新人教A版高中数学必修一第一章 集合与函数概念学案

【三维设计】2015高中数学第一章集合与函数概念学案新人教A版必修1_1.1集__合1．1.1集合的含义与表示第一课时集合的含义集合的概念[提出问题]观察下列实例：(1)山东天成书业集团的所有员工；(2)平面内到定点O的距离等于定长d的所有的点；(3)不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥3,x2≤9))的整数解；(4)方程x2－5x＋6＝0的实数根；(5)某中学所有较胖的同学．问题1：上述实例中的研究对象各是什么？提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学．问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定．问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定．[导入新知]元素与集合的概念定义表示元素一般地，我们把研究对象统称为元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示[化解疑难]准确认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.元素的特性及集合相等[提出问题]问题1：上述实例(3)组成的集合的元素是什么？提示：2,3.问题2：上述实例(4)组成的集合的元素是什么？提示：2,3.问题3：实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？提示：相等．[导入新知]1．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．2．集合元素的特性集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．[化解疑难]对集合中元素特性的理解(1)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1,2,3与3,2,1构成的集合是同一个集合．元素与集合的关系及常用数集的记法[提出问题]某中学2013年高一年级20个班构成一集合．问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合的元素吗？提示：是这个集合的元素．问题2：高二(3)班是这个集合中的元素吗？为什么？提示：不是．高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素．[导入新知]1．元素与集合的关系(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.2．常用的数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR[化解疑难]1．对∈和∉的理解(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．2．常用数集关系网实数集Req\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(有理数集Q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(整数集Z\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(正整数集N*,{0}))自然数集N,负整数集)),分数集)),无理数集))集合的基本概念[例1](1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点a的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤eq\r(2)的近似值的全体．其中能构成集合的组数是()A．2 B．3C．4 D．5(2)判断下列说法是否正确，并说明理由．①某个公司里所有的年轻人组成一个集合；②由1，eq\f(3,2)，eq\f(6,4)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，eq\f(1,2)组成的集合有五个元素；③由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合．[解析](1)“接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“eq\r(2)的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．[答案]A(2)[解]①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合．②不正确．由于eq\f(3,2)＝eq\f(6,4)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1，eq\f(3,2)，eq\f(1,2)这三个元素组成的．③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，所以它们仍表示同一个集合．[类题通法]判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．[活学活用]下列说法正确的是()A．小明身高1.78m，则他应该是高个子的总体这一集合中的一个元素B．所有大于0小于10的实数可以组成一个集合，该集合有9个元素C．平面上到定直线的距离等于定长的所有点的集合是一条直线D．任意改变一个集合中元素的顺序，所得集合仍和原来的集合相等解析：选DA中的高个子标准不能确定，因而不能构成集合；B中对象能构成集合，但元素有无穷多个；C中对象构成的是两条直线，D反映的是集合元素的无序性.元素与集合的关系[例2](1)设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A(2)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②eq\r(3)∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*A．1 B．2C．3 D．4[解析](1)由元素与集合的关系可知，a∈A.(2)①π∈R显然是正确的；②eq\r(3)是无理数，而Q表示有理数集，∴eq\r(3)∉Q，正确；③N*表示不含0的自然数集，∴0∉N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的．[答案](1)C(2)B[类题通法]判断元素与集合间关系的方法判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．[活学活用]设不等式3－2x<0的解集为M，下列正确的是()A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈MC．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M解析：选B从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.集合中元素的特性及应用[例3]已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．[解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，a＝a2，集合A有一个元素，∴a≠1.当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a＝－1.[类题通法]关注元素的互异性根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能取值，但要时刻关注集合中元素的三个特性，尤其是互异性，解题后要注意进行检验．[活学活用]设A表示由a2＋2a－3,2,3构成的集合，B表示由2，|a＋3|构成的集合，已知5∈A，且5∉B，求a的值．解：∵5∈A，∴a2＋2a－3＝5，解之得a＝2或a＝－4.当a＝2时，|a＋3|＝5，当a＝－4时，|a＋3|＝1.又∵5∉B，∴a＝－4.eq\a\vs4\al(,,1.警惕集合元素的互异性)[典例]若集合A中有三个元素，x，x＋1,1，集合B中也有三个元素x，x＋x2，x2，且A＝B，则实数x的值为________．[解析]∵A＝B，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝x2，,1＝x2＋x))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝x2＋x，,1＝x2.))解得x＝±1.经检验，x＝1不适合集合元素的互异性，而x＝－1适合．∴x＝－1.[答案]－1[易错防范]1．上面例题易由方程组求得x＝±1后，忽视对求出的值进行检验，从而得出错误的结论．2．当集合中元素含字母并要求对其求值时，求出的值一定要加以检验，看是否符合集合元素的互异性．[成功破障]若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．解析：(1)若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意．(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题意；当a＝－1时，由(2)知不合题意．综上可知：a＝0或a＝1.答案：0或1[随堂即时演练]1．下列说法正确的是()A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1,2,3和eq\r(9)，1，eq\r(4)组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素解析：选CA项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．2．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形解析：选A由于a、b、c、d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．3．下列说法中①集合N与集合N＋是同一个集合②集合N中的元素都是集合Z中的元素③集合Q中的元素都是集合Z中的元素④集合Q中的元素都是集合R中的元素其中正确的有________．解析：因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④4．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________.解析：代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；若a＝6，则6－6＝0∉A，不符合题意，舍去，所以a＝2或a＝4.答案：2或45．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．解：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.(1)当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由(1)知x＝0应舍去．综上知：x＝1，y＝0.[课时达标检测]一、选择题1．下列判断正确的个数为()(1)所有的等腰三角形构成一个集合．(2)倒数等于它自身的实数构成一个集合．(3)质数的全体构成一个集合．(4)由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C(1)正确，(2)若eq\f(1,a)＝a，则a2＝1，∴a＝±1，构成的集合为{1，－1}，∴(2)正确，(3)也正确，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在．(3)正确，(4)不正确，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2,3,4,6}，含4个元素，故选C.2．若a∈R，但a∉Q，则a可以是()A．3.14 B．－5C.eq\f(3,7) D.eq\r(7)解析：选D由题意知a是实数但不是有理数，故a应为无理数．3．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()A．P是由元素1，eq\r(3)，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－eq\r(3)|构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集解析：选A由于A中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.4．下列四个说法中正确的个数是()①集合N中的最小数为1；②若a∈N，则－a∉N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合；⑤π∈Q；⑥0∉N；⑦－3∈Z；⑧eq\r(5)∉R.A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①错，因为N中最小数是0；②错，因为0∈N，而－0∈N；③错，当a＝1，b＝0时，a＋b＝1；④错，小的正数是不确定的；⑤错，因为π不是有理数；⑥错，因为0是自然数；⑦正确，因为－3是整数；⑧正确，因为eq\r(5)是实数．5．由实数－a，a，|a|，eq\r(a2)所组成的集合最多含有()个元素．A．1 B．2C．3 D．4解析：选B当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，eq\r(a2)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a>0，,－a，a<0，))所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中有两个元素，故选B.二、填空题6．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________.解析：∵方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，∴a，b是方程x2－2x－3＝0的两个根，∴a＋b＝2.答案：27．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填∈或∉)．解析：∵a是偶数，b是奇数，∴a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A，ab∈A.答案：∉∈8．若集合A是不等式x－a>0的解集，且2∉A，则实数a的取值范围是________．解析：∵2∉A，∴2－a≤0，即a≥2.答案：a≥2三、解答题9．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求实数x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x.解：(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3.解之得x≠－1且x≠0，且x≠3.(2)∵－2∈A，∴x＝－2或x2－2x＝－2.由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴x＝－2.10．数集M满足条件：若a∈M，则eq\f(1＋a,1－a)∈M(a≠±1且a≠0)．若3∈M，则在M中还有三个元素是什么？解：∵3∈M，∴eq\f(1＋3,1－3)＝－2∈M，∴eq\f(1＋－2,1－－2)＝－eq\f(1,3)∈M，∴eq\f(1＋－\f(1,3),1－－\f(1,3))＝eq\f(\f(2,3),\f(4,3))＝eq\f(1,2)∈M.又∵eq\f(1＋\f(1,2),1－\f(1,2))＝3∈M，∴在M中还有元素－2，－eq\f(1,3)，eq\f(1,2).第二课时集合的表示列举法[提出问题]观察下列集合：(1)中国古代四大发明组成的集合；(2)20的所有正因数组成的集合．问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？提示：能．(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药，(2)中的元素为：1,2,4,5,10,20.问题2：如何表示上述两个集合？提示：用列举法表示．[导入新知]列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．[化解疑难]使用列举法表示集合的四个注意点(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，an}；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.描述法[提出问题]观察下列集合：(1)不等式x－2≥3的解集；(2)函数y＝x2－1的图象上的所有点．问题1：这两个集合能用列举法表示吗？提示：不能．问题2：如何表示这两个集合？提示：利用描述法．[导入新知]描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．[化解疑难]1．描述法表示集合的条件对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法．2．描述法的一般形式它的一般形式为{x∈A|p(x)}，其中的x表示集合中的代表元素，A指的是元素的取值范围；p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说集合元素x的取值范围A需写明确，但若从上下文的关系看，x∈A是明确的，则x∈A可以省略，只写元素x.用列举法表示集合[例1]若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是()A．1 B．2C．3 D．4(2)用列举法表示下列集合．①不大于10的非负偶数组成的集合；②方程x2＝x的所有实数解组成的集合；③直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；④方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1))的解．(1)[解析]集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．[答案]B(2)[解]①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．②方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．③将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1.))∴用列举法表示方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1))的解集为{(0,1)}．[类题通法]用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来．[活学活用]已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a∈A，有|a|∈B，且B中只有4个元素，求集合B.解：对任意a∈A，有|a|∈B.因为集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B.又因为B中只有4个元素，所以B＝{0,1,2,3}.用描述法表示集合[例2](1)用符号“∈”或“∉”填空：①A＝{x|x2－x＝0}，则1________A，－1________A；②(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．(2)用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合；③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．(1)[解析]①将1代入方程成立，将－1代入方程不成立，故1∈A，－1∉A.②将x＝1，y＝2代入y＝x＋1成立，故填∈.[答案]①∈∉②∈(2)[解]①偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．②设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．③坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．[类题通法]利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．[活学活用]下列三个集合：①A＝{x|y＝x2＋1}；②B＝{y|y＝x2＋1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？解：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对．可以认为集合C是坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线y＝x2＋1的图象.集合表示的应用[例3](1)集合A＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为()A．{x|x＝2n±1，n∈N}B．{x|x＝(－1)n(2n－1)，n∈N}C．{x|x＝(－1)n(2n＋1)，n∈N}D．{x|x＝(－1)n－1(2n＋1)，n∈N}(2)设集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(6,2＋x)∈N)))).①试判断元素1,2与集合B的关系；②用列举法表示集合B.(1)[解析]观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相间，且第一个为正数，故应选C.[答案]C(2)[解]①当x＝1时，eq\f(6,2＋1)＝2∈N.当x＝2时，eq\f(6,2＋2)＝eq\f(3,2)∉N.所以1∈B,2∉B.②∵eq\f(6,2＋x)∈N，x∈N，∴2＋x只能取2,3,6.∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}．[类题通法]判断元素与集合间关系的方法(1)用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系．例如，集合A＝{1,9,12}，则0∉A,9∈A.(2)用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时就比较复杂．此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？……，其次要清楚元素的共同特征是什么，最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系．[活学活用]定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，试用列举法表示出集合A*B.解：当x1＝1时，x2可以取1或2，则x1＋x2＝2或3；当x1＝2时，x2可以取1或2，则x1＋x2＝3或4；当x1＝3时，x2可以取1或2，则x1＋x2＝4或5.∴A*B＝{2,3,4,5}．eq\a\vs4\al(,,1.集合与方程的综合应用)[典例]集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，求a的取值范围．[解]当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－eq\f(1,2)，符合题意；当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．[多维探究]解答上面例题时，a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题．求解集合与方程问题时，要注意相关问题的求解，如：(1)在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围．解：A中至多含有一个元素，即A中有一个元素或没有元素．当A中只有一个元素时，由本例可知，a＝0或1.当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，即a>1.故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为a＝0或a≥1.(2)在本例条件下，若A中至少有一个元素，求a的取值范围．解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由例题可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即a<1.∴A中至少有一个元素时，a的取值范围为a≤1.(3)若1∈A，则a为何值？解：∵1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.(4)是否存在实数a，使A＝{1}，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：∵A＝{1}，∴1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.又当a＝－3时，由－3x2＋2x＋1＝0，得x＝－eq\f(1,3)或x＝1，即方程ax2＋2x＋1＝0存在两个根－eq\f(1,3)和1，此时A＝{－eq\f(1,3)，1}，与A＝{1}矛盾．故不存在实数a，使A＝{1}．[随堂即时演练]1．方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2－y2＝9))的解集是()A．(－5,4) B．(5，－4)C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}解析：选D解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2－y2＝9，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－4，))故解集为{(5，－4)}，选D.2．下列四个集合中，不同于另外三个的是()A．{y|y＝2} B．{x＝2}C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}解析：选B集合{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其它选项所表示的集合都是含有一个元素2.3．给出下列说法：①直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy>0}；②方程eq\r(x－2)＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}；③集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是相等的．其中正确的是________(填写正确说法的序号)．解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x，y)，故①正确；方程eq\r(x－2)＋|y＋2|＝0等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝0，,y＋2＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))解为有序实数对(2，－2)，解集为{(2，－2)}或{(x，y)|eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝－2))}，故②不正确；集合{(x，y)|y＝1－x}的代表元素是(x，y)，集合{x|y＝1－x}的代表元素是x，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．答案：①4．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．解析：由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的，故B＝{4,9,16}．答案：{4,9,16}5．用适当的方法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于－3.5小于12.8的整数的全体；(3)梯形的全体构成的集合；(4)所有能被3整除的数的集合；(5)方程(x－1)(x－2)＝0的解集；(6)不等式2x－1>5的解集．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．(2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．(3){x|x是梯形}或{梯形}．(4){x|x＝3n，n∈Z}．(5){1,2}．(6){x|2x－1>5}．[课时达标检测]一、选择题1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是()A．M＝{π}，N＝{3.14159}B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}C．M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}D．M＝{1，eq\r(3)，π}，N＝{π，1，|－eq\r(3)|}解析：选D选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0,1}，只有D是正确的．2．已知x，y，z为非零实数，代数式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)＋eq\f(z,|z|)＋eq\f(|xyz|,xyz)的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．0∉M B．2∈MC．－4∉M D．4∈M解析：选D当x，y，z都大于零时，代数式的值为4，所以4∈M，故选D.3．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：选B∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，∴x＝1,2,3,4.故选B.4．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈BA．x1·x2∈A B．x2·x3∈BC．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A解析：选D集合A表示奇数集，B表示偶数集，∴x1、x2是奇数，x3是偶数，∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．5．设P＝{1,2,3,4}，Q＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为()A．4 B．5C．19 D．20解析：选C由题意知集合P*Q的元素为点，当a＝1时，集合P*Q的元素为：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5个元素．同样当a＝2,3时集合P*Q的元素个数都为5个，当a＝4时，集合P*Q中元素为：(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)共4个．因此P*Q中元素的个数为19个，故选C.二、填空题6．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，则实数a解析：由集合相等的概念得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a2－3a＝－2，))解得a＝1.答案：17．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．解析：∵1∉{x|2x＋a>0}，∴2×1＋a≤0，即a≤－2.答案：a≤－28．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．解析：由－5∈{x|x2－ax－5＝0}得(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4，所以{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.答案：2三、解答题9．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x.解：当3x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，则x＝－2或x＝1.经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．当x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，则x＝－3或2.经检验，x＝－3或x＝2均合题意．∴x＝－3或x＝2.10．(1)已知集合M＝{x∈N|eq\f(6,1＋x)∈Z}，求M；(2)已知集合C＝{eq\f(6,1＋x)∈Z|x∈N}，求C.解：(1)∵x∈N，eq\f(6,1＋x)∈Z，∴1＋x应为6的正约数．∴1＋x＝1,2,3,6，即x＝0,1,2,5.∴M＝{0,1,2,5}．(2)∵eq\f(6,1＋x)∈Z，且x∈N，∴1＋x应为6的正约数，∴1＋x＝1,2,3,6，此时eq\f(6,1＋x)分别为6,3,2,1，∴C＝{6,3,2,1}．1．1.2集合间的基本关系子集[提出问题]具有北京市东城区户口的人组成集合A，具有北京市户口的人组成集合B.问题1：A中元素与集合B有关系吗？提示：有关系，A中每一个元素都属于B.问题2：集合A与集合B有什么关系？提示：集合B包含集合A.[导入新知]子集的概念定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集记法与读法记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)图示结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C[化解疑难]对子集概念的理解(1)集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A.此时记作A⃘B或B⊉A.(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N，“∈”只能用于元素与集合之间．如0∈N，而不能写成0⊆N.集合相等[提出问题]设A＝{x|x是有三条边相等的三角形}，B＝{x|x是等边三角形}．问题1：三边相等的三角形是何三角形？提示：等边三角形．问题2：两集合中的元素相同吗？提示：相同．问题3：A是B的子集吗？B是A的子集吗？提示：是，是．[导入新知]集合相等的概念如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.[化解疑难]对两集合相等的认识(1)若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.真子集[提出问题]给出下列集合：A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}．问题1：集合A与集合B有什么关系？提示：A⊆B.问题2：集合B中的元素与集合A有什么关系？提示：集合B中的元素a，b，c都在A中，但元素d，e不在A中．[导入新知]真子集的概念定义如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集记法记作AB(或BA)图示结论(1)AB且BC，则AC；(2)A⊆B且A≠B，则AB[化解疑难]对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.(2)若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.空集[提出问题]一个月有32天的月份组成集合T.问题1：含有32天的月份存在吗？提示：不存在．问题2：集合T存在吗？是什么集合？提示：存在，是空集．[导入新知]空集的概念定义我们把不含任何元素的集合，叫做空集记法∅规定空集是任何集合的子集，即∅⊆A特性(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A≠∅，则∅A[化解疑难]∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合，∅{0}．集合间关系的判断[例1](1)下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}A．1 B．2C．3 D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．(1)[解析]对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.[答案]B(2)[解]①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM.[类题通法]判断集合间关系的方法(1)用定义判断．首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断．对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．[活学活用]能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()解析：选B解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示.有限集合子集的确定[例2](1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7C．8 D．9(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析](1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．[答案](1)B(2)7[类题通法]公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n[活学活用]非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．解析：由“若a∈S，则6－a∈S”知和为6的两个数都是集合S中的元素，则()集合S中含有1个元素：{3}；集合S中含有2个元素：{2,4}，{1,5}；集合S中含有3个元素：{2,3,4}，{1,3,5}；集合S中含有4个元素：{1,2,4,5}；集合S中含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合S共有7个．答案：7集合间关系的应用[例3]已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a[解]当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,a＋3<－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,2a>4，))解得a<－4或2<a≤3.综上可得，实数a的取值范围为a<－4或a>2.[类题通法]利用集合关系求参数应关注三点(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．[活学活用]已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．解：(1)当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B.(2)当a>0时，A＝{x|eq\f(1,a)<x<eq\f(2,a)}．又∵B＝{x|－1<x<1}且A⊆B，如图作出满足题意的数轴：∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(1,a)≥－1，,\f(2,a)≤1，))∴a≥2.(3)当a<0时，A＝{x|eq\f(2,a)<x<eq\f(1,a)}∵A⊆B，如图所示，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(2,a)≥－1，,\f(1,a)≤1，))∴a≤－2.综上所述，a的取值范围是{a|a＝0或a≥2或a≤－2}．eq\a\vs4\al(,,2.利用集合的包含关系求参数)[典例]已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A⊆B，求实数m[解]∵A⊆B，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1>m－6，,m－6≤－2，,2m－1≥5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>－5，,m≤4，,m≥3，))故3≤m≤4.∴m的取值范围是{m|3≤m≤4}．[多维探究]1．本例中，若B⊆A，求实数m的取值范围．解：(1)当B＝∅时，m－6>2m－1，即m<－5当B≠∅时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－6≤2m－1，,m－6≥－2，,2m－1≤5，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥－5，,m≥4，,m≤3，))即m∈∅.故实数m的取值范围是{m|m<－5}．2．在本例中，若将“A⊆B”改为“AB”，求实数m的取值范围．解：∵A≠B，∴两不等式端点不可能同时成立，故答案与本例一致．3．若将本例中的不等式变为方程，试解决如下问题：已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．解：A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，∵B⊆A，∴B＝∅或B＝{0}或B＝{－4}或B＝{0，－4}．(1)当B＝∅时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实根，则Δ<0，即4(a＋1)2－4(a2－1)<0.∴a<－1.(2)当B＝{0}时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝0，,a2－1＝0，))∴a＝－1.(3)当B＝{－4}时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝0，,a2－8a＋7＝0，))无解．(4)当B＝{0，－4}时，由韦达定理得a＝1.综上所述，a＝1或a≤－1.[随堂即时演练]1．给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：选B由空集的性质可知，只有④正确，①②③均不正确．2．已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是()A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆CC．AB⊆C D．A＝B⊆C解析：选B集合A，B，C关系如图．3．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}∴m∈A，∴m＝4.答案：44．集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数为________．解析：由题意得A＝{0,1,2}，故集合A有7个真子集．答案：75．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．解：(1)若A是B的真子集，即AB，故a>2.(2)若B是A的子集，即B⊆A，则a≤2.(3)若A＝B，则必有a＝2.[课时达标检测]一、选择题1．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是()A．A⊆B B．A⊇BC．AB D．AB解析：选D显然B是A的真子集，因为A中元素是3的整数倍，而B的元素是3的偶数倍．2．已知集合M＝{x|－eq\r(5)<x<eq\r(3)，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为()A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤eq\r(3)，x∈N}解析：选D先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M，且SM.故选D.3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是()A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－1解析：选D由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q⊆P，a＝1或a＝－1.4．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为()A．6 B．5C．4 D．3解析：选A集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.5．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么()A．PM B．MPC．M＝P D．M⃘P解析：选C∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y<0，,xy>0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,y<0.))∴M＝P.二、填空题6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．解析：∵y＝(x－1)2－2≥－2，∴M＝{y|y≥－2}．∴NM.答案：NM7.图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．解析：由Venn图可得AB，CDB，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A为小说，B为文学作品，C为叙事散文，D为散文．答案：小说文学作品叙事散文散文8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．解析：因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．当a＝0时，方程化为2x＝0，∴x＝0，此时A＝{0}，符合题意．当a≠0时，Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，∴a＝±1.此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意．∴a＝0或a＝±1.答案：{0,1，－1}三、解答题9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.解：由x2－3x＋2＝0，得x＝1，或x＝2.∴A＝{1,2}．∵B⊆A，∴对B分类讨论如下：(1)若B＝∅，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0.(2)若B≠∅，则B＝{1}或B＝{2}．当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}．10．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．解：化简集合A得A＝{x|－2≤x≤5}．(1)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A中含有8个元素，∴A的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m≤－2时，B＝∅⊆A；②当m>－2时，B＝{x|m－1<x<2m因此，要B⊆A，则只要eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≥－2,2m＋1≤5))⇒－1≤m≤2.综上所述，知m的取值范围是：{m|－1≤m≤2或m≤－2}．1．1.3集合的基本运算第一课时集合的并集、交集并集[提出问题]已知下列集合：A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x∈N|1≤x≤4}，C＝{－1,1,2,3,4}．问题1：集合A与集合B各有几个元素？提示：A＝{－1,1}，B＝{1,2,3,4}，即集合A有2个元素，集合B有4个元素．问题2：若将集合A与集合B的元素放在一起，构成一个新的集合是什么？提示：{－1,1,2,3,4}．问题3：集合C中的元素与集合A、B有什么关系？提示：C中元素属于A或属于B.[导入新知]1．并集的概念文字语言一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}图形语言2．并集的性质(1)A∪B＝B∪A，即两个集合的并集满足交换律．(2)A∪A＝A，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身．(3)A∪∅＝∅∪A＝A，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身．(4)A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集．(5)若A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集，等于这个集合本身．[化解疑难]理解并集应关注三点(1)A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成．(2)“或”的数学内涵的形象图示如下：(3)若集合A和B中有公共元素，根据集合元素的互异性，则在A∪B中仅出现一次.交集[提出问题]已知A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，C＝{3,4}．问题1：集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？提示：有．{3,4}问题2：集合C中的元素与集合A，B有什么关系？提示：C中的元素既属于A又属于B.[导入新知]1．交集的概念文字语言一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)符号语言A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}图形语言2．交集的性质(1)A∩B＝B∩A，即两个集合的交集满足交换律．(2)A∩A＝A，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身．(3)A∩∅＝∅∩A＝∅，即任何集合与空集的交集等于空集．(4)A∩B⊆A，A∩B⊆B，即两个集合的交集是其中任一集合的子集．(5)若A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立，即若A是B的子集，则A，B的公共部分是A.[化解疑难]理解交集的概念应关注四点(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素．(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝∅.(4)定义中“x∈A，且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为A∩B.而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于A∩B.并集的运算[例1](1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于()A．{3,4,5,6,7,8} B．{5,8}C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8}(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}[解析](1)由并集的定义知，M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．[答案](1)A(2)A[类题通法]并集的运算技巧(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．[活学活用]若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选C从A∪B＝{1,4，x}看它与集合A、B元素之间的关系，可以发现A∪B＝A，从而B是A的子集，则x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或1或0.当x＝±2时，符合题意；当x＝1时，与集合元素的互异性相矛盾(舍去)；当x＝0时，符合题意．因此，x＝±2或0.交集的运算[例2](1)若A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩BA．{1,2} B．{0,1}C．{0,3} D．{3}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}[解析](1)A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A∴B＝{0,3,6,9}，∴A∩B＝{0,3}．(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图．则由交集的定义，A∩B＝{x|0≤x≤2}．[答案](1)C(2)A[类题通法]求交集运算应关注两点(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合．(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性．[活学活用]已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．解：∵M∩N＝{3}，∴3∈M；∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.但当a＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾；当a＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意．∴a＝4.交集、并集的性质及应用[例3]已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．[解]∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝∅或B≠∅.(1)当B＝∅时，k＋1>2k－1，∴k<2.(2)当B≠∅，则根据题意如图所示：根据数轴可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋1≤2k－1，,－3<k＋1，,2k－1≤4，))解得2≤k≤eq\f(5,2).综合(1)(2)可得{k|k≤eq\f(5,2)}．[类题通法]并集、交集的性质应用技巧对于涉及集合运算的问题，可利用集合运算的等价性(即若A∪B＝A，则B⊆A，反之也成立；若A∩B＝B，则B⊆A，反之也成立)，转化为相关集合之间的关系求解．[活学活用]把本例中的条件“A∪B＝A”换为“A∩B＝A”，求k的取值范围．解：∵A∩B＝A，∴A⊆B.又A＝{x|－3<x≤4}，B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，可知B≠∅.由数轴可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋1≤－3，,2k－1≥4，))解得k∈∅，即当A∩B＝A时，k的取值范围为∅.eq\a\vs4\al(,,2.含字母的集合运算忽视空集或检验)[典例](1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则A．1或2 B．2或4C．2 D．1(2)集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，A∩B＝B，则a的取值范围为________．[解析](1)∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M(2)由题意，得A＝{1,2}，∵A∩B＝B，∴当B＝∅时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意．综上所述，a≥2.[答案](1)C(2)a≥2[易错防范]1．本例(1)中的M∩N＝{2,3}有两层含义：①2,3是集合M，N的元素；②集合M，N只有这两个公共元素．因此解出字母后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视．2．在本例(2)中，A∩B＝B⇔B⊆A，B可能为空集，极易被忽视．[成功破障]设集合M＝{x|－2<x<5}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}，若M∩N＝N，则实数t的取值范围为________．解析：由M∩N＝N得N⊆M，故当N＝∅，即2t＋1≤2－t，t≤eq\f(1,3)时，M∩N＝N成立；当N≠∅时，由图得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－t<2t＋1，,2t＋1≤5，,2－t≥－2，))解得eq\f(1,3)<t≤2.综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤2}．答案：{t|t≤2}[随堂即时演练]1．设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝()A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}解析：选B由题意，得M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，∴M∩N＝{－1,0,1}．2．已知S＝{(x，y)|y＝1，x∈R}，T＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，则S∩T＝()A．空集 B．{1}C．(1,1) D．{(1,1)}解析：选D集合S表示直线y＝1上的点，集合T表示直线x＝1上的点，S∩T表示直线y＝1与直线x＝1的交点，故选D.3．若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤－1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________.解析：借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x<5}．答案：R{x|4≤x<5}4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．解析：因为A∪B＝R，画出数轴(图略)可知表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，所以a≤1.答案：a≤15．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.解：由已知A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}且A∩B＝C得：7∈A,7∈B且－1∈B，∴在集合A中x2－x＋1＝7，解得x＝－2或3.当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2，又2∈A，故2∈A∩B＝C，但2∉C，故x＝－2不合题意，舍去．当x＝3时，在集合B中，x＋4＝7.故有2y＝－1，解得y＝－eq\f(1,2)，经检验满足A∩B＝C.综上知，所求x＝3，y＝－eq\f(1,2).此时，A＝{2，－1,7}，B＝{－1，－4,7}，故A∪B＝{－4，－1,2,7}．[课时达标检测]一、选择题1.已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A．2个 B．3个C．1个 D．无穷多个解析：选AM＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，∴M∩N＝{1,3}．2．设S，T是两个非空集合，且它们互不包含，那么S∪(S∩T)等于()A．S∩T B．SC．∅ D．T解析：选B∵(S∩T)⊆S，∴(S∩T)∪S＝S.故选B.3．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0 B．1C．2 D．4解析：选D∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.故选D.4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于()A．{1,2} B．{1,5}C．{2,5} D．{1,2,5}解析：选D∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，即A＝{1,2}，B＝{2,5}．∴A∪B＝{1,2,5}，故选D.5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．a<2B．a>－2C．a>－1D．－1<a≤2解析：选C∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，要使A∩B≠∅，借助数轴可知a>－1.二、填空题6．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，满足A∩B＝{2}，则实数a＝________.解析：∵A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}，∴a＝2.答案：27．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x)＝x－5，故15＋x－5＝30－8⇒x＝12.答案：128．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是________．解析：由{1,3}∪A＝{1,3,5}，知A⊆{1,3,5}，且A中至少有一个元素为5，从而A中其余元素可以是集合{1,3}的子集的元素．而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4.它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．答案：4三、解答题9．已知S＝{x|2x2－px＋q＝0}，T＝{x|6x2＋(p＋2)x＋q＋5＝0}，且S∩T＝{eq\f(1,2)}，求S∪T.解：∵S∩T＝{eq\f(1,2)}，∴eq\f(1,2)∈S，且eq\f(1,2)∈T.因此有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p－2q－1＝0,p＋2q＋15＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝－7，,q＝－4.))从而S＝{x|2x2＋7x－4＝0}＝{eq\f(1,2)，－4}．T＝{x|6x2－5x＋1＝0}＝{eq\f(1,2)，eq\f(1,3)}．∴S∪T＝{eq\f(1,2)，－4}∪{eq\f(1,2)，eq\f(1,3)}＝{eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，－4}．10．已知A＝{x|a＜x≤a＋8}，B＝{x|x<－1，或x>5}．若A∪B＝R，求a的取值范围．解：在数轴上标出集合A、B，如图．要使A∪B＝R，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋8≥5，,a<－1，))解得－3≤a＜－1.综上可知：a的取值范围为－3≤a＜－1.第二课时补集及综合应用全集[导入新知]全集的定义及表示(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.[化解疑难]对全集概念的理解“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集.补集[提出问题]A＝{高一(1)班参加足球队的同学}，B＝{高一(1)班没有参加足球队的同学}，U＝{高一(1)班的同学}．问题1：集合A，B，U有何关系？提示：U＝A∪B.问题2：B中元素与U和A有何关系？提示：B中元素在U中，不在A中．[导入新知]补集的概念及性质定义文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言性质(1)∁UA⊆U；(2)∁UU＝∅，∁U∅＝U；(3)∁U(∁UA)＝A；(4)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅[化解疑难]理解补集应关注三点(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间