原创2023学年八年级数学勾股定理单元测试题

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题

（时间：120分钟总分：120分）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列各组数是勾股数的是（）

A.8,15,17B.1.5,2,2.5C.5,8,10

111

D-?（5

2.在△/a'中，NC=90°"5=2,则〃2+初+/月的值是（）

A.2B.4C.6

D.8

3.若直角三角形的三边长分别为2,4,x,则x的可能值有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三

角形，其中最大的正方形的边长为10cm,正方形）的边长为6cm,

方的边长为5cm,。的边长为5cm,则正方形〃的面积为（）

A.16cm2B.15cm2C.14cm2

D.9cm2

H

第4题图第6题图第7题图

第9题图

5.三角形三边长分别为6,8,10,那么它最短边上的高为（）

A.6B.4.5C.2.4

D.8

6.如图，点总在正方形肥切内，满足N4旗=90°,AE=6,BE

=8,则阴影部分的面积是（）

A.48B.60C.76

D.80

7.如图，在RtZX/比中，NC=90°,月。=3.将其绕〃点顺时针

旋转一周，则分别以胡、比为半径的圆形形成一圆环.该圆环的面

积为（）

A.nB.3nC.9nD.6n

8.在△力回中，N4AB,NO的对边分别记为a,b,c,由下

列条件不能判定△力优为直角三角形的是（）

A.N4+NQNCB.N/：N8：NU=1：2：3

C.a=c-ljD.a：b：c=3：4：6

9.如图，是一扇高为2m,宽为1.5m的门框，李师傅有3块

薄木板，尺寸如下：①号木板长3m,宽2.7m；②号木板长2.8m,

宽2.8m；③号木板长4m,宽2.4m.可以从这扇门通过的木板是

（）

A.①号B.②号

C.③号D.均不能通过

10.如图，已知圆柱底面的周长为6dm,圆柱高为4dm,在圆

柱的侧面上，过点4和点。嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最

小为（）

A.10dmB.15dmC.20dmD.25dm

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为64cm2,

则x的长为cm.

第11题图第12题图第14题图

第15题图

12.如图所示，小明将一张长为20cm,宽为15cm的长方形纸

减去了一角，量得4夕=3cm,CD=4cm,则剪去的直角三角形的斜

边回的长为.

13.小明在学校运动会上负责联络，他先从检录处走了75米到

达起点，又从起点向东走了100米到达终点，最后从终点走了125米

回到检录处，则他开始是按—方向走的.（假设小明走的每段路线

都是直的）

14.假设电视机屏幕为矩形.“某个电视机屏幕大小是64cm”

CD

的含义是矩形对角线长为64cm.如图，若该电视机屏幕4中，—

DC

=0.6,则电视机屏幕的高CD为cm.（精确到1cm）

15.如图所示，一架长5米的梯子4瓦斜立在一竖直的墙上，

这时梯子底端距墙底3米.如果梯子的顶端沿墙下滑1米，则梯子的

底端在水平方向沿一条直线滑动米.

16.如图所示，有一块直角三角形纸片，Z<7=90°,AC=4cm,

BC=3cm,将斜边45翻折，使点〃落在直角边47的延长线上的点石

处，折痕为力〃，则龙的长为

第16题图第17题图第18

题图

17.如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四

个全等的直角三角形围成的.在Rt△/比1中，若/。=12,BC=10,

将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到图

②所示的“数学风车”，若给这个“数学风车”的外围装饰彩带，则

需要彩带的长度至少是—.

18.如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别

为20dm、3dm、2dm,力和8是这个台阶两个相对的端点，/点有

一只蚂蚁，想到夕点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到6点的

最短路程是.

三、解答题（共66分）

19.（10分）学完了勾股定理后，张老师给同学们布置了这样一

道题：有两个形状、大小完全相同的香烟盒按照图①放置，从正前方

看图①得到的图形如图②所示，你能运用这个图形证明勾股定理吗？

赶紧试一试吧，相信你一定能行！（提示：连接力。、CF、粉

AD

①②

20.（10分）如图所示的一块草坪，已知/〃=12m,CD=9m,Z

N〃C=90°，^=39m,仇=36m,求这块草坪的面积.

、D

4'

21.（10分）一圆柱形油罐，如图所示，要以/点环绕油罐建梯

子，正好到/点的正上方夕点，已知油罐的底面周长为12m,高45

为5m,问所建的梯子最短需多少米？

22.（12分）如图，一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长

度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉

直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各

有多长?

23.（12分）如图①，C为线段初上一动点，分别过点反〃作

ABLBD,EDX.BD,连接〃?、已知”=5,DE=\,BD=8,设.CD=

x.

①②

⑴用含X的代数式表示4什龙的长；

⑵请问点。满足什么条件时，4C+龙的值最小？

(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点"(0,2),M12,3),

根据⑵中的规律和结论构图在x轴上找一点R使q/+/W最小，并

求出刃/+BV的最小值.

24.(12分)在%中，BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边.当

&2+82=/时，△从右是直角三角形；当才十斤//时，利用代数式才

十斤和/的大小关系，探究夕。的形状(按角分类).

(1)当三边长分别为6,8,9时，AABC为三角形;

当△力阿三边长分别为6,8,11时，为三角形；

(2)猜想：当才十斤/时-，△/a'为锐角三角形；当4

十斤d时-，△/比1为钝角三角形；

⑶判断当a=2,6=4时-，△/回的形状，并求出对应的c的取

值范围.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列各组数是勾股数的是（A）

A.8,15,17B.1.5,2,2.5C.5,8,10

111

『5

2.在回中，NC=90°,4夕=2,则4/+加+4?的值是（D）

A.2B.4C.6

D.8

3.若直角三角形的三边长分别为2,4，筋则x的可能值有（B）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三

角形，其中最大的正方形的边长为10cm,正方形4的边长为6cm,

夕的边长为5cm,。的边长为5cm,则正方形〃的面积为（C）

A.16cm2B.15cm2C.14cm2

D.9cm2

第4题图第6题图第7题图

第9题图

5.三角形三边长分别为6,8,10,那么它最短边上的高为（D）

A.6B.4.5C.2.4

D.8

6.如图，点£在正方形股切内，满足N4旗=90°,AE=6,BE

=8,则阴影部分的面积是（C）

A.48B.60C.76

D.80

7.如图，在中，Z<7=90°,47=3.将其绕8点顺时针

旋转一周，则分别以为、雨为半径的圆形形成一圆环.该圆环的面

积为（C）

A.JiB.3nC.9nD.6n

8.在中，N4AB,NC的对边分别记为a,b,c,由下

列条件不能判定为直角三角形的是（D）

A./什N8=NCB.N4：N夕：NC=1：2：3

C.a^c-l）D.a；b：c=3：4：6

9.如图，是一扇高为2m,宽为1.5m的门框，李师傅有3块

薄木板，尺寸如下：①号木板长3m,宽2.7m；②号木板长2.8m,

宽2.8m；③号木板长4m,宽2.4m.可以从这扇门通过的木板是

（C）

A.①号B.②号

C.③号D.均不能通过

10.如图，已知圆柱底面的周长为6dm,圆柱高为4dm,在圆

柱的侧面上，过点力和点。嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最

小为（A

A.10dm

B.15dm

C.20dm

D.25dm

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为64cm2,

贝!Jx的长为17cm.

第11题图第12题图第14题图

第15题图

12.如图所示，小明将一张长为20cm,宽为15cm的长方形纸

减去了一角，量得49=3cm,CD=4cm,则剪去的直角三角形的斜

边的长为20cm

13.小明在学校运动会上负责联络，他先从检录处走了75米到

达起点，又从起点向东走了100米到达终点，最后从终点走了125米

回到检录处，则他开始是按向南或向北方向走的.（假设小明走

的每段路线都是直的）

14.假设电视机屏幕为矩形.“某个电视机屏幕大小是64cm”

CD

的含义是矩形对角线长为64cm.如图，若该电视机屏幕力比77中，行、

=0.6,则电视机屏幕的高CD为33cm.（精确到1cm）

15.如图所示，一架长5米的梯子/反斜立在一竖直的墙上，

这时梯子底端距墙底3米.如果梯子的顶端沿墙下滑1米，则梯子的

底端在水平方向沿一条直线滑动1米.

16.如图所示，有一块直角三角形纸片，Z＜；=90°,AC=4cm,

BC=3cm,将斜边46翻折，使点夕落在直角边的延长线上的点总

处，折痕为/〃，则6F的长为1cm.

第16题图第17题图第18

题图

17.如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四

个全等的直角三角形围成的.在此△/比1中，若/。=12,a1=10,

将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到图

②所示的“数学风车”，若给这个“数学风车”的外围装饰彩带，则

需要彩带的长度至少是152.

18.如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别

为20dm、3dm、2dm,力和〃是这个台阶两个相对的端点，/点有

一只蚂蚁，想到〃点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到4点的

最短路程是25dm.

三、解答题（共66分）

19.（10分）学完了勾股定理后，张老师给同学们布置了这样一

道题：有两个形状、大小完全相同的香烟盒按照图①放置，从正前方

看图①得到的图形如图②所示，你能运用这个图形证明勾股定理吗？

赶紧试一试吧，相信你一定能行！（提示：连接4。、CF、硒

①②

证明：连接NGCF、设四=c,BC=a,4a8.如图所示，我

们根据梯形的面积公式可知，梯形胸的面积=:(a+c)(a+c).

从上图我们还发现梯形枚F的面积等于三个三角形的面积，即:

(a+c)(a+c)=：ac+：ac+*.化简可得a2+c2=Z>2.

20.(10分)如图所示的一块草坪，已知业?=12m,CD=9m,Z

ADC=90°,45=39m,及=36m,求这块草坪的面积.

解：连接4G在山△/阿中，ZADC=90°,AD=12m,39m,

由勾股定理得4^=15m,又因为四=39m,芯=36m,

所以△胸为直角三角形，则NZ电90°,

所以草坪面积S=：X15X36X9X12=216(m2).

21.（10分）一圆柱形油罐，如图所示，要以力点环绕油罐建梯

子，正好到/点的正上方4点，已知油罐的底面周长为12m,高/〃

为5m,问所建的梯子最短需多少米？

题图答图

解：假设将圆柱体的侧面沿四剪开，铺平得到如图所示的长方

形A4'B'B,

则B'=5m,AA'=BB'=12m,Z.BAA'=NH=Z

AB'B=NB=90°,

因此沿四'建梯子最短.

在B,中，由勾股定理，得AB'2=AA'2+A'B'2=

122+52=169,解得"'=13m.

所以梯子最短需13m.

22.（12分）如图，一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长

度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉

直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各

有多长?

题图答图

解：如图①，当NB=90°时，设比三xcm,贝((70—入)cm.

120

在Rt△被7中,^^初十初,即(70—x)2=502+JT2,解之x=—,

贝!)AC=(70—x)=攀，

这时该点将绳子分成19宁0cm,可Q70cm两段.

当N4=90°时，该点将绳子分成19与Hcm,宁^90cm两段，

如图②,当N—90°时,根据勾3股4弦5可知这两段为30cm,

40cm.

370190

故这个点将绳子分成的两段各有30cm,40cm或〒cm,—cm.

23.(12分)如图①，C为线段劭上一动点，分别过点反〃作

ABLBD,EDLBD,连接4。、已知45=5,DE=1,BD=8,设切=

x.

⑴用含x的代数式表示4C十四的长；

(2)请问点。满足什么条件时，4C+四的值最小？

(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点"(0,2),M12,3),

根据⑵中的规律和结论构图在x轴上找一点R使切什川最小，并

求出切什/W的最小值.

解：⑴•・,〃?=8,CD=x,：,BC