吉林省部分名校2023-2024学年高一下学期联合考试数学试题（含答案）

高一数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A.1B.C.3D.2.某纺织厂4月份生产了三种类型的纱线，分别为大卷纱线､中卷纱线和小卷纱线，其中大卷纱线有2000卷，中卷纱线有8000卷，小卷纱线有20000卷.为检查该纺织厂4月份生产的这三种类型纱线的质量，按比例用分层随机抽样的方法从中抽检240卷，则被抽检的小卷纱线有（）A.120卷B.150卷C.160卷D.200卷3.有一艘船以每小时25海里的速度向正东方向行驶，在处测得灯塔在该船的东北方向，该船行驶2小时后到达处，测得灯塔在该船的东偏北方向上，则（）A.海里B.海里C.50海里D.海里4.小唐5月日每天的运动时长（单位：分钟）统计数据如图所示，则（）A.小唐这7天每天运动时长的平均数是72B.小唐这7天每天运动时长的极差题42C.小唐这7天每天运动时长的中位数是75D.小唐这7天每天运动时长的第80百分位数是925.若某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，该圆台的体积不小于，则该圆台的高的取值范围是（）A.B.C.D.6.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，是该正五角星的中心，则（）A.-18B.-12C.12D.187.如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A.B.C.D.8.如图，在平面四边形中，为钝角三角形，，则四边形的面积的最大值为（）A.1B.C.D.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若复数，则（）A.B.C.为实数D.10.在正三棱锥中，，则下列结论正确的是（）A.若，则二面角是B.若二面角是，则正三棱锥的体积是C.荅，则正三棱锥内切球的半径是.D.若，则正三梭锥外接球的表面积为11.欧拉线定理指出三角形的外心､垂心､重心都在同一条直线士，且重心与外心之间的距离是重心与垂心之间的距离的一半.设分别是的外心､垂心和重心，则（）A.B.C.D.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.已知复数在复平面内对应的点分别为，若，则实数__________；若，则实数__________.13.某校高一（1）班有男生20人，女生30人.已知某次数学测验中，男生成绩的平均数为100，方差为11，女生成绩的平均数为95，方差为16，则这次测验中班级总体成绩的方差为__________.14.在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则的周长的最小值为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，在直四梭柱中，底面为菱形，为的中点.（1）证明：平面.（2）求点到平面的距离.16.（15分）在中，角的对边分别是，已知，且.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.17.（15分）近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的取均日利润（单位：百元）进行统计，所得的频率分布直方图如图所示.（1）求的值，并估计该直播平台商家平均日利润的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与中位数.（2）以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖淤方案，方案一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，方案二是对平均日利润从高到低排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多？并说明理由.18.（17分）对任意两个非零向量，定义：.（1）若向量，求的值；（2）若单位向量满足，求向量与的夹角的余弦值；（3）若非零向量满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围.19.（17分）如图，在四棱锥中，在线段上（不含端点），底面.（1）证明：平面平面.（2）设，请写出三棱锥的体积关于的函数表达式，并求出的最大值.高一数学试卷参考答案1.A因为，所以的虚部为1.2.C依题意得被抽检的小卷纱线有卷.3.A由题可知海里.在中，由正弦定理可得，则海里.4.D，A错误.小唐这7天每天运动时长的极差是，B错误.将小唐这7天每天运动时长从小到大排列为，则小唐这7天每天运动时长的中位数是70，错误.因为，所以第80百分位数是第6个数，即92，D正确.5.B设该圆台的高为，则该圆台的体积.因为该圆台的体积不小于，所以，解得.6.A由题意可得.7.B如图，取棱的中点，连接，易证四边形是平行四边形，则，故是异面直线与所成的角或补角.设，则.在中，由余弦定理可得.8.B（方法一）设，则，因为，所以.四边形的面积为.，当，即时，四边形的面积取得最大值，最大值为.（方法二）四边形的面积.9.BC由，得，A错误.，B正确.因为，所以为实数，C正确.D错误.10.ABD如图，取的中点，连接，则是二面角的平面角.作平面，垂足为，易证在上，且.对于A，由，得，则，从而，故A正确.对于B，二面角是，即，得，则3，从而三棱锥的体积，故B正确.由，得.对于，设三棱锥内切球的半径为，则，所以，故C错误.设三棱锥外接球的半径为，球心为，且在上，连接，则，即，解得，所以，所以，故D正确.11.BCD连接并延长，交于点（图略），则是的中点.因为是的中点，所以，所以.当时，不共线，则，故A错误.由欧拉线定理可知，则，从而，故B正确.因为是的垂心，所以，所以，所以，则，故C正确.由欧拉线定理可知，则，即，故D正确.12.；依题意得，则.若，则，解得；若，则，解得.13.20依题意得这次测验中班级总体成绩的平均数为，方差为.14.如图①，设侧面的中心为，根据正方体的结构特征可得，则周长的最小值即的最小值.将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上，将平面绕着旋转至与平面在同一平面上，如图②，则，故的周长的最小值为.15.（1）证明：连接，设与交于点，易得为的中点，连接.因为为的中点，所以为的中位线，则，因为平面平面，所以平面.（2）解：延长交于点，连接，取的中点，连接，易得.由题意易得为等边三角形，所以.因为平面，所以，所以平面，则点到平面的距离为..因为，所以.设点到平面的距离为，则.由，得，解得.故点到平面的距离为.16.解：（1）因为，所以.因为，所以，所以，解得或.因为，所以，则.（2）因为，所以，即，则.因为，所以.因为，当且仅当时，等号成立，所以，即，则的面积，故面积的最大值为.17.解：（1）由题意可知，解得.由，解得，所以中位数约为74，平均数约为.（2）由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为，方案二受到奖励的商家的个数为，因为，所以方案一受到奖励的商家更多.18.解：（1）因为，所以，则，故.（2）因为，所以，所以，所以，解得.因为，所以，则.（3）设向量与的夹角为，由题意可知，则.因为，所以，所