第06讲 等式性质与不等式性质 2024-2025年新高一暑假自学课（学生版）

第06讲等式性质与不等式性质1.理解不等式的概念，能在具体问题中建立不等式关系；’2.掌握不等式的基本性质，能用不等式的基本性质解决一些简单问题。1等式的性质(1)如果a=b，那么b=a；(2)如果a=b，b=c，那么a=c；(3)如果a=b，那么a±c=b±c；(4)如果a=b，那么ac=bc；(5)如果a=b，c≠0，那么ac2不等式的性质(1)传递性：a>b,b>c⇒a>c；(2)加法法则：a>b⇒a+c>b+c,a>b,c>d⇒a+c>b+d；(3)乘法法则：a>b,c>0⇒ac>bc,a>b,c<0⇒ac<bc；(4)倒数法则：a>b,ab>0⇒1(5)乘方法则：a>b>0⇒a3比较两个实数(或代数式)大小(1)作差法(a−b与0的比较)a−b>0→a>b;a−b=0→a=b;a−b<0→a<b(2)作商法(ab与1a(3)中间值法，若要证明a>b，只需要在a,b中间找一个数c，即证明b<c且c<a.其实质是不等式的传递性:若a>b，b>c，则a>c.

【题型一】利用不等式的性质判断命题的真假相关知识点讲解不等式的性质(1)传递性：a>b,b>c⇒a>c；(2)加法法则：a>b⇒a+c>b+c,a>b,c>d⇒a+c>b+d；(3)乘法法则：a>b,c>0⇒ac>bc,a>b,c<0⇒ac<bc；(4)倒数法则：a>b,ab>0⇒1(5)乘方法则：a>b>0⇒a解释加法法则a>b,c>d⇒a+c>b+d中，但不能得到a−c>b−d；倒数法则a>b,ab>0⇒1a<1b中乘方法则：a>b>0⇒an>【典题1】(多选)若a>b>0，c>d>0，则()A．a−c>b−d B．aa+cC．da+d<c【典题2】(2024·北京丰台·二模)若a,b∈R，且a>b，则(

)A．1a2+1C．a2>ab>b变式练习1.下列命题为真命题的是(

)A．若a>b>0，则ac2>bc2 C．若a<b<0，则a2<ab<b2 D．若2.(多选)若a,b,c∈R，则下列命题中为真命题的是(

)A．若a>b,c>d，则ac>bd B．若a>bC．若a−bc2>0，则a>b D．若3.(多选)已知1b<1A．a+c<b+dB．d−b<c−a C．ad<bc D．bd>ac4.(2024·广西·二模)(多选)已知实数a，b，c满足a>b>c，且a+b+c=0，则下列结论中正确的是(

)A．a+b>0 B．ac>bcC．1a−b>1【题型二】比较两个数(或式)的大小相关知识点讲解比较两个实数(或代数式)大小(1)作差法(a−b与0的比较)a−b>0→a>b;a−b=0→a=b;a−b<0→a<b(2)作商法(ab与1a(3)中间值法，若要证明a>b，只需要在a,b中间找一个数c，即证明b<c且c<a.其实质是不等式的传递性:若a>b，b>c，则a>c.【典题1】设0<x<1，已知a=1+x，b=2x，c=11−x，则a，b，cA．c>b>a B．c>a>bC．b>c>a D．a>c>b【典题2】试比较下列组式子的大小：(1)x+1−x与x−(2)M=a1+a+b1+b与N=(3)a2−b2a变式练习1.设a，b，m都是正数，且a<b，记x=a+mb+m,y=A．x>y B．x=yC．x<y D．x与y的大小与m2.设a,b∈−∞,0，则“a>b”是“a−A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.已知c＞1，且x＝c+1－c，y＝c－c−1，则x，y之间的大小关系是(

)A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x，y的关系随c而定4.(多选)已知a,b,c∈R，则下列说法正确的是(

)A．若a>b，则ac2+1>bcC．若a>b>0，则a+1a>b+1b5.(1)若x≥0，试比较5x2−1(2)若a>b>0，试比较aabb【题型三】求代数式的取值范围【典题1】(多选)已知−1<a<5，−3<b<1，则以下正确的是(

)A．−15<ab<5 B．−4<a+b<6C．−2<a−b<8 D．−变式练习1.已知1≤a+b≤4，−1≤a−b≤2，则4a−2b的取值范围为.2.已知a<b<c且a+2b+3c=0，则ba的取值范围是3.(多选)已知2<a+b<5，A．1<a<3 C．-4<a-4.(2024·河北石家庄·二模)若实数x,y,z≥0，且x+y+z=4,2x−y+z=5，则M=4x+3y+5z的取值范围是.【题型四】由不等式的性质证明不等式【典题1】(1)设a，b为正实数，求证：a2(2)设a，b，c为正实数，求证：a3【典题2】已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；(2)在锐角△ABC中，根据(1)中的结论，证明：AB+C变式练习1.已知a>b>c>0，求证：a2a2.已知a,b为正实数．求证：a23.设a,b,c∈R，a+b+c=0，abc=1.(1)证明：ab+bc+ca<0；(2)若a>b，证明a34.已知ab≠0，求证：a3+b【A组基础题】1.已知a,b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是()A、a2<b2B、a2.已知a<b<0，那么下列不等式成立的是(

)A．1a<1b B．ab<b23.(2022•安徽模拟)已知a>b>c>d>0，且a+d=b+c，则以下不正确的是()A．a+c>b+d B．ac>bd C．ad<bc D．a4.若P=a+3+a+5，Q=a+1+a+7(a≥0)A．P=QB．P>QC．P<Q D．由a的取值确定5.(多选)若a､b､c∈R，则下列命题正确的是(A．若a>b>0，则aB．若a<b<0，则a+C．若a<b<c<0，则bD．若a>0,b>0，则b6.设a=3+2,b=2+5，则a,b7.已知12<a<60,15<b<36，则a−b的取值范围是，ab的取值范围是.8.(1)a=x3+y3,b=x2y+x(2)证明：已知a>b>c，且a+b+c=0，求证：ac−a>9.证明下列不等式：(1)若a>0,b>0，求证：a2(2)若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：ea−c10.已知：a，b，c为△AB