中考数学试卷1含答案解析 (二)

中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且

只有一个是正确的）

1.（3分）（2019•随州）-3的绝对值为（)

A.3B.-3C.±3D.9

2.（3分）（2019•随州）地球的半径约为6370000〃?，用科学记数法表示正确的是（）

A.637X10%B.63.7X105/MC.6.37X106/MD.6.37X107/n

3.（3分）（2019•随州）如图，直线〃〃12，直角三角板的直角顶点C在直线人上，一锐角

顶点8在直线办上，若Nl=35°,则N2的度数是（）

A.65°B.55°C.45°D.35°

4.(3分)(2013随州)下列运算正确的是()

A.4m-m=4B.(a2)3—a5

C.(x+y)2=x2+y2D.-(/-1)=\-t

5.（3分）（2019•随州）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他

们投中的次数统计如表:

投中次数35678

人数13222

则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（）

A.5,6,6B.2,6,6C.5,5,6D.5,6,5

6.（3分）（2019•随州）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（)

A.2nB.3KC.4TTD.5IT

7.（3分）（2019•随州）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气,

决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去

追都可以赢.结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是

8.（3分）（2019•随州）如图，在平行四边形A8C£>中，E为8c的中点，BD,AE交于点

O,若随机向平行四边形A8CD内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（）

9.（3分）（2019•随州）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：2率=

2->/3

处处丝包=7+4«,除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一

（2^/3）（2+V3）

些有特点的无理数，如：对于朝而-6不，设丽-万而，易知，3+而

故］>。，由，=（43+V^-个3"V^）2=3+*\/^+3-VB_2^/（3+^5）（3-VB）

=2,解得x=&,即后后-斤斤=加.根据以上方法，化简噂瑛+后荻

V3+V2

-♦6+3向后的结果为（）

A.5+3A/5B.5+-\/5C.5-D.5-

10.（3分）（2019•随州）如图所示，已知二次函数）'=以2+/»+。的图象与x轴交于A,8两

点，与）轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=1,则下列结论：①Mc<0；②a+L+岂

24

=0；③“c+Hl=0；④2+c是关于x的一元二次方程62+汝+°=（）的一个根.其中正确

的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡

对应题号处的横线上）

11.（3分）（2019•随州）计算：（TT-2019）°-2cos60°=.

12.（3分）（2019•随州）如图，点A,B,C在。。上，点C在优弧窟上，若/054=50°,

则/C的度数为.

13.（3分）（2019•随州）2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高

难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力.在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具

有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力.如图是一个最简

单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径

上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为

和.

4

14.（3分）（2019•随州）如图，在平面直角坐标系中，RtZ\A8C的直角顶点C的坐标为（1,

0）,点A在x轴正半轴上，且AC=2.将△A8C先绕点C逆时针旋转90°,再向左平移

3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为.

15.（3分）（2019•随州）如图，矩形0ABe的顶点A,C分别在>轴、x轴的正半轴上，D

为AB的中点，反比例函数），=K（Z>0）的图象经过点。，且与BC交于点E,连接0£>,

16.（3分）（2019•随州）如图，已知正方形ABC。的边长为a,E为C。边上一点（不与端

点重合），将△AOE沿AE对折至△AFE,延长E尸交边BC于点G,连接AG,CF.

给出下列判断：

①NEAG=45°:

②若。E=1,则AG〃C/；

3

③若《为。。的中点，则△GFC的面积为」一』；

10

④若CF=FG,则。E=（我-1）a；

其中正确的是.（写出所有正确判断的序号）

三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过

程）

17.（5分）（2019•随州）解关于x的分式方程：_9_=旦.

3+x3-x

18.（7分）（2019•随州）己知关于x的一元二次方程,-（2什1）x+d+l=0有两个不相等

的实数根%,及•

（1）求k的取值范围；

（2）若用+汹=3,求k的值及方程的根.

19.（10分）（2019•随州）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就

校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，

绘制了下面两幅尚不完整的统计图.根据图中信息回答下列问题：

扇形统计图条形统计图

（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为；

（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园

安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为人；

（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人

参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生

的概率.

20.（8分）（2019•随州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A,B同时收到某事故渔船的

求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方

向上，在救助船2的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里.

（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；

（2）若救助船A,8分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往

事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达.

21.（9分）（2019•随州）如图，在aABC中，A8=AC,以AB为直径的。。分别交AC,

BC于点、D,E,点B在AC的延长线上，且/8AC=2/C8F.

（1）求证：BF是的切线；

（2）若的直径为3,sinNCBF=Yl,求8C和B尸的长.

3

22.（11分）（2019•随州）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p

（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式2=4+8,从市场反馈的信息发现,

2

该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格X（元/千克）满足一次函数关系，

部分数据如表：

销售价格X（元/24……10

千克）

市场需求量q（百1210……4

千克）

已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克.

（1）直接写出g与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的

产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质

期短而只能废弃.

①当每天的半成品食材能全部售出时，求X的取值范围；

②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格X的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，当x为元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润

不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为元/千克.

23.（10分）（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m,n,我们可将这个

两位数记为mn，易知mn=10，*+〃：同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc

=100a+106+c.

【基础训练】

（1）解方程填空：

①若家装=45,贝ijx=；

②若7y-y8=26,则y=；

③若银+布=13tl，则/=；

【能力提升】

（2）交换任意一个两位数益的个位数字与十位数字，可得到一个新数公，则嬴嬴一

定能被_______整除，mn_niL定能被_______整除，mrTnir-”?"一定能被_______整除；

（请从大于5的整数中选择合适的数填空）

【探索发现】

（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引

力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三

位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，

得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例

如若选的数为325,则用532-235=297）,再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，

像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.

①该“卡普雷卡尔黑洞数”为;

②设任选的三位数为区（不妨设。试说明其均可产生该黑洞数.

24.（12分）（2019•随州）如图1,在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=o?+6x+c

与y轴交于点A（0,6）,与x轴交于点8（-2,0）,C（6,0）.

（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；

（2）如图2,连接AB,AC,设点P（m,〃）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且

在对称轴右侧，过点P作户OLAC于点E,交x轴于点。，过点P作PG〃A8交AC于

点F,交x轴于点G.设线段OG的长为d,求d与朋的函数关系式，并注明〃?的取值

范围；

(3)在(2)的条件下，若△PDG的面积为92,

12

①求点P的坐标；

②设M为直线AP上一动点，连接0M交直线AC于点S,则点“在运动过程中，在抛

物线上是否存在点R,使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对

中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且

只有一个是正确的）

1.（3分）（2019•随州）-3的绝对值为（）

A.3B.-3C.±3D.9

【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答.

【解答】解：-3的绝对值为3,

即I-3|=3.

故选：A.

2.（3分）（2019•随州）地球的半径约为6370000,”，用科学记数法表示正确的是（）

A.637X10%B.63.7X105/wC.6.37X106/nD.6.37X107/n

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中lW|a|<10,〃为整数.确定n

的值时，要看把原数变成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值大于10时，〃是正数；当原数的绝对值小于1时，”是负数.

【解答】解：6370000机，用科学记数法表示正确的是6.37X10%”，

故选：C.

3.（3分）（2019•随州）如图，直线〃〃12,直角三角板的直角顶点C在直线人上，一锐角

顶点B在直线/2上，若/1=35°,则/2的度数是（）

A.65°B.55°C.45°D.35°

【分析】根据余角的定义得到N3,根据两直线平行，内错角相等可得N3=N2.

【解答】解：如图，：/l+N3=90°,Zl=35°,

；.N3=55°.

又；直线〃〃12，

；./2=/3=55°.

故选：B.

4.（3分）（2019•随州）下列运算正确的是（）

A.4m-m=4B.（J）3=a5

C.（x+y）2=/+y2D.-（z-1）—\-t

【分析】直接利用合并同类项法则以及累的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出

答案.

【解答】解：A、4m-m=3m,故此选项错误；

B、（a2）3=/,故此选项错误；

C、（x+y）2-.x2+2xy+y2,故此选项错误；

D、-（r-1）—1-1,正确.

故选：D.

5.（3分）（2019•随州）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他

们投中的次数统计如表：

则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（）

A.5,6,6B.2,6,6C.5,5,6D.5>6,5

【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要

把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；

平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.

【解答】解：在这一组数据中5是出现次数最多的，故众数是5；

处于中间位置的两个数的平均数是（6+6）+2=6,那么由中位数的定义可知，这组数据

的中位数是6.

平均数是：（3+15+12+14+16）+10=6,

所以答案为：5、6、6,

故选：A.

6.（3分）（2019•随州）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（）

A.2TTB.3TTC.4nD.5K

【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形,

判断出几何体的形状，再根据三视图的数据，求出几何体的表面积即可.

【解答】解：根据三视图可得这个几何体是圆锥，

底面积=TTXl2=n,

侧面积为=7i・3=3n,

则这个儿何体的表面积=7T+3TT=4TT；

故选：C.

7.（3分）（2019•随州）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气,

决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去

追都可以赢.结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是

S（路程）S（路程）

C.t（时间）t（时间）

【分析】根据乌龟比兔子早出发，而早到终点逐一判断即可得.

【解答】解：由于乌龟比兔子早出发，而早到终点；

故B选项正确；

故选:B.

8.（3分）（2019•随州）如图，在平行四边形ABC。中，E为8c的中点，BD,4E交于点

O,若随机向平行四边形ABC。内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（）

A.J-B.A-C.1D.1

161286

【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数+所有可能出现的结果数.

【解答】解：为8c的中点，

.BE^

"AD^2"

.BQ=0E_1BO_1

,"0D而枳BD^?

S,\BOE=-^S/\AOB>SAAOB=XSAABD>

23

•'^/\BOE=—S^ABD=ABCD'

...米粒落在图中阴影部分的概率为jj

12

故选：B.

9.（3分）（2019•随州）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：生仪=

2s

处更丝泣=7+4«,除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一

（2-73）（2+V3）

些有特点的无理数，如：对于啊而-4而，设》=啊而-行谓，易知啊而

3^/5>故x>0,由x2=（yj3+-\[s~yj3-V^）2=3+A/^+3-A/5_2,>/（3+^5）（3-A/5）

=2,解得x=y历，即每而-序后=&.根据以上方法，化简里幸+后因苏

V3+V2

-倔砺后的结果为（）

A.5+3，^B.5+,\/5C.5-D.5-

【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案.

【解答】解：设x=46-兄-弋6+3如,且46+3^>后砺，

\%<0,

,•^-=6-3-73-217(6-3A/3)(6+3A/3)+6+3^/3)

4=12-2X3=6,

X=^6>

VW2=5-2娓,

V3+V2

•.原式=5-2通-娓

—5-3A/6,

故选：D.

10.（3分）（2019•随州）如图所示，已知二次函数y=o?+法+c的图象与x轴交于A,B两

点，与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=l,则下列结论：①abc<0；②a+L+L?

24

=0；③ac+b+l=0；④2+c是关于x的一元二次方程or2+/zx+c=0的一个根.其中正确

的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】①由抛物线开口方向得。<0,由抛物线的对称轴位置可得b>0,由抛物线与y

轴的交点位置可得c>0,则可对①进行判断；

②根据对称轴是直线x=l，可得b=-2a,代入a+L+1，可对②进行判断；

24

③利用OA=OC可得到A（-c,0）,再把A（-c,0）代入y=aY+6x+c即可对③作出

判断；

④根据抛物线的对称性得到B点的坐标，即可对④作出判断.

【解答】解：•••抛物线开口向下,

•.•抛物线的对称轴为直线x=-且=1,

2a

:.b=-2(/>0,

•；抛物线与y轴的交点在x轴上方，

abc<0,所以①正确；

■:b=-2m

-a=0,

2

Vc>0,

a+^h+^c>0,所以②错误；

VC(0,c),OA=OCf

A(-c,0),

把A(-c,0)代入y=ax'+bx+c得ac?-bc+c=0,

；.ac-6+1=0,所以③错误；

VA(-c,0),对称轴为直线x=l,

：.B(2+c,0),

；.2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c^0的一个根，所以④正确；

故选：B.

二、填空题(本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡

对应题号处的横线上)

11.(3分)(2019•随州)计算：(n-2019)0-2cos60°-0.

【分析】原式利用零指数基法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值.

【解答】解：原式=1-2X^=1-1=0,

2

故答案为：0

12.(3分)(2019•随州)如图，点A,B,C在0。上，点C在优弧窟匕若NO8A=

50°,则NC的度数为40°.

【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出NAOB的度数，然后根据圆周

角定理得到/C的度数.

【解答】解：：04=08,

：.Z0AB=ZOBA=50<,,

ZAOB=180°-50°-50°=80°,

：.ZC^i-ZAOB=4QQ.

2

故答案为40°.

13.（3分）（2019•随州）2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高

难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力.在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具

有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力.如图是一个最简

单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径

上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为——和

【分析】根据题意要求①②可得关于所要求的两数的两个等式，解出两数即可.

【解答】解：设图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为a,h

•••外圆两直径上的四个数字之和相等

二4+6+7+8="+3+b+11①

•••内、外两个圆周上的四个数字之和相等

/•3+6+Z?+7—〃+4+11+8（2）

联立①②解得：。=2,b=9

...图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为2,9

故答案为：2：9.

14.（3分）（2019•随州）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点C的坐标为（1,

0）,点A在x轴正半轴上，且4c=2.将△4BC先绕点C逆时针旋转90°,再向左平移

3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为（-2,2）.

【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点4的对应点坐标，根据平移的性质解答

即可.

【解答】解：,••点C的坐标为（1,0）,AC=2,

.,.点A的坐标为（3,0）,

如图所示，将先绕点C逆时针旋转90°,

则点A'的坐标为（1,2）,

再向左平移3个单位长度，则变换后点A'的对应点坐标为（-2,2）,

故答案为：（-2,2）.

15.（3分）（2019•随州）如图，矩形OABC的顶点4,C分别在y轴、x轴的正半轴上，D

为AB的中点，反比例函数y=K（%>0）的图象经过点£）,且与8c交于点E,连接0£）,

x

OE,DE,若△OOE的面积为3,则％的值为4.

【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可

求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数.

【解答】解：四边形0cBA是矩形,

：.AB^0C,0A=BC,

设B点的坐标为（小b）,则E的坐标为E（a,K）,

a

•・・。为A8的中点，

：.D（L,b）

2

；。、E在反比例函数的图象上，

：.Lab=k,

2

,:S&ODE=S矩胫OCBA-SAAOD-SAOCE_S"DE=ab-L-■---）=3,

2222a

：.ab-Xt-Xt-L〃+Ll=3,

2244

解得：k=4,

故答案为：4.

16.（3分）（2019•随州）如图，已知正方形ABCQ的边长为a,E为CD边上一点（不与端

点重合），将△AOE沿AE对折至△AFE,延长E尸交边8c于点G,连接AG,CF.

给出下列判断:

①NEAG=45。；

②若。E=L,则AG〃CF；

3

③若E为CD的中点，则△GR7的面积为」“2；

10

④若CF=FG,则OE=(5/2-1)

⑤BG・DE+AF・GE=a1.

其中正确的是①②④⑤.（写出所有正确判断的序号）

【分析】①由折叠得AQ=AF=A8,再由”L定理证明RtAABG丝RtzXAFG便可判定正

误；

②设BG=GF=x,由勾股定理可得（x+L）2=x2+（izz）2,求得8G=L,进而得

332

GC=GF,得NGFC=NGCF,再证明/AGB=NGCF,便可判断正误；

③设BG=GF=y,则CG=a-y,由勾股定理得y的方程求得8G,GF,EF,再由同高

的两个三角形的面积比等于底边之比，求得aCGF的面积，便可判断正误；

④证明NFEC=NFCE,得EF=CF=GF,进而得EG=2DE,CG=CE=a-DE,由等

腰直角三角形的斜边与直角边的关系式便可得结论，进而判断正误；

⑤设BG=GF=b,DE=EF=c,贝ICG=a-b,CE=a-c,由勾股定理得bc^a2-ab

-ac,再得ACEG的面积为8G再由五边形ABGEO的面积加上ACEG的面积等于

正方形的面枳得结论，进而判断正误.

【解答】解：①•••四边形A8C。是正方形，

.'.AB=BC—AD—a,

•.•将△AOE沿AE对折至△?1「£；,

/.ZAFE=ZADE=ZABG=90°,AF=AD=AB,EF=DE,ZDAE=ZFAE,

在RtAABG和RtAAFG中［研二AF,

lAG=AG

.,•RtAABG^RtAAFG（HL）,

：・NBAG=NFAG,

：.ZGAE^ZGAF+ZEAF^l-x90°=45°,故①正确；

2

②:.BG=GF,ZBGA^ZFGA,

设BG=GF=x,'：DE=La,

3

3

：•CG—a-x,

在RtzXEGC中，£1G=x+LbCE=^-ci,由勾股定理可得（x+Lr）?=/+（当?）\

3333

解得x=L,此时3G=CG=L,

22

・・・GC=GF=L,

2

:・/GFC=/GCF,

且ZBGF=ZGFC+ZGCF=2ZGCF,

：.2ZAGB=2ZGCF,

：./AGB=NGCF,

：.AG//CFf

，②正确；

③若E为C力的中点，则OE=CE=EF=L守

设BG=GF=y,则CG=a-y,

CGi+CE1=EG1,

即(a-y)2+(ya)2=(ya+y)2<

解得，y=L,

3

：.BG=GF=L^,CG=a-Laja，

333

•GF二针二2

,"EG=1,1

zXXX

,SACFG=4SACEG4ffafa$a2，

故③错误；

④当CF=FG,则NFGC=NFCG,

ZFGC+ZFEC=ZFCG+ZFCE=90Q,

:・NFEC=NFCE,

:・EF=CF=GF,

：.BG=GF=EF=DE,

:・EG=2DE,CG=CE=a-DE,

・・・&CE=EG,即加(a-DE)=2DE,

：.DE=(V2-1)a，

故④正确；

⑤设BG=GF=b,DE=EF=c,则CG=。-4CE=a-c,

由勾股定理得，(b+y)2=(a-b)?+(a-c)2,整理得-ac,

.112—1

,•S八(a-c)=77(a-ab-ac+bc)=K(bc+bc)=be，

即SMEG=BG・DE,

•SAABG-SdAFG，S&AEF-S/\AZ)F，

・1

,•S五边形ABGED=2s△蛇E=2><5AF-EG=AF-EG，

■:S五边形ABGED+SACEG=S正方形ABCD，

：.BG'DE+AF*EG^a,

故⑤正确.

故答案为：①②④⑤.

三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过

程）

17.（5分）（2019•随州）解关于x的分式方程：_9_=上.

3+x3-x

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：27-9x=18+6x,

移项合并得：15x=9,

解得：x=W,

5

经检验X=W是分式方程的解.

5

18.（7分）（2019•随州）已知关于x的一元二次方程X?-（2什1）x+产+1=0有两个不相等

的实数根X|，X2.

（1）求Z的取值范围；

（2）若用+汹=3,求k的值及方程的根.

【分析】（1）由于关于x的一元二次方程%2-（2^+1）x+F+l=0有两个不相等的实数根,

可知△＞（）,据此进行计算即可；

（2）利用根与系数的关系得出Xi+X2=2k+1,进而得出关于左的方程求出即可.

【解答】解：（1）••・关于x的一元二次方程（2A+1）x+$+1=0有两个不相等的实数

根，

.,.△>0,

(2H1)2-4(k2+l)>0,

整理得,4k-3>0,

解得：A>W,

4

故实数k的取值范围为k>2

4

（2）♦.•方程的两个根分别为xi，X2，

x।+12=2k+1=3,

解得：k=l,

二原方程为F-3X+2=0,

/•XJ=1f&=2.

19.（10分）（2019•随州）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就

校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，

绘制了下面两幅尚不完整的统计图.根据图中信息回答下列问题：

扇形统计图条形统计图

（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为96。；

（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园

安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为1020人;

（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人

参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生

的概率.

【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；

（2）用360。乘以扇形统计图中“了解很少”部分所占的比例即可；

（3）用总人数1800乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例即可;

（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结

果数，然后利用概率公式求解.

【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有304-50%=60（人），相=60-4-30-16=

10：

故答案为：60,10；

（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数=360°X11=96°；

60

故答案为:96°；

（3）该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：

1800X史迎-=1020（人）；

60

故答案为：1020；

（4）由题意列树状图：

由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到I名男生和1名女生的结果有8

男2女1女2男1女工夫2男，男2女I男，男2女2

20.（8分）（2019•随州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A,B同时收到某事故渔船的

求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方

向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船户与救助船A相距120海里.

（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；

（2）若救助船4,8分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往

事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达.

【分析】（1）作于C,则/PCA=NPB=90°,由题意得：%=120海里，乙4

=30°,ZBPC=45°,由直角三角形的性质得出PC=Xfi4=60海里，/XBCP是等腰

2

直角三角形，得出P8=&PC=60&海里即可；

(2)求出救助船A、8所用的时间，即可得出结论.

【解答】解：(1)作PC_LA8于C,如图所示：

则/尸。4=/尸8=90°,

由题意得：出=120海里，NA=30°,NBPC=45°,

.•.PC=U1=6O海里，ZXBCP是等腰直角三角形，

2

，8C=PC=60海里，PB=®PC=6Q0海里;

答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为6(A/年每里；

(2)•.•以=120海里，P8=60我海里，救助船A,B分别以40海里〃卜时、30海里/小

时的速度同时出发，

救助船A所用的时间为3=3(小时)，救助船8所用的时间为史亚=2点(小时)，

4030

•••3>2加，

救助船B先到达.

21.(9分)(2019•随州)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。0分别交AC,

BC于点O,E,点F在AC的延长线上，且/8AC=2NCBF.

(1)求证：BF是。。的切线；

(2)若OO的直径为3,sinNCBF=Yl_,求BC和8尸的长.

【分析】（1）连接AE,利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角

三角形两锐角相等得到直角，从而证明/A8F=90°.

（2）解直角三角形即可得到结论.

【解答】（1）证明：连接AE,

是。。的直径，

AZA£B=90°,

.•./1+/2=90°.

'：AB=AC,

：.2Zl=ZCAB.

:NBAC=2NCBF,

:.—CBF

ZCBF+Z2=90°

即/A8F=90°

是。。的直径，

直线8尸是。。的切线；

（2）解：过点C作于凡

,.•sinNCBf=返，N\=NCBF,

_3

/.sinZ1=2Z^-,

3

.在RtzMEB中，ZAEB=90°,AB=3,

.,.BE=AB・sinNl=3X区=«,

3

'：AB=AC,/AEB=90°,

.".BC=2BE=2-/s，

：$山/。"=里=返，

BC3

：.CH=2,

'：CH//AB,

•CF_CHpnCF2

AFABCF+33

••・CF=6,

：.AF=AC+CF=9,

・'•fiF=VAF2-AB2=6^2-

22.（11分）（2019•随州）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p

（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p=L+8,从市场反馈的信息发现,

2

该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格X（元/千克）满足一次函数关系，

部分数据如表：

销售价格x（元/24……10

千克）

市场需求量夕（百1210……4

千克）

已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克.

（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的

产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质

期短而只能废弃.

①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；

②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，当x为_苧_元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润

不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为5元/千克.

【分析】（1）根据表格数据，可设g与x的函数关系式为：q=kx+b,利用待定系数法即

可求

（2）①根据题意，当每天的半成品食材能全部售出时，有p&q,②根据销售利润=销

售量X（售价-进价），列出厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式

（3）根据（2）中的条件分情况讨论即可

【解答】解：

(1)由表格的数据，设g与x的函数关系式为：q=kx+b

根据表格的数据得g2=2k+b,解得[k=-l

ll0=4k+blb=14

故g与x的函数关系式为：q=-x+14,其中2WxW10

(2)①当每天的半成品食材能全部售出时，有pWq

即L+8W-X+14,解得xW4

2

又2WxWlO,所以此时2WxW4

②由①可知，当2WxW4时，

y—(x-2)p—(x-2)(AJT+8)=XX2+7X-16

22

当4cxW10时，y=(x-2)q-2(p-q)

=(x-2)(-x+14)-2[Xr+8-(-x+14)J

2

=-xz+\3x-16

gx2+7xT6,(24x44)

即有产｛2

-X2+13X-16,(4<X<10)

(3)当2WxW4时，

y—^-x+lx-16的对称轴为x——b=———■——-7

22a

2X2

.•.当2WxW4时，除x的增大而增大

，x=4时有最大值，y=A_x42+7X4-16=20

当4cxW10时

y--X2+13X-16=-(x--1^-)2+105,

24

V-1<O,H>4

2

.•.x=31时取最大值

2

即此时y有最大利润

要使每天的利润不低于24百元，则当2WxW4时，显然不符合

故y=-(x-丝)2十四》24,解得xW5

24

故当x=5时•，能保证不低于24百元

故答案为：11,5

2

23.（10分）（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为力,n,我们可将这个

两位数记为益，易知益=10，〃+〃；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如工

=100a+10