第04讲 充分条件与必要条件 2024-2025年新高一暑假自学课（教师版）

第04讲充分条件与必要条件1.理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义；2.了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系；3.能通过充分性、必要性解决简单的问题；4.能对充分条件进行证明.1命题的定义(1)命题的定义：一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.(2)命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论.2充分条件与必要条件(1)一般地，”若p，则q”为真命题，是指以p为已知条件通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)一般地，”若p，则q”为假命题，是指以p为已知条件不能通过推理可以得出q.这时，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.3充要条件(1)充要条件的定义如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均为真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时p即是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件.(2)充要条件的含义若p是q的充要条件，则q也是p的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同.(3)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成是p是q等价.

【题型一】判断充分条件与必要条件相关知识点讲解概念一般地，”若p，则q”为真命题，是指以p为已知条件通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果”若p，则q”和它的逆命题”若q，则p”均是真命题，②p是q的______条件(填写是否充分、必要)完成此题型，可思考从左到右，若p⇒q则充分，若p⇏q则不充分；从右到左，若q⇒p则必要，若q⇏p则不必要.【例】帅哥是男人的____________条件.解析从左到右，显然若A是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；从右到左，若B是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要.③从集合的角度理解－－小范围推得出大范围(1)命题p、q对应集合A、B，若A⊆B，则p⇒q，即p是q的充分条件；若A⊈B，则p⇏q，即p不是q的充分条件.注若A⊆B，则称A为小范围，B为大范围.【例】帅哥是男人的____________条件.解析设集合A={帅哥}，集合B={男人}，显然A⊆B，{帅哥}是小范围，推得出{男人}这个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件.(2)结论①若p是q的充分不必要条件，则A⊊B；②若p是q的必要不充分条件，则B⊊A；③若p是q的充分条件，则A⊆B；④若p是q的必要条件，则B⊆A.【典题1】(多选)下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件是(

)A．对角线相等的菱形B．邻边相等的矩形C．对角线相等的平行四边形D．有一个角是直角的菱形【答案】ABD【分析】根据四边形的性质依次判断每个选项得到答案.【详解】对选项A：对角线相等的菱形是正方形，正确；对选项B：邻边相等的矩形是正方形，正确；对选项C：对角线相等的平行四边形是矩形，错误；对选项D：有一个角是直角的菱形是正方形，正确；故选：ABD【典题2】(2024·天津·二模)已知a,b∈R，则“a=b=0”是“a+b=0”的(

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可.【详解】若a=b=0，则a+b=0若a+b=0，例如a=1,b=−1，满足条件，但a=b=0综上所述：“a=b=0”是“a+b=0故选：A.【典题3】设x∈R，则“x2−5x<0”是“A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】∵x2−5∵|x−1|<1，∵0<x<5推不出0<x∴0<x<5是即x2−5x故选：B．变式练习1.下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是(

)A．若x=1，则xB．若ac=bc，则a=bC．若mn为无理数，则m,n为无理数D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形【答案】A【分析】根据充分条件的定义依次判断每个选项即可.【详解】对选项A：若x=1则x2=1，故x2对选项B：若ac=bc，c=0时，不能得到a=b，故B错误；对选项C：取m=1,n=2，满足mn为无理数，m对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误；故选：A2.“a+1>b”是“a3>bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由不等式的性质，分别判断充分性和必要性是否满足.【详解】由a+1>b等价于a>b−1，由a3>b由a>b−1推不出a>b，由a>b可以推出a>b−1，则“a+1>b”是“a3故选：B.3.设a,b∈R，则“a>b>0”是“a2>A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分，必要条件的定义判定即可.【详解】因为a>b>0⇒a−b当a=−2,b=0，可知a2>b故“a>b>0”是“a2故选：B4.“x=1”是“x4−5xA．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解x4【详解】由x4−5x2+4=0，得x所以x=1时x4而x4−5x2+4=0故选：B5.有限集合M中元素的个数记作cardM，若A,B都为有限集合,则“A∩B=A”是“cardA≤A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据集合新定义以及集合交集、子集的含义即可判断.【详解】因为A∩B=A，所以A⊆B，又因为A,B都为有限集合，所以cardA若cardA≤cardB，举例A=1,2则“A∩B=A”是“cardA故选：A.6.“(x+y)2<x2+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由充分必要条件的定义判断.【详解】若(x+y)2<x2+y2所以“(x+y)2<x若y>0>x，则xy<0，所以(x+y)2所以“(x+y)2<x所以“(x+y)2<x故选：B7.(23-24高一上·广东东莞·期中)设x∈R，则“x<1”是“x2<1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】按充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】x2故x<1是−1<x<1的必要不充分条件，故选：B8.|x−1|≤1是xA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】设命题p:|x−1|≤1⇔0≤x所以q⇒p，但p⇏q，故【题型二】根据充分、必要条件求参数范围【典题1】(2024高三·全国·专题练习)若关于x的不等式|x−1|<a成立的充分条件是0<x<4，则实数a的取值范围是(

)A．a≤1 B．a<1C．a>3 D．a≥3【答案】D【分析】求出不等式的解集，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得.【详解】依题意，a>0，解不等式|x−1|<a，得1−a<x<1+a，由不等式|x−1|<a成立的充分条件是0<x<4，得(0,4)⊆(1−a,1+a)，于是1−a≤01+a≥4，解得a≥3所以实数a的取值范围是a≥3.故选：D【典题2】已知p：(x+1)(2−x)≥0，q：关于x的不等式x2(1)当x∈R时q成立，求实数(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)(−3，2);(2)−103【详解】(1)∵4m2+4m−24<0∴实数m的取值范围为：(−3，2)．(2)p：−1≤设A={x|−1≤∵p是q的充分不必要条件，①由(1)知，−3<m<2时，②m=－3时，B③m=2时，B④m<−3，或m>2时，设f(x)对称轴为x=−m，由A∴m>1−3∴1<m<7∴−103综上可知：−103变式练习1.集合M=x−2<x<4，N=x−3<x<a，若x∈N的充分条件是x∈M，则实数A．−2,4 B．4,+∞ C．−3,4 D．【答案】B【分析】根据充分条件的定义可得M⊆N，结合集合间的关系即可求解.【详解】由题意，因为“x∈N”的充分条件是“x∈M”，所以M⊆N，即(−2,4)⊆(−3,a)，解得a≥4，即实数a的取值范围为[4,+∞故选：B2.关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解的一个必要不充分条件的是(A．m<12 B．m≤14 C．【答案】A【分析】由Δ≥0可得m≤【详解】因为一元二次方程x2所以Δ=1−4m≥0，解得m≤又(−∞,1所以“(−∞,1故选：A3.条件p：|x−m|≤2，条件q：−1≤x≤n，若p是q的充分条件，则n的最小值为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】条件p：|x−m|≤2，可得m−2≤若p是q的充分条件，则−1≤m−2，m+2≤n，解得则n的最小值为3．故选：C．4.(多选)已知集合A=xx≤3，集合B=xx≤m+1，能使A∩B=A成立的充分不必要条件有(A．m>0 B．m>1 C．m>3 D．m>4【答案】CD【分析】由A∩B=A成立的充要条件求出对应的参数m的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解.【详解】A∩B=A当且仅当A是B的子集，当且仅当m+1≥3，即m≥2，对比选项可知使得m≥2成立的充分不必要条件有m>3，m>4.故选：CD.5.已知p:−3≤x≤1，q:x≤a(a为实数)．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是.【答案】1,+【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解.【详解】因为q的一个充分不必要条件是p，所以[−3,1]是−∞则a≥1，即实数a的取值范围是1,+∞故答案为：1,+∞6.在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数m存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.问题：已知集合A=x1≤x≤5，非空集合B=x1−m≤x≤1+2m.是否存在实数m，使得【答案】答案见解析【分析】选择条件①，根据A是B的真子集列不等式求解；选择条件②：根据B是A的真子集列不等式求解；选择条件③：根据A=B列方程组求解.【详解】因为集合B=x1−m≤x≤1+2m非空，所以1−m≤1+2m选择条件①：因为x∈A是x∈B的充分而不必要条件，所以A是B的真子集，所以1−m≤11+2m≥5解得m≥2，故实数m的取值范围是2,+∞选择条件②：因为x∈A是x∈B的必要而不充分条件，所以B是A的真子集，

所以有m≥0且1−m≥11+2m≤5解得m=0.综上，实数m的取值范围是0.选择条件③：因为x∈A是x∈B的充要条件，所以有m≥0且A=B，即1−m=11+2m=5则不存在实数m，使得x∈A是x∈B的充要条件.7.已知集合A=x14(1)若m=3，求A∩B；(2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.【答案】(1)A∩B=(2)4,+【分析】(1)解指数不等式，一元二次不等式化简集合A,B，然后由交集定义计算；(2)根据充分不必要条件的定义得不等式组求解；【详解】(1)A=因m>0，则B=x当m=3时，B=−1,5，所以A∩B=(2)因“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集.所以m>02−m≤−2所以实数m的取值范围是4,+∞【题型三】充要条件相关知识点讲解(1)充要条件的定义如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均为真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时p即是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件.(2)充要条件的含义若p是q的充要条件，则q也是p的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同.(3)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成是p是q等价.(4)命题p、q对应集合A、B，若p是q的充要条件，则A=B.【典题1】若a，b是正整数，则a+b>ab充要条件是()A．a=b=1C．a=b=2【答案】B【详解】∵a，b是正整数，则a∵a，b是正整数，∴则a−1≥0，b−1≥0，若(a−1)(b即a=1或b=1，即a，即a+b>ab充要条件是故选：B．【典题2】求证：a2+b2+c2=ab+ac+bc是△ABC是等边三角形的充要条件.(这里【答案】证明见解析【分析】根据充分性与必要性定义证明即可.【详解】先证明充分性：由a2得2a整理得，a−b2所以a=b=c，即△ABC是等边三角形.然后证明必要性：由△ABC是等边三角形，则a=b=c，所以a2综上所述，a2+b变式练习1.关于x的方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根的充要条件是(A．a>2或a<−2 B．a≥2或a≤−2C．a<1 D．a>2【答案】A【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由方程关于x的方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根，则满足解得a>2或a<−2，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是a>2或a<−2.故选：A.2.已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“A⊆∁UBA．B⊆∁UA B．A⊆B C．B⊆A【答案】A【分析】利用维恩图求解.【详解】因为A⊆∁UB由图可知BCD选项错误，B⊆∁故选：A3.ba>1的一个充要条件是(A．ab−a>0 C．a>1，b>1 D．a>0，b>0【答案】A【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式ba>1，可得ba由a(b−a)>0，可得b>a>0或b<a<0，所以选项B是ba选项C和D都为ba故选：A.4.求证：等式a1x2+b【答案】证明见解析.【分析】利用充分性和必要性的定义证明即可.【详解】充分性：若a1=a2,必要性：由于等式a1x2分别将x=0，x=1，x=−1代入可得c1解得a1故等式a1x2+b5.已知a，b是实数，求证：a4−b【答案】证明见解析【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论．【详解】解：先证明充分性：若a2−b所以“a2−b再证明必要性：若a4−b即a4∴a∴(a∵a∴a即a2所以“a2−b综上：a4−b6.设集合M=t∣t=m(1)证明：属于M的两个整数，其积也属于M；(2)判断32,33,34是否属于M，并说明理由；(3)写出“偶数2k(k∈Z)属于M”的一个充要条件并证明．【答案】(1)略；(2)34∉M【详解】(1)证明：从M里面随便选2个数：a2−b作乘积，a=a=[(ac∵a,b∴a即属于M的两个整数之积属于M．(2)M=而32=4×8=(6−2)×(6+2)，故32∈M33=3×11=(7−4)×(7+4)，故33∈M34=(m+n)(m(3)集合A=m2−n2=(m+(m−n②当m,n一奇，一偶时，∴(m综上所有满足集合A的偶数为4k，k反之当t=4k=(k+1故“偶数2k(k∈Z【A组基础题】1.已知a,b∈R，若α:a2+b2=0,β:ab=0A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分也非必要【答案】A【分析】由充分条件和必要条件的定义判断.【详解】a2+b2=0时，有a=b=0，满足ab=0ab=0时，有a=0或b=0，不能得到a2+b2=0所以α是β的充分非必要条件.故选：A2.已知x,y∈R，则“xy=0”是“x2+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据由xy=0能不能推出x2+y2=0【详解】解：由xy=0，可得x=0或y=0；由x2+y2=0所以由xy=0不能推出x2+y2=0所以“xy=0”是“x2故选：B.3.“−1<x<1”是“x2<1”的(A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用不等式的性质及二次不等式的解法即可得证.【详解】先证−1<x<1⇒x因为−1<x<1，所以x−1<0，x+1>0，故x−1x+1<0，即x2再证−1<x<1⇐x因为x2<1，所以x2−1<0，即综上：“−1<x<1”是“x2故选：C4.(多选)下列说法正确的是(

)A．“1a>1B．A∩B=∅是A=∅的必要不充分条件C．若a，b，c∈R，则“ab2D．若a，b∈R，则“a2+【答案】BD【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解．【详解】当a=2,b=−2时，有1a>1b，也有a>b，因此反之当a=−2,b=2时，a<b，但1a<1b，即由所以两者既不充分也不必要，故A错误；当A={1},B={2}时，A∩B=∅，但A≠∅，当A=∅时，A∩B=∅，故B正确；当ac2>bc2反之，a>b时，若c=0，则ac所以两者不是充要条件，故C错误；a2+b2≠0⇔a≠0故选：BD．5.在下列所示电路图中，下列说法正确的是.(填序号).(1)如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；(2)如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；(3)如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；(4)如图④所示，开关A闭合是奵泡B亮的必要不充分条件.【答案】(1)(2)(3)【分析】根据充分、必要条件的定义，结合图形依次判断即可求解.【详解】(1)开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合.所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故(1)正确；(2)开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合.所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故(2)正确；(3)开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合.所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故(3)正确；(4)开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合.所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故(4)错误.故答案为：(1)(2)(3)6.若“−1⩽x⩽1”是“不等式|x−m|⩽2”成立的充分条件，则实数m的取值范围是．【答案】[−1,1]【详解】由|x−m|⩽2得∵“−1⩽x⩽1”是“不等式∴[−1,1]⊆[m即&m−2⩽−1&m+2⩾17.已知集合A=x−3<2x+1<7，B=xx<−4或(1)求A∩∁(2)若“p:x∈∁RA∪B”是“q:x∈C【答案】(1)x|−2<x≤2(2)−3<a<−【分析】(1)先求出集合A，再求出∁RB，最后由交集的运算求出(2)先求出A∪B，再求出∁RA∪B，再由充分不必要条件构造关于【详解】(1)因为A=x−3<2x+1<7=所以A∩∁(2)A∪B=xx<−4或x>−2，所以因为“p:x∈∁RA∪B则∁RA∪B⊆C所以3a−2<−4a+1>−28.设a,b,c分别为△ABC的三边BC,AC,AB的长，求证：关于x的方程x2+2ax+b2=0【答案】证明见解析【分析】设两个方程公共实数根x0，代入方程化简得到(a−c)x0+b2=0，求得x0=b2【详解】证明：必要性：设方程x2+2ax+b2=0则x两式相减并整理，可得(a−c)因为b≠0,a−c≠0，所以x0=b整理得b2+c充分性：因为∠A=90°，可得b2+c将b2=a2−即(x+a−c)(x+a+c)=0，将b2=a2−即(x+c−a)(x+c+a)=0故两方程有公共实数根x=−(a+c).所以关于x的方程x2+2ax+b2=0【B组提高题】1.条件p：关于x的不等式a−4x2+2a−4条件q：0<a