八年级数学下册 第20章 数据的分析（教师版）

2023-2024学年人教版数学八年级下册章节知识讲练1.了解加权平均数的意义和求法，会求实际问题中一组数据的平均数，体会用样本平均数估计总体平均数的思想．2.了解中位数和众数的意义，掌握它们的求法．进一步理解平均数、中位数和众数所代表的不同的数据特征．3.了解极差和方差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征．体会用样本方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法．4.从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度.知识点01：函数的相关概念【高频考点精讲】【易错点剖析】知识点01：算术平均数和加权平均数【高频考点精讲】一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为.【易错点剖析】平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.【易错点剖析】（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重.数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.知识点02：中位数和众数【高频考点精讲】1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数.【易错点剖析】（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.【易错点剖析】（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数.（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.知识点03：平均数、中位数与众数的联系与区别【高频考点精讲】联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.知识点04：极差、方差和标准差【高频考点精讲】用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值.【易错点剖析】极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定.方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是：【易错点剖析】（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即：；标准差的数量单位与原数据一致.知识点05：极差、方差和标准差的联系与区别【高频考点精讲】联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.知识点06：用样本估计总体【高频考点精讲】在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.【易错点剖析】（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.检测时间：120分钟试题满分：100分难度系数：0.65一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023秋•成都期末）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁解：因为，，，，所以S丙2＜S丁2＜S甲2＜S乙2，所以丙的成绩最稳定．故选：C．2．（2分）（2023秋•崂山区期末）如图是在2023年12月28日预报的我区2024年1月24日到31日八天的最低气温（℃）统计图，这八天最低气温的众数和中位数为（）A．3，2.5 B．3，3 C．﹣1，2 D．3，2解：八天的最低气温（℃）为：﹣2，﹣1，﹣1，2，3，3，3，4，∴众数为3，中位数为＝2.5．故选：A．3．（2分）（2023秋•成华区期末）近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景．下面是成都市2023年12月某五天的空气质量指数（AQI）：34，28，35，61，27，则这组数据的中位数是（）A．34 B．28 C．35 D．27解：将5个数字从大到小排列为61、35、34、28、27，最中间为34．所以中位数为34．故选：A．4．（2分）（2023秋•彰武县期末）下表为某校八年级72位女生在规定时间内的立定投篮数统计，投进的个数56789101112131415人数37610118137142若投篮投进个数的中位数为a，众数为b，则a+b的值为（）A．20 B．21 C．22 D．23解：第36与37人投中的个数均为9，故中位数a＝9，11出现了13次，次数最多，故众数b＝11，所以a+b＝9+11＝20．故选：A．5．（2分）（2023秋•城阳区期末）为提高学生的运算能力水平，某校开展以计算为主题的活动：“计”高一筹，“算”出风采．某班10名学生参赛成绩如图所示，则下列结论错误的是（）A．众数是90分 B．中位数是90分 C．平均数是91分 D．方差是15解：A．90分的人最多，所以众数是90分，此选项不符合题意；B．中位数为＝90，此选项不符合题意；C、平均数是＝91（分），此选项不符合题意；D、×[（85﹣91）2×2+（90﹣91）2×5+2×（95﹣91）2+（100﹣91）2]＝19，此选项符合题意；故选：D．6．（2分）（2023秋•信宜市期末）某商店销售5种领口大小分别为38，39，40，41，42（单位：cm）的衬衫，一个月内的销量如下表：领口大小/cm3839404142销量/件6419918011047你认为商店最感兴趣的是这里数据的（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数解：∵由于众数是数据中出现次数最多的数，∴商店最感兴趣的是众数．故选：C．7．（2分）（2023春•柯桥区期末）某射击队计划从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一人参加国际射击比赛，在选拔过程中，每人射击10次，计算他们的平均成绩及方差如下表所示：甲乙丙丁/环9.69.69.79.7s20.0150.0420.0150.042射击队决定依据他们的平均成绩及稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁解：∵，∴丙与丁的平均成绩较好；又∵S2甲＝S2丙＜S2乙＝S2丁，∴丙的成绩更稳定，∴被选中的运动员是丙．故选：C．8．（2分）（2023春•台山市期末）甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后结果如表，某同学分析表中数据得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；③甲班成绩的波动情况比乙班成绩的波动小．上述结论中正确的是（）班级参加人数平均数中位数方差甲55135149191乙55135151110A．①②③ B．①② C．①③ D．②③解：∵表中甲乙两班的参赛同学的平均数相同，∴甲、乙两班学生成绩的平均水平相同，则选项①正确；∵甲乙两班参赛人数相等，而乙班的中位数大于甲班的中位数，且乙班的中位数为151，∴乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数，则选项②正确；∵甲班的方差数大于乙班的方差数，方差越大，数据的波动越大，∴甲班成绩的波动情况比乙班大，则选项③错误．故选：B．9．（2分）（2023春•临海市期末）为迎接2023年杭州亚运会，某高校选拔若干名学生参加开幕式，要求身高比较整齐．假设该高校全体学生身高的方差是，选拔出的这部分学生身高的方差是，则下列结论一定成立的是（）A． B． C． D．无法比较解：∵高校选拔若干名学生参加开幕式，要求身高比较整齐，假设该高校全体学生身高的方差是，选拔出的这部分学生身高的方差是，∴＞．故选：A．10．（2分）（2023春•湖南期末）2023年5月11日，世界旅游城市联合会和长沙市人民政府共同主办了世界旅游城市联合会长沙香山旅游峰会，来自世界各地的嘉宾齐聚山水洲城长沙，共话全球旅游复苏新机遇，助力世界旅游业扬帆再起航，世界旅游城市联合会是由北京发起成立的世界首个以城市为主体的全球性国际旅游组织，自成立以来，其会员数量已从最初的58个发展至当前的238个，其中城市会员159个，机构会员79个，6个分会会员总数332个，这组数据58，238，159，793，32的中位数是（）A．58 B．238 C．159 D．79解：将给出数据按照从小到大的顺序排列：32，58，159，238，793，故中位数为159．故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023秋•温江区期末）果农小明随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选20棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克2）如下表所示，他准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲．甲乙丙404039s22.32.72.3解：因为甲品种的平均数比丙品种的平均数大，并且甲品种的方差比乙品种的方差小，所以甲品种产量既高又稳定．故答案为：甲．12．（2分）（2024•邵阳模拟）若一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为4，方差为2，则x1﹣1，x2﹣1，x3﹣1，…，xn﹣1的方差为2．解：∵数据x1，x2，…，xn的平均数是4，方差为2，∴x1﹣1，x2﹣1，x3﹣1，…，xn﹣1的平均数是4﹣1＝3，方差是不变，还是2．故答案为：2．13．（2分）（2023秋•酒泉期末）某市广播电视局欲招聘播音员一名，对A，B两名候选人进行了两项素质测试，两人的两项测试成绩如表所示．根据实际需要，广播电视局将面试、综合知识测试的得分按3：2的权数比计算两人的总成绩，则B（填“A”或“B”）将被录用．测试项目测试成绩AB面试9095综合知识测试8580解：∵A候选人的总成绩为＝88，B候选人的总成绩为＝89，∴B将被录用，故答案为：B．14．（2分）（2022秋•曹县期末）甲、乙、丙三种糖果的售价分别为每千克6元、每千克7元、每千克8元，若将甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克混合在一起，则混合后的糖果的售价应定为每千克6.9元．解：若将甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克混合在一起，则混合后的糖果甲、乙、丙比为3：5：2，∴混合后的糖果的售价每千克应定为（元），故答案为：6.9．15．（2分）（2023秋•成都期末）下表是小明参加一次“青春风采”才艺展示活动比赛的得分情况：项目书法舞蹈演唱得分859070总评分时，按书法占40%，舞蹈占30%，演唱占30%考评，则小明的最终得分为32.16．解：小明的最终得分为：85×40%+90×30%+70×30%＝32.16（分）．故答案为：32.16分．16．（2分）（2023秋•李沧区期末）为进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历史责任，某校举行了“诵读国学经典传承中华文明”演讲比赛．演讲得分按“演讲内容”占40%，“语言表达”占40%，“形象风度”占10%，“整体效果”占10%进行计算，小颖这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是87.4分．解：她的最后得分是85×40%+88×40%+92×10%+90×10%＝87.4（分），故答案为：87.4．17．（2分）（2023•云南模拟）在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，，则考核成绩更为稳定的运动员是乙．解：∵，，0.8＜1.42，且平均成绩相同，∴射击成绩更为稳定的运动员是乙，故答案为：乙．18．（2分）（2023春•柯桥区期末）为弘扬传统文化在端午节前夕，某校举行了“诗词竞赛”，某班15名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如下表所示，则全班15名同学的成绩的中位数是90．人数1653成绩（分）708090100解：将15名同学的成绩从小到大进行排序，排在第8位的同学成绩为90分，因此全班15名同学的成绩的中位数是90．故答案为：90．19．（2分）（2023春•岳池县期末）广安邓小平故里是全国重点文物保护单位、全国红色旅游经典景区．该景区计划招聘一名工作人员，面试官从内容、文化两个方面为应聘者打分，按内容占40%、文化占60%计算应聘者的综合分．已知应聘者小李的内容、文化的得分分别为80分、90分，则他的综合分是86分．解：根据题意可得：小李的综合分为：80×40%+90×60%＝32+54＝86（分），故答案为：86．20．（2分）（2022秋•莘县校级期末）已知一组数据的方差s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么这组数据的总和为24．解：∵s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，∴这组数据的平均数是6，数据个数是4，∴这组数据的总和为4×6＝24；故答案为：24．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023秋•商河县期末）为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：根据以上信息，解答下列问题：（1）这个班共有男生20人，共有女生25人；（2）求初二1班女生体育成绩的众数是8分，男生体育成绩的平均数是7.9分．（3）若全年级有900名学生，体育测试6分及以上成绩为合格，试估计全年级体育测试成绩合格的有多少名学生？解：（1）这个班共有男生1+2+6+3+5+3＝20（人），共有女生45﹣20＝25（人），故答案为20、25；（2）女生的众数为8分，男生的平均分为×（5+6×2+7×6+8×3+9×5+10×3）＝7.9（分），故答案为：8，7.9；（3）25×（1﹣4%）＝24（人），20﹣1＝19（人），900×＝860（人）．22．（6分）（2023秋•高青县期末）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下：（单位：分）甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．组别平均数中位数众数方差甲组7a63.76乙组b7c（1）以上成绩统计分析表中a＝6，b＝7，c＝7；（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小明可能是甲组的学生；（3）从平均数和方差看，若从甲乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．解：（1）把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数a＝6；，乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数c＝7．故答案为：6；7；7；（2）小明可能是甲组的学生，理由如下：因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上，故答案为：甲；选乙组参加决赛．理由如下：，∵甲乙组学生平均数相等，而，∴乙组的成绩比较稳定，故选乙组参加决赛．23．（8分）（2023秋•兰州期末）2023年6月5日是第50个世界环境日，今年的主题是“减塑捡塑”，旨在提高人们对塑料污染的认识，鼓励人们减少使用一次性塑料制品．为了庆祝第50个世界环境日，学校举办环境保护知识竞赛活动，竞赛内容分“自然环境保护”，“地球生物保护”，“人类环境保护”，“生态环境保护”四个项目，如表是小亮和小彬的各项成绩：（百分制）项目自然环境保护地球生物保护人类环境保护生态环境保护小亮95908590小彬809010090若“自然环境保护”，“地球生物保护”，“人类环境保护”，“生态环境保护”四个项目按2：1：4：3确定综合成绩，则小亮和小彬谁的综合成绩高？请通过计算说明理由．解：小彬的综合成绩高；理由：（分），（分），∵89＜92，∴小彬的综合成绩高．24．（8分）（2023秋•汉中期末）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．组别平均数中位数众数方差甲组7a62.6乙组b7cS乙2（1）以上成绩统计分析表中a＝6，b＝7，c＝7；（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是甲组的学生；（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．解：（1）把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是＝6，则中位数a＝6；b＝×（5+6+6+6+7+7+7+7+9+10）＝7，乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数c＝7．故答案为：6，7，7；（2）小明可能是甲组的学生，理由如下：因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上，故答案为：甲；（3）选乙组参加决赛．理由如下：S乙2＝＝＝，∵甲乙组学生平均数差不多，而S甲2＝2.6＞S乙2＝2，∴乙组的成绩比较稳定，故选乙组参加决赛．25．（8分）（2023秋•成都期末）学校组织七、八年级学生参加体育综合素质评价测试，已知七、八年级各有160人，现从两个年级分别随机抽取8名学生的测试成绩（单位：分）进行统计．七年级：89，87，91，91，93，98，94，97八年级：98，84，92，93，95，95，88，95整理如下：年级平均数中位数众数七年级92.5x91八年级92.594y根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：x＝92，y＝95；（2）甲同学说：“这次测试我得了93分，位于年级中等偏上水平”，你认为甲同学在哪个年级，并简要说明理由；（3）若规定测试成绩不低于90分为“优秀”，估计该学校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数．解：（1）把七年级8名学生的测试成绩排好顺序为：87，89，91，91，93，94，97，98，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为x＝＝92，八年级8名学生的成绩中95分的最多有3人，所以众数y＝95，故答案为：92，95；（2）七年级．∵七年级的中位数为92，八年级的中位数为95，甲同学这次测试得了93分，位于年级中等偏上水平，∴甲同学在七年级；（3）×160+×160＝240（人），答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为240人．26．（8分）（2023秋•青山区期末）以2022年北京奥运会为契机，某校开展以“弘扬奥林匹克精神，感受冰雪运动魅力”为主题的冰雪实践课程．为了解学生掌握滑雪技巧等情况，教练从七年级和八年级各抽取了10名学生的训练成绩进行了统计，绘制如下统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/分中位数/分众数/分方差/分七年级3bc2八年级a330.4（1）a＝3；b＝3.5；c＝4．（2）填空：填“七年级”或“八年级”①从平均数和众数的角度来比较，样本中成绩较好的是七年级；②从样本数据来看，成绩相对更加稳定的是八年级．（3）若规定4分及4分以上为优秀，该校八年级共200名学生参加了此次实践活动，估计八年级滑雪训练成绩优秀的学生人数是多少？解：（1）由扇形统计图可得，七年级训练得1分的人数为：10×30%＝3（人）；得3分的人数为：10×20%＝2（人）；得4分的人数为：10×40%＝4（人）；得5分的人数为：10×10%＝1（人）；得分按大小顺序排列为：5，4，4，4，4，3，3，1，1，1所以，中位数为（分），众数为：c＝4（分）；从条形统计图可得出八年级训练得分为：2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，所以，训练得分平均数为：（分），故答案为：3，3.5，4；（2）①七年级和八年级训练成绩的平均数相等为3分，但七年级的成绩众数大于八年级训练成绩的众数，所以，样本中成绩较好的是七年级，故答案为：七年级；②七年级和八年级训练成绩的平均数相等为3分，但七年级的成绩的方差大于八年级成绩的方差，故成绩相对更加稳定的是八年级，故答案为：八年级；（3）200×＝60（人），答：估计八年级滑雪训练成绩优秀的学生有60人．27．（8分）（2023秋•松北区期末）某校开展了“远离新冠•珍爱生命”的安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组，A.80＜x≤85；B.85＜x≤90，C.90＜x≤95，D.95＜x≤100），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99．八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，94，90．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数9292中位数92.