案：(一∞，一1)∪(1，+∞)知识点解析：由题意可知机器人的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为y2=4x，过点P(一1，0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1)，由题意知直线与抛物线无交点，联立消去y得k2x2+(2k2一4)x+k2=0，则△=(2k2一4)2一4k2＜0，所以k2＞1，得k＞1或k＜一1．15、若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数，则a=________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：函数f(x)=ln(e3x+1)+ax为偶函数，故f(一x)=f(x)，即ln(e－3x+1)一ax=ln(e3x+1)+ax，化简得=e2ax，整理得e3x+1=e2ax＋3x(e3x+1)，所以2ax+3x=0，解得a=．三、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)16、已知函数f(x)=4cosxsin(x+)一1．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．标准答案：(1)(2)知识点解析：暂无解析17、已知f(x)=(x≠一1)，求f’(0)．标准答案：f(x)==x(x+5)，f’(x)=2x+5，f’(0)=5．知识点解析：暂无解析设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*)．18、若a1=一2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；标准答案：由已知，b1=2a1，b8=2a8=4b7，有2a8=4×2a7=2a7＋2，解得d=a8一a7=2．所以，Sn=na1+d=一2n+n(n一1)=n2一3n．知识点解析：暂无解析19、若a1=1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为的前n项和Tn．标准答案：函数f(x)=2x在(a2，b2)处的切线方程为y一2a2=(2a2ln2)(x一a2)，它在x轴上的截距为a2一．由题意，a2一，解得a2=2。所以，d=a2一a1=1．从而an=n，bn=2n，知识点解析：暂无解析20、如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB／／CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．标准答案：证明：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，设线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1，0，0)，B(0，1，0)．(1)设C(m，0，0)，P(O，0，n)(m＜0，n＞0)，(2)由已知条件可得m=，n=1，知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=x3+3｜x—a｜(a∈R)．21、若f(x)在[一1，1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)一m(a)；标准答案：①因为f(x)=，所以f’(x)=．由于一1≤x≤1，①当a≤一1时，有x＞a，故f(x)=x3+3x一3a，此时f(x)在(一1，1)上是增函数，因此，M(a)=f(1)=4—3a，m(a)=F(一1)=一4—3A，故M(a)一m(a)=(4—3a)一(一4—3a)=8．②当一1＜a＜1时，若x∈(0，1)，f(x)=x3+3x一3a，在(a，1)上是增函数；若x∈(一1，a)，f(x)=x3一3x+3a，在(一1，a)上是减函数，所以，M(a)=max{f(1)，f(一1)}，m(a)=f(a)=a3．由于f(1)一f(一1)=一6a+2，因此，当一1＜a≤时，M(a)一m(a)=一a3一3a+4；当＜a＜1时，M(a)一m(a)=一a3+3a+2．③当a≥1时，有x≤a，故f(x)=x3一3x+3a，此时f(x)在(一1，1)上是减函数，因此，M(a)=f(一1)=2+3a，m(a)=f(1)=一2+3a，故M(a)一m(a)=(2+3a)一(一2+3a)=4．综上M(a)一m(a)=．知识点解析：暂无解析22、设b∈R，若[f(x)+b]2≤4对x∈[一1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．标准答案：令h(x)=f(x)+b，则因为[f(x)+b]2≤4对x∈[一1，1]恒成立，即一2≤h(x)≤2对x∈[一1，1]恒成立，所以由(1)知，①当a≤一1时，h(x)在(一1，1)上是增函数，h(x)在[一1，1]上的最大值是h(1)=4—3a+b，最小值是h(一1)=一4—3a+b，则一4—3a+b≥一2且4—3a+b≤2，矛盾；②当一1＜a≤时，h(x)在[一1，1]上的最小值是h(a)=a3+b，最大值是h(1)=4—3a+b，所以a3+b≥一2且4—3a+b≤2，从而一2—a3+3a≤3a+b≤6a—2且0≤a≤．令t(a)=一2一a3+3a，则t’(a)=3—3a2＞0，t(a)在(0，)上是增函数，故t(a)≥t(0)=一2，因