数学必修②第三章-直线与方程全部讲练学案

第20讲§3.1.1倾斜角与斜率¤学习目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.¤知识要点：1.当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.则直线l的倾斜角的范围是.2.倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即.如果知道直线上两点，则有斜率公式.特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当，时，直线与y轴垂直，斜率k=0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合.当α=90°时，斜率k=0；当时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大；当时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大.这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.¤例题精讲：【例1】如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.解：，，，.，，，.【例2】已知过两点,的直线l的倾斜角为45°，求实数的值.解：∵，∴，解得或.但当时，A、B重合，舍去．∴．【例3】已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a解:，.∵A、B、C三点在一条直线上，∴，即，解得或.点评：三点共线时，可以利用斜率相等，由此证明三点共线的一种方法是利用斜率相等.此外，还可利用两点间距离公式、直线方程等证明三点共线.【例4】已知两点A(-2,-3),B(3,0),过点P(-1,2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围.解：如图所示,直线PA的斜率是,直线PB的斜率是.当直线由PA变化到y轴平行位置PC,它的倾斜角由锐角增至90°，斜率的变化范围是[5,；当直线由PC变化到PB位置，它的倾斜角由90°增至，斜率的变化范围是.所以斜率的变化范围是.点评：分别计算过线段两个端点的直线的斜率，体现了研究问题的一种极限思想.由图象的运动变化规律，观察得到斜率的变化范围，注意结合倾斜角的比较和的单调性.第20练§3.1.1倾斜角与斜率※基础达标1．（01年上海春）若直线的倾斜角为，则等于（）.A．0B．45°C．90°D．不存在2．过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为（）.A.1B.4C.1或3D.1或43．已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（）.A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°4．若三点P（2，3），Q（3，），R(4，)共线，那么下列成立的是（）.A．B．C．D．5．（1995全国卷）右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）.A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1 D.k1＜k3＜k6．已知两点A(，－2)，B(3，0)，并且直线AB的斜率为2，则＝.7．若A(1，2)，B(-2，3)，C(4，y)在同一条直线上，则y的值是.※能力提高8．已知两点，直线过定点且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围.9．光线从点出发射入y轴上点Q,再经y轴反射后过点,试求点Q的坐标,以及入射光线、反射光线所在直线的斜率.※探究创新10．魔术大师把一块长和宽都是13的地毯按图1裁好，再按图2拼成矩形.计算两个图形的面积，分别得到169与168.魔术师得意洋洋的说，他证明了169=168.你能揭穿魔术师的奥秘吗？第21讲§3.1.2两条直线平行与垂直的判定¤学习目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根据斜率判定两条直线平行或垂直.¤知识要点：1.对于两条不重合的直线、，其斜率分别为、，有：（1）；（2）.2.特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；….¤例题精讲：【例1】四边形ABCD的顶点为、、、，试判断四边形ABCD的形状.解：AB边所在直线的斜率，CD边所在直线的斜率,BC边所在直线的斜率，DA边所在直线的斜率,∵，∴AB//CD，BC//DA，即四边形ABCD为平行四边形.又∵，∴AB⊥BC，即四边形ABCD为矩形.【例2】已知的顶点，其垂心为，求顶点的坐标．解：设顶点A的坐标为．∵，∴，即，化简为，解之得：.∴A的坐标为.【例3】（1）已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？（2）的倾斜角为45°，经过点P（-2，-1）、Q（3，-6），问与是否垂直？解：（1）∵=，.∴//．（2）∵，，，∴⊥．点评：当与的斜率存在时，，.斜率不存在时，进行具体的分析.由此先计算出斜率，根据斜率的相等或互为负倒数，从而判别平行或垂直.【例4】已知A（1，1），B（2，2），C（3，-3），求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．．BACD解：设D（，），则，．．BACD∴，即，解得.∴D（）.点评：通过设点D的坐标，把已知条件中的垂直与平行的两种关系、三点的坐标联系在一起，联系的纽带是斜率公式.解题的数学思想是方程求解，方程的得到是利用平行与垂直时斜率的关系.第21练§3.1.2两条直线平行与垂直的判定※基础达标1．下列说法中正确的是（）.A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等B.平行的两条直线的倾斜角一定相等C.垂直的两直线的斜率之积为-1D.只有斜率相等的两条直线才一定平行2．若直线的倾斜角分别为，则有（）.A.B.C.D.3．经过点和的直线平行于斜率等于1的直线，则的值是（）.A．4 B．1 C．1或3 D．1或44．若，则下面四个结论：①；②；③；④.其中正确的序号依次为（）.A.①③B.①④C.②③D.②④5．已知的三个顶点坐标为，则其形状为（）.A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法判断6．直线的斜率是方程的两根，则的位置关系是.7．若过点的直线与过点的直线平行，则m=.※能力提高8．已知矩形的三个顶点的分别为，求第四个顶点D的坐标．9．的顶点，若为直角三角形，求m的值.※探究创新10．已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.（1）证明：点C、D和原点O在同一直线上.（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.第22讲§3.2.1直线的点斜式方程¤学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式、斜截式，体会斜截式与一次函数的关系.¤知识要点：1.点斜式（pointslopeform）：直线过点,且斜率为k，其方程为.2.斜截式（slopeinterceptform）：直线的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为.3.点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线.若直线过点且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为，或.4.注意：与是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才是整条直线.¤例题精讲：【例1】写出下列点斜式直线方程：（1）经过点，斜率是4；（2）经过点，倾斜角是.解：（1）（2），所以直线的点斜式方程为：.【例2】已知直线.（1）求直线恒经过的定点；（2）当时，直线上的点都在轴上方，求实数的取值范围.解：（1）由，易知时，，所以直线恒经过的定点.（2）由题意得，解得.【例3】光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.解：∵A（－3，4）关于x轴的对称点A1（－3，－4）在经x轴反射的光线上，同样A1（－3，－4）关于y轴的对称点A2（3，－4）在经过射入y轴的反射线上，∴k==－2.故所求直线方程为y－6=－2（x+2），即2x+y－2=0.点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题.注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透.【例4】已知直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程．解：由已知得与两坐标轴不垂直．∵直线经过点，∴可设直线的方程为，即.则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为.根据题意得，即.当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，此方程无实数解.故直线的方程为，或.即或.点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解.而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.第22练§3.2.1直线的点斜式方程※基础达标1．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（）.A.=3B.=－5C.2=D.=4－12．方程表示（）.A.通过点的所有直线B.通过点的所有直线C.通过点且不垂直于轴的直线D.通过点且除去轴的直线3．直线（＝0）的图象可以是（）.4．已知直线l过点，它的倾斜角是直线的两倍，则直线l的方程为（）.A.B.C.D.5．过点P(1,2)且与原点O距离最大的直线l的方程（）.A.B.C.D.6．倾斜角是，在轴上的截距是3的直线方程是.7．将直线绕它上面一点（1，）沿逆时针方向旋转15°，得到的直线方程是.※能力提高8．已知直线在轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程.9．已知△在第一象限，若，求：（1）边所在直线的方程；（2）边和所在直线的方程.※探究创新10．国庆庆典活动的中心广场有数万名学生手持圆花组成大型图案方阵，方阵前排距观礼台120米，方阵纵列95人，每列长度192米，问第一、二排间距多大能达到满意的观礼效果？第23讲§3.2.2直线的两点式方程¤学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的两点式、截距式.明白直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性.¤知识要点：1.两点式（two-pointform）：直线经过两点，其方程为，2.截距式（interceptform）：直线在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为.3.两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.4.线段中点坐标公式.¤例题精讲：【例1】已知△顶点为，求过点且将△面积平分的直线方程.解：求出中点的坐标，则直线即为所求，由直线方程的两点式得，即.【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在的直线的方程.解：设菱形的四个顶点为A、B、C、D，如右图所示.根据菱形的对角线互相垂直且平分可知，顶点A、B、C、D在坐标轴上，且A、C关于原点对称，B、D也关于原点对称.所以A(－４，0)，C（４，0），B（0，3），D（0，－3）.由截距式，得直线AB的方程：＝1，即3x－４y＋12＝0；直线BC的方程：＝1,即3x＋４y－12＝0；直线AD方程：＝1,即3x＋４y＋12＝0；直线CD方程：＝1即3x－４y－12＝0.【例3】长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图象如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式，并说明自变量x的取值范围；（2）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票？解：（1）一次函数的图象是直线，由直线过两点，，则直线的两点式方程为，整理得.由，解得.所以y与x之间的函数关系式为，其中.（2）代入，得.所以，该旅客应当购买7元行李票.点评：实际问题中两个变量之间的关系为线性关系，由图象上的两点即可写出直线的方程.【例4】求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程.（教材第106页9题改编）解：当在两轴上的截距，设所求直线，点代入得，解得.∴所求直线为当在两轴上的截距，设所求直线，则，解得.∴所求直线方程为，即.所以，所求直线方程为或.点评：直线在两轴上截距相等，直接考虑截距式方程，也可以用由图形性质，得到k=-1时截距相等，从而选用点斜式.解题时特别要注意截距都是0的情况，这时选用函数.第23练§3.2.2直线的两点式方程※基础达标1．过两点和的直线的方程为（）.A.B.C.D.2．直线在轴上的截距是（）.A.B.C.D.3．过两点和的直线在轴上的截距为（）.A.B.C.D.24．已知，则过点的直线的方程是（）.A.B.C.D.5．（04年全国卷Ⅱ.文8）已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）.A． B． C． D．6．过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是.7．已知直线l过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l的方程为.※能力提高8．三角形ABC的三个顶点A（－3，0）、B（2，1）、C（－2，3），求：（1）BC边所在直线的方程；（2）BC边上中线AD所在直线的方程；（3）BC边的垂直平分线DE的方程．9．已知直线过点，且与两坐标轴构成单位面积的三角形，求直线的方程．※探究创新10．已知点、，点P是x轴上的点，求当最小时的点P的坐标．第24讲§3.2.3直线的一般式方程¤学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，体会一般式与直线其它方程形式之间的关系.¤知识要点：1.一般式（generalform）：，注意A、B不同时为0.直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线.2与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为.过点的直线可写为.经过点，且平行于直线l的直线方程是；经过点，且垂直于直线l的直线方程是.3.已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）；（2）；（3）与重合；（4）与相交.如果时，则；与重合；与相交.¤例题精讲：【例1】已知直线：，：，问m为何值时：（1）；（2）.解：（1）时，，则，解得m＝0.（2）时，,解得m＝1.【例2】（1）求经过点且与直线平行的直线方程；（2）求经过点且与直线垂直的直线方程.解：（1）由题意得所求平行直线方程，化为一般式.（2）由题意得所求垂直直线方程，化为一般式.【例3】已知直线l的方程为3x+4y－12=0，求与直线l平行且过点（－1，3）的直线的方程．分析：由两直线平行，所以斜率相等且为，再由点斜式求出所求直线的方程.解：直线l:3x+4y－12=0的斜率为，∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率为，又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：，即.点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程.此题也可根据直线方程的一种形式而直接写出方程，即，再化简而得.【例4】直线方程的系数A、B、C分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x轴相交；（3）只与y轴相交；（4）是x轴所在直线；（5）是y轴所在直线.分析：由直线性质，考察相应图形，从斜率、截距等角度，分析系数的特征.解：（1）当A≠0，B≠0，直线与两条坐标轴都相交.（2）当A≠0，B=0时，直线只与x轴相交.（3）当A＝0，B≠0时，直线只与y轴相交.（4）当A＝0，B≠0，C＝0，直线是x轴所在直线.（5）当A≠0，B＝0，C＝0时，直线是y轴所在直线.点评：结合图形的几何性质，转化为方程形式所满足的代数形式.对于直线的一般式方程，需要特别注意以上几种特殊位置时的方程形式.第24练§3.2.3直线的一般式方程※基础达标1．如果直线的倾斜角为，则有关系式（）.A.B.C.D.以上均不可能2．若，则直线必经过一个定点是（）.A.B.C.D.3．直线与两坐标轴围成的面积是（）.A．B．C．D．4．（2000京皖春）直线（）x+y=3和直线x+（）y=2的位置关系是（）.A.相交不垂直 B.垂直C.平行 D.重合5．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（）.A.4和3B.－4和3C.－4和－3D.4和－36．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a=.7．过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为；若点（，12）在此直线上，则＝．※能力提高8．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－，经过点A（8，－2）；（2）经过点B(4，2)，平行于轴；（3）在轴和轴上的截距分别是,－3；（4）经过两点（3，－2）、（5，－4）.9．已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），且.求证.※探究创新10．已知直线，，求m的值，使得：

（1）l1和l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1//l2；（4）l1和l2重合.第25讲§3.3.1两条直线的交点坐标¤学习目标：进一步掌握两条直线的位置关系，能够根据方程判断两直线的位置关系，理解两直线的交点与方程的解之间的关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.¤知识要点：1.一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组.若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2.方程为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是与的交点.¤例题精讲：【例1】判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.（1）直线l1:2x－3y+10=0,l2:3x+4y－2=0；（2）直线l1:,l2:.解：（1）解方程组

，

得.所以，l1与l2相交，交点是（－2，2）.（2）解方程组，消y得.当时，方程组无解，所以两直线无公共点，//.当时，方程组无数解，所以两直线有无数个公共点，l1与l2重合.当且，方程组有惟一解，得到，，l1与l2相交.∴当时，//；当时，l1与l2重合；当且，l1与l2相交，交点是.【例2】求经过两条直线和的交点，且平行于直线的直线方程.解：设所求直线的方程为，整理为.∵平行于直线，∴，解得.则所求直线方程为.【例3】已知直线.求证：无论a为何值时直线总经过第一象限.解：应用过两直线交点的直线系方程，将方程整理为.对任意实数a恒过直线与的交点为(,)，∴直线系恒过第一象限内的定点为(,).所以，无论a为何值时直线总经过第一象限.点评：化为后，解方程组所得到的解，为何就是直线恒过的定点坐标？实质就是方程组的解能使方程成立，即点在直线上.【例4】若直线l：y＝kx与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线l的倾斜角的取值范围.解：如图，直线2x+3y－6=0过点A（3，0），B（0，2），直线l：y＝kx必过点（0，－）.当直线l过A点时，两直线的交点在x轴；当直线l绕C点逆时针（由位置AC到位置BC）旋转时，交点在第一象限.根据，得到直线l的斜率k>.∴倾斜角范围为.点评：此解法利用数形结合的思想，结合平面解析几何中直线的斜率公式，抓住直线的变化情况，迅速、准确的求得结果.也可以利用方程组的思想，由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式而求.第25练§3.3.1两条直线的交点坐标※基础达标1．直线与的交点是（）.A.B.C.D.2．直线与直线的位置关系是（）.A.平行B.相交C.垂直D.重合3．已知直线的方程分别为，，且只有一个公共点，则（）.A.B.C.D.4．经过直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程是（）.A.B.C.D.5．直线＋2＋８＝0，4＋3＝10和2－＝10相交于一点，则的值为（）.A.1B.－1C.2D.－26．直线：2＋3＝12与：－2＝４的交点坐标为.7．（07年上海卷.理2）若直线与直线平行，则．※能力提高8．已知直线l1:2x-3y+10=0,l2:3x+4y-2=0.求经过l1和l2的交点，且与直线l3:3x-2y+4=0垂直的直线l的方程.9．试求直线关于直线:对称的直线l的方程.※探究创新10．已知直线方程为(2+λ)x+(1-2λ)y+4-3λ=0.（1）求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.第26讲§3.3.2两点间的距离¤学习目标：探索并掌握两点间的距离公式.初步了解解析法证明，初步了解由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想.¤知识要点：1.平面内两点，，则两点间的距离为：.特别地，当所在直线与x轴平行时，；当所在直线与y轴平行时，；当在直线上时，.2.坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.¤例题精讲：【例1】在直线上求一点，使它到点的距离为５，并求直线的方程.解：∵点在直线上，∴可设，根据两点的距离公式得,解得，∴．∴ 直线PM的方程为，即.【例2】直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值.解：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点.设,则，解得，所以线段.【例3】已知AO是△ABC中BC边的中线，证明|AB|＋|AC|=2（|AO|＋|OC|）.解：以O为坐标原点，BC为x轴，BC的中垂线为y轴，建立如图所示坐标系xOy.yxB(-c,0)A(a,b)C(yxB(-c,0)A(a,b)C(c,0)O由两点间距离公式得：|AB|=，|AC|=，|AO|=，|OC|=c.∴|AB|＋|AC|=，|AO|＋|OC|=.∴|AB|＋|AC|=2（|AO|＋|OC|）.点评：此解体现了解析法的思路.先建立适当的直角坐标系，将△ABC的顶点用坐标表示出来，再利用解析几何中的“平面内两点间的距离公式”计算四条线段长，即四个距离，从而完成证明.还可以作如下推广：平行四边形的性质：平行四边形中，两条对角线的平方和，等于其四边的平方和.三角形的中线长公式：△ABC的三边长为a、b、c，则边c上的中线长为.【例4】已知函数，设，且，求证<.oxA(1,a)BoxA(1,a)B(1,b)y在平面直角坐标系中，取两点，则,.△OAB中，，∴<.故原不等式成立.点评：此证法为数形结合法，由联想到平面内点到原点的距离公式，构造两点与三角形，将要证明的不等式转化为三角形中三边的不等关系.第26练§3.3.2两点间的距离※基础达标1．已知，则|AB|等于（）.A.4B.C.6D.2．已知点且，则a的值为（）.A.1B.－5C.1或－5D.－1或53．点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，则的长为（）.A.10B.5C.8D.64．已知，点C在x轴上，且AC=BC，则点C的坐标为（）.A.B.C.D.5．已知点，点到M、N的距离相等，则点所满足的方程是（）.A.B.C.D.6．已知，则BC边上的中线AM的长为.7．已知点P（2，－4）与Q（0，8）关于直线l对称，则直线l的方程为.※能力提高8．已知点，判断的类型．9．已知，点为直线上的动点．求的最小值，及取最小值时点的坐标．※探究创新10．燕隼（sun）和红隼是同属于隼形目隼科的鸟类．它们的体形大小如鸽，形略似燕，身体的形态特征比较相似．红隼的体形比燕隼略大．通过抽样测量已知燕隼的平均体长约为31厘米，平均翅长约为27厘米；红隼的平均体长约为35厘米，平均翅长约为25厘米.近日在某地发现了两只形似燕隼或红隼的鸟.经测量，知道这两只鸟的体长和翅长分别为A（32.65厘米，25.2厘米），B（33.4厘米，26.9厘米）.你能否设计出一种近似的方法，利用这些数据判断这两只鸟是燕隼还是红隼？第27讲§3.3.3点到直线的距离及两平行线距离¤学习目标：探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.体会数形结合、转化的数学思想，培养研究探索的能力.¤知识要点：1.点到直线的距离公式为.2.利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线，之间的距离公式，推导过程为：在直线上任取一点，则，即.这时点到直线的距离为.¤例题精讲：【例1】求过直线和的交点并且与原点相距为1的直线l的方程.解：设所求直线l的方程为,整理得.由点到直线的距离公式可知，,解得.代入所设，得到直线l的方程为.【例2】在函数的图象上求一点P，使P到直线的距离最短，并求这个最短的距离.解：直线方程化为.设,则点P到直线的距离为.当时，点到直线的距离最短，最短距离为.【例3】求证直线L：与点的距离不等于3.解：由点线距离公式，得=.假设，得到，整理得.∵，∴无实根.∴，即直线L与点的距离不等于3.点评：此解妙在反证法思路的运用.先由点线距离公式求出距离，然后从“距离不等于3”的反面出发，假设距离是3求m，但求解的结果是m另解：把直线L：按参数m整理，得.由，解得.所以直线L恒过定点.点P到直线L取最大距离时,PQ⊥L，即最大距离是PQ==.∵<3，∴直线L与点的距离不等于3.点评：此解妙在运用直线系恒过一个定点的知识，其定点就是与的交点.由运动与变化观点，当直线PQ⊥L时，点线距离为最大.【例4】求直线与的正中平行直线方程.解：直线的方程化为.设正中平行直线的方程为，则，即，解得.所以正中平行直线方程为.点评：先化一次项系数为相同，巧设正中平行直线方程，利用两组平行线间距离相等而求.结论：两条平行直线，的正中平行直线方程为.第27练§3.3.3点到直线的距离及两平行线距离※基础达标1．（1994全国文）点（0，5）到直线y=2x的距离是（）.A.B.C.D.2．动点在直线上，为原点，则的最小值为（）.A.B.C.D.23．（03年全国卷）已知点到直线的距离为1，则a=（）.A． B．－ C． D．4．两平行直线间的距离是（）.A.B.C.D.5．直线l过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，－5)到的距离相等，则直线的方程是（）.A.4x+y－6=0B.x+4y－6=0C.2x+3y－7=0或x+4y－6=0D.3x+2y－7=0或4x+y－6=06．两平行直线和间的距离是.7．与直线l：平行且到的距离为2的直线的方程为.※能力提高8．（1）已知点A（，6）到直线3－4＝2的距离d=4，求的值.（2）在直线求一点,使它到原点的距离与到直线的距离相等.9.△ABC中，.求∠A的平分线AD所在直线的方程.※探究创新10．（02全国卷.文）已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．第28讲第三章直线与方程复习¤学习目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根据两条直线的斜率判定平行或垂直；握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.¤例题精讲：【例1】（01年全国卷）设A、B是轴上的两点，点P的横坐标为2，且｜PA｜＝｜PB｜，若直线PA的方程为，则直线PB的方程是（）.A.B.2C. D.解法一：由得A（－1，0）.又｜PA｜＝｜PB｜知点P为AB中垂线上的点，故B(5，0)，且所求直线的倾斜角与已知直线倾斜角互补，则斜率互为相反数，故所求直线的斜率为－1，所以选C.解法二：＝0代入得A(－1，0).由,解得P（2，3）.设B（,0），由｜PA｜＝｜PB｜解得＝5.由两点式,整理得，故选C.【例2】一直线被两直线：，：截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.解：设所求直线与，的交点分别是A、B，设A()，则B点坐标为()因为A、B分别在，上，所以,①＋②得：，即点A在直线上，又直线过原点，所以直线的方程为.【例3】光线从A（－3，4）点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D（－1，6），求BC所在直线的方程.解：如图所示，依题意，易知：A点关于x轴对称点在直线BC上；D点关于y轴对称点也在直线BC上.所以，BC所在的直线方程为：，化简为5x－2y+7=0.点评：反射角等于入射角，这种几何性质，可以得到反射光线与入射光线关于法线对称，也可得到反射光线到法线、法线到入射光线这两个到角相等的式子，从而通过直线的斜率解决物理中的光学问题.此题巧妙地利用对称点，解决了直线的对称问题.xyo39255xyo3925519GBA解：如图建立坐标系，可知AB所在直线方程为，即x＋y＝20.设G(x，y)，由y＝20－x可知G(x，20－x)．∴=.由此可知，当x＝3时，S有最大值289平方米．故在线段AB上取点G(3，17)，过点分别作墙的平行线，在离墙5米处确定矩形的另两个顶点H、I，则第四个顶点K随之确定，如此矩形地面的面积最大．点评：处理几何最大（小）值的问题的常规途径是设一个变量，将所要求的几何量用此变量表示出来，称为目标函数，再通过函数知识来求解.这里由直线上动点的横坐标表示出了目标函数，由配方法求得二次函数的最大值.第28练第三章直线与方程复习※基础达标1．(03年春安徽理)在x轴和y轴上的截距分别为－2、3的直线方程是（）.A.B.C.D.2．若直线通过第二、三、四象限，则系数A、B、C需满足条件（）.A.A、B、C同号 B.AC＜0，BC＜0C.C＝0，AB＜0 D.A＝0，BC＜03．（02年京皖春文）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（）.A.x－y=0 B.x+y=0C.|x|－y=0 D.|x|－|y|=04．（1995上海卷）下列四种说法中的正确的是（）.A.经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0=k（x－x0）表示B.经过任意两个不同点的直线都可以用方程表示C.不经过原点的直线都可以用方程表示D.经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示5．已知点，点Q在直线x-y+1=0上，若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0，则点Q的坐标是（）.A．（－2，1）B．（2，1）C．（2，3）D．（－2，－1）6．已知两点A（1，－1）、B（3，3），点C（5，a）在直线AB上，则实数a的值是.7．点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值是.※能力提高8．求经过直线的交点，且与原点距离为的直线方程．9．已知点A的坐标为，直线的方程为3＋－2＝0，求：（1）点A关于直线的对称点A′的坐标；（2）直线关于点A的对称直线的方程.※探究创新10．某市现有自市中心O通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决交通拥挤问题，市政府决定修一条环城路，分别在通往正西和东北方向的公路上选取A、B两点，使环城公路在A、B间为线段，要求AB环城路段与中心O的距离为10km，且使A、B间的距离|AB|最小，请你确定A、B两点的最佳位置（不要求作近似计算）.第20练§3.1.1倾斜角与斜率【第20练】1～5CACCD；6.2；7.18.解：如图，由直线斜率公式，可以得到：直线PA的斜率，直线PB的斜率.由直线过定点且与线段AB相交，结合图象分析，可以得到其斜率的变化范围为或，即或.9.解：由物理中光的几何性质,可作关于y轴的对称点,并设入射点,则三点共线,∴.∴，解得.∴.所以，点,入射光线、反射光线的斜率分别为.10.解：如图，以B为坐标原点建立直角坐标系，使得BE在y轴正半轴上，AB在x轴负半轴上.边AC所在直线的斜率为，边EC所在直线的斜率为，即，所以A、C、D、E四点不可能在同一条直线上.即图2不是矩形.所以魔术师的计算有误.第21练§3.1.2两条直线平行与垂直的判定【第21练】1～5BCBBA；6.垂直；7.1.8.解：设D的坐标为，∵∴.∴，解得，∴D的坐标为.9.解：若∠A为直角，则AC⊥AB，∴，即，解得.若∠B为直角，则AB⊥BC，∴，即，解得.若∠C为直角，则AC⊥BC，∴，即，解得.所以，或或.10.解：（1）证明：设A、B的横坐标分别为x1、x2，由题设知x1＞1,x2＞1,点A(x1,log8x1),B(x2,log8x2).因为A、B在过点O的直线上，所以,又点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2).由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则.由此得kOC=kOD,即O、C、D在同一直线上.(2)解：由BC平行于x轴，有log2x1=log8x2,又log2x1=3log8x1∴x2=x13，将其代入,得x13log8x1=3x1log8x1,由于x1＞1知log8x1≠0,故x13=3x1x2=,于是A(，log8).第22练§3.2.1直线的点斜式方程【第22练】1～5BCDDA；6.；7..8.解：由已知得的斜率存在，设直线的方程为.当时，.由题可知，，解得，所以直线的方程为=±x－3.9.解：（1）边所在直线的方程为.（2）∵平行于轴，且△在第一象限，，.∴直线的方程为，即；直线的方程为，即.10.解：

所谓满意，可以认为从观礼位置看到的纵列上每个花的部分是一样的.设观礼者居高a米，从观礼位置看到的纵列上每个花的部分高度为b米.依题意，每列从第一个人到最后一个人（第95人）有94个间空，列长192米，则每列相邻二人平均间距约2米.

为简单起见，不妨设位于192米长的队列中点前后的两人间隔是2米，则

设第一、二排间距为x米，则，于是，

（米）.第23练§3.2.2直线的两点式方程【第23练】1～5BCAAB；6.；7.或.8.解：（1）因为直线BC经过B（2，1）和C（－2，3）两点，由两点式得直线BC的方程为：.（2）设BC边的中点D的坐标为，则BC边的中线AD过点A（-3，0），D（0，2）两点，由截距式得AD所在直线的方程为，即.（3）直线BC的斜率为，则BC边的垂直平分线DE的斜率，由斜截式得DE的方程为，即.9.解：设方程为．由已知，有,解方程组,得,而方程组无解.故所求方程为,即.yoA(－3,8)B(2,2)PP1ByoA(－3,8)B(2,2)PP1B1作B（2，2）关于x轴的对称点B1（2，－2），连接P1B1，P1A，P1B，连接AB1交x轴于P则，又，∴，∴点P即为所求，由直线的方程：即，则.∴点P的坐标为（1,0）.第24练§3.2.3直线的一般式方程【第24练】1～5BCDBC；6.；7.，a=10.8.解：（1）由点斜式得y－（－2）＝－（x－８），化成一般式得x＋2y－４＝0.（2）由斜截式得y＝2，化成一般式得y－2＝0.（3）由截距式得，化成一般式得2x－y－3＝0.（4）由两点式得，化成一般式得x＋y－1＝0.9.解：由，（1）当时，有.而直线的斜率为，直线的斜率为，所以有，即.（2）当时，若，则，直线的方程化为，平行于y轴.直线的方程化为，平行于x轴.所以，.若时，同理可得.若，则有，显然与不同时为0，不同时为0矛盾，所以不能同时为0.10.解：（1）l1和l2相交1×3-(m-2)m≠0,由1×3-(m-2)m=0m2-2m-3=0m=-1，或m=3，

∴当m≠-1且m≠3时，l（2）l1⊥l21×(m-2)+m×3=0m=.

∴当m=时，l1⊥l2.（3）∵m=0时，不平行，∴，解得m=-1.（4）∵m=0时，与不重合，∴与重合时，有，解得m=3.第25练§3.3.1两条直线的交点坐标【第25练】1～5CABAB；6.